全国初中数学联赛试题详解

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全国初中数学竞赛试题及解答

全国初中数学竞赛试题及解答

ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中只有一个是正确的。

请将正确答案的代号填在题后的括号里)1、设a ,b ,c 的平均数为M ,a ,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若c b a ,则M 与P 的大小关系是( )A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案:B 解析:∵3c b a M ,2b a N ,222c b a c N P ,122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ,即0 P M ,即P M 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(a b ),再前进c 千米,则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是( )答案:C解析:因为图(A )中没有反映休息所消耗的时间;图(B )虽表明折返后S 的变化,但没有表示消耗的时间;图(D )中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C )正确地表述了题意。

3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( ) A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案:A解析:由题意知3×(甲-乙)151025 ∴甲-乙=5。

4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(-1,-25),则在线段AB 上(包括端点A 、B ),横、纵坐标都是整数的点有( )A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案:B解析:在直线AB 上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ,N y 525 ,(N 是整数).在线段AB 上这样的点应满足041 N ,且0525 N ,∴541N ,即1 N ,2,3,4,55、设a ,b ,c 分别是ABC 的三边的长,且cb a ba b a,则它的内角A 、B 的关系是( )A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案:B解析:由c b a b a b a得c a bb a ,延长CB 至D ,使AB BD ,于是c a CD 在ABC 与DAC 中,C C ,且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ,D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,面积为S ,111C B A 的三边长分别为1a ,1b ,1c ,面积为1S ,且1a a ,1b b ,1c c ,则S 与1S 的大小关系一定是( )A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案:D解析:分别构造ABC 与111C B A 如下:①作ABC ∽111C B A ,显然1211a a S S ,即1S S ;②设101b a ,20c ,则1 c h ,10 S ,10111 c b a ,则10100431S ,即1S S ;③设101 b a ,20 c ,则1 c h ,10 S ,2911 b a ,101 c ,则2 c h ,101 S ,即1S S ;因此,S 与1S 的大小关系不确定。

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b,那么a + b 等于_____.答案:-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1(m、n 都不为 0),若 m + n 等于 8,则 m - n 等于_____.答案:73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=3,Sn=15,则 n 的值是_____.答案:64. 在△ABC 中,已知 a=4,b=4,c=8,若 AB+AC=9,则∠B =_____.答案:45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为(3,1)、(5,-1),则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案:B6. 若正方形的边长为 x,周长为 5x,则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案:A7. 已知tanα=2,cotβ=-3,则 tan(α-β)等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案:B8. 把一个正整数分成 K 份,第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的()A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案:B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1,若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切,求该曲线上点 P 的坐标答:设点 P 的坐标为 (x,y),因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切,所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得,即 y=12-4/3x,由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1,故 x=7,代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。

点 P的坐标即为 (7, 8)。

10. 已知△ABC 中,a=3,b=3,∠A=120°,求 B 的坐标答:由△ABC 中 A 的坐标为(0,0),a=3,b=3 可知 C 的坐标为(3,0),∠A=120°,∠C=60°,因为∠B=60,则以 C 为外接圆圆心,半径为3 的圆○上可得点B,即B(√3,1),综上所述,点B 的坐标为(√3,1)。

全国初二数学竞赛试题及答案解析

全国初二数学竞赛试题及答案解析

全国初二数学竞赛试题及答案解析一、选择题(每题3分,共30分)1. 若a、b、c是三角形的三边长,且满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是:A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不规则三角形答案:A解析:根据勾股定理的逆定理,如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

2. 已知x^2 - 5x + 6 = 0,求x的值。

A. 1B. 2C. 3D. 6答案:C解析:这是一个二次方程,可以通过因式分解法求解。

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0,解得x = 2 或 x = 3。

...30. 已知一个数列的前三项为2, 3, 5,且每一项都是前两项的和,求第10项的值。

答案:55解析:这是一个斐波那契数列,每一项都是前两项的和。

根据数列的规律,可以依次计算出第10项的值为55。

二、填空题(每题4分,共20分)31. 如果一个圆的半径是r,那么它的面积是______。

答案:πr^232. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c,它的体积是______。

答案:abc...三、解答题(每题10分,共50分)36. 已知一个等腰三角形的底边长为10厘米,两腰的长度相等,且底角为45度。

求这个等腰三角形的面积。

答案:25√2解析:首先,根据底角为45度,我们可以知道这是一个等腰直角三角形。

根据勾股定理,两腰的长度为底边的√2倍,即10√2厘米。

然后,根据三角形面积公式(底×高÷2),面积为10×(10√2)÷2=50√2平方厘米。

37. 一个数的平方减去这个数等于36,求这个数。

答案:9 或 -4解析:设这个数为x,根据题意,我们有x^2 - x - 36 = 0。

这是一个二次方程,可以通过因式分解法求解:(x - 9)(x + 4) = 0。

解得x = 9 或 x = -4。

...结束语:本次全国初二数学竞赛试题涵盖了代数、几何、数列等多个领域,旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。

全国初中数学竞赛试题和答案解析

全国初中数学竞赛试题和答案解析

中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分.)1(甲).如果实数a ,b ,c 22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为( ).(A )2c a - (B )22a b - (C )a - (D )a 1(乙).如果22a =-11123a+++的值为( ).(A )2- (B 2 (C )2 (D )222(甲).如果正比例函数y = ax (a ≠ 0)与反比例函数y =xb(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ). (A )(2,3) (B )(3,-2) (C )(-2,3) (D )(3,2)2(乙). 在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式x 2+y 2≤2x +2y 的整数点坐标(x ,y )的个数为( ). (A )10 (B )9 (C )7 (D )53(甲).如果a b ,为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ). (A )1 (B )214a - (C )12 (D )143(乙).如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线, △ABC 是等边三角形.30ADC ∠=︒,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为( ).(A )23 (B )4 (C )52 (D )4.54(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正OAB CED整数,则n 的可能值的个数是( ).(A )1 (B )2 (C )3 (D )44(乙).如果关于x 的方程 20x px q p q --=(,是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的个数是( ).(A ) 5 (B ) 6 (C ) 7 (D ) 85(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则0123p p p p ,,,中最大的是( ).(A )0p (B )1p (C )2p (D )3p5(乙).黑板上写有111123100, , ,, 共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).(A )2012 (B )101 (C )100 (D )99二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分)6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x 的取值范围是 .6(乙).如果a ,b ,c 是正数,且满足9a b c ++=,111109a b b c c a ++=+++,那么a b cb c c a a b+++++的值为 .7(甲).如图,正方形ABCD 的边长为215,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 . 7(乙).如图所示,点A 在半径为20的圆O 上,以OA 为一条对角线作矩形OBAC ,设直线BC 交圆O 于D 、E 两点,若12OC =,则线段CE 、BD 的长度差是 。

全国初中数学联赛试题及答案详细解析全集(1991——2015年)

全国初中数学联赛试题及答案详细解析全集(1991——2015年)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A )、(B )(C )、(D )四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1. 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ,y 是两两不同的实数,则22223y xy x y xy x +--+的值是 (A )3 ; (B )31; (C )2; (D )35. 答( )2. 如图,AB ‖EF ‖CD ,已知AB =20,CD =80,BC =100,那么EF 的值是(A ) 10; (B )12;(C ) 16; (D )18.答( )3. 方程012=--x x 的解是 (A )251±; (B )251±-; (C )251±或251±-; (D )251±-±. 答( )4. 已知:)19911991(2111n n x --=(n 是自然数).那么n x x )1(2+-,的值是 (A)11991-; (B)11991--;(C)1991)1(n -; (D)11991)1(--n .答( )5. 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自然数,则M(A)能被2整除,但不能被3整除;(B)能被3整除,但不能被2整除;(C)能被4整除,但不能被3整除;(D)不能被3整除,也不能被2整除.答( )6. 若a ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满足c b a =+,d c b =+,a d c =+,那么 d c b a +++的最大值是(A)1-;(B)5-;(C)0;(D)1.答( )7. 如图,正方形OPQR 内接于ΔABC .已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ,32=S 和13=S ,那么,正方形OPQR 的边长是 (A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3.答( )8. 在锐角ΔABC 中,1=AC ,c AB =, 60=∠A ,ΔABC 的外接圆半径R ≤1,则 (A)21< c < 2 ; (B)0< c ≤21; 答( )(C )c > 2; (D )c = 2.答( )二、填空题1.E是平行四边形ABCD 中BC 边的中点,AE 交对角线BD 于G ,如果ΔBEG 的面积是1,则平行四边形ABCD 的面积是 .2.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,=+ac b 32 .3.设m ,n ,p ,q 为非负数,且对一切x >0,q pn m xx x x )1(1)1(+=-+恒成立,则 =++q p n m 22)2( .4.四边形ABCD 中,∠ ABC 135=,∠BCD 120=,AB 6=,BC 35-=,CD = 6,则AD = .第二试x + y , x - y , x y , yx 四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x , y ). 11=S 3S =1 32=S 120135二、ΔABC 中,AB <AC <BC ,D 点在BC 上,E 点在BA 的延长线上,且 BD =BE =AC ,ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点(如图).求证:BF =AF +CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格(n 是自然数),把相对的顶点A ,C 染成红色,把B ,D 染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点,又AB PE ⊥于E 点,若3,2==AC BC ,则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数,且0111=+--b a b a ,则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根,当这样的三角形只有一个时,求a 的取值范围.二、如图,在ABC ∆中,D AC AB ,=是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点,且A CED BED ∠=∠=∠2.求证:CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下:A :320651B :105263C :612305D :316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求:M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x 其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是 (A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>; (C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23(D)21-.答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n,p ,那么m :n :p 等于(A)cb a 1:1:1; (B)c b a ::(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D ,E ,使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ;(3)求cb,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8:30—9:30)考生注意:本试共两道大题,满分80分.一、选择题(本题满分48分,每小题6分)本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分.〔答〕( )2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA.都不小于0B.都不大于0C.至少有一个小0于D.至少有一个大于0〔答〕( )3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若BC=2,DA=3,则AB的长A.等于4B.等于5C.等于6D.不能确定〔答〕( )A.1 B.-1 C.22001D.-22001〔答〕( )5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角A.4对B.8对C.12对D.16对〔答〕( )〔答〕( )7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。

全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)

全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)

全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=,则||||||a b b c c a -+-+-= ( ) A .1. B .2. C .3. D .4..2.若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=,49||6a b c -=,则c 可能取的最大值为 ( ) A .0. B .1. C .2. D .3.3.若b a ,是两个正数,且 ,0111=+-+-ab b a 则 ( )4.若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根,则2a b c +-的值为 ( ) A .-13. B .-9. C .6. D . 0.5.在△ABC 中,已知︒=∠60CAB ,D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,且︒=∠60AED ,CE DB ED =+,CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A .15°.B .20°.C .25°.D .30°.6.对于自然数n ,将其各位数字之和记为n a ,如2009200911a =+++=,201020103a =+++=,则12320092010a a a a a +++++= ( )A .28062.B .28065.C .28067.D .28068.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2.二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ,B 两点,与y 轴正方向交于点C .已知AC AB 3=,︒=∠30CAO ,则c = .3.在等腰直角△ABC 中,AB =BC =5,P 是△ABC 内一点,且PA 5PC =5,则PB =______.4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放_______个球.第二试 (A )一.(本题满分20分)设整数,,a b c (a b c ≥≥)为三角形的三边长,满足22213a b c ab ac bc ++---=,___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC 中,AB =AC ,∠C 的平分线与AB 边交于点P ,M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点,作MD//AC ,交⊙I 于点D.证明:PD 是⊙I 的切线.三.(本题满分25分)已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ,Q (2,10)a . (1)如果,,a b c 都是整数,且8c b a <<,求,,a b c 的值.(2)设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ,与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数,求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 (B )一.(本题满分20分)设整数,,a b c 为三角形的三边长,满足22213a b c ab ac bc ++---=,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次).二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同. 三.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第三题相同.第二试 (C )一.(本题满分20分)题目和解答与(B )卷第一题相同. 二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同.三.(本题满分25分)设p 是大于2的质数,k 为正整数.若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k 的值.全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=,则||||||a b b c c a -+-+-= ( B ) A .1. B .2. C .3. D .4. 解: 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩,分别代入即得。

全国初中数学联赛试题(含参考答案)

全国初中数学联赛试题(含参考答案)

全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分) 1、设17-=a ,则=--+12612323a a a ( A )A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中,最大角A ∠是最小角C ∠的两倍,且7=AB ,8=AC ,则=BC ( C ) A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数,则方程[]0322=--x x 的解的个数为( C ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ,在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 ( B )A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图,在矩形ABCD 中,3=AB ,2=BC ,以BC 为直径在矩形内作半圆,自点A 作半圆的切线AE ,则=∠CBE sin ( D )A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数,使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 ( B )A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1、已知t 是实数,若a ,b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根,则()()1122--b a的最小值是____________.答案:3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点,作BC DE //交AC 于点E ,作AC DF //交BC 于点F ,已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ,则四边形DECF 的面积为______.答案:mn 23、如果实数a ,b 满足条件122=+b a ,2212|21|a b a b a -=+++-,则____=+b a . 答案:1-4、已知a ,b 是正整数,且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数,则这样的有序数对(a ,b )共有_对。

全国2022年初中数学联合竞赛试题【含答案】

全国2022年初中数学联合竞赛试题【含答案】

全国2022年初中数学联合竞赛试题(含答案解析)一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知2=+b a ,4)1()1(22-=-+-ab b a ,则ab 的值为( ) A .1. B .1-. C .21-. D .21.2.已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为( )A .5.B .6.C .7.D .8.3.方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个4.今有长度分别为1,2,…,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有 ( )A .5组.B .7组.C .9组.D .11组.5.如图,菱形ABCD 中,3=AB ,1=DF ,︒=∠60DAB ,︒=∠15EFG ,BC FG ⊥,则=AE ( )A .21+.B .6.C .132-.D .31+.6.已知2111=++z y x ,3111=++x z y ,4111=++y x z ,则zy x 432++的值为 ( )A .1. B .23. C .2. D .25.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)7.在△ABC 中,已知A B ∠=∠2,322,2+==AB BC ,则=∠A .8.二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ,与x 轴正方向从左至右依次交于A ,B 两点,与y 轴正方向交于C 点,若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形(O 为坐标原点),则=+c b 2 .9.能使2562+n 是完全平方数的正整数n 的值为 .10.如图,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD 与AB 交于点E ,过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ,如果CE DE 43=,58=AC ,D 为EF的中点,则BAAB = .第二试 (A )一、(本题满分20分)已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根,方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根.求c b a ,,的值.二.(本题满分25分)如图,在四边形ABCD 中,已知60BAD ∠=︒,90ABC ∠=︒,120BCD ∠=︒,对角线BD AC ,交于点S ,且SB DS 2=,P 为AC 的中点.求证:(1)︒=∠30PBD ;(2)DC AD =.三.(本题满分25分)已知p n m ,,为正整数,n m <.设(,0)A m -,(,0)B n ,(0,)C p ,O 为坐标原点.若︒=∠90ACB ,且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++.(1)证明:3+=+p n m ;(2)求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式.第二试 (B )一.(本题满分20分)题目和解答与(A )卷第一题相同.二.(本题满分25分)如图,在四边形ABCD 中,已知60BAD ∠=︒,90ABC ∠=︒,120BCD ∠=︒,对角线BD AC ,交于点S ,且DS =2SB .求证:DC AD =.C A B三.(本题满分25分)已知p n m ,,为正整数,n m <.设(,0)A m -,(,0)B n ,(0,)C p ,O 为坐标原点.若︒=∠90ACB ,且2OA +2OB +2OC =3(OA +OB +OC ).求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式.第二试 (C )一.(本题满分20分)题目和解答与(A )卷第一题相同.二.(本题满分25分)如图,已知P 为锐角△ABC 内一点,过P 分别作AB AC BC ,,的垂线,垂足分别为F E D ,,,BM 为ABC ∠的平分线,MP 的延长线交AB 于点N .如果PF PE PD +=,求证:CN 是ACB ∠的平分线.三.(本题满分25分)题目和解答与(B )卷第三题相同.一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知2=+b a ,4)1()1(22-=-+-ab b a ,则ab 的值为( ) A .1. B .1-. C .21-. D .21.2.已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为( )A .5.B .6.C .7.D .8.3.方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个4.今有长度分别为1,2,…,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有 ( )A .5组.B .7组.C .9组.D .11组.5.如图,菱形ABCD 中,3=AB ,1=DF ,︒=∠60DAB ,︒=∠15EFG ,BC FG ⊥,则=AE ( )A .21+.B .6.C .132-.D .31+.6.已知2111=++z y x ,3111=++x z y ,4111=++y x z ,则zy x 432++的值为 ( ) A .1. B .23. C .2. D .25.【答案】C.【解析】已知等式得2=+++z y x zx xy ,3=+++z y x xy yz ,4=+++zy x yz zx ,所以29=++++z y x zx yz xy .二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)7.在△ABC 中,已知A B ∠=∠2,322,2+==AB BC ,则=∠A .8.二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ,与x 轴正方向从左至右依次交于A ,B 两点,与y 轴正方向交于C 点,若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形(O 为坐标原点),则=+c b 2 .c b c b 42422-=-,10.如图,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD 与AB 交于点E ,过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ,如果CE DE 43=,58=AC ,D 为EF 的中点,则AB = .第二试 (A )一、(本题满分20分)已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根,方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根.求c b a ,,的值.二.(本题满分25分)如图,在四边形ABCD 中,已知60BAD ∠=︒,90ABC ∠=︒,120BCD ∠=︒,对角线BD AC ,交于点S ,且SB DS 2=,P 为AC 的中点.求证:(1)︒=∠30PBD ;(2)DC AD =.三.(本题满分25分)已知p n m ,,为正整数,n m <.设(,0)A m -,(,0)B n ,(0,)C p ,O 为坐标原点.若︒=∠90ACB ,且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++.(1)证明:3+=+p n m ;(2)求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式.第二试 (B )一.(本题满分20分)题目和解答与(A )卷第一题相同.二.(本题满分25分)如图,在四边形ABCD 中,已知60BAD ∠=︒,90ABC ∠=︒,120BCD ∠=︒,对角线BD AC ,交于点S ,且DS =2SB .求证:DCAD =.三.(本题满分25分)已知p n m ,,为正整数,n m <.设(,0)A m -,(,0)B n ,(0,)C p ,O 为坐标原点.若︒=∠90ACB ,且2OA +2OB +2OC =3(OA +OB +OC ).求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式.第二试 (C )一.(本题满分20分)题目和解答与(A )卷第一题相同.二.(本题满分25分)如图,已知P 为锐角△ABC 内一点,过P 分别作AB AC BC ,,的垂线,垂足分别为F E D ,,,BM 为ABC ∠的平分线,MP 的延长线交AB 于点N .如果PF PE PD +=,求证:CN 是ACB ∠的平分线.若11MM NN =,则1111)1(NN MM MM NN PD λλ-+===.若11MM NN >,同理可证11)1(NN MM PD λλ-+=. ………15分三.(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第三题相同.。

全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试题及答案

全国初中数学竞赛试题及答案全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题1、在一张纸上,我们画了一个圆和一条直径,直径与圆相交于A、B 两点。

如果我们在这张纸上连续地画了8个点,使得这些点都在圆上,那么这8个点的最密集分布是()。

A. 像一个“十”字形,两边各4个点 B. 像一个“十”字形,两边各3个点 C. 像一个“米”字形,上面各4个点 D. 像一个“米”字形,上面各3个点答案:C 解析:根据圆的对称性,我们可以得知,直径两侧的点到圆心的距离相等,因此在一个“十”字形中,中间的交点是最密集的。

而在“米”字形中,上面的4个点距离交点的距离相等且最短,因此是最密集的。

2、在一个等边三角形ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。

现在以D为圆心,DE为半径画圆弧,交AB于G。

则△DFE的面积是阴影部分面积的()。

A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍答案:C 解析:由题意可知,DE是△ABC的中位线,因此DE=1/2AB。

而△DFE是直角三角形,斜边DE是直径,因此∠DFE=90°。

所以,△DFE的高是DE的一半,即1/4AB。

因此,△DFE的面积是1/2×1/2AB×1/4AB=1/8AB²。

而阴影部分的面积是△ABC面积的一半,即1/2×1/2AB×√3/2AB=√3/4AB²。

所以,△DFE的面积是阴影部分面积的4倍。

3、在一个等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC=1。

现在以这个三角形的顶点为圆心,1为半径画圆弧,则这三个圆弧的长度之和为()。

A. 3π/2 B. π C. 2π D. 5π/2 答案:C 解析:根据题意,我们可以得到三个圆弧的半径都是1。

其中第一个圆弧的长度为1/4×2π×1=π/2,第二个圆弧的长度也为π/2,第三个圆弧的长度为1/4×2π×√2=π√2/2。

全国初中数学竞赛试题(含答案)-20220207144625

全国初中数学竞赛试题(含答案)-20220207144625

全国初中数学竞赛试题(含答案)20220207144625一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列哪个数是质数?A. 2B. 3C. 4D. 52. 如果一个三角形的两边长分别为3和4,那么这个三角形的周长可能是多少?A. 7B. 10C. 11D. 123. 下列哪个分数可以化简为最简分数?A. 2/4B. 3/6C. 4/8D. 5/104. 一个正方形的面积是36平方厘米,那么这个正方形的边长是多少厘米?A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题(每题5分,共20分)1. 7的平方根是______。

2. 0.25的小数点向右移动两位后是______。

3. 一个等边三角形的边长是10厘米,那么这个等边三角形的周长是______厘米。

4. 下列哪个数是立方数?A. 2B. 3C. 4D. 5三、解答题(每题10分,共30分)1. 解方程:2x 5 = 11。

2. 计算下列表达式的值:3(2 + 4) 7。

3. 一个长方形的长是8厘米,宽是4厘米,求这个长方形的面积。

四、答案部分一、选择题1. A2. B3. A4. D二、填空题1. ±√72. 253. 304. C三、解答题1. x = 82. 133. 32平方厘米全国初中数学竞赛试题(含答案)20220207144625四、应用题(每题15分,共30分)1. 小明家有一块长方形的地,长是12米,宽是8米。

小明计划将这块地分成两个相同大小的正方形区域。

请问每个正方形的边长是多少米?2. 小红有一笔钱,她将其中的1/3用于购买书,剩下的钱再将其中的1/2用于购买文具。

她剩下的钱是100元。

请问小红最初有多少钱?五、证明题(每题15分,共30分)1. 证明:对于任意实数a和b,如果a < b,那么a² < b²。

2. 证明:等腰三角形的底角相等。

六、答案部分四、应用题1. 每个正方形的边长是6米。

2. 小红最初有300元。

2023全国中学生数学联赛题解析

2023全国中学生数学联赛题解析

2023全国中学生数学联赛题解析2023年全国中学生数学联赛是一场盛大的数学竞赛,旨在激发青少年对数学的兴趣,提高数学素养。

本篇文章将对2023年全国中学生数学联赛的题目进行详细解析,帮助同学们更好地理解题目的思路和解题方法。

一、选择题解析选择题是数学竞赛中常见的题型,需要考生从多个选项中选择正确答案。

在2023年全国中学生数学联赛中,选择题共有30道。

下面我们就来解析几道典型的选择题:1.(题目具体内容)解析:首先我们分析题目要求,题目要求求解某个数的平方根。

根据数学知识,若一个数的平方等于给定的数,则该数称为平方根。

因此,我们只需要找到该数的平方根即可。

解方程$x^2 = \text{待求数}$,可以得到答案。

将答案代入计算,得到正确选项。

2.(题目具体内容)解析:这道题考察的是概率知识。

题目给定的是一个实验,每次实验的结果只有两种可能,且每次实验结果之间相互独立。

根据题目信息,我们可以列出实验可能出现的结果以及对应的概率。

通过计算,我们可以得到每种情况的概率,并求出最终的概率。

根据计算结果,选择正确的选项。

通过上述两道典型选择题的解析,我们可以看出,在解答选择题时,首先要明确题目要求,运用相应的数学知识进行计算,然后根据计算结果选择正确的选项。

二、填空题解析填空题是数学竞赛中常见的题型,需要考生填写正确的数字或表达式。

在2023年全国中学生数学联赛中,填空题共有20道。

下面我们来解析几道典型的填空题:1.(题目具体内容)解析:这道题考察的是平方差公式的运用。

根据平方差公式,$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$,我们可以应用这个公式对题目给定的表达式进行变换。

将所得结果代入原方程,求解未知数。

根据计算结果,填写正确的答案。

2.(题目具体内容)解析:这道题是一道几何题,要求计算某个图形的面积。

根据题目给定的图形信息,我们可以计算图形的边长、角度等关键信息,然后运用相应的几何公式求解图形的面积。

讲解初中数学竞赛试题及答案

讲解初中数学竞赛试题及答案

讲解初中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题通常涵盖代数、几何、数论和组合等数学领域。

下面是一个模拟的初中数学竞赛试题及其答案的讲解。

题目一:代数问题题目:已知 \( a, b \) 为正整数,且满足 \( a^2 - b^2 = 1 \),求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。

答案:根据题目中的等式 \( a^2 - b^2 = 1 \),我们可以将其转换为 \( (a+b)(a-b) = 1 \)。

因为 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数,所以 \( a+b \) 和 \( a-b \) 也必须是正整数,并且它们的乘积为1。

考虑到正整数的性质,可能的组合只有 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)或 \( (2, 1) \)。

对于 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \),显然不可能,因为 \( a+b \) 和\( a-b \) 不能同时为1。

对于 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \),我们可以得到 \( a =\frac{3}{2} \) 和 \( b = \frac{1}{2} \),但这不是正整数,所以不符合题意。

因此,我们考虑 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \) 或 \( (4, 3) \)。

对于 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \),我们可以得到 \( a = 2.5 \) 和\( b = 0.5 \),这同样不是正整数。

对于 \( (a+b, a-b) = (4, 3) \),我们可以得到 \( a = 3.5 \) 和\( b = 0.5 \),这也不是正整数。

但是,如果我们考虑 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \) 的整数解,我们可以得到 \( a = 2 \) 和 \( b = 1 \),这满足题目要求。

讲解:这个问题考察了平方差公式的应用,通过将等式转换为\( (a+b)(a-b) = 1 \) 并考虑正整数的性质来找到可能的解。

初中数学全国竞赛试题及答案

初中数学全国竞赛试题及答案

初中数学全国竞赛试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列哪个数是最小的正整数?A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16,那么这个数是:A. 4B. ±4C. 16D. ±163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边的长度是:A. 5B. 6C. 7D. 84. 将一个圆分成四个相等的扇形,每个扇形的圆心角是多少度?A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5. 一个数的立方等于-8,这个数是:A. -2B. 2C. -8D. 8二、填空题(每题2分,共10分)6. 一个数的平方根等于它本身,这个数是______。

7. 如果一个数的绝对值等于5,那么这个数可以是______。

8. 一个数的倒数是1/4,那么这个数是______。

9. 一个数的平方是25,这个数可以是______。

10. 一个数的立方根是2,那么这个数是______。

三、解答题(每题10分,共30分)11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c,求长方体的体积。

12. 一个圆的半径是r,求圆的面积。

13. 已知一个等腰三角形的两个腰长为a,底边长为b,求三角形的面积。

四、证明题(每题15分,共30分)14. 证明:直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

15. 证明:如果一个角的余弦值等于1/2,那么这个角是60°。

五、应用题(每题20分,共20分)16. 某工厂生产一种零件,每个零件的成本是5元,售价是10元。

如果工厂想要获得10000元的利润,需要生产和销售多少个这种零件?初中数学全国竞赛试题答案一、选择题1. B2. B3. A4. C5. A二、填空题6. 0或17. ±58. 49. ±510. 8三、解答题11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= a × b × c。

全国初中数学联合竞赛试题 及详细 解答(含一试二试)

全国初中数学联合竞赛试题 及详细 解答(含一试二试)

全国初中数学联合竞赛试题第一试(A)一、选择题(本题满分42分,每小题7分)(本题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.)1.已知实数a,b,c 满足213390a b c ++=,3972a b c ++=,则32b c a b+=+ ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 2.已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ,有以下三个结论:(1a b c(2)以222,,a b c 为边长的三角形一定存在;(3)以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为 ( )A .0B .1C .2D .33.若正整数a,b,c 满足a b c ≤≤且=2()abc a b c ++,则称()a b c ,,为好数组.那么,好数组的个数为 ( )A. 1 B .2 C .3 D .44.设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点,若0180BAD ACB ∠+∠=,且BC=3,AD=4,AC=5 ,AB=6 ,则DO OB= ( ) A. 10/9 B .8/7 C .6/5 D .4/3第4题图 第5题图5.设A 是以BC 为直径的圆上的一点,AD ⊥BC 于点D ,点E 在线段DC 上,点F 在CB 的延长线上, 满足BAF CAE ∠=∠.已知BC=15,BF=6,BD=3,则AE = ( ) A. 43 B. 213 C. 214 D. 2156.对于正整数n ,设a n 是最接近n 的整数,则1232001111...a a a a ++++=( ) A. 191/7 B .192/7 C .193/7 D .194/7二、填空题(本题满分28分,每小题7分)(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)1.使得等式31+1+a a =成立的实数a 的值为______ _.2.如图,平行四边形ABCD 中,072ABC ∠=,AF BC ⊥于点F ,AF 交BD 于点E ,若DE=2AB ,则AED ∠=______.3.设m,n 是正整数,且m>n. 若9m 与9n 的末两位数字相同,则m-n 的最小值为 .4.若实数x,y满足3331+的最小值为.x y++=,则22x y xy第一试(B)一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.已知二次函数y ax2bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点,则二次函数y a3 x2b3x c3的图象与x 轴的交点个数为()A.0 B.1 C.2 D.不确定.2.题目与(A)卷第1 题相同.3. 题目与(A)卷第3 题相同.4.已知正整数a,b,c满足a26b 3c 9 0,6a b2 c 0,则a2 b2c2=()A. 424B. 430C. 441D. 460.5.设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点,若BAD ACB 180,且BC 3,AD 4,AC 5,AB 6,则DO/OB=()A. 4/3B. 6/5C. 8/7D. 10/96.题目与(A)卷第5 题相同.二、填空题:(本题满分28 分,每小题7 分)1.题目与(A)卷第1 题相同.2.设O是锐角三角形ABC的外心,D,E分别为线段BC,OA的中点,∠=∠,则OED∠=_________.ABC OED∠=∠,57ACB OED3. 题目与(A )卷第3 题相同.4. 题目与(A )卷第4 题相同第二试 (A )一、(本题满分20 分)已知实数x,y 满足x+y=3,221112x y x y +=++ ,求55x y +的值.二、(本题满分25分)如图,△ABC 中,AB AC ,BAC 45,E 是BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点,点F 在AB 上且EF AB .已知AF 1,BF 5,求△ABC 的面积.三、(本题满分25分)求所有的正整数数对(a, b),使得34938b a =⨯+第二试 (B )一、(本题满分20分)已知实数a,b,c 满足a b c ≤≤,++=16a b c ,2221+++=1284a b c abc , 求c 的值.二、(本题满分25 分)求所有的正整数m ,使得212-2+1m m -是完全平方数.三、(本题满分25分)如图,O 为四边形ABCD 内一点,OAD OCB ,OA OD ,OB OC .求证: AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 .。

初三数学竞赛试题及答案精选

初三数学竞赛试题及答案精选

全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1.已知a=355,b=444,c=533,则有[ ]A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<bA.1 B.2 C.3 D.43.如果方程(x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m的取值范围是4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为[ ]A.62πB.63π C.64πD.65π5.设AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O的直径,且与弦AB相交,记M=|S △CAB-S△DAB|,N=2S△OAB,则[ ]A.M>N B.M=N C.M<N D.M、N的大小关系不确定6.设实数a、b满足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,则[ ]A.a>0且b>0 B.a<0且b>0C.a>0且b<0 D.a<0且b<0二、填空题1.在12,22,32…,952这95个数中,十位数字为奇数的数共有____个。

4.以线段AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆周上的点,且OC2=AC·BC,则∠CAB=______.第二试一、已知∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,经A、C、D三点的圆交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心。

二、在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数理由。

三、试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1.讲解:这类指数幂的比较大小问题,通常是化为同底然后比较指数,或化为同指数然后比较底数,本题是化为同指数,有c=(53)11=12511<24311=(35)11=a<25611=(44)11=b。

选C。

利用lg2=0.3010,lg3=0.4771计算lga、lgb、lgc也可以,但没有优越性。

2.讲解:这类方程是熟知的。

先由第二个方程确定z=1,进而可求出两个解:(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程组直接判断:因为x≠y(否则不是正整数),故方程组①或无解或有两个解,对照选择支,选B。

全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

O1A B O2全国初中数学联赛试题一、选择题1、已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,那么a,b,c的大小关系是【】(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a(D)c<a<b2、若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3-2mn+n3的值为【】(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-23、已知二次函数的图象如图所示,并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则【】(A)M>0 (B)M=0 (C)M<0 (D)不能确定M为正、为负或为04、直角三角形ABC的面积为120,且∠BAC=90º,AD是斜边上的中线,过D作DE⊥AB 于E,连CE交AD于F,则△AFE的面积为【】(A)18 (B)20 (C)22 (D)245、圆O₁与O₂圆外切于点A,两圆的一条外公切线与圆O₁相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则圆O₁与圆O₂的半径之比为【】(A)2:5 (B)1:2 (C)1:3 (D)2:36、如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k 完全平方数的和,那么k的最小值为【】(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题P ′QA B C RP 7、 已知a <0,ab <0,化简,1 │a -b -32│-│b -a +3│=____________8、 如图,7根圆柱形筷子的横截面圆的半径均为r ,则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为___________9、 甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有 件10、 设N =23x +92y 为完全平方数,且不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对 (x ,y )共有 ____对三、解答题11、已知:a ,b ,c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+482882c c ab b a ,试求方程bx 2+cx -a =0的根。

全国初中数学竞赛试题及答案大全

全国初中数学竞赛试题及答案大全

全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一:代数基础题目:若\( a \), \( b \), \( c \)为实数,且满足\( a + b + c = 3 \),\( ab + ac + bc = 1 \),求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。

解答:根据已知条件,我们可以使用配方法来求解。

首先,我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。

将已知条件代入,得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。

简化后,我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。

试题二:几何问题题目:在直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,求斜边BC的长度。

解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和,即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。

代入已知数值,得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。

因此,\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。

试题三:数列问题题目:一个等差数列的首项是2,公差是3,求第10项的值。

解答:等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算,其中\( a_1 \)是首项,d是公差,n是项数。

将已知条件代入公式,得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。

试题四:概率问题题目:一个袋子里有5个红球和3个蓝球,随机取出2个球,求取出的两个球颜色相同的概率。

解答:首先计算总的可能情况,即从8个球中取2个球的组合数,用组合公式C(8,2)计算。

然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。

两个红球的情况有C(5,2)种,两个蓝球的情况有C(3,2)种。

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在每届主办省、市、自治区数学会精心作出的试题解答的基础上,由中国数学会普及工作委员会两位副主任;刘玉翘先生、魏有先生执笔完成了这本试题集。这是中国数学会首次公开初中联赛的试题和解答。
缺点和错误恐怕难免,请广大读者不吝指教!
裘宗沪
1993年12月
修订说明
由中国数学会普及工作委员会组织一批中国数学奥林匹克高级教练员编写的《全国初中数学联赛试题详解》,自1994年问世至今,经全国各地许多奥校以及各级各类学校的广大数学爱好者使用以后,无论在内容形式上和装帧设计上均给予好评。不少读者指名要购买此书。
答()
4.如图,直线l1和l2上点的坐标(x,y)满足关系式
(A)|x|+|y|=0;(B)|x|+ =1;(C)x2-|y|=1;(D)|x|+|y|=0;(E)x-|y|=0
l1y l2
45°45°
O x
5.方程x2+1984513x+3154891=0
(A)没有实数根;(B)有整数根;(C)有正数根;(D)两根的倒数和小于-1;(E)以上结论都不对。
答()
6.△ABC的三条外角平分线相交成一个△LMN,则△LMN
(A)一定是直角三角形;(B)一定是钝角三角形;(C)一定是锐角三角形;(D)不一定是锐角三角形;(E)一定不是锐角三角形。
答()
7.已知方程2x2+kx-2k+1=0的两实根的平方和为29/4,则k的值为
(A)3;(B)-11;(C)3或-11;(D)11;(E)以上结论都不对。
1.设a-b=2+ ,b-c=2- ,则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为()。
2.设方程x2-402x+k=0的一根加3,即为另一根的80倍。那么k=()。
3.有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件,共需3.15元;若购甲4件,乙10件,丙1件,共需4.20元。现在购甲、乙、丙各1件共需()元。
I=(n+1)2+n-[ ]2,那么
(A)I>0(B)I<0(C)I=0(D)当n取不同的值时,以上三种情况都可能出现。
答()
5.四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA之长分别是1,9,8,6(如图),对于以下命题:
a. 四边形ABCD外切于圆;D
b.四边形ABCD不内接于圆;6
c.对角线不互相垂直;A 8
B P
O1E
A
O2C
五、有一长、宽、高分别为正整数m、n、r(m≤n≤r)的长方体,表面涂上红色后切成棱长为1的正方体,已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和,减去一面带红的正方体个数得1985。求m、n、r的值。
一九八六年
一、选择题
1.已知logxa=a(a为大于1的正整数),则x的值为:
答()
2.以线段a=16,b=13,c=10,d=6为边,且使a∥c作四边形,这样的四边形
(A)能作一个;(B)能作二个;(C)能作三个;(D)能作无数多个;(E)不能作。
答()
3.周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3,S4,S6,则
(A)S3>S4>S6(B)S6>S4>S3(C)S6>S3>S4(D)S3>S6>S4(E)S4>S6>S3
答()
10.下列哪一个数一定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)
(A)3n2-3n+3;(B)4n2+4n+4;(C)5n2-5n-5;(D)7n2-7n+7;(E)11n2+11n-11。
答()
二、试推导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式。
三、已知:A=6lgp+lgq,其中p、q为质数,且满足q-p=29。求证:3<A<4。
(A)10alga;(B) ;(C) ;(D) 。
答()
2.如果a<b,那么 等于
(A)(x+a) ;(B)(x+a) ;
(C)-(x+a) ;(D)-(x+a) 。
答()
3.若关于|x|的方程||x-2|-1|=a有三个整数解,则a的值是
(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。
答()
4.记号[x]表示不超过x的最大整数(例如[ ]=2)。设n是自然数,且
提示:用天平称球比较重量的结果,可用等号或不等号表示。
一九八五年
一、选择题
1.设ABCD为圆内接四边形,现在给出四个关系式
(1)sinA=sinC;(2)sinA+sinC=0;(3)cosB+cosD=0;(4)cosB=cosD。
其中总能成立的关系式的个数是
(A)一个;(B)两个;(C)三个;(D)四个。
四、已知:如图,AB=BC=CA=AD,AH⊥CD于H,CP⊥BC交AH于P。求证:△ABC的面积S= AP·BD。A
P D
H
B C
五、在锐角△ABC中,AC=1,AB=c,△ABC的外接圆半径长R≤1。求证:
cosA<c≤cosA+ sinA。
六、有两种重量(设分别为p与q,且p>q)的球五个,涂红、白、黑三种颜色,其中,两个红球重量不同;两个白球重量也不同;一个黑球不知它的重量是p还是q。由于从外形上不能确定球的轻重,请你用一台无砝码的天平(只能比较轻重,不能称出具体重量)称两次,将5个球的轻重都区分出来。试叙述你的称球办法,并说明理由。
初中数学联赛原来不分一试、二试。为了更好地贯彻“在普及的基础上不断提高”的方针,1989年7月,在济南召开的“数学竞赛命题研讨会”上,各地的代表商定,初中联赛也分两试进行,并对一落千丈、二试各种题型的数目,以及评分标准作出明确的规定,使初中联赛的试卷走向规范化。
中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛,以及小学数学奥林匹克,都是群众性的数学课外活动,是大众化、普及型的数学竞赛。高中联赛与全国中学生数学冬令营业员衔接,有“选拔”的作用,但初中联赛没有类似的作用,因此,更具有“面向大多数”的特点。目前,每年有12万名学生参加。为了让更多学生都能发挥他们的聪明才智,培养兴趣,充分发掘他们学习上的潜力,调动学习数学的积极性,我们力求让试题能够适合全国多数参赛学生。从1991年起,我们力求降低试题的难度。题目不难,又要有点意思,还要有竞赛气氛,要做到是不容易的。1993年,由内蒙古数学会主办初中联赛,内蒙古数学会主要负责人都参加了命题工作,对试题反复进行修改,在试题的通俗化上下了很大功夫,因此,试题很受称赞。
三、如图,O为凸五边形ABCDE内一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8。
求证:∠9与∠10相等或互补。
A
981
E6O103B
72
D45C
四、如图⊙O1、⊙O2外切于A,半径分别为r1和r2;PB、PC分别为两圆的切线,B、C为切点;PB:PC=r1:r2;又PA交⊙O2于E点。求证:△PAB∽△PEC。
4.不等式42x2+ax<a2的解为()。
5.已知x(x≠0,±1)和1两个数,如果只许用加法、减法,1作被除数的除法三种运算(可以使用括号),经过六步算出x2,那么计算的表达式是()。
6.在正实数集上定义一个运算*,其规则为:当a≥b时,a*b=ba;当a<b时,a*b=b2。根据这个原则,方程3*x=27的解是()。
答()
8.一个两位数,交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的7/4倍,则这样的两位数有
(A)1个;(B)2个;(C)4个;(D)无数多个;(E)0个。
答()
9.半径为13和半径为5的两个圆相交,圆心距为12,则这两圆公共弦长为
(A)3 ;(B)65/6;(C)4 ;(D)10;(E)以上结论都不对。
(a)A→F→C→E→B→D→A;
(b)A→C→E→B→D→F→A;
(c)A→D→B→E→F→C→A。E
F
A D B
设它们的长度分别为L(a),L(b),L(c),那么下列三种关系式:L(a)<L(b)<L(c)中,一定能够成立的个数是
(A)0个;(B)1个;(C)2个;(D)3个。
答()
二、填空题
全国初中数学联赛试题详解
前言
1981年,中国数学会开始举办“高中数学联赛”,经过1981、1982、1983三年的实践,这一群众性的数学竞赛活动得到了全国广大中学师生欢迎,也得到了教育行政部门、各级科学技术协会、以及社会各阶层人士的肯定和支持。“试题所涉及的知识范围不超出现行教学大纲”这一命题原则,也得到了更多的理解和拥护,由此“高中数学联赛”已形成制度。同时,全国各地都提出了举行“初中数学联赛”的要求。1984年,中国数学学会普及工作委员会商定,委托天津市数学会举办一次初中数学邀请赛,有14个省、市、自治区参加,当时条件较简陋,准备时间也较仓促,但天津数学会的同志,在南开大学数学系和天津师范大学数学系的大力支持下,极其认真负责地把这次活动搞得很成功,为后来举办“初中数学联赛”摸索了很多经验。当年11月,在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时,一致通过了举办“初中数学联赛”的决定,并详细商定了一些具体办法,规定每年四月的第一个星期天举行“初中数学联赛”。会上湖北省数学会、山西省数学会、黑龙江省数学会分别主动承担了1985年、1986年、1987年的“初中数学联赛”主办工作,从此,“初中数学联赛”也形成了制度。
,且当
x=1,8,11,14时,y=1;
x=2,5,12,15时,y=2;
x=3,6,9,16时,y=3;
x=4,7,10,13时,y=0。
则表达式中的u等于
(A) ;(B) ;(C) ;(D) 。
答()
6.如图,在等腰△ABC中,CD是底边AB上的高,E是腰BC的中点,AE交CD于F,现在给出三条路线:C
为了提高本书的质量,不辜负广大读者的厚爱,应广大读者要求,我们对《全国初中数学联赛试题详解》中存在的不足进行了技术上的修订。第一次修订我们除对书中存在的问题进行了纠正和调整,更主要的是对1994年以后的试题进行了增补,还对开本和版式做了更改和变动,并把书名更改为《历届全国初中数学联赛试题详解》。这次修订,则是在第一次修订的基础上增补了近两年的竞赛试题,书名更改为《最新全国初中数学联赛试题详解》,以满足广大数学爱好者的需要。
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