计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)

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§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
f0 f1 f2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
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这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关 (差商的对称性)。即
f [x0 , x1, , xk ] f [x1, x0 , x2 , , xk ]
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fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
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依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
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差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
a3 , a4 , 依次可得到 2018/11/7
, an 。为写出系数的一般表达式，
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现引入差商（均差）定义。
一、差商(均差)
定义2. 设f ( x)在互异的节点xi 处的函数值为 fi , i 0,1,, n 称
f ( xk ) f ( x0 ) f [ x0 , xk ] xk x0 (k 0)
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等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
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二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺点.
我们称 Nn ( x) 为牛顿(Newton)均差插值多项式。
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称 Rn ( x) 为牛顿均差插值多项式的截断误差。
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显然：
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例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值
多项式及NewtonБайду номын сангаас值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f ( x 4 )
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规定函数值为零阶均差
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例1:已知下表，计算三阶差商
xi
f ( xi )
解：列表计算
xi
1 0
3 2
4 15
7 12
f ( xi )
一阶差 二阶差商 商 1 13 4
三阶差 商
1 3 4
2 f [ x , x ] f [ x , x ] f f i 1 i 2 i i 1 fi f [ xi , xi 1 , xi 2 ] i 1 i 2 xi 2 xi 2h 2h2
f [ xi , xi 1 , xi 2 , xi 3 ]
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当
Pn ( x0 ) a0 f 0 Pn ( x1 ) a0 a1 ( x1 x0 ) f1 Pn ( x2 ) a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )( x2 x1 ) f 2
a0 f 0 f1 f 0 a1 x1 x0 f2 f0 f1 f 0 x2 x0 x1 x0 a2 x2 x1
f [x1, x2 , , xk , x0 ]
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性质3：若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点
x0 ,
xn [a, b], 则n阶均差与导数关系如下：
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三、均差的计算方法(表格法):
xk f ( xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
便得到
11 3 45 2 1 N 3 ( x) x x x 1 L3 ( x) 4 4 2
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练习：
已知由数据(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2，2)
构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数是6， 试确定数据y。
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四、拉格朗日插值与牛顿插值的比较
为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
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二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]

j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
均差表
三阶差商 四阶差商
二阶差商
x1 f ( x1 ) x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x0 , x1 ,, x4 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ]
f 0
f 1
2 f0
3 f0
x2 f 2 x3 f 3 x4 f 4
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f 2
2 f1 f2
2
f1
3
4 f0
f 3
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二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系
f i fi 1 fi f [ xi , xi 1 ] h xi 1 xi

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The End
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本章作业
P48 1、8
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f [ xi 1 , xi 2 , xi 3 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ] xi 3 xi
3 f i 2 f i 1 2 f i 3 3!h 3 3 2h
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依此类推
m f i f [ xi , xi 1 ,, xi m ] m!h m k f 0 f [ x0 , x1 ,, xk ] k!h k
一阶差商 二阶差商 三阶差商
0 1 2
1 9 23 8 14 3
4
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3
-10
-8

11 4
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Newton插值多项式为
11 N3 ( x) 1 8( x 0) 3( x 0)( x 1) ( x 0)( x 1)( x 2) 4
（3）唯一性验证：将Newton插值多项式按x幂次排列，
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例
f ( x0 ) f ( x1 ) f0 f1 f [ x0 , x1 ] x0 x1 x1 x0 x0 x1
f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x1 x2
f0 f0 f1 f2 1 1 ( ) ( ) x1 x2 x0 x1 x1 x0 x1 x2 x0 x2 x2 x0
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0 2 15
7
12
-1
-3.5
-1.25
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2.3.2 牛顿插值公式
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f ( n1) ( ) n1 ( x) Rn ( x) f ( x) N n ( x) (n 1)!
f [ x, x0 , x1 ,, xn ]n 1 ( x)
Lagrange插值多项式为
L3 ( x) f ( xi )li ( x) l0 ( x) 9l1 ( x) 23l2 ( x) 3l3 ( x)
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11 3 45 2 1 x x x 1 4 4 2
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（2）Newton插值多项式：建立差商表为
x
0
1
2
4
f(x)
1
9
23
3
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解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为
( x 1)( x 2)( x 4) 1 3 7 2 7 l0 ( x) x x x 1 (0 1)(0 2)(0 4) 8 8 4 ( x 0)( x 2)( x 4) 1 3 8 2 l1 ( x) x 2x x (1 0)(1 2)(1 4) 3 3 ( x 0)( x 1)( x 4) 1 3 5 2 l2 ( x) x x x (2 0)(2 1)(0 4) 4 4 ( x 0)( x 1)( x 2) 1 3 1 2 1 l3 ( x) x x x (4 0)(4 1)(4 2) 24 8 12
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拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从 直线方程点斜式
f1 f 0 P ( x x0 ) 1 ( x) f 0 x1 x0 ( fi f ( xi ) yi )
出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值 多项式表示为
Pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )(x x1 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn1 )
第二章 插值法
§
2.3 均差与牛顿插值公式
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§ 2.3.1 均差及其性质
我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为
( x xi ) l j ( x) i 0 ( x j xi )
n i j
j 0,1,2 ,, n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多