经济管理基础-第五讲

与现值和将来值有关的等额支付系列（普通年金） 的现金流量图
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1）等额分付终值公式 如果某人每年末存入资金A元,年利率为i，N 年后资金的本利和为多少？
F=?
0 1 2 3 4 N-2 N-1 N
A
等额分付现金流之一
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(1 i) N 1 F A i
已知A，求解F
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问题 一位企业的员工计划在她65岁退休的时候， 个人储蓄能有1 000 000元。她目前刚20岁， 在接下来的45年里，如果年利率为7%，她每 年末要向银行等额存入多少钱才能实现她个 人存款1 000 000元的目标？ A=Fi/[(1+i)N－1)] =1000000×0.0035 =3500（元）
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现金流量图
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4 资金等值计算公式
（1）一次支付型 1）一次支付终值公式 如果现在存入银行P元，年利率为i，N 年后拥有本利和多少？
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F＝P(1＋i)N
（已知P，求解F）
系数(1+i)N称为一次支付复利（终值）系数， 记为(F/P, i, N)，其值可查相关表格。
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问题
在第一年年初，以年利率6%投资1000元，则 到第四年年末可得本利和多少？
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3) 等额分付现值公式
从第1年末到第N年末有一个等额的现金流序 列，每年的金额均为A，这一等额年金序列在 利率为i的条件下，其现值是多少？
A
0
1
2
3
4
N-2 N-1
N
P＝？
等额分付现金流之二
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(1 i ) N 1 P A N i(1 i )
已知A，求解P
N个计息周期后的利息： IN＝FN－P＝P [(1＋i)N - 1]
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问题
以单利方式借入一笔资金1 000美元，3年期， 年利率为10%，3年后的本利和为多少？若为 复利方式呢？
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单利与复利的对比
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3 现金流量图与资金等值的概念
（1）资金等值的概念 资金等值：在考虑资金时间价值因素后， 不同时点上数额不等的资金在一定利率条 件下具有相等的价值。 影响资金等值的因素有三个：资金额大小、 资金发生的时间和利率，它们构成资金等 值的三要素。利用等值概念，将一个时点 发生的资金金额换算成另一时点的等值金 额，这一过程叫资金等值换算。
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问题
假设你每年向银行账户存入1 000元，银行的 年利率为5%，第一笔存款发生在从现在开始 的一年后，那么第15年次存款后你可以从该 银行账户中取出多少钱？
F=A(F/A, 5%, 15)=1000×21.5786＝21578.60（元）
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2) 等额分付偿债基金公式
等额分付偿债基金公式是等额分付终值公 式的逆运算。

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2 利息与利率
（1）利息与利率的概念 利息：占用资金所付出的代价(或放弃使用 资金所得到的补偿)。 FN = P + IN 其中： FN－本利和； P－本金； IN －利息； N－计算利息的周期数。
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利率：在一个计息周期内所得到的利息额 与借贷金额之比。 i = I1 / P × 100% 其中： I1为一个计息周期的利息。
银行现提供贷款P元，年利率为i，要求在N 年内等额分期回收全部贷款，问每年末应回 收多少资金？
i(1 i) N A P N (1 i) 1
已知P，求解A
式中，[i(1+i)N]/[(1+i)N-1]称为等额分付资金 恢复（资本回收）系数，用（A/P，i，N）表 示，其值可由表查出。
计息期 N(年) 年初欠款 P(元) 1 2 … N P P×(1+i) … P×(1+i)N-1
年末利息 I(元) P×i P×(1+i) ×i … P×(1+i)N-1×i
年末欠款总额 F(元) P×(1+i) P×(1+i)2 … P×(1+i)N
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N个计息周期后本利和： FN = P×( 1 + i )N
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类别
已 未 知 知
公式
百度文库
系数与符号
现金流量图
一 次 支 付 等 额 分 付
现终 终值系数 终值 值 值 F=P(1+i)N (F/P,i,N) 公式 P F 终 现 现值系数 N 现值 P = F /(1+ i ) P 值 值 (P/F,i,N) 公式 F P N 年 终 F = A [(1+ i ) 终值系数 终值 (F/A,i,N) 公式 值 值 -1]/i A F 基金 终 年 A=Fi/[(1+ 偿债基金系数 N-1] 值 值 i ) 公式 (A/F,i,N) F A 年 现P=A[(1+i)N现值 现值系数 N] 1]/[ i (1+ i ) 值 值 公式 (P/A,i,N) A P 现 年 回收系数 回收 值 值 A=P[(1+i)N]i (A/P,i,N) P 公式 P A /[(1+i)N-1]
现金流量图与立脚点有关。
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问题

在评估一个投资方案的经济效益之前，某 公司坚持要工程师做一个该方案现金流量 图。该方案投资总额为10 000美元，在5年 的时间里每年可以产生等额的收入5 310美 元。第5年末回收的市场价值为2 000美元。 同时该项目每年的运营的维护成本为3 000 美元。画出该方案5年寿命期的现金流量图， 以该公司为立脚点。
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问题
假设你有个叔叔是富翁，他拥有1 000 000英镑的 财产，并且打算每年给他的继承人100 000英镑。 如果这笔钱存入一个银行账户，年利率是6%，那 么经过多少年才能把这笔钱取完？如果银行的利 率变为8%，那么取完这笔钱又需要多少时间？ P=A[(1+i)N-1]/[i(1+i)N] 1000000=100000[(1+0.06)N-1]/[0.06(1+0.06)N] N=15.7（年）
经济管理基础
胡海波
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第五讲 资金的时间价值
资金时间价值的概念 利息与利率 现金流量图与资金等值的概念 资金等值计算公式
答 : F P 1 i
N 4
1000 1 6% 1262.50 或者F P( F / P, i, N ) 1000 1.2625 1262.50
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2）一次支付现值公式
已知N年后一笔资金F，在利率i下，相当于现 在多少钱？ F
0
P=?
N
P＝F(1＋i)-N （已知F，求解P） 这是一次支付终值公式的逆运算。系数 (1+i)-N 为一次支付现值系数，记为(P/F, i, N)，其值可 查表。
或P=A(P/A, i, N)=100×4.2124＝421.24（万元）
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问题 目前有一个设备需要大修，经过大修该设备 可以在未来5年内每年增加产出20%，也就是 5年内每年年末产生增量现金收入20 000元。 已知年利率为15%，最多能支付多少钱来大 修该设备呢？
P=A[(1+i)N-1]/[i(1+i)N] =20000×3.3522 =67 044（元）
式中，[(1+i)N-1]/[i(1+i)N]称为等额分付现值 系数，用（P/A，i，N）表示，其值可由表查 出。
A 0 1 2 3 4 N-2 N-1 N
P＝？
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问题 按年利率6%计算，为了能够在今后5年中
每年年末提取100万元的利润留成用于设
备更新，现在应投资若干？
P=A[(1+i)N-1]/[i(1+i)N] =100×4.2124 =421.24（万元）
i A F N (1 i) 1
已知F，求解A
式中，i/[(1+i)N－1)]称为等额分付积累基金 （偿债基金）系数，用（A/F，i，N）表示， 其值可由表查出。
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问题 如果要在第5年年末得到资金1000元，按年利
率6%计算，从现在起连续5年每年必须存储多
少？ A=Fi/[(1+i)N－1)] =1000×0.1774 =177.40（元） 或A=F(A/F, i, N)=1000×0.1774＝177.4（元）
式中，[(1+i)N－1)/i]称为等额分付复利（终 值）系数，用（F/A，i，N）表示，其值可 由表查出。
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问题
连续5年每年年末借款1000元，按年利率6%计
算，第5年年末累积借款多少？
(1 i ) N 1 FA i 1000 5.6371 5637.10 （元）
或F=A(F/A, i, N)=1000×5.6371＝5637.1（元）
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问题
一笔现在借款17 000美元，月利率为1%，求 与其等值的4个月内每个月末等额偿还欠款金 额。 A=P[i(1+i)N]/[(1+i)N-1] =17000×0.2563 =4357.10（美元）
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问题
一笔现在借款17 000美元，月利率为1%，求 与其等值的4个月内每个月末等额偿还欠款金 额。
F
F
A
A
系数之间的关系
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几类离散现金 流量等值示例
名义利率和实际（有效）利率
名义利率：计息周期的利率乘以每年的计 息周期数。 实际利率：一年内实际得到的利息与本金 之比。

两者的关系：设名义利率为r，一年中计息数 为M，则一个计息周期的利率应为r/M。

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（2）单利和复利 单利(Simple Interest)：仅用本金计算利息， 利息不再生利息。 IN = P ·N ·i N个计息周期后本利和： FN = P + IN = P ( 1 + i ·N )
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复利 (Compound Interest)：以本金与累计利 息之和为基数计算利息，即利上加利。
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问题
为了在第四年年末得到1262.50元，按年利率 6%计算，现在必须投资多少？ 解：
P F (1 i) N 1262.50 (1 6%) 1000 （元）
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或P=F(P/F,i,N)=1262.5×0.7921＝1000（元）
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4 资金等值计算公式
（2）等额分付型
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垂直线表示时点上系统所发生的现金流
量，即实际收益或费用的情况，其中箭 头向下表示现金流出(费用)，向上则表 示现金流入(收益)，线段的长度代表发 生的金额大小，按比例画出。
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利率标注于水平线上方。为计算方便，常 将上述现金流入与现金流出所发生的具体 时间假定在期初(年初)或期末(年末)。例如 将项目投资假定在年初发生，而将逐年所 发生的经营成本(费用)、销售收入(收益)均 假定在年末发生。
i=8%
N=20.9（年）
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问题
假设你有个叔叔是富翁，他拥有1 000 000英镑的 财产，并且打算每年给他的继承人100 000英镑。 如果这笔钱存入一个银行账户，年利率是6%，那 么经过多少年才能把这笔钱取完？如果银行的利 率变为8%，那么取完这笔钱又需要多少时间？
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4) 等额分付资本回收公式

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资金的时间价值，是指将一定量的资金投入 经济活动一段时间后所产生的增值或经济效 益。
利息：银行利率 纯收益：动态投资收益率
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1 资金时间价值的概念
资金时间价值是指资金在扩大再生产及其 循环周转过程中，随着时间变化而产生的 增值。 等额货币在不同时点上具有不同的价值。 数额不等的资金在不同的时间因素作用下 可能会具有相同的经济价值。
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终值：终值是现值在未来时点上的等值资 金，用符号F表示。 等年值：等年值是指分期等额收支的资金 值，用符号A表示。

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（2）现金流量图

现金流量图是某一系统在一定时期内各个 时间现金流量的直观图示方法。
收入 + i=?%
支出
0
1
2
3
4
5
6
…. N-1 N
(年)
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画法

先作一水平线为时间坐标(横坐标)，按单位 时间分段(等分)，自左向右为时间的递增， 表示时间的历程。时间一般以年为单位， 用 0，1，2，3，…，N表示。在分段点所 定的时间通常表示该时点末(一般表示为年 末)，同时也表示为下一个时点初(下一年的 年初)，如上图中，时点1表示第1年的年末 或第2年的年初。
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贴现与贴现率：把将来某一时点的资金金额 换算成现在时点的等值金额称为贴现或折现。 贴现时所用的利率称贴现率或折现率。 现值：现值是指资金“现在”的价值。 注意 “现值”是一个相对的概念，一般地说， 将t＋k时点上发生的资金折现到第t个时点， 所得的等值金额就是第t＋k个时点上资金金 额在t时点的现值，现值用符号P表示。