第六章 立体表面的相贯线
第06章 形体的表面交线

1 空间分析、投影分析 2 找出所有特殊点 3 求点连线、判别可见性 4 补全所有棱线
6׳
5״ 7״
5
3 1
7 2 6 4
第六章 形体的表面交线
1'(2') 2" 1"
例题: 求立体 截切后的 三面投影。
11'
3'(4') 10' (5')
4"
5"
3"
10"
9' 5 2(4)
(6')
8' (7') 6 7
第六章 形体的表面交线
平面体相贯线是指平面体与空间形体(平面体 或曲面体)相交时的表面交线,其特点是组成相 贯线的各截交线段都是平面曲线(包括直线)。 本节先讨论平面体相贯线。
第六章 形体的表面交线
1. 平面立体与平面立体相交 两平面立体的相贯线一般是空间闭合折线,相贯 线上每一线段都是两表面的交线,而折点则是某个立 体的棱线(或底边线)对另一立体的贯穿点。 求作两平面立体(全贯或互贯)的相贯线,通常采 用下面两种方法: (1) 求出一立体各有关平面与另一立体的截交线, 然后再分析、组合,得出相贯线。 (2) 求出两立体上各有关棱线的贯穿点,然后按一 定顺序连成相贯线 。 以上两法,为了避免作图的盲目性,在解题前都必 须先分析哪些平面、哪些棱线参与相贯。下面,举例 说明它们的作图过程。
6" 11" 7" 8"
9"
11
1(3) 8 9
10
第六章 形体的表面交线
例:求五棱柱截切后的侧面投影。
6’(7’) 6’(7’) 2’(3’) 1’ 4’(5’) 1’ 7” 6” 4” 2” 1”
画法几何 立体的相贯线

相贯线是立体相交 的公共线投影在平 面上形成交点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线与截面法的联系
相贯线是立体几何中的重要概念表示两个立体相交时产生的公共线。 截面法是研究立体几何的重要方法通过截面可以直观地看到立体的形状和结构。 相贯线与截面法密切相关截面法可以帮助我们更好地理解和分析相贯线。 相贯线与截面法的结合可以更好地解决立体几何中的问题如立体的体积、表面积等。
立体相贯线的应用实例
第四章
圆柱与圆柱的相贯线
相贯线:两个圆柱体相交时其公共 部分的边界线
相贯线的性质:相贯线是圆柱体的 公共边界线也是圆柱体的截面线
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应用实例:两个圆柱体相贯时相贯 线是它们的公共边界线
相贯线的计算:通过计算两个圆柱 体的半径和角度可以计算出相贯线 的长度和位置
投影法需要掌握立体投影的基 本原理和技巧
截面法
截面法原理:通过截面将立体 相贯线转化为平面问题
截面选择:选择合适的截面如 垂直于相贯线的平面
截面求解:在截面上求解相贯 线的投影得到相贯线的方程
相贯线求解:根据截面求解的 结果求解立体相贯线的方程
辅助面法
辅助面法的定义: 通过添加辅助平 面使立体相贯线 在辅助平面上投 影从而求解立体 相贯线
平面相贯线:两个 平面相交形成的相 贯线
曲面相贯线:两个 曲面相交形成的相 贯线
空间相贯线:两个 空间相交形成的相 贯线
组合相贯线:多个 立体相交形成的相 贯线
第六章立体表面的交线

当截交线的投影为非圆曲线时,其作图步骤为: * 先找特殊点,补充中间点。 * 光滑连接各点,并判断截交线的可见性。
6.3.1 圆柱的截交线
平面与圆柱面相交时,根据平面与 圆柱轴线的相对位置不同,其截交线 有三种情况:圆、椭圆和矩形。
圆柱的截交线
[例1]圆柱体被P、Q 两平面截切,试完成其三视图。
平面立体:表面由平面围成的几何体。
曲面立体:表面由曲面或者曲面与平面围成 的几何体。
平面 立体
曲面 立体
平面与立体、立体与立体两处相交形成不 同的表面交线,可分为两大类:
截 交:平面与立体相交,截去立体的一部分。 截交线——截平面与立体表面的交线。
平面与立体、立体与立体相交形成不同的 表面交线,可分为两大类:
[例3]圆锥被正垂面P和侧平面Q截切,已知 其主视图,求作俯视图和左视图。
6.3.3 圆球的截交线
圆球的截交线总是圆。 由于截平面相对于投影面的位置不同,截 交线的投影可能是圆、椭圆或直线。
[例1]P平面与球面相交,求其截交线的投影。
解题步骤
1.分析: 圆球被正垂 面截切,截交线为圆 ,其水平和侧面两投 影均为椭圆;Βιβλιοθήκη v 4a´4a
[例2]求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影 。
S Pv
1
S"
解题步骤
1)分析: 截平面
1"
为正垂面和水
平面,正面投
2
(3) (c´) 3"
b´ c" c
影积聚;
4" 2" 2)求出点1、2、
a"
b" 3、4;
3)顺次地连接
3
各点,作出截
两立体表面的交线相贯线

第六讲两立体表面的交线——相贯线教学目标:掌握相贯线的画法教学重点:特殊位置平面与回转体的交线一、相贯线的概念两立体相交,在其表面产生的交线,称为相贯线。
二、相贯线的性质1.表面性相贯线位于两立体表面。
2.封闭性相贯线通常是封闭的空间曲线,特殊情况下为平面曲线或直线。
3.共有性相贯线是两立体表面的共有线。
求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。
三、平面立体与回转体相交相贯线是由若干段平面曲线或直线组成的空间折线,每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。
求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。
求相贯线的步骤:分析各棱面与回转体表面的相对位置,从而确定交线的形状。
求出各棱面与回转体表面的截交线。
连接各段交线,并判断可见性。
举例:四、两圆柱相交本节是此讲的重点,让学生学会从空间到投影分析,掌握相贯线的作图方法。
两圆柱相交,相贯线通常为封闭的空间曲线,它是两圆柱表面的共有线。
常用的作图方法为表面取点法。
(其中一形体表面必须有积聚性的特点)举例:作图步骤:1.空间及投影分析:交线为封闭的空间曲线,利用圆柱表面的积聚性,先找到已知的投影。
2.作图方法:表面取点法。
3.作图步骤:通过投影规律找到特殊点,以确定交线范围;再补充一些中间点以确定交线的弯曲趋势;最后光滑连接。
讨论:1.相贯线产生:两外圆柱面相交、内外圆柱面相交、两内圆柱面相交。
1.两圆柱直径变化对相贯线的影响。
3.两圆柱正交的简化画法介绍:四个要点①轮廓线的交点②大圆柱半径③小圆柱轴线④弯向大圆柱轴线举一些实例分析相贯线的产生和画法。
目的使学生掌握相贯线的画法。
五、圆柱与圆锥相交介绍辅助平面法,让学生理解三面共点的原理,会应用其作交线。
空间及投影分析:相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。
它的侧面投影有积聚性,正面投影、水平投影没有积聚性,应分别求出。
作图方法:辅助平面法,利用三面共点的原理,用一辅助平面截切相贯体,分别与两个立体产生两组交线,两组交线的交点即为三面共点,就是所求的相贯线。
《立体表面的相贯线》PPT课件

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★ 外形交线
◆ 两外外表相贯 ◆ 一内外表和一外外表相贯
★ 内形交线
◆ 两内外表相贯
注意
无论是两外外表相贯,还是一内 外表和一外外表相贯,或者两内外 表相贯,求相贯线的方法和思路是 一样的。
➢近似画法
o
●
●
●
●
例2:求主视图
相切处无线
● ● ●
● ●
×
常用的方法是利用积聚性外 表取点法。
★相贯线的形状及投影:
相贯线为光滑封闭的空间曲线。当两圆柱正交,小圆柱 穿大圆柱时,相贯线在非积聚性投影上总是向大圆柱里弯曲, 当两圆柱直径相等时,相贯线在空间为两个椭圆,其投影变 为直线。
在两体相交区域内一般不应有圆柱体轮廓线的投影。
作业:B10、B11
二、三棱柱与圆柱相贯
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◆空间及投影分析
◆求相贯线 ◆分析轮廓线
的投影
5.2 回转体与回转体相贯
★ 相贯线一般为光滑封闭的空 间曲线,它是两回转体外表 的共有线。
★ 作图方法
• 外表取点法
• 辅助平面法
★ 作图过程
• 先找特殊点。 • 补充中间点。
确定交线 的范围
确定交线的 弯曲趋势
★ 求交线的实质是求各棱面 与回转面的截交线。
★ 求相贯线的步骤:
• 分析各棱面与回转体外表的相对 位置,从而确定交线的形状。
• 求出各棱面与回转体外表的截交线。 • 连接各段交线,并判断可见性。
一、四棱柱与圆柱相贯
两立体表面的交线称为相贯线

§5-2 相贯线一、概述两立体表面的交线称为相贯线,....见图5-14a和b所示的三通管和盖。
三通管是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台组合而成。
盖是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台、圆筒组合而成。
它们的表面(外表面或内表面)相交,均出现了箭头所指的相贯线,在画该类零件的投影图时,必然涉及绘制相贯线的投影问题。
讨论两立体相交的问题,主要是讨论如何求相贯线。
工程图上画出两立体相贯线的意义,在于用它来完善、清晰地表达出零件各部分的形状和相对位置,为准确地制造该零件提供条件。
(一)相贯线的性质由于组成相贯体的各立体的形状、大小和相对位置的不同,相贯线也表现为不同的形状,但任何两立体表面相交的相贯线都具有下列基本性质:1.共有性相贯线是两相交立体表面的共有线,也是两立体表面的分界线,相贯线上的点一定是两相交立体表面的共有点。
2.封闭性由于形体具有一定的空间范围,所以相贯线一般都是封闭的。
在特殊情况下还可能是不封闭的,如图5-15c所示。
3.相贯线的形状平面立体与平面立体相交,其相贯线为封闭的空间折线或平面折线。
平面立体与曲面立体相交,其相贯线为由若干平面曲线或平面曲线和直线结合而成的封闭的空间的几何形。
应该指出:由于平面立体与平面立体相交或平面立体与曲面立体相交,都可以理解为平面与平面立体或平面与曲面立体相交的截交情况,因此,相贯的主要形式是曲面立体与曲面立体相交。
最常见的曲面立体是回转体。
两回转体相交,其相贯线一般情况下是封闭的空间曲线(如图5-15a),特殊情况下是平面曲线(如图5-15 b)或由直线和平面曲线组成(如图5-15c ).(二)求相贯线的方法、步骤求画两回转体的相贯线,就是要求出相贯线上一系列的共有点。
求共有点的方法有:面上取点法、辅助平面法和辅助同心球面法。
具体作图步骤为:(1)找出一系列的特殊点(特殊点包括:极限位置点、转向点、可见性分界点);(2)求出一般点;(3)判别可见性;(4)顺次连接各点的同面投影;(5)整理轮廓线。
立体表面的相贯线

两圆柱轴线相交且公 切于一个球(直径相 同)相贯线为两椭圆
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例题:求相贯线的正面投影。
两圆柱面直径相同相贯 线正面投影为相交直线 内外圆柱面的相贯 线用近似画法表示
两圆柱孔直 径相同相贯 线正面投影 为相交直线
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分析与作图: 整理轮廓线,完成主、 俯视图
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三 平面体与回转体相贯线的画法
求平面体与回转体的相贯线,其实质就是 求平面体各棱面与曲面体的截交线。 一、求解相贯线的步骤
1.分析相贯线形状 2.确定相贯线投影特性 3.作各棱线与曲面的交点 4.按截交线的作图方法依次求出各棱面与曲面 的截交线
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二、平面立体与回转体相贯实例 例题:已知立体的俯、左视图,补全主视图。
分析与作图: 整理轮廓线,完成投影
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例题:已知立体的俯、左视图,补全主视图。
分析与作图: 作半圆孔与小圆柱相贯线 作同轴圆柱体和孔槽轮廓线 作孔槽前后正平面与小圆柱 作孔槽前后正平面与大圆柱 作孔槽水平面与大圆柱体的 主视图 体的交线 交线
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例题:求多体相贯的相贯线投影。
完成相贯线投影
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本章结束
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立体表面的相贯线
工程制图第6章 立体表面的交线

第一节 平面与立体表面的截交线 第二节 两立体表面的相贯线
内容提要:当两个以上基本体组合到一起时,表面
上常会出现交线。画图时,为了准确表达形体的真实 形状,必须画出立体表面交线的投影。
6.1 平面与立体表面的截交线
截交线:平面切割立体时,平面与立体表面的交线称为截交线 掌握常见平面立体和回转体的截交线求法。 重点:求作截交线(为本课程的难点)
体被上截。切,求出截交线后
再取局部。
[ 10]
1'
例
2'
1” 2''
求
四 棱 6' 锥
3'(4') 5'
(4'') 6'' 3''
5''
被
截
切 后 的
6 (4)
1
俯
视
图
和
3
左
2
视 图
5 类似性检查 封闭性检查
1' 2'
6'
5' 3'(4')
1'' 2 ''
(4'')6 '' 3 ''
5''
6 (4)
3、平面切割体三视图画法及步骤
空间分析——什么样的基本体被何位置面切割, 出现了什么形状的截交线(平面多边形)。
投影分析——截交线投影特性:积聚性、类似 性、实形性(截交线为特殊面)
画切割体三视图——先补全基本体三视图,再 画截平面的积聚性投影(已知条件);找出截 交线(非积聚性投影)上各顶点的投影(或交 线的投影),最后判别可见性,依次连线。
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例3:补全主视图。
分析作图步骤:略
二、相贯线的特殊情况:
下图(a)为球心在圆柱轴线上,相贯线的形状为一平面圆;
下图(b)为圆柱与圆锥同轴时,相贯线的形状为一平面圆;
下图(c)为球心在圆锥轴线上,相贯线的形状为一平面圆;
下图(d)为两圆柱轴线平行时,相贯线为两段直线和一段圆弧线组成的空间形线,相贯线不封闭。
(a)(b) (c) (d)
【课堂小结】
无轮是两外表面相贯,还是一内表面和一外表面相贯,或者两内表面相贯,求相贯线的方法和思路是一样的。
两圆柱体相贯
1)相贯线的产生:
外表面与外表面相交,外表面与内表面相交,内表面与内表面相交。
2)求相贯线的方法:
常用的方法是利用积聚性表面取点。
3)相贯线的形状及投影:
(2)投影分析:是否有积聚性投影?找出相贯线的已知投影,预见未知投影,从而选择解题方法。
2、作图
当相贯线的投影为非圆曲线时,其作图步骤为:
(1)找点
☆先找特殊点
特殊点包括:最上点、最下点、最左点、最右点、最前点、最后点、轮廓线上的点等。
☆补充若干中间点
(2)连线
(3)检查、加深
尤其注意检查回转体轮廓素线的投影
求轴线相互垂直的两圆柱体相交的相贯线的作图步骤:
1、求相贯线上特殊位置点的投影。
2、用积聚性法求相贯线一般位置点的投影。
3、连接各点的投影,圆柱与圆柱的相贯线。
例1:求两圆柱轴线垂直相交的相贯线(见下图)。
分析:从下图可知,两圆柱轴线垂直相交时的相贯,相贯线为封闭的曲线,因圆柱表面的投影有积聚性,故对于相贯线上一般位置点的投影可用积聚性法直接求出。
1、积聚性法2、辅助平面法3、辅助球面法
三、求相贯线的作图步骤:
1、空间分析判断相贯线的形状
2、作图
1)求特殊点
2)求适当数量的一般点
3)判别可见性并光滑连接各点
4)整理轮廓线
§6.2.2 利用积聚性求相贯线
当两回转体相交时,其相贯线是封闭的空间曲线,特殊情况下为平面曲线。
一、积聚性法
当两圆柱轴线相互垂直时,利用圆柱表面投影的积聚性特点求相贯线上一般位置点的投影的作图方法,称为积聚性法。
具体作图步骤:见下图
相贯线的近似画法:
当两圆柱体正交且直径不相等时,按例1的画法作相贯线,就显得太麻烦,且手工连线也很难保持光滑。为简化作图,如左图所示,相贯线的投影可采用近似画法:相贯线的V面投影以大圆柱半径为半径画圆弧来代替相贯线,并向大圆柱轴线弯曲。
求相贯线要点:
半径:大圆的半径。
圆心:小圆的轴线上。
由于两立体形状不一样,相对位置不同,因而相贯线的形状也各不相同,但都有以下两个基本性质。
相贯线的基本性质:
1、由于立体的表面是封闭的,因此,相贯线一般也是封闭空间曲线和直线。但当两立体的表面处在同一平面上时,两立体在此平面上没有共有线,相贯线是不封闭的。
2、相贯线是两立体表面的共有线,也是两立体表面的分界线,故相贯线上所有的点都是两立体表面的共有点。
作图步骤:
1、如下图所示,按等直径圆柱相贯作出圆柱A与圆柱B的相贯线。
2、如下图所示,按圆柱与圆柱相贯的作图方法,作出圆柱B与圆柱C的相贯线。
3、如下图所示,连接圆柱表面之间的交线,得组合相贯线,整理轮廓线,得组合体相贯的投影图。
【课堂小结】
一、解题过程:
1、交线分析
(1)空间分析:分析相交两立体的表面形状,形体大小及相对位置,预见交线的形状。
二、多体相贯
每个局部都是两体相贯,首先分析它是由哪些基本体组成的,然后两两进行相贯线的分析与作图。
【布置作业】
1、习题集P
2、预习下一章节。
相贯线为光滑封闭的空间曲线。当两圆柱正交,小圆柱穿大圆柱时,相贯线在非积聚性投影上总是向大圆柱里弯曲,当两圆柱直径相等时,相贯线在空间为两个椭圆,其投影变为直线。
在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。
【布置作业】
1、习题集P
2、预习下一章节
【组织教学】
清查人数,填写教学日志
【复习导入】
1、对照挂图、模型复习积聚法求相贯线的作图原理和作图要领。
2、相贯线的有哪几种特殊情况?
【讲授新课】
§6.2.5综合相贯
三个或三个以上立体相交时产生的相贯线称为组合相贯线。其实质仍属于两立体之间的相贯线的组合,各段相贯线的交点称为结合点,因此,求组合相贯线,就是要找出结合点,再分别求出两两之间的相贯线。
例1:求出两圆柱体与球的组合相贯线(见下图)。
分析:由下图可知,左边圆柱体与球相贯,上端圆柱体与球相贯,圆柱与圆柱是垂直相贯,两圆柱与球的组合相贯线实际就是上述相贯线的组合。
具体作图步骤:见下图
例2:求圆柱与圆柱的组合相贯线(见下图)
分析:如下图所示,三段圆柱A、B、C相交,其中A、C同轴,端面叠加,W面投影积聚为两个同心圆,圆柱B的H面投影积聚为圆;圆柱A、B和圆柱B、圆柱B和圆柱C分别相贯,三表面产生相贯线;圆柱C的左端面与圆柱B有交线,因而求出A、B、C三圆和表面的交线,就要逐个求出A与B、B与C、C与A表面的交线,最后再把各段交线综合起来,得组合相贯体的相贯线。
相贯体的类型及其相贯线的形状分析:
1、两平面立体相贯:其相贯线一般为空间折线。
2、平面立体与曲面立体相贯:其相贯线一般由若干段平面曲线衔接而成的空间曲线
3、两曲面立体相贯:其相贯线一般空间曲线
立体表面相交有三种形式,一种是立体的外表面相交;一种是外表面与内表面相交;一种是内表面与内表面相交.
二、求相贯线的常用方法:
分析:解这道题的关键是要想清两圆筒相交的内外形状形成方法。先只考虑外形,它和例1是完全相同的,内孔的形状我们可以这么看,如下图,从实心相贯体内抽出一个小的相贯体,从而得到圆筒与圆筒相贯的投影图。
具体作图步骤:见下图
从圆柱相贯到圆筒相贯的演变过程见下表:
从下表可以看出:圆柱打孔的相贯线和两圆柱相交的相贯线的形状是相同;圆筒打孔外形的相贯线与圆柱打孔的相贯线也是一样的,孔与孔相贯和两圆柱相交的相贯线也是完全一样的,但相贯线是不可见的,为虚线。
方向:背朝大圆轴线。
轴线垂直相交面投影,左右相连,上下对称。
当d=D时,相贯线的V面投影垂直相交,且空间位置为两相交的椭圆
当d<D时,左右两条相贯线的V面投影,上下相连,左右对称。
轴线垂直相交时相贯线的变化趋势
d>D
D=d
d<D
例2:作圆筒与圆筒相交时的相贯线(见下图)。
【组织教学】
清查人数,填写教学日志
【复习导入】
1、截交线的性质是什么?
2、截交线的作图方法及步骤是什么?
【讲授新课】
§6.2两立体表面的相贯线
一、概述
机械零件往往是由两个或两个以上的基本立体,通过不同的方式组合而形成的。两立体相交称为两立体相贯,如图6-1所示,当两立体相交时,表面产生的交线,称为相贯线