功率谱密度和能量谱密度等概念
谱密度PPT
Fx () :F (x)()
x(t)e jt dt
反演公式
x(t ) 1
2
Fx
(
)e
jt
d
(假设逆变换存在)
记 W x2(t)dt 为x(t)在(-,+)上的总能量
则
W
x2 (t)dt
x(t)[
解 R X ( ) 5 2 e 3| | 2 e 3| | c o s 4
S X ( ) F (R X )( )
5F (1)( ) 2F ( e 3| | )( ) 2F ( e 3| | c o s 4 )( )
10 ()
T T
e
j (t s)
RX
(t
s)dsdt
(令
u t s
v
t
) s
2T 2T
(1
|u | 2T
)e
ju
R
X
(u
)du
e
ju
R
T X
(u
)du
(令
R
T X
(
)
（ 1
2T
)RX
(
)
0
2T ,
2T
则
lim
T
第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数 曲线下的总面积.
谱密度的计算 ● 广义积分----可利用复变函数中的留数定理 ● 利用已知的基本公式和 Fourier 变换的性质等
留数定理 函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2,..., zn外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条 正向简单闭曲线，则
能量谱密度与功率谱密度
能量谱密度与功率谱密度
一、能量谱密度
令为能量信号，且则的能量可以定义为
上式被称为帕什伐尔能量定理。
帕什伐尔能量定理表明一个能量信号的能量可以在时域内求解，也可以在频域内求解，并且，在时域内和在频域内求得的结果是相同的。
通常将定义为能量信号的能量谱密度。
显然，是一个偶函数。
信号的能量可以表示为
能量谱密度的物理含义为单位频带上的信号能量分布。
2.4.2 功率谱密度
设为一个功率信号，其信号作用时间在。
通常对这样信号的分析方法是将信号截短，截短后的信号可以
看作能量信号。
设则为能量信号，且设。
由功率信号的功率计算公式及能量信号帕什伐尔定理，可得
类似能量谱密度全频积分的能量，定义功率谱密度
被称为功率谱密度，表示信号在单位频带上的功率分布。
比较以上两式有
显然，且为偶函数。
功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
能量谱密度和功率谱密度的关系
能量谱密度和功率谱密度的关系能量谱密度和功率谱密度都是描述信号频率特性的方法，它们之间存在一定的关系。
能量谱密度（Energy Spectral Density）是一种用来描述信号频率分布的方法。
能量谱密度衡量了在不同频率上信号所包含的能量。
对于连续时间信号，能量谱密度可以通过对信号进行傅里叶变换得到。
对于离散时间信号，能量谱密度可以通过对信号的离散傅里叶变换得到。
能量谱密度的单位通常是功率除以频率，如瓦特/赫兹（W/Hz）。
功率谱密度（Power Spectral Density）是一种用来描述信号频率分布的方法。
功率谱密度衡量了在不同频率上信号的功率。
对于连续时间信号，功率谱密度可以通过对信号进行傅里叶变换得到。
对于离散时间信号，功率谱密度可以通过对信号的离散傅里叶变换得到或者通过对信号的自相关函数进行傅里叶变换得到。
功率谱密度的单位通常是功率除以频率的平方，如瓦特/赫兹（W/Hz）。
能量谱密度和功率谱密度之间的关系可以通过以下公式表示：功率谱密度=能量谱密度×带宽其中，带宽代表了信号频谱的宽度。
对于连续时间信号，带宽可以用频率区间表示。
对于离散时间信号，带宽可以用频率分辨率表示。
根据这个公式，可以得出以下结论：1.当信号的能量谱密度在不同频率上变化时，功率谱密度也会随之变化。
如果能量谱密度在特定频率上有较大的能量值，那么功率谱密度也会在这个频率上有较大的功率值。
2.能量谱密度描述的是信号的瞬时能量分布，而功率谱密度描述的是信号的平均功率分布。
这意味着功率谱密度对信号的长期性质更感兴趣，而能量谱密度对信号的瞬时特性更感兴趣。
3.对于周期信号，能量谱密度为零，因为信号在周期内的总能量是有限的。
在这种情况下，功率谱密度是有非零值的，因为周期信号有持续的功率输出。
4.对于非周期信号，能量谱密度和功率谱密度通常都是非零值。
总结起来，能量谱密度和功率谱密度是描述信号频率特性的两种方法，两者之间存在着明确的数学关系。
1的功率谱密度
1的功率谱密度
功率谱密度是一种衡量随机信号能量的方式，它描述了信号的能量分布情况。
对于离散信号x[n]，其功率谱密度可以定义为信号x[n]的自相关函数的傅里叶变换在频域内的模平方，即：|X(e^(jω))|^2。
对于离散信号1，其功率谱密度可以简化为计算1的自相关函数的傅里叶变换在频域内的模平方。
由于1是一个常数序列，其自相关函数是一个单位脉冲函数，即δ(n)。
将δ(n)进行傅里叶变换可以得到1的频域表示，即：X(e^(j ω))=1。
根据功率谱密度的定义，离散信号1的功率谱密度可以计算为：|X(e^(j ω))|^2=1^2=1。
因此，离散信号1的功率谱密度为1。
对于连续信号1，其功率谱密度可以简化为计算1的能量谱密度。
由于1是一个常数函数，其能量谱密度可以表示为1的平方乘以频率的函数，即：E(ω)=1^2×ω^2。
根据能量谱密度的定义，连续信号1的能量谱密度可以计算为：E(ω)=1^2×ω^2=1。
因此，连续信号1的能量谱密度也为1。
总之，无论是离散信号还是连续信号，常数序列1的功率谱密度或能量谱密度都为1。
这是因为1是一个常数函数，其能量或功率是恒定的，不随时间或频率变化而变化。
功率谱密度分析在信号处理中的应用
功率谱密度分析在信号处理中的应用信号是随着时间变化的电压，电流，电磁波等物理量。
信号分析是从信号中获取有用信息的过程。
这种信号常常是含有噪声的，并且要从中提取出所需的信息。
由于信号需要先进行预处理，因此，信号处理是一个复杂的任务。
在信号处理领域，功率谱密度分析是一种常用的技术，被广泛应用于信号处理和系统分析中。
一、功率谱密度分析的基本概念功率谱密度分析的目标是确定一个信号在不同频率下的功率，这是一种分析信号的频域方法。
功率谱密度是指信号在一个频带内的功率的分布，单位是瓦特/赫兹（W/Hz）。
功率谱密度分析的输出结果一般呈现为功率谱密度图，它描述了信号的能量随着频率的变化而变化的情况。
功率谱密度的计算主要基于伯努利-欧拉定理，即将复变量表示为实部与虚部的和。
对于一个实值信号x(t)，其傅里叶变换H(f)如下所示：H(f)=∫x(t)exp[-2πi f t]dt然后，对于信号x(t)和其复共轭x* (t)，可以计算出它们的积：P(f)=x(t)×x*(t)其中，t 代表时间，f 代表频率。
对于连续时间信号，P(f) 被称为功率谱密度，表示频率 f 的功率。
对于离散时间信号，其内积被替换为求和，并且功率谱密度的单位变为瓦特/赫兹（W/Hz）。
二、功率谱密度分析的应用功率谱密度分析在信号处理中有着广泛的应用，下面我们主要介绍其在音频处理和图像处理中的应用：1. 音频处理中的功率谱密度分析音频信号的功率谱密度是指一段时间内声音量随着频率变化的标志。
在音频处理中，功率谱密度分析可以用于识别音频信号的特定频率成分，并清除噪声。
在使用数字信号处理算法对音频信号进行无噪声处理时，功率谱密度图经常被使用。
通过检测功率谱密度的凸起与波峰，可以识别音频信号的某些特定频率。
功率谱密度分析还可以用于滤波器设计。
具体地说，使用功率谱密度可以确定所需滤波器的特性，例如通带的大小、截止频率等，从而设计出能清除干扰和噪声的专用滤波器。
随机信号分析3.4功率谱密度
Rt , t dt
T T
P A[ R(t , t )]
1 A lim T 2T
记算术平均算子
dt
T T
2.定义与性质
{ X (t ), t T } 的自相关函数 Rx 定义3.7 平稳信号 的傅立叶变换
S x Rx e j d
R( ) S ( )
证明见书本P77
E
1 2 x (t )dt 2
X ( j ) d
2
②对于功率型信号，定义功率谱密度为
1 2 S ( ) lim X T ( j ) T 2T
3.维纳-辛钦定理的证明
E
1 x (t )dt 2
2
X ( j ) d
2
1 2 S ( ) lim X T ( j ) T 2T
S XY ( ) RXY ( )e
j
d
SYX ( ) RYX ( )e j d
它们简称为互功率谱。 互功率谱常常是复数，它反映了两个信号的关联性沿 的密度状况。 S XY ( ) 很大，两信号的相应频率分量关联度很高。 S XY () 0 ，表明它们响应频率分量是正交的。
式中，X T ( j) 是 xT (t ) 的傅立叶变换，而 xT (t ) 称为 截断信号，它是从 x(t ) 上截取的 T ,T 段， 它在 T ,T 区间以外为零，如图
3.维纳-辛钦定理的证明
3.维纳-辛钦定理的证明
对于随机信号X (t ) ，记其样本函数为 X (t , ) ， 则样本功率为
R( ) S ( )
通信原理知识点
第一章1.通信的目的是传输消息中所包含的息。
消息是信息的物理表现形式，信息是消息的有效内容。
.信号是消息的传输载体。
2.根据携载消息的信号参量是连续取值还是离散取值，信号分为模拟信号和数字信号．，3.通信系统有不同的分类方法。
按照信道中所传输的是模拟信号还是数字信号（信号特征分类），相应地把通信系统分成模拟通信系统和数字通信系统。
按调制方式分类：基带传输系统和带通（调制）传输系统。
4.数字通信已成为当前通信技术的主流。
5.与模拟通信相比，数字通信系统具有抗干扰能力强，可消除噪声积累；差错可控；数字处理灵活，可以将来自不同信源的信号综合刭一起传输；易集成，成本低；保密性好等优点。
缺点是占用带宽大，同步要求高。
6.按消息传递的方向与时间关系，通信方式可分为单工、半双工及全双工通信。
7.按数据码先排列的顾序可分为并行传输和串行传输。
8.信息量是对消息发生的概率（不确定性）的度量。
9.一个二进制码元含1b的信息量；一个M进制码元含有log2M比特的信息量。
等概率发送时，信源的熵有最大值。
10.有效性和可靠性是通信系统的两个主要指标。
两者相互矛盾而又相对统一，且可互换。
在模拟通信系统中，有效性可用带宽衡量，可靠性可用输出信噪比衡量。
11.在数字通信系统中，有效性用频带利用率表示，可靠性用误码率、误信率表示。
12.信息速率是每秒发送的比特数；码元速率是每秒发送的码元个数。
13.码元速率在数值上小于等于信息速率。
码元速率决定了发送信号所需的传输带宽。
第二章14.确知信号按照其强度可以分为能量信号和功率信号。
功率信号按照其有无周期性划分，又可以分为周期性信号和非周期性信号。
15.能量信号的振幅和持续时间都是有限的，其能量有限，（在无限长的时间上）平均功率为零。
功率信号的持续时间无限，故其能量为无穷大。
16.确知信号的性质可以从频域和时域两方面研究。
17.确知信号在频域中的性质有4种，即频谱、频谱密度、能量谱密度和功率谱密度。
功率、功率谱密度
功率、功率谱密度
功率指物理系统产生或消耗能量的速率，通常用单位时间内的能量来表示。
功率可以用来描述电路中的能量传输、机械系统中的功率输出、热力学系统中的热能转化等等。
功率谱密度是功率信号在频域的表示。
它是指功率信号在各个频率上的功率密度，也就是在某一频率范围内功率的平均值。
功率谱密度可以用来描述信号的频率分布情况，比如说在音频信号中，人耳对于不同频率的声音敏感程度是不同的，功率谱密度可以用来表示不同频率上的声音强度。
功率谱密度在信号处理、通信系统、物理学等领域都有广泛的应用。
在信号处理中，功率谱密度可以用来区分不同信号的频率分布情况，从而实现信号的分类、识别、解调等操作。
在通信系统中，功率谱密度可以用来优化信号传输的带宽、抗干扰能力等性能。
在物理学中，功率谱密度可以用来分析光谱、声谱等信号。
总之，功率和功率谱密度是描述物理系统中能量转换和传输的重要概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
- 1 -。
信号与噪声分析
信号与噪声分析确知信号分析1、周期信号的傅里叶级数任何一个周期为T 的周期信号)(t f ，只要满足狄里赫利条件，则可展开为傅里叶级数0()jn tn n f t F eω∞=-∞=∑（2-1）式中，⎰--=2/2/0)(1T T tjn n dtet f TF ω (0,1, 2.3,,n =±±± )；00a c F ==; 2nj n n c F eϕ-=(称为复振幅)；*2nj n n n c F eF ϕ-==（是n F 的共轭）。
一般地，n F 是一个复数，由n F 确定周期信号)(t f 的第n 次谐波分量的幅度，它与频率之间的关系图形称为信号的幅度频谱。
由于它不连续，仅存在于0ω的整数倍处，故这种频谱是离散谱。
许多情况下，利用信号的频谱进行分析比较直观方便。
2、非周期信号的傅里叶变换ωωπωd eF t f tj ⎰∞∞-=)(21)( （2-2）⎰∞∞--=dte tf F tj ωω)()( （2-3）式（2-2）和式（2-3）分别称为傅里叶正变换和傅里叶反变换，两式称为)(t f 傅里叶变换对，表示为)()(ωF t f ⇔信号的傅里叶变换具有一些重要的特性，灵活运用这些特性可较快地求出许多复杂信号的频谱密度函数，或从谱密度函数中求出原信号，因此掌握这些特性是非常有益的。
其中较为重要且经常用到的一些性质和傅里叶变换对见附录二。
3、卷积与相关函数 （1）、卷积设有函数)(1t f 和)(2t f ，称积分⎰∞∞--τττd t f f )()(21为)(1t f 和)(2t f 的卷积，常用)()(21t f t f *表示，即121221()()()()()()f t f t f f t d f f t d ττττττ∞-∞∞-∞*=-=-⎰⎰（2-4）时域卷积定理：令)()(11ωF t f ⇔，)()(22ωF t f ⇔，则有)()()()(2121ωωF F t f t f ⇔* （2-5）频域卷积定理：令)()(11ωF t f ⇔，)()(22ωF t f ⇔，则有[])()(21)()(2121ωωπF F t f t f *⇔（2-6）（2）、相关函数信号之间的相关程度，通常采用相关函数来表征，它是衡量信号之间关联或相似程度的一个函数。
功率谱密度： power spectral density
式中T为离散随机信号的抽样间隔时间。
当利用随机信号的N个抽样值来计算其自相关估值时，即可得到功率谱估计为
(3)
可见，随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系，这两个函数分别从频率域和时间域来表征随机信号的基本特征。按上式计算功率谱估值，其运算量往往很大，通常采用快速傅里叶变换算法，以减少运算次数。
尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：
f(t) 的谱密度和 f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）。通常使用傅里叶变换技术估计谱密度，但是也可以使用如Welch法（Welch's method）和最大熵这样的技术。傅里叶分析的结果之一就是Parseval定理（Parseval's theorem），这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积。 另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自相关函数。
定义：对于具有连续频谱和有限平均功率的信号或噪声，表示其频谱分量的单位带宽功率的频率函数。 应用学科：通信科技（一级学科）；通信原理与基本技术（二级学科）
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
功率谱 密度
功率谱密度：原理、应用与解析摘要：功率谱密度是信号处理领域中的重要概念，用于描述信号的频率分布和能量特征。
本文旨在深入探讨功率谱密度的原理、应用与解析，帮助读者更好地理解这一核心概念，并探讨其在各个领域中的实际应用。
一、引言功率谱密度（Power Spectral Density，简称PSD）是信号处理中的一个关键概念，用于描述信号在频率域的能量分布。
对于周期性信号、随机信号以及介于两者之间的信号，功率谱密度都能提供有力的分析工具。
本文将详细探讨功率谱密度的原理、计算方法以及在不同领域中的应用实例，以期帮助读者更全面地掌握这一概念。
二、功率谱密度的定义与原理功率谱密度定义为单位频率内信号的功率，通常表示为频率的函数。
对于离散时间信号，功率谱密度可以通过计算自相关函数的傅里叶变换得到；对于连续时间信号，则需要计算其自协方差函数的傅里叶变换。
功率谱密度反映了信号在不同频率上的能量分布，有助于我们深入了解信号的特性。
三、功率谱密度的计算方法1. 周期图法：该方法通过直接计算信号傅里叶变换的模平方来估计功率谱密度。
虽然简单，但在低频和高频部分的估计效果较差。
2. 自相关法：该方法先计算信号的自相关函数，然后对其进行傅里叶变换以得到功率谱密度估计。
相较于周期图法，自相关法在低频和高频部分的估计性能有所改善。
3. 现代谱估计法：如参数模型法、最大熵法等，这些方法通过引入更复杂的数学模型和优化算法，提高了功率谱密度的估计精度和分辨率。
四、功率谱密度的应用实例1. 通信系统：在通信系统中，功率谱密度用于分析信道噪声、干扰以及信号失真等。
通过对接收信号的功率谱密度进行估计和分析，可以有效地评估通信系统的性能并进行优化。
2. 音频处理：音频处理领域中，功率谱密度用于分析和处理各种声音信号，如语音、音乐和环境声等。
通过对音频信号的功率谱密度进行估计和分析，可以提取出音频信号中的重要特征，如基频、谐波结构等，进而实现音频压缩、降噪、音质增强等功能。
信号的频谱、幅度谱、相位谱及能量谱密度、功率谱密度
信号的频谱、幅度谱、相位谱及能量谱密度、功率谱密度这篇⽂章的标题起得如此长，实在是为了区分“谱”与“谱密度”。
谱的英⽂原词为spectrum，私以为是函数图象，却⼜不够准确。
信号就是时间的函数，那怎么不把信号称为谱？可知谱是函数图像中的某⼀类⽽已。
每每提及谱，都和频率脱不了⼲系，⽽此⽂的来由，也正是我对Parseval恒等式突发的好奇⼼。
Parseval恒等式是傅⾥叶变换的⼀个重要性质。
说到此，学识渊博的读者，您⾃然很熟悉，傅⾥叶变换将信号从时域或者空域变换到频域上，产⽣频谱。
这谱，⾃然和频率，有着天然的不可分割性。
罢了，再往下说就变成考证了。
即使本⽂意为⼀篇科普，也须得有理科⽂章的简洁。
且说上⽂提到的Parseval恒等式，⽼师有提到该等式的intuitive sense是：傅⾥叶变换的原信号和频谱之间是能量守恒的。
这当然是不错的解释，但却不够shocking，⼀个shocking的解释是，傅⾥叶变换之后的频谱保留了原信号的所有信息。
我当时就震惊了。
当然，只要想到傅⾥叶变换是可逆的（即⼀⼀对应），也就不那么震惊了。
傅⾥叶变换的另⼀个令⼈震惊的事实是：Gaussian分布的密度函数 $e^{-x^2/2}$是唯⼀的⼀个傅⾥叶变换不变函数。
Gaussian密度函数的⼀阶导数与哺乳动物视觉感知系统主视⽪层简单细胞的感受野（cortical receptive field）具有相似的结构。
泛函分析中，Gaussian密度函数的极限（$\sigma\to\infty$）是delta-dirac函数 $\delta(x)$，即脉冲函数。
更简单地，在⼤学⼀年级的数学分析课程中，Gaussian密度函数的积分是 $\sqrt{\pi}$。
总⽽⾔之，Gassian分布具有许多异常完美的性质，被它震惊也不是⼀回两回了。
⾔归正传，信号经过傅⾥叶变换之后产⽣频谱，频谱是⼀个以频率为⾃变量的函数。
频谱在每⼀个频率点的取值是⼀个复数。
能量谱特征
能量谱特征
能量谱特征是指信号在频域上的能量分布特征。
在信号处理领域中，能量谱特征是一种重要的信号特征，具有广泛的应用价值。
能量谱特征通常通过对信号进行傅里叶变换来获得。
傅里叶变换将时域上的信号转换为频域上的信号，从而可以分析信号在不同频率上的能量分布情况。
常用的能量谱特征包括功率谱密度、能量谱密度、频率特征等。
功率谱密度是指信号在不同频率上的能量分布情况，通常用于分析信号的频谱特征。
能量谱密度是指信号在不同频率上的能量分布情况，通常用于分析信号的能量分布情况。
频率特征是指信号的频率成分，包括频率分量、频率分布等，通常用于识别信号的频率特征。
能量谱特征在许多领域中都有广泛的应用，如通信、音频处理、图像处理等。
在通信中，能量谱特征可以用于信道估计、频谱分析和频谱拓展等。
在音频处理中，能量谱特征可以用于音乐鉴别、人声识别和音频去噪等。
在图像处理中，能量谱特征可以用于图像增强、图像分割和图像识别等。
总之，能量谱特征是一种重要的信号特征，具有广泛的应用价值。
在不同领域中，能量谱特征的应用也是十分广泛的，可以方便地应用于信号处理、通信、音频处理、图像处理等各种领域。
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频谱密度和频谱的关系
频谱密度和频谱的关系
频谱密度和频谱是信号处理中常用的两个概念，它们之间有着密切的关系。
频谱密度是指信号在频域内每个频率分量上能量的分布情况，通常表示为功率谱密度或者能量谱密度。
功率谱密度是指单位频率范围内信号功率的分布，能量谱密度是指单位频率范围内信号能量的分布。
频谱密度可以反映信号在不同频率上的特性，例如，声音信号的频谱密度可以用来描述音调、音色等特征。
频谱是指信号在频域内的表示，通常是将信号变换到频域内，得到信号的频谱表示。
频谱可以反映信号在不同频率上的分量大小，可以用来分析信号的频域特性，例如，图像信号的频谱可以用来描述图像的纹理、边缘等特征。
频谱密度和频谱之间有着密切的关系，功率谱密度是频谱密度的一种表示形式，能量谱密度也可以用来表示信号的频谱密度。
同时，频谱也可以通过频谱密度计算得到。
因此，频谱密度和频谱是互相对应的概念，在信号处理中常常同时使用。
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能量谱密度和功率谱密度
能量谱密度和功率谱密度
能量谱密度和功率谱密度是信号处理中常用的两个概念。
能量谱密度指的是信号的能量在频域上的分布情况，通常用单位时间内信号的能量分布来表示，单位为功率/Hz。
功率谱密度则指的是信号的功
率在频域上的分布情况，通常用单位时间内信号的功率分布来表示，单位为功率/Hz。
在实际应用中，能量谱密度和功率谱密度可以用来分析信号的频率特性，比如了解信号中哪些频率成分占主导地位，或者对于不同频率区间的信号进行滤波、降噪等处理。
同时，对于一些需要对信号进行变换的应用，如频率合成、调制解调等，能量谱密度和功率谱密度也能够提供重要的参考依据。
需要注意的是，能量谱密度和功率谱密度之间存在一定的差异，主要在于能量谱密度是对整个信号进行积分求得，因此它不受信号的持续时间影响，而功率谱密度则需要对信号的每个时间点进行平方求和，因此它与信号的持续时间有关。
在具体应用中，需要根据实际情况选择能量谱密度或功率谱密度，才能更准确地描述信号的频率特性。
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信号谱密度及自相关函数
信号谱密度及⾃相关函数信号、谱密度及⾃相关函数1.能量有限信号定义：能量有限信号，⼜称能量信号，是指在所有时间上总能量不为零且有限的信号。
能量信号是⼀个脉冲式信号，它通常只存在于有限的时间间隔内。
在实际应⽤中发送的信号总是能量有限的。
⼀般地，⾮周期的确定性信号为能量有限信号。
信号能量的计算：是x(t)的傅⾥叶变换，它是幅度谱密度。
2.功率有限信号定义：如果信号的功率是有限的，则称为功率有限信号，简称功率信号。
功率信号的能量为⽆限⼤。
它对通信系统的性能有很⼤影响，决定了⽆线系统中发射机的电压和电磁场强度。
信号功率的计算：与能量信号定义的⽐较，这个很好理解的。
3.能量信号与功率信号的区分若信号能量有限，即, 且，则称此信号为能量信号；若信号功率有限，即且E趋近于，则称此信号为功率信号。
能量有限信号和功率有限信号是不相容的，即不存在既是能量信号⼜是功率信号的情况。
4.能量谱密度ESD能量信号的⾃相关函数的定义：最后推导出：为的傅⾥叶变换，的能量谱密度：结论：能量信号的⾃相关函数与能量谱密度成傅⾥叶变换对。
⼀个能量信号通过⼀个传递函数为H(f)的LTI系统，那么，其输出的能量谱密度为：如果为实信号，那么，为正的实偶函数。
5.功率谱密度功率信号的⾃相关函数的定义：可推导出：令，它是功率谱密度。
结论：功率信号的⾃相关函数与功率谱密度成傅⾥叶变换对。
⼀个功率信号通过⼀个传递函数为H(f)的LTI系统，那么，其输出的功率谱密度为：如果为实信号，那么，为正的实偶函数。
6.能量谱密度与功率谱密度的计算功率信号：对于⼀个确定的信号，如何求出其谱密度？a．能量谱密度的求法：⽅法1：根据公式得到其能量谱密度，为的傅⾥叶变换.⽅法2：根据公式，得到⾃相关函数，然后，对其进⾏傅⾥叶反变换，得到能量谱密度. b．功率谱密度的求法：⽅法1：根据公式得到其功率谱密度.⽅法2：根据公式，得到⾃相关函数，然后，对其进⾏傅⾥叶反变换，得到功率谱密度.。
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由以上两式可见，互相关函数反映了一个信号与另一 个延迟τ秒后的信号间相关的程度。需要注意的是，互相 关函数和两个信号的前后次序有关，即有
n 0, 1, 2. 3,L ,
F0 c0 a0
Fn
cn 2
e jn
(称为复振幅)；
Fn
cn 2
e jn
Fn*
（是 Fn
的共轭）。
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（a）非周期信号
（b）构造的周期信号
图2-1 非周期信号
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设能量信号为时间的实函数，通常把能量信号的归 一化能量（简称能量）定义为由电压加于单位电阻上所 消耗的能量，即为
E f 2 (t)dt
（2.1-3）
2.2确知信号的分析
确知信号的性质可以从频域和时域两方面进行分析。 频域分析常采用傅里叶分析法，时域分析主要包括卷积和 相关函数。本节我们将概括性地介绍傅里叶分析法，重点 介绍相关函数、功率谱密度和能量谱密度等概念。
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对于离散随机变量，其概率密度函数为
n
0
f (x) i1 Pi (x xi )
x xi x xi
（2.3-8）
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均匀分布的概率密度函数的曲线如图2-2所示。
图2-2 均匀分布的概率密度函数
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R21( ) R12 ( )
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Pf
lim
T
F
T
2
（2.2-31）
则整个频率范围内信号的总功率与功率谱之间的关系 可表示为
P 1
2
Pf
d
（2.2-32）
可以证明：功率信号 f (t)的自相关函数和功率谱密度是
一对傅里叶变换，即 Rf ( ) Pf
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2.3 随机变量的统计特征
前面我们对确知信号进行了分析。但实际通信系统中 由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而 携带信息的信号也都是随机的，如语言信号等，另外通信 系统中还必然存在噪声，它也是随机的，这种具有随机性 的信号称为随机信号。尽管随机信号和随机噪声具有不可 预测性和随机性，我们不可能用一个或几个时间函数准确 地描述它们，但它们都遵循一定的统计规律性。在给定时 刻上，随机信号的取值就是一个随机变量。
第二章：信号与噪声
2.1 信号的分类 2.2 确知信号的分析 2.3 随机变量的统计特征 2.4 随机过程的一般表述 2.5 平稳随机过程 2.6 高斯随机过程 2.7 随机过程通过系统的分析 2.8 窄带高斯噪声 2.9 周期平稳随机过程
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2.1信号的分类
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2.1.1确知信号与随机信号
确知信号是指能够以确定的时间函数表示的信号，它 在定义域内任意时刻都有确定的函数值。例如电路中的正 弦信号和各种形状的周期信号等。
在事件发生之前无法预知信号的取值，即写不出明确 的数学表达式，通常只知道它取某一数值的概率，这种具 有随机性的信号称为随机信号。例如，半导体载流子随机 运动所产生的噪声和从目标反射回来的雷达信号（其出现 的时间与强度是随机的）等都是随机信号。所有的实际信 号在一定程度上都是随机信号。
随机变量的统计规律用概率分布函数或概率密度函数 来描述。
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F ( x)
F ( x)
x
P(X x)
F(x) P(X x)
（2.3-1）
F(x) P(X x) P(xi ) xi x P(xi )(i 1, 2,3,L )
i 1, 2,3,L （2.3-2）
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2、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式 cos x e jx e jx 可得的指数表达式 jn0t
式中
n
（2.2-6）
1
Fn T
T / 2 f (t)e jn0t dt
T / 2
图2-3 高斯分布的概率密度函数 高斯分布是一种重要而又常见的分布，并具有一些有 用的特性。在后面我们将专门进行讨论。
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信号的傅里叶变换具有一些重要的特性，灵活运用这 些特性可较快地求出许多复杂信号的频谱密度函数，或从 谱密度函数中求出原信号，因此掌握这些特性是非常有益 的。其中较为重要且经常用到的一些性质和傅里叶变换对 见附录二。
下面讨论周期信号的傅里叶变换。
xi
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可见，概率密度函数是分布函数的导数。从图 形上看，概率密度就是分布函数曲线的斜率。
概率密度函数有如下性质：
（1） f (x) 0
（2.3-5）
（2）
f (x)dx 1
（3）
b
f (x)dx P(a X b)
a
（2.3-6） （2.3-7）
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2.1.2周期信号与非周期信号
周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。 周期信号满足下列条件
f (t) f (t nT),n 0, 1, 2. 3,L , t
（2.1-1）
式中，为的周期，是满足式（2.1-1）条件的最小时 段。非周期信号是不具有重复性的信号。
本节我们介绍基于概率论的随机变量及其统计特征， 它是随机过程和随机信号分析的基础。
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2.3.1 随机变量
在概率论中，将每次实验的结果用一个变量来表示， 如果变量的取值是随机的，则称变量为随机变量。例如， 在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
当随机变量的取值个数是有限个时，则称它为离散随 机变量。否则就称为连续随机变量。