＋1≥x B.
1
x 2
＋1
<1 C ．lg(x 2＋1)>lg(2x ) D ．x 2
＋4>4x 答案 A
3．设实数x ，y ，m ，n 满足x 2
＋y 2
＝1，m 2
＋n 2
＝3，那么mx ＋ny 的最大值是( ) A.3B ．2 C.5D.
102
答案 A
解析 方法一 设x ＝sin α，y ＝cos α，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈(0°，180°)．
∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α＝3cos(α－β)．故选A. 方法二 m 2
＋n 2
＝3⇔(m
3
)2
＋(
n
3
)2
＝1，
∴2＝x 2
＋y 2＋(
m
3
)2
＋(
n
3)2
≥23
(mx ＋ny )． ∴mx ＋ny ≤ 3.
4．若x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x
)2
的最小值是( ) A ．3 B.7
2
C ．4 D.9
2
答案 C
解析 由题意(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2≥2(x ＋12y )(y ＋12x )＝2(xy ＋14xy ＋1)≥2⎝
⎛
⎭
⎪⎫
2
xy ·
14xy ＋1＝4，
“＝”成立的条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋12y ＝y ＋12x
xy ＝1
2
不矛盾，故“＝”能成立．
5．(2011·上海)若a ，b ∈R ，且ab >0，下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2
＋b 2
>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b
<2ab D.b a ＋a
b
≥2
答案 D
6．(2012·福建)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2
＋14
)>lg x (x >0)
B ．sin x ＋1
sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C ．x 2
＋1≥2|x |(x ∈R ) D.
1
x 2＋1
>1(x ∈R ) 答案 C
解析 取x ＝12，则lg(x 2
＋14)＝lg x ，故排除A ；取x ＝32
π，则sin x ＝－1，故排除B ；取
x ＝0，则1
x 2＋1
＝1，故排除D.应选C.
7．(2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a
v ，则( )
A ．a B ．v ＝ab C.ab 2
D ．v ＝
a ＋b
2
答案 A
解析 设甲、乙两地的距离为S ，则从甲地到乙地所需时间为S a
，从乙地到甲地所需时间为S b
.又因为a
2S
S a ＋S b
＝
2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ，2ab a ＋b >2ab
2b
＝a ，即a 8．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a
x ≥1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 令p ：“a ＝18”，q ：“对任意的正数x,2x ＋a
x ≥1”．
若p 成立，则a ＝18，则2x ＋a x ＝2x ＋1
8x
≥2
2x ·1
8x
＝1，即q 成立，p ⇒q ；
若q 成立，则2x 2
－x ＋a ≥0恒成立，解得a ≥18，∴q ⇒/ p .
∴p 是q 的充分不必要条件．
9．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1
a
的最小值为( )
A ．4
B ．4 2
C ．8
D ．8 2 答案 A
解析 ∵f (x )＝ax 2
＋2x ＋c 的值域为[0，＋∞)， 则由Δ＝0，a >0，得c ＝1
a
.
∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a
＋1
a ＋1
a ＝a 2＋a ＋1a 2＋1a
＝(a 2
＋1a 2)＋(a ＋1a )≥4(当且仅当a ＝1a
即a ＝1时取等号)．
10．(2012·潍坊模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋1y
＝1，若x ＋2y >m 2
＋2m 恒成立，则实数m
的取值范围是( )
A ．m ≥4或m ≤－2
B ．m ≥2或m ≤－4
C ．－2D ．－4解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋1
y
＝1，
∴x ＋2y ＝(x ＋2y )(2x ＋1y )＝4＋4y x ＋x
y
≥4＋2
4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y
，即4y 2＝x 2
，x
＝2y 时取等号，又2x ＋1y
＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2
＋2m 恒成立，
只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2
＋2m ，解得－4
