初中数学破题致胜微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形手拉手模型的补全【含解析】

等腰直角三角形手拉手模型的补全

例：如图1，在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =90°，D 是△ABC 内部一点，∠ADC =135°，将线

段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ．

（1）① 依题意补全图形；

② 请判断∠ADC 和∠CDE 之间的数量关系，并直接写出答案．

（2）在（1）的条件下，连接BE ，过点C 作CM ⊥DE ，请判断线段CM ，AE 和BE 之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图2，在正方形ABCD 中，AB =2，如果PD =1，∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离． D

A B C P

D

C A B

图1 图2

分析：（1）②∠ADC +∠CDE =180°．根据旋转的性质即可解答

（2）根据旋转的性质，可证明A 、D 、E 三点在同一条直线上，得到AE=AD+DE ，再根据旋转，实质得到两个等腰直角三角形手牵手相似，则可证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE ，又CD=CE,∠DCE=90°，CM⊥DE，得到DE=2CM ，∴AE=BE+2CM.

（3）作AF⊥BP 于F ，此图可看成不完整的等腰直角三角形手牵手，则相当于△ADP 绕点A 顺时针旋转90°，∴作AH⊥BP 于H ，如图，形成三角形△ABD 和△AHP 手牵手，∴△ABH≌△ADP，∴BP=BH+HP=PD+2AF，在Rt△BPD 中借助勾股定理可得31AF -=

解：（1）① 依题意补全图形（如下图）；

② ∠ADC+∠CDE=180°．

（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下：∵ 线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，

∴ CD=CE，∠DCE=90°．∴ ∠CDE=∠CED=45°．

又∵ ∠ADC=135°，∴ ∠ADC+∠CDE=180°，

∴ A、D、E三点在同一条直线上.

∴ AE=AD+DE.

又∵ ∠ACB=90°，∴ ∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，即∠ACD=∠BCE．又∵ AC=BC，CD=CE，∴ △ACD≌△BCE．∴ AD=BE．

∵ CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE．∴ DE=2CM．

∴ AE=BE+2CM．

（3）点A到BP的距离为31

2

．

总结：在等腰直角三角形顶角顶点的基础上，出现了一个利用腰形成的三角形时，往往借助等线段、共端点考虑用旋转的思路构造此三角形旋转90°利用等腰三角形另一腰形成三角形解决问题

练习：（1）问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为_______；

②线段AD、BE之间的数量关系为______________．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段AM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

在正方形ABCD中，CD=2，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．