北师大版七下2.3 平行线的特征(含答案)-
北师大版七年级数学平行线的判定(基础)知识讲解(含答案)
平行线的判定（基础）知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.熟练掌握平行线的画法；2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行. 【要点梳理】要点一、平行线的画法及平行公理1.平行线的画法用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.2.平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、平行公理及推论1．下列说法中正确的有()①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个 B 2个C．3个D．4个【答案】A【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．举一反三：【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是.【答案】平行类型二、平行线的判定2.（2015秋•龙岗区期末）已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．21GF B【思路点拨】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，从而证得AB∥CD．【答案与解析】证明：∵BE⊥FD，∴∠EGD=90°，∴∠1+∠D=90°，又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°，∴∠1=∠2，又已知∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB∥CD．【总结升华】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由BE⊥FD及三角形内角和定理得出∠1和∠D互余．举一反三：【变式1】（2016•郑州一模）如图，能判定EC∥AB的条件是（）A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE【答案】D.提示：A、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；B、两个角不是同位角、也不是内错角，故选项错误；C、不是EC和AB形成的同位角、也不是内错角，故选项错误；D、正确．【高清课堂：平行线及判定例1】【变式2】已知，如图，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，求证：AB//CD．【答案】∵∠1＝∠2∴ 2∠1＝2∠2 ，即∠ABC＝∠BCD∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）3.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．【答案与解析】解：(1)由∠1＝∠3，可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．4.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？【答案与解析】解：这两条直线平行.理由如下：如图：∵ b⊥a, c⊥a∴∠1＝∠2＝90°∴b∥c (同位角相等，两直线平行) ．【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.举一反三：【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1＝∠2，AB与CD平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．。
(完整版)北师大版七年级数学下册第二章平行线的特征课前、课堂、课后练习题及答案
平行线一、课前预习(5分钟训练)1.两条直线平行的特征:两条平行直线被第三条直线所截,同位角___________,内错角___________,同旁内角___________.简单地说就是:两直线平行,同位角___________;两直线平行,内错角___________;两直线平行,同旁内角___________.2.如图5-3-1,AC∥BD,∠A=70°,∠C=50°,则∠1=_________,∠2=_________,∠3=_________.图5-3-1 图5-3-2 图5-3-33.如图5-3-2,已知AB∥CD，直线l分别交AB、CD于点E、F,EG平分∠BEF,若∠EFG=40°,则∠EGF的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°4.在①同位角,②内错角,③同旁内角;三类角中的角的平分线互相平行的是( )A.①③B.①②C.②③D.①②③5.如图5-3-3，DE∥BC，那么( )A.∠EAC=∠BB.∠FAE=∠CC.∠DAC+∠C=180°D.∠DAB=∠EAC二、课中强化(10分钟训练)1.如图5-3-4,如果AD∥BC,则有①∠A+∠B=180°;②∠B+∠C=180°;③∠C+∠D=180°.上述结论中正确的是( )A.只有①B.只有②C.只有③D.只有①和③图5-3-4 图5-3-5 图5-3-62.如图5-3-5所示,已知∠1=100°,∠2=80°,∠3=50°,∠4=130°,则直线a与c的关系是( )A.相交B.平行C.垂直D.异面3.如图5-3-6，AB∥DE，BC∥EF，∠2-∠1=90°，则∠1与∠2的度数分别为( )A.20°,110°B.45°,135°C.60°,120°D.30°,150°4.如图5-3-7所示,已知AB∥CD,EF分别交A B、CD于E、F,EG平分∠AEF,FH平分∠EFD,求证:EG∥FH.图5-3-7证明:∵AB∥CD(已知),∴∠AEF=∠EFD(____________).∵EG 平分∠AEF,FH 平分∠EFD(____________), ∴∠____________=21∠AEF,∠____________=21∠EFD(角平分线定义). ∴∠____________=∠____________. ∴EG ∥FH(____________).5.如图5-3-8,已知BE ∥DF,∠B=∠D,试说明:AD ∥BC.图5-3-86.如图5-3-9,已知AB ∥CD,求∠ABE+∠BED+∠EDC 的度数.图5-3-97.如图5-3-10，已知AB ∥DE ，∠3=∠E ，且AE 平分∠BAD ，试判断AD 与BC 的关系？请说明理由.图5-3-10三、课后巩固(30分钟训练)1.如图5-3-11,下面推理中正确的是( )A.∵∠1=∠2，∴AB ∥CDB.∵∠ABC+∠BCD=180°，∴AD ∥BCC.∵AD ∥BC ，∴∠3=∠4D.∵∠ABC+∠DAB=180°，∴AD ∥BC图5-3-11 图5-3-12 图5-3-132.如图5-3-12,l 1∥l 2,∠α是∠β的2倍,则∠α等于( )A.120° B.60° C.90° D.150°3.如图5-3-13,BC ∥DE,DF ∥AC,在图中与∠C 相等的角有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.一个人从A 点出发向北偏东60°方向走到B 点,再从B 点出发向南偏东15°方向走到C 点,那么∠ABC 等于( )A.30°B.35°C.40°D.75°5.如图5-3-14，已知AB ∥CD ，EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，∠1=60°，则∠2=___________.图5-3-14 图5-3-15 图5-3-166.如图5-3-15，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，如果∠1=72°，则∠2=________________.7.如图5-3-16，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则有∠BEC=_______________.8.如图5-3-17,∠ACB=∠ABC,BD平分∠ABC，CE平分∠ACB,∠DBF=∠F,问CE与DF的关系怎样?并说明理由.图5-3-179.如图5-3-18所示,在△AFD和△BEC中,点A、E、F、C在同一直线上,有下面三个判断:(1)AD∥BC;(2)BE∥DF;(3)∠B=∠D;请用其中两个作为已知条件,余下一个作为结论,编一道数学问题,并写出解答过程.图5-3-1810.巡逻在海上的缉私艇正在向东航行，在A处发现在它的东偏南37°的方向B处有一走私船,缉私艇马上调转船的方向、直逼走私船,并一举截获.这时从雷达上看出港口就在船的正西方，于是船长下令将船头顺时针调转143°直接返港,运用所学知识分析船长所下返航命令的方向是否正确.11.如图5-3-20，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，如果第一次拐的∠A是120°，第二次拐的∠B是150°，如果第三次拐的是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，问∠C是多少度？请说明理由.图5-3-19参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.两条直线平行的特征:两条平行直线被第三条直线所截,同位角___________,内错角___________,同旁内角___________.简单地说就是:两直线平行,同位角___________;两直线平行,内错角___________;两直线平行,同旁内角___________.解析:平行线的特征:两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.答案:相等相等互补相等相等互补2.如图5-3-1,AC∥BD,∠A=70°,∠C=50°,则∠1=_________,∠2=_________,∠3=_________.图5-3-1 图5-3-2解析:因为AC∥BD,所以∠1=∠A=70°(两直线平行,同位角相等).所以∠2=∠C=50°(两直线平行,内错角相等).所以∠3=180°-∠1-∠2=180-70°-50°=60°.答案:70°50°60°3.如图5-3-2,已知AB∥CD，直线l分别交AB、CD于点E、F,EG平分∠BEF,若∠EFG=40°,则∠EGF的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°解析:已知AB∥CD,所以∠EFG+∠BEF=180°.又因为∠EFG=40°,EG平分∠BEF,所以∠BEG=70°.又因为AB∥CD,∠EGF=∠BEG=70°,故选B.答案:B4.在①同位角,②内错角,③同旁内角;三类角中的角的平分线互相平行的是( )A.①③B.①②C.②③D.①②③解析:如图所示，同位角、内错角的角平分线互相平行；同旁内角的角的平分线互相垂直.答案:B5.如图5-3-3，DE∥BC，那么( )图5-3-3A.∠EAC=∠BB.∠FAE=∠CC.∠DAC+∠C=180°D.∠DAB=∠EAC解析:首先搞清各选项中两个角的位置关系，再根据平行线的性质作出判断.选项A、B、D中的两个角不是同位角,不是内错角,也不是同旁内角，∴它们不一定成立；选项C中两角是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”得选项C成立.答案:C二、课中强化(10分钟训练)1.如图5-3-4,如果AD∥BC,则有①∠A+∠B=180°;②∠B+∠C=180°;③∠C+∠D=180°.上述结论中正确的是( )A.只有①B.只有②C.只有③D.只有①和③图5-3-4 图5-3-5 图5-3-6解析:注意分清所得的“三线八角”,①由∠A+∠B=180°,得AD∥BC;②由∠B+∠C=180°,得A B∥CD;③由∠C+∠D=180°,得AD∥BC.故选D.答案:D2.如图5-3-5所示,已知∠1=100°,∠2=80°,∠3=50°,∠4=130°,则直线a与c的关系是( )A.相交B.平行C.垂直D.异面解析:因为∠1=100°,∠2=80°,所以∠1+2=180°(已知).所以a∥b(同旁内角互补,两直线平行).同理c∥b.所以a∥c(平行于同一条直线的两条直线平行).答案:B3.如图5-3-6，AB∥DE，BC∥EF，∠2-∠1=90°，则∠1与∠2的度数分别为( )A.20°,110°B.45°,135°C.60°,120°D.30°,150°解析:∵AB∥DE，∴∠1=∠DGC.∵∠2+∠DGC=180°，∴∠1+∠2=180°.又∵∠2-∠1=90°，∴∠1=45°，∠2=135°.答案:B4.如图5-3-7所示,已知AB∥CD,EF分别交A B、CD于E、F,EG平分∠AEF,FH平分∠EFD,求证:EG∥FH.图5-3-7证明:∵AB∥CD(已知),∴∠AEF=∠EFD(____________).∵EG平分∠AEF,FH平分∠EFD(____________),∴∠____________=21∠AEF,∠____________=21∠EFD(角平分线定义). ∴∠____________=∠____________. ∴EG ∥FH(____________).解析:根据已知条件和图形,熟练证明步骤. 答案:两直线平行,内错角相等 已知 GEF EFH GEF EFH 内错角相等,两直线平行 5.如图5-3-8,已知BE ∥DF,∠B=∠D,试说明:AD ∥BC.图5-3-8证明:因为BE ∥DF(已知),所以∠D=∠EAD(两条直线平行,内错角相等). 因为∠B=∠D(已知), 所以∠B=∠EAD.所以AD ∥BC(同位角相等,两直线平行).6.如图5-3-9,已知AB ∥CD,求∠ABE+∠BED+∠EDC 的度数.图5-3-9解:∠ABE+∠BED+∠EDC=360°. 理由:过点E 作FE ∥AB,如图.∵AB ∥CD(已知),∴CD ∥EF(两条直线都和第三条直线平行,则两直线互相平行).∴∠B+∠BEF=180°,∠FED+∠D=180°. ∴∠ABE+∠BED+∠EDC=∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°.7.如图5-3-10，已知AB ∥DE ，∠3=∠E ，且AE 平分∠BAD ，试判断AD 与BC 的关系？请说明理由.图5-3-10解:AD ∥BC.理由如下：∵AB ∥DE ，∴∠2=∠E （两直线平行，内错角相等）. 又∵∠3=∠E ，∠1=∠2， ∴∠3=∠1.∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）. 三、课后巩固(30分钟训练)1.如图5-3-11,下面推理中正确的是( )A.∵∠1=∠2，∴AB ∥CDB.∵∠ABC+∠BCD=180°，∴AD ∥BCC.∵AD ∥BC ，∴∠3=∠4D.∵∠ABC+∠DAB=180°，∴AD ∥BC图5-3-11 图5-3-12 图5-3-13解析:∵∠1与∠2是AD 与BC 被直线BD 所截而成的内错角，∴当∠1=∠2时，应得出AD ∥BC. ∴选项A 错误.∵∠ABC 与∠BCD 是AB 与DC 被直线BC 所截而成的同旁内角， ∴当∠ABC+∠BCD=180°时,应得出AB ∥DC. ∴选项B 错误，选项D 正确.∵∠3与∠4不是AD 与BC 被第三条直线所截而成的角， ∴AD ∥BC 不能得出∠3=∠4. 答案:D2.如图5-3-12,l 1∥l 2,∠α是∠β的2倍,则∠α等于( )A.120°B.60°C.90°D.150°解析:因为l 1∥l 2,所以∠α与∠β的邻补角相等,即∠α+∠β=180°.又∠α是∠β的2倍, 所以∠α+21∠α=180°.所以∠α=120°. 答案:A3.如图5-3-13,BC ∥DE,DF ∥AC,在图中与∠C 相等的角有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 解析:由BC ∥DE,得∠C=∠DEA;由DF ∥AC,得∠C=∠DFB; 由BC ∥DE,得∠DFB=∠EDF. 答案:C4.一个人从A 点出发向北偏东60°方向走到B 点,再从B 点出发向南偏东15°方向走到C 点,那么∠ABC 等于( )A.30°B.35°C.40°D.75°解析:如图,注意方向标的应用,同一个方向是平行的.答案:D5.如图5-3-14，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于E、F，∠1=60°，则∠2=___________.图5-3-14 图5-3-15解析:∵AB∥CD，∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∴∠2=60°.答案:60°6.如图5-3-15，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，如果∠1=72°，则∠2=________________.解析:∵AB∥CD，∴∠2=∠BEG（两直线平行，内错角相等），∠1+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∴∠BEF=180°-72°=108°.∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=54°.∴∠2=54°.答案:54°7.如图5-3-16，AB∥CD，若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则有∠BEC=_______________.图5-3-16 图5-3-17解析:过点E作EF∥AB，则∠BEF=180°-∠ABE=60°（两直线平行，同旁内角互补）.∵AB∥CD，∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）.∴∠CEF=∠C=35°（两直线平行，内错角相等）.∴∠BEC=60°+35°=95°.答案:95°8.如图5-3-17,∠ACB=∠ABC,BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB,∠DBF=∠F,问CE 与DF 的关系怎样?并说明理由.解:CE ∥DF.因为BD 平分∠ABC,CE 平分∠ACB(已知), 所以∠DBC=21∠ABC,∠ECB=21∠ACB(角平分线定义). 又因为∠ACB=∠ABC(已知), 所以∠DBC=∠ECB(等量代换). 又因为∠DBF=∠F, 所以∠ECB=∠F(等量代换).所以CE ∥DF(同位角相等,两直线平行).9.如图5-3-18所示,在△AFD 和△BEC 中,点A 、E 、F 、C 在同一直线上,有下面三个判断:图5-3-18(1)AD ∥BC;(2)BE ∥DF;(3)∠B=∠D;请用其中两个作为已知条件,余下一个作为结论,编一道数学问题,并写出解答过程. 解:如题图所示,已知点A 、E 、F 、C 在同一直线上,AD ∥BC,BE ∥DF,试说明∠B=∠D. 证明:连结BD.∵BE ∥DF(已知),∴∠EBD=∠BDF(两直线平行,内错角相等). ∵AD ∥BC(已知),∴∠DBC=∠ADB(两直线平行,内错角相等). ∴∠EBD+∠DBC=∠BDF+∠ADB, 即∠CBE=∠ADF.10.巡逻在海上的缉私艇正在向东航行，在A 处发现在它的东偏南37°的方向B 处有一走私船,缉私艇马上调转船的方向、直逼走私船,并一举截获.这时从雷达上看出港口就在船的正西方，于是船长下令将船头顺时针调转143°直接返港,运用所学知识分析船长所下返航命令的方向是否正确.解:如图正东、正西应互相平行，只要说明∠DAE 与∠ABC 是否相等，即可作出判断.∵∠ABC+∠CBE=180°，∴∠ABC=180°-143°=37°.∴∠DAE=∠ABC=37°.∴AD∥BC.∴船长所下返航命令的方向是正确的.11.如图5-3-20，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，如果第一次拐的∠A是120°，第二次拐的∠B是150°，如果第三次拐的是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，问∠C是多少度？请说明理由.图5-3-19解:如图，过B点作BP∥AM，∴∠A=∠ABP=120°（两直线平行，内错角相等）.∴∠PBC=30°.∵AM∥CN，∴BP∥CN.∴∠C=180°-∠PBC（两直线平行，同旁内角互补）.∴∠C=150°.。
北师大版七年级数学下册限时训练：2.3 平行线的性质 含答案
北师大版七年级数学下册限时训练：2.3 平行线的性质限时：50分钟姓名________ 评价________一．选择题1．如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（）A．126°B．134°C．136°D．144°2．如图，已知直线a∥b，c∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．61°3．如图，下列说法正确的是（）A．若AB∥CD，则∠1＝∠2B．若AD∥BC，则∠3＝∠4C．若∠1＝∠2，则AB∥CD D．若∠1＝∠2，则AD∥BC4．如图，l1∥l2，点O在直线l1上，若∠AOB＝90°，∠1＝35°，则∠2的度数为（）A．65°B．55°C．45°D．35°5．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠EAG＝（）A．34°B．56°C．68°D．146°6．如图，AB∥CD，AF交CD于点O，且OF平分∠EOD，如果∠A＝34°，那么∠EOC 的度数是（）A．134°B．68°C．112°D．146°7．如图：AB∥CD，CB⊥DB，∠D＝55°，则∠ABC的度数是（）A．55°B．35°C．25°D．65°8．如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，∠BAC＝120°，则∠F＝（）A．60°B．120°C．150°D．180°9．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝125°，∠4的度数为（）A．45°B．55°C．65°D．75°10．已知：如图，∠1＝∠2．试说明：∠C＝∠DBA．解∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠DGF（对顶角相等），∴∠2＝∠DGF（等量代换），∴BD∥CE（）∴∠C＝∠DBA（）①两直线平行，内错角相等；②同位角相等；③内错角相等，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤同位角相等，两直线平行．以上空缺处依次所填正确的是（）A．③④B．④⑤C．⑤④D．⑤②二．填空题11．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝110°，则∠2＝．12．如图，AB∥CD，∠FGB＝150°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于°．13．如图，四条直线中，a∥b，c∥d，已知∠1＝50°，则∠2＝°．14．如图，a∥b，OA⊥OB，∠2＝55°，则∠1＝．15．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是．16．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2，（1）AF与BC的位置关系是；（2）如果∠B＝30°，且∠2＝80°，那么∠BAC＝．三．解答题（共4小题）17．如图，PQ⊥AB于点T，PQ⊥CD于点N，直线EF分别与AB、CD相交于点H、K，∠FHB＝70°，求∠CKE的度数填空并填写理由．因为PQ⊥AB于点T，PQ⊥CD于点N，所以∠BTP＝∠CNQ＝90°所以AB∥CD（）所以∠CKE＝（）又因为＝∠BHF＝70°（）所以∠CKE＝70°．18．如图，已知：∠1＝∠2，DE⊥AC，BC⊥AC．求证：∠B＝∠3．证明：∵DE⊥AC，BC⊥AC（已知），∴∠AED＝∠ACB＝90°（）．∴DE∥BC（），∴∠2＝（），∠1＝（）．又∵∠1＝∠2（已知），∴∠B＝∠3（等量代换）．19．如图已知AB∥CD，试探究∠A，∠APC，∠C的数量关系．20．如图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1＝∠2成立．（1）要求给出两个答案；（2）选择其中一个进行证明．参考答案一．选择题1．解：如图所示：∵a∵b，∵1＝54°，∵∵1＝∵3＝54°，∵∵2＝180°﹣54°＝126°．故选：A．2．解：∵直线a∵b，c∵b，∵a∵c，∵∵1＝60°，∵∵2＝∵1＝60°．故选：B．3．解：A、若AB∵CD，则∵4＝∵3，∵此选项不符合题意；B、若AD∵BC，则∵2＝∵1，∵此选项不符合题意；C、若∵1＝∵2，则AD∵BC，∵此选项不符合题意；D、若∵1＝∵2，则AD∵BC，∵此选项符合题意，故选：D．4．解：∵l1∵l2，∵1＝35°，∵∵OAB＝∵1＝35°．∵OA∵OB，∵∵2＝∵OBA＝90°﹣∵OAB＝55°．故选：B．5．解：∵∵CBD＝34°，∵∵ABH＝∵ABC＝（180°﹣34°）＝73°，∵AG∵BD，AE∵BC，∵∵GAB＝∵ABH＝73°，∵BAE＝180°﹣∵ABC＝107°，∵∵EAG＝∵BAE﹣∵BAG＝107°﹣73°＝34°，故选：A．6．解：∵AB∵CD，∵A＝34°，∵∵DOF＝∵A＝34°，∵OF平分∵EOD，∵∵EOD＝2∵FOD＝68°，∵∵EOC＝180°﹣68°＝112°，故选：C．7．解：∵CB∵DB，∵∵CBD＝90°，∵∵C+∵D＝90°，∵∵D＝55°，∵∵C＝35°，∵AB∵CD，∵∵ABC＝∵C＝35°．故选：B．8．解：∵AB∵CD，∵BAC＝120°，∵∵BAC+∵ACD＝180°，∵∵ACD＝60°，∵AC∵DF，∵∵ACD＝∵CDF，∵∵CDF＝60°，∵CD∵EF，∵∵CDF+∵F＝180°，∵∵F＝120°，故选：B．9．解：∵∵1＝∵2，∵l1∵l2，∵∵4＝180°﹣∵3＝180°﹣125°＝55°．故选：B．10．解：∵∵1＝∵2（已知），∵1＝∵DGF（对顶角相等），∵∵2＝∵DGF（等量代换），∵BD∵CE（同位角相等，两直线平行）∵∵C＝∵DBA（两直线平行，同位角相等）故选：C．二．填空题11．解：∵a∵b，∵1＝110°，∵∵2＝180°﹣110°＝70°．故答案为：70°．12．解：∵AB∵CD，∵FGB＝150°，∵∵GFD＝30°，∵FG平分∵EFD，∵∵EFD＝60°，∵AB∵CD，∵∵AEF＝∵EFD＝60°，故答案为：60．13．解：∵c∵d，∵1＝50°，∵∵3＝130°，∵a∵b，∵∵2＝130°．故答案为：130．14．解：∵a∵b，∵2＝55°，∵∵2＝∵3＝55°，∵OA∵OB，∵∵AOB＝90°，∵∵1+∵AOB+∵3＝180°，∵∵1＝35°，故答案为35°．15．解：如图，过点B作BD∵a，∵∵ABD＝∵1＝22°，∵a∵b，∵BD∵b，∵∵2＝∵DBC＝∵ABC﹣∵ABD＝60°﹣22°＝38°．故答案为：38°．16．解：（1）∵DE∵AC，∵∵2＝∵C，∵∵1＝∵2，∵∵1＝∵C，∵AF∵BC；（2）∵AF∵BC，∵∵B+∵BAF＝180°，∵∵BAF＝180°﹣30°＝150°，∵∵1＝∵2＝80°，∵∵BAC＝150°﹣80°＝70°．故答案为平行；70°．三．解答题（共4小题）17．解：∵PQ∵AB于点T，PQ∵CD于点N，∵∵BTP＝∵CNQ＝90°，∵AB∵CD（内错角相等，两直线平行），∵∵CKE＝∵AHE（两直线平行，同位角相等），∵∵AHE＝∵BHF＝70° （对顶角相等），∵∵CKE＝70°．故答案为：内错角相等，两直线平行；∵AHE；两直线平行，同位角相等；∵AHE；对顶角相等．18．证明：∵DE∵AC，BC∵AC（已知），∵∵AED＝∵ACB＝90° （垂直的定义或垂线的定义），∵DE∵BC（同位角相等，两直线平行），∵∵2＝∵3（两直线平行，内错角相等），∵1＝∵B（两直线平行，同位角相等），又∵∵1＝∵2（已知），∵∵B＝∵3（等量代换）．故答案为：垂直的定义或垂线的定义；同位角相等，两直线平行；∵3；两直线平行，内错角相等；∵2；已知．19．解：（1）过P作m∵AB，∵AB∵CD，∵m∵CD，∵∵1+∵A＝180°，∵2+∵C＝180°，∵∵1+∵2+∵A+∵C＝360°，∵∵A+∵C+∵APC＝360°．（2）延长CP交AB于点N，∵AB∵CD，∵∵C＝∵ANP，∵∵APN+∵A＝∵APC，∵∵A+∵C＝∵APC．20．解：添加∵FCB＝∵CBE或CF∵BE或∵E＝∵F，使∵1＝∵2成立．已知AB∵CD，CF∵BE．求证：∵1＝∵2．证明：∵AB∵CD，∵∵DCB＝∵ABC，∵CF∵BE，∵∵FCB＝∵CBE，∵∵DCB﹣∵FCB＝∵ABC﹣∵CBE，即∵1＝∵2．。
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的判定方法11.方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.2.表达方式：因为∠1=∠2,（已知）所以a//b（同位角相等，两直线平行）特别提醒：“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）.它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落：把三角尺的一边落在一直的直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒：1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式：如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒：平行线的性质的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等；理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B＝∠E，再根据垂直可得∠C＝∠F＝90°，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解：两根旗杆的高度相等．理由如下：∵太阳光线AB与DE是平行，∴∠B＝∠E，∵两根旗杆都垂直于地面放置，∴∠C＝∠F＝90°，∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长，∴BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ，即两根旗杆的高度相等．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据题意找出三角形全等的条件，然后证明两三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上，若1:23:7∠∠=，则2∠=（）A ．126︒B ．118︒C ．105︒D ．94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，由题意知：DE BC ∥，∴31∠=∠，∵1:23:7∠∠=，∴3:23:7∠∠=，∴3327∠=∠，∵2330180∠+∠+︒=︒，∴322301807∠+∠+︒=︒，∴2105∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点拨】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2014下·贵州铜仁·七年级统考期末）已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE AC∥，165∠=︒，265∠=︒，请说明：F CBF ∠=∠．（不必注明依据）【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒，得出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出AF BC ∥，再根据平行线的性质即可得证．解：∵DE AC ∥，165∠=︒，265∠=︒，∴165C ∠=∠=︒，∴2C ∠=∠，∴AF BC ∥，∴F CBF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．【变式1】（2023·吉林白城·校联考三模）已知，如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A ．55°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】B解：AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行，内错角相等.【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，直线l 与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质．根据平行线性质得3155∠=∠=︒，利用垂线性质即可求得2∠．解：直线a b ，3155∴∠=∠=︒，又PM l ⊥ 于点P ，90MPQ ∴∠=︒，2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：35．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）试说明：//AB CD ．（2）若228∠=︒，求3∠的度数．【答案】（1）见分析；（2）62︒【分析】（1）根据角平分线的定义，结合1290∠+∠=︒，可得180ABD BDC ∠+∠︒＝，进而即可得到结论；（2）由228∠=︒，得162∠=︒，进而得62ABF ∠=︒，结合//AB CD ，即可得到答案．解：（1）∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，∴21ABD ∠∠＝，22BDC ∠∠＝，又∵1290∠+∠=︒，∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒＝，∴//AB CD ；（2）∵228∠=︒，1290∠+∠=︒，∴162∠=︒，又∵BF 平分ABD ∠，∴162ABF ∠=∠=︒，又∵//AB CD ，∴362ABF ∠=∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ，再根据两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．解：设两个角分别为4x 、5x ，∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角，∴45180x x +=︒，解得20x =︒，480x =︒，5100x =︒，所以较小的角的度数等于80︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，主要利用了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，射线AE 交CD 于点F ，若∠1＝116°，则∠2的度数等于．【答案】64°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠1+∠AFD =180°．∵∠1=116°，∴∠AFD =64°．∵∠2和∠AFD 是对顶角，∴∠2=∠AFD =64°．故答案为64°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线AB CD ，点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上，点E 为平面内一点，（1）如图1，请写出AME ∠，E ∠，ENC ∠之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若30AME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，EQ NP ∥，求FEQ ∠的度数；（3）如图3，点G 为CD 上一点，AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，EH MN 交AB 于点H ，GEK ∠，BMN ∠，GEH ∠之间的数量关系（用含m 的式子表示）是．【答案】（1）MEN AME ENC ∠=∠+∠，证明见分析；（2）15︒；（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【分析】（1）过点E 作EE AB ' ，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1）MEN AME ∠=∠+∠，证明如下：如图1所示，过点E 作EE AB ' ，∵AB CD ，∴AB CD EE 'P P ，∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠，∵12MEN ∠=∠+∠，∴MEN AME ENC ∠=∠+∠．（2）∵EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠．∵EQ NP ∥，30AME ∠=︒，∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠．∵MEN AME ENC ∠=∠+∠，∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒，∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．证明如下：∵AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，∴1EMN AMN m ∠=∠，1GEM GEK m∠=∠．∵EH MN ，∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠，∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠，∵180AMN BMN ∠=︒-∠，∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠，180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．故答案为：180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E ∠+∠+∠=（）A ．540︒B ．360︒C ．270︒D ．180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC ∥，AE DF BC ∴∥∥，180E EDF ∴∠+∠=︒，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点拨】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，则∠E ：∠F 等于【答案】3：2解：如图，过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB，又因AB∥CD，根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故答案为：3：2．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决这类题目要常作的辅助线（平行线），充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，A B、两处是灯塔，船只在C处，B处在A 处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角ACB的度数．【答案】85°【分析】根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．∵AE ，DB 是正南正北方向，∴BD ∥AE ，∵∠DBA=∠BAE=45°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．题的关键．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，进而可得出结论．解：过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①，②，由①②+得，360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式2】（四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间，且//m n ，则图中1∠=度．【答案】15【分析】如图，过点A 作AC ∥m ，则有////AC m n ，然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，进而问题可求解．解：如图所示，过点A 作AC ∥m ，∵//m n ，∴////AC m n ，∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，∵60BAC CAD ∠+∠=︒，∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒；故答案为15．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）如图，BD 平分ABC ∠，ED BC ∥，130∠=︒，4120∠=︒．（1）求2∠，3∠的度数；（2）证明：DF AB ．【答案】（1）230∠=︒，360∠=︒；（2）见详解【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，112ABD ABC ∠=∠=∠，即有130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，再结合ED BC ∥，即可求解；（2）由60ABC ∠=︒，4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒，则DF AB ，问题得解．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，130∠=︒，∴112ABD ABC ∠=∠=∠，∴130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，360ABC ∠=∠=︒，即：230∠=︒，360∠=︒；（2）∵60ABC ∠=︒，4120∠=︒，∴ABC ∠4=180+∠︒，∴DF AB ．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】（2020上·河南洛阳·七年级统考期末）如图，若12∠=∠，DE BC ∥，则下列结论：①FG DC ；②AED ACB ∠=∠；③CD 平分ACB ∠；④190B ∠+∠=︒；⑤BFG BDC ∠=∠．其中，正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出2DCB =∠∠，得出FG DC ，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．解：DE BC ∥，1DCB ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，故②正确；12∠=∠ ，2DCB ∴∠=∠，FG DC ∴∥，故①正确；BFG BDC ∴∠=∠，故⑤正确；而CD 不一定平分ACB ∠，1B ∠+∠不一定等于90︒，故③，④错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）如图a b ，c 与a 相交，d 与b 相交，下列说法：①若12∠=∠，则3=4∠∠；②若14180∠+∠=︒，则c d ∥；③4231∠-∠=∠-∠；④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有（填序号）【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可．解：如图，①若∠1=∠2，则b ∥e ，则∠3=∠4，故原说法正确；②若∠1+∠4=180°，则c ∥d ；故原说法正确；③由a ∥b 得到∠1=∠6，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得，∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°，则∠4-∠2=∠3-∠1，故原说法正确；④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故原说法错误．正确的有①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线a b ∥，AB 与a ，b 分别交于点A ，B ，且AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若160∠= ，求2∠的度数；（2）若6,8AC AB ==，10BC =，求直线a 与b 的距离．【答案】（1）30︒；（2）245【分析】（1）由直线a b ∥，根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒，再由AC AB ⊥，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过A 作AD BC ⊥于D ，根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ，即可求解．解：（1）∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒（2）如图，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==，10BC =，ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，123////l l l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A ，B ，C 分别为1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB 、AC 、BC ，AC 与2l 交于点D ，90ABC ∠=︒，则BD 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm．解：（1）直线c在直线b1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为8cm或2cm．【点拨】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．。
北师大版七年级数学下册第二章《平行线的特征》综合练习题四套含答案
北师大版七年级数学下册第二章平行线的特征测试题（一）一、选择题1．如图，如果︒=∠601,//,//GH EF CD AB ，那么下列结论不成立的是（ ） A ．︒=∠602 B ．︒=∠603 C ．︒=∠604 D ．︒=∠6052．如图：若CD AB //，则下列结论中（ ） ①21∠=∠ ②43∠=∠ ③︒=∠+∠+∠18031D ④︒=∠+∠+∠18042B A ．都正确 B ．都不正确 C ．只有一个正确 D ．只有一个不正确3．如图：AC BC AD CD EF AB ,//,////平分BAD ∠，则图中与AOE ∠相等的角有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题1．如图1，因为21//l l ，所以21∠=∠，理由是_________； 2．如图2，因为21//l l ，所以____32=∠+∠，理由___________； 3．如图3，41∠=∠，理由是__________________； 4．如图4，已知____2,603,1201,////=∠︒=∠︒=∠c b a ．图1 图2 图3 图45．如图5：AE CD AB ,//平分CE BAC ,∠平分ACD ∠，则____=∠E ．图5 图6 图7 图86．如图6，在AB 两地间修一条公路，从A 地测得公路的走向为北偏东50°，如果A 、B 两地同时开工，那么在B 地按____=∠α方向施工，才能使公路准确接通．7．已知：如图7：︒=∠50,//,//A BC AD CD AB ，则_______=∠C 8．如图8，BD BC AD ,//平分1:2:,=∠∠∠ABC a ABC ，则____=∠DBC 9．已知α∠的两边分别与β∠的两边互相平行，当︒=∠40α时，____=∠β10．一条公路经过两次拐弯后和原来平行，已知第一次拐的角是100°，则第二次拐的角可能是_________度．三、解答题1．已知：如图，NH EF BC MN DE AB ////,////，写出图中所有与B ∠相等的角．2．如图，已知CD AB //，求4321∠+∠+∠+∠的值．3．如图，已知CO BO ACB ABC 、,60,50︒=∠︒=∠分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，EF 过点O 且BC EF //，求BOC ∠的度数．4．如图，这是一块钢板，EF AB //，工人师傅想用它来做一种产品，需要知道E ACE A ∠∠∠,,这三个角的度数的和，你能帮工人师傅第算一下吗？北师大版七年级数学下册第二章平行线的特征测试题（二）一、填空题:1.如图1，AB ∥CD ，AF 分别交AB 、CD 于A 、C ，CE 平分∠D CF ，∠1＝100 °,则∠2＝_____.21FEDCBAG1F ECBAG21EDCBA K H G 1FEDCBADCB A ED CB A(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2.如图2，AB ⊥EF ，CD ⊥EF ，∠1＝∠F ＝45°，那么与∠F CD 相等的角有_________个，它们分别是_______________。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2-3平行线的性质》解答题专题训练(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》解答题专题训练（附答案）1．如图，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大小．阅读下面的解答过程，并填括号里的空白（理由或数学式）．解：∵AB∥DC（），∴∠B+∠DCB＝180°（）．∵∠B＝（已知），∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．∵AC⊥BC（已知），∴∠ACB＝（垂直的定义）．∴∠2＝．∵AB∥DC（已知），∴∠1＝（）．∵AC平分∠DAB（已知），∴∠DAB＝2∠1＝（角平分线的定义）．∵AB∥DC（已知），∴+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．∴∠D＝180°﹣∠DAB＝．2．探究：如图①，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝50°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整，并填空．解：因为DE∥BC，所以∠DEF＝（）．因为EF∥AB，所以＝∠ABC（）．所以∠DEF＝∠ABC（等量代换）．因为∠ABC＝50°，所以∠DEF＝°．应用：如图②，DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．3．如图，已知：AE∥BF，∠A＝∠F，证明：∠C＝∠D．4．已知：如图，AD是∠BAC的平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．求证：∠AGF＝∠F．请你根据已知条件补充推理过程，并在相应括号内注明理由．证明：∵（已知），∴∠BAD＝∠CAD（）．∵EF∥AD（已知），∴∠＝∠BAD（），∠＝∠CAD（）．∴∠AGF＝∠F（）．5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、CB上，且DE∥BC，EF∥AB，若∠ABC＝65°，求∠DEF的度数．请将下面的解答过程补充完整：解：∵DE∥BC（），∴∠DEF＝∠CFE（），∵EF∥AB，∴＝∠ABC（），∴∠DEF＝∠ABC（）．∵∠ABC＝65°，∴∠DEF＝．6．如图，已知直线a∥b，∠4＝60°，求∠1，∠3的度数．解：∵a∥b（已知），∴∠1＝∠2（）．又∵∠2＝∠4（），∠4＝60°（已知），∴∠1＝∠4＝°（等量代换）．又∵∠3+∠4＝180°；∴∠3＝°．7．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，∠AED＝∠C，EF∥AB．求证：∠B＝∠DEF．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AB交AC于点E．∠BFG＝∠ADE，则FG ⊥BC吗？为什么？9．看图填空：（请将不完整的解题过程及根据补充完整）已知：如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝52°，求∠2的度数．解：因为AB∥CD，∠1＝52°，根据“”，所以∠ABC＝∠1＝52°．根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠ABD+＝180°．又因为BC平分∠ABD，所以∠ABD＝2∠ABC＝104°．所以∠CDB＝180°﹣∠ABD＝76°．根据“”．所以∠2＝∠CDB＝76．10．如图，点D、E、F、G均在△ABC的边上，连接BD、DE、FG，∠3＝∠CBA，FG∥BD．（1）求证：∠1+∠2＝180°；（2）若BD平分∠CBA，DE平分∠BDC，∠A＝35°，求∠C的度数．11．如图，EF∥AD，∠FEB＝∠GDA，AD平分∠CAB交BC于点D，∠CGD＝70°，求∠DAB的度数．12．完成下面的证明．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：∵∠1＝∠2（已知），且∠2＝∠AHB（），∴∠1＝∠AHB（等量代换）．13．如图，已知∠B＝∠C，AD∥BC，那么∠EAD与∠CAD相等吗？为什么？14．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE、CD∥EF，求证：EF平分∠DEB．证明：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA＝（角平分线的定义），∵AC∥DE（已知），∴∠DCA＝（），∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），∵CD∥EF（），∴＝∠CDE（），∠DCE＝∠BEF（），∴＝（等量代换）．∴EF平分∠DEB（）．15．填充证明过程和理由如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°，DG平分∠ADC，求证∠1＝∠B．证明：∵AD∥EF，∴∠2+∠3＝180°（）．又∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠3（）．∵DG平分∠ADC，∴（）．∴∠3＝∠4．∴（）．∴∠1＝∠B．16．如图：已知AB∥CD，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，求∠BOC的度数．∵AB∥CD（已知），∴∠ABC+＝180°（）．∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，（已知），∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线的意义）．∴∠DBC+∠ACB＝（）（等式性质），即∠DBC+∠ACB＝°．∵∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（），∴∠BOC＝°（等式性质）．17．如图，B，E分别是AC，DF上的点，AE∥BF，∠A＝∠F．求证：∠C＝∠D．18．如图，AE∥CF，∠A＝∠C．（1）若∠1＝35°，求∠2的度数；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．19．如图，已知BE∥FG，∠1＝∠2，∠ABC＝40°，试求∠ADE的度数．20．如图，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，EF交AD于点O，求证∠E＝∠F．21．如图，AB∥DG，AD∥EF．（1）试说明：∠1+∠2＝180°；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝138°，求∠B的度数．22．如图，已知∠DAB＝∠BCD，AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，AE∥CF，试说明∠2＝∠3的理由．23．如图，AE∥CD，∠1＝37°，∠D＝54°，求∠2和∠BAE的度数．24．如图，AD∥BE，∠EDC＝∠C，∠A与∠E相等吗？并说明理由．25．已知：如图，DE∥BC，BE∥FG．求证：∠1＝∠2．26．完成下面的证明过程：已知：如图AB∥CD，AD∥BE，∠3＝∠4，试说明∠1＝∠2．解：理由如下：∵AB∥CD（已知），∴∠4＝（），（理由：两直线平行，同位角相等）∵（），∴∠3＝∠DAC，（理由：）∵∠3＝∠4，（已知）∴（），（等量代换）∴∠1+∠CAE＝（）+∠CAE，∴∠1＝∠2．27．补充完成下列解题过程：如图，已知直线a、b被直线l所截，且a∥b，∠1+∠2＝100°，求∠3的度数．解：∵∠1与∠2是对顶角（已知）∴∠1＝∠2∵∠1+∠2＝100°（已知），得2∠1＝100°（等量代换）∴∠1＝∵a∥b（已知），得∠1＝∠3∴∠3＝（等量代换）28．完成下面的证明．如图AB∥CD，CB∥DE，求证：∠B+∠D＝180°．证明：∵AB∥CD，∴∠B＝（）．∵CB∥DE，∴∠C+∠D＝（）．∴∠B+∠D＝180°．29．如图，已知EG∥AD，∠1＝∠G，试说明AD平分∠BAC．30．已知，如图，BCE、AFE是直线AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：∠D＝∠DCE．31．已知∠1＝∠2，∠5＝∠6，AD∥BC，求证：∠3＝∠4．32．已知AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，∠AEF＝68°，FG平分∠EFD，KF⊥FG，求∠KFC的度数．解：∵AB∥CD（已知），∴∠EFD＝∠AEF（），∵∠AEF＝68°（已知），∴∠EFD＝∠AEF＝68°（），∵FG平分∠EFD（已知）∴∠EFG＝∠GFD＝∠EFD＝34°（），又∵KF⊥FG（），∴∠KFG＝90°（），∴∠KFC＝180°﹣∠GFD﹣∠KFG＝．33．如图，已知DE⊥AC，FG∥BC，∠1+∠2＝180°，求证：BF⊥AC．34．按要求完成下列推理证明．如图，已知点D为BC延长线上一点，CE∥AB．求证：∠A+∠B+∠ACB＝180°证明：∵CE∥AB，∴∠1＝，（）∠2＝，（）又∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB＝180°参考答案1．解：∵AB∥DC（已知），∴∠B+∠DCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠B＝50°（已知），∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．∵AC⊥BC（已知），∴∠ACB＝90°（垂直的定义）．∴∠2＝40°．∵AB∥DC（已知），∴∠1＝40°（两直线平行，内错角相等）．∵AC平分∠DAB（已知），∴∠DAB＝2∠1＝80°（角平分线的定义）．∵AB∥DC（已知），∴∠ADC+∠DAB＝180°（两条直线平行，同旁内角互补）．∴∠D＝180°﹣∠DAB＝100°．故答案为：已知；两直线平行，同旁内角互补；50°；90°；40°；40°；两直线平行，内错角相等；80°；∠ADC；100°．2．解：探究：如图①，因为DE∥BC，所以∠DEF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），因为EF∥AB，所以∠EFC＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），所以∠DEF＝∠ABC（等量代换），因为∠ABC＝50°，所以∠DEF＝50°．故答案为：∠EFC；两直线平行，内错角相等；∠EFC；两直线平行，同位角相等；50；应用：如图②，∵DE∥BC，∠ABC＝65°，∴∠D＝∠ABC＝65°，∵EF∥AB，∴∠DEF＝180°﹣65°＝115°．3．证明：∵AE∥BF，∴∠F＝∠AED，∵∠A＝∠F，∴∠A＝∠AED，∴AB∥DF，∴∠C＝∠D．4．证明：∵AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），∵EF∥AD（已知），∴∠FGA＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），∠F＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），∴∠AGF＝∠F（等量代换），故答案为：AD是△ABC的角平分线；角平分线的定义；FGA，两直线平行，内错角相等；F，两直线平行，同位角相等；等量代换．5．解：∵DE∥BC（已知），∴∠DEF＝∠CFE（两直线平行，内错角相等），∵EF∥AB∴∠CFE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），∴∠DEF＝∠ABC（等量代换），∵∠ABC＝65°，∴∠DEF＝65°．故答案为：已知，两直线平行，内错角相等，∠CFE，两直线平行，同位角相等，等量代换，65°．6．解：∵a∥b（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．又∵∠2＝∠4（对顶角相等），∠4＝60°（已知），∴∠1＝∠4＝60°（等量代换）．∴∠3＝120°．故答案为：两直线平行，同位角相等；对顶角相等；60；120．7．解：∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠EFC，∵AB∥EF，∴∠B＝∠EFC，∴∠B＝∠DEF．8．解：FG⊥BC．理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠BFG＝∠ADE，∴∠BAD＝∠BFG，∴AD∥FG，∴∠FGB＝∠ADB＝90°，∴FG⊥BC．9．解：因为AB∥CD，∠1＝52°，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠ABC＝∠1＝52°．根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠ABD+∠BDC＝180°．又因为BC平分∠ABD，所以∠ABD＝2∠ABC＝104°．所以∠CDB＝180°﹣∠ABD＝76°．根据“对顶角相等”．所以∠2＝∠CDB＝76．故答案为：两直线平行，同位角相等；∠BDC；对顶角相等．10．解：（1）∵∠3＝∠CBA，∴AB∥DE，∴∠2＝∠DBA，∵FG∥BD，∴∠1+∠DBA＝180°，∴∠1+∠2＝180°；（2）∵AB∥DE，∴∠CDE＝∠A＝35°，∵DE平分∠BDC，∴∠2＝∠CDE＝35°，∴∠DBA＝35°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBA＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠CBA＝75°．11．解：∵EF∥AD，∴∠FEB＝∠DAB．又∵∠FEB＝∠GDA，∴∠DAB＝∠GDA．∴DG∥BA．∴∠CGD＝∠CAB＝70°．又∵AD平分∠CAB交BC于点D，∴∠DAB＝＝35°．12．证明：理由如下：∵∠1＝∠2（已知），且∠2＝∠AHB（对顶角相等），∴∠1＝∠AHB（等量代换）．∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．∴∠C＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠BFD＝∠B（等量代换）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等．13．解：∠EAD与∠CAD相等，理由如下：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠EAD＝∠CAD．14．证明：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA＝∠DCE（角平分线的定义），∵AC∥DE（已知），∴∠DCA＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），∵CD∥EF（已知），∴∠DEF＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），∠DCE＝∠FEB（两直线平行，同位角相等），∴∠DEF＝∠FEB（等量代换），∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）．故答案为：∠DCE；∠CDE，已知，∠DEF，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠DEF；∠FEB；角平分线的定义．15．证明：∵AD∥EF，∴∠2+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∠1+∠2＝180°，∴∠1＝∠3（同角的补角相等）．∵DG平分∠ADC，∴∠1＝∠4（角平分线的定义）．∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）．∴∠1＝∠B．故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；∠1＝∠4；角平分线定义；AB∥DG；内错角相等，两直线平行．16．解：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC+∠BCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD（已知），∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线定义），∴∠DBC+∠ACB＝（∠ABC+∠BCD）（等式性质），即∠DBC+∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（三角形内角和等于180°），∴∠BOC＝90°（等式性质），故答案为：∠BCD，两直线平行，同旁内角互补，∠ABC+∠BCD，90，三角形内角和等于180°，90．17．证明：∵AE∥BF，∴∠AED＝∠F．∵∠A＝∠F，∴∠AED＝∠A．∴AC∥DF．∴∠C＝∠D．18．解：（1）∵AE∥CF，∴∠BDC＝∠1＝35°，又∵∠2+∠BDC＝180°，∴∠2＝180°﹣∠BDC＝180°﹣35°＝145°；（2）BC∥AD．理由：∵AE∥CF，∴∠A+∠ADC＝180°，∴∠C+∠ADC＝180°，∴BC∥AD．19．解：∵BE∥FG，∴∠EBC＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠2，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝40°．20．证明：∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∵AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，∴∠EAD＝∠BAD，∠FDA＝∠ADC，∴∠EAD＝∠FDA，∴AE∥FD，∴∠E＝∠F．21．解：（1）∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°，∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∴∠1+∠2＝180°．（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝138°，∴∠1＝42°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝42°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝42°．22．解：∵AE∥CF，∴∠1＝∠3，∵AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，∴∠1＝∠DAB，∠2＝∠BCD，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3．23．解：∵AE∥CD，∠1＝37°，∠D＝54°，∴∠2＝∠1＝37°，∠BAE＝∠D＝54°．24．解：∠A与∠E相等．理由：如图，∵AD∥BE，∴∠A＝∠3，∵∠1＝∠2，∴DE∥BC，∴∠E＝∠3，∴∠A＝∠E．25．证明：∵DE∥BC，∴∠1＝∠CBE．∵BE∥FG，∴∠CBE＝∠2，∴∠1＝∠2．26．解：理由如下：∵AB∥CD（已知），∴∠4＝∠BAE，（理由：两直线平行，同位角相等）∵AD∥BE，∴∠3＝∠DAC，（理由：两直线平行，内错角相等）∵∠3＝∠4，（已知）∴∠BAE＝∠DAC，（等量代换）∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，∴∠1＝∠2．故答案为：∠BAE；AD∥BE；两直线平行，内错角相等；∠BAE＝∠DAC；∠2．27．解：∵∠1与∠2是对顶角（已知）∴∠1＝∠2（对顶角相等）∵∠1+∠2＝100°（已知），得2∠1＝100°（等量代换）∴∠1＝50°，∵a∥b（已知），得∠1＝∠3（等式性质）∴∠3＝50°（等量代换）．故答案为：对顶角相等；50°；（等式性质）；50°．28．证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵CB∥DE，∴∠C+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠B+∠D＝180°．故答案为：∠C；两直线平行，内错角相等；180°；两直线平行，同旁内角互补．29．解：∵EG∥AD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠G，∵∠G＝∠1，∴∠2＝∠3．∴AD平分∠BAC．30．证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠5，∠B＝180°﹣∠1﹣∠3，∠D＝180°﹣∠2﹣∠5，∴∠B＝∠D．∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠B，∴∠D＝∠DCB．31．证明：∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，即∠1+∠3+∠5＝180°，又∵∠2+∠4+∠6＝180°，∵∠1＝∠2，∠5＝∠6，∴∠3＝∠4．32．解：∵AB∥CD（已知），∴∠EFD＝∠AEF（两直线平行，内错角相等），∵∠AEF＝68°（已知），∴∠EFD＝∠AEF＝68°（等量代换），∵FG平分∠EFD（已知）∴∠EFG＝∠GFD＝∠EFD＝34°（角平分线的意义），又∵KF⊥FG（已知），∴∠KFG＝90°（垂直的意义），∴∠KFC＝180°﹣∠GFD﹣∠KFG＝56°．故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线的意义；已知；垂直的意义；56°．33．证明：∵FG∥BC，∴∠1＝∠FBC，又∵∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠FBC＝180°，∴BF∥DE，∵DE⊥AC，∴BF⊥AC．34．证明：∵CE∥AB，∴∠1＝∠B，（两直线平行，同位角相等）∠2＝∠A，（两直线平行，内错角相等）又∠1+∠2+∠ACB＝180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB＝180°，故答案为：∠B，∠A，两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等．。
北师大版七年级数学下册2.3《平行线的性质(第1课时)》习题含答案
第二章相交线与平行线2.3 平行线的性质(1)同步习题含答案一、填空题1.如图，已知AB∥CD，∠1=70°，则∠2=______，∠3=______，∠4=______.2.如图，a∥b，c∥d，∠1=60°,则∠2= ，∠3= ，∠4= ．3.如图，AB∥CD，∠DCE=80°，则∠AEC的度数为.（第1题图）（第2题图）（第3题图）4.如图，如果AB‖PC，∠P=35°，那么∠PAB= ；如果AP‖BD，那么∠P=∠；如果AB‖CD，那么∠ABC+ ∠C = ；如果AD‖BC，∠2=18°，∠5=40°，那么∠ABC= .5.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠AEF，∠1=40°，则∠2的度数为.6.已知CD‖AB,∠1＝120°，∠2＝80°，则∠E的度数为．7.已知AB‖CD‖EF，∠A=105°，∠ACE=45°，求∠E的度数为.8.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝______.（第7题图）（第8题图）9.如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝45°，∠AFC＝25°，则∠C＝．10.如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是．（第9题图）（第10题图）二、解答题11.如图，已知AG‖CF，AB‖CD，∠A＝40°，求∠C的度数.（第11题图）12.如图，是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=115°，∠D=100°.已知梯形的两底AD‖BC，请你求出另外两个角的度数.（第12题图）13.如图，AB‖CD，∠EAB＝45°，则∠FDC的度数是多少？（第13题图）14.如图所示，小张从家(图中A处)出发，向南偏东40°的方向走到学校(图中B 处)，再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家(图中C处)，试问∠ABC 为多少度？（第14题图）15.如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC，∠ABD的平分线，那么∠BAO与∠ABO之间有什么数量关系？线段AO与BO有什么位置关系？（第15题图）16.如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：BD‖CE.（第16题图）第二章相交线与平行线2.3 平行线的性质(1)同步习题答案1.70°70°110°2.60°60°120°3.80°4.145° 3 180°58°5.100°6.40°7.30°8.120°9.20°10.50°11.解：∵AG‖CF,∠A=40°（已知），∴∠FEB＝40°（两直线平行，同位角相等）.∵AB‖CD（已知），∴∠C＝∠FEB＝40°（两直线平行，同位角相等）.12.解：∵AD‖BC（已知）∴∠A＋∠B＝180°.∠C＋∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠A＝115°，∴∠B＝180°－115°＝65°.∵∠D＝110°, ∴∠C＝180°－110°＝70°.∴∠B＝65°，∠C＝70°.13.解：∵∠EAB＝45°∴∠BAD＝135°（补角定义）.∵AB‖CD（已知）,∴∠ADC＝∠BAD＝135°（两直线平行，同位角相等）.∴∠CDF＝180°－∠ADC＝180°－135°＝45°（补角定义）. ∴∠CDF＝45°.14.解：∵AE‖BD（已知）∴∠DBA＝∠EA B（两直线平行，内错角相等）.∵∠EAB＝40°,∴∠DBA＝40°.∵∠DBC＝75°,∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝75°－40°＝35°.∴∠ABC＝35°.15. 证明：∴∠BAO ＋∠ABO ＝90°，AO ⊥BO理由如下；∵AC ‖BD （已知）,∴∠CAB +∠ABD ＝180°（两直线平行。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2-3平行线的性质》知识点分类练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》知识点分类练习题（附答案）一．平行线的性质1．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°2．如图，AB∥CD，连接AC、BC、BD，且BD⊥BC，下列结论：①若∠A＝2∠BDC，则∠ABC＝∠ACB；②若∠BDC与∠A互补，则2∠ABC+∠ACB＝90°，则（）A．仅①正确B．仅②正确C．①②都正确D．①②都不正确3．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G，H在两条平行线AB，CD之间，∠AEG和∠GHF的平分线交于点M．若∠EGH＝82°，∠HFD＝20°，则∠M的度数为（）A．31°B．36°C．41°D．51°4．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF⊥DE，垂足为F，则∠ABE与∠EDC的数量关系是（）A．∠EDC﹣∠ABE＝90°B．∠ABE+∠EDC＝180°C．∠ABE＝∠EDC D．∠ABE+∠EDC＝90°5．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB、CG分别为∠EFG、∠ECD的角平分线，若∠E+2∠G＝210°，则∠EFG的度数为（）A．140°B．150°C．130°D．160°6．如图，AB∥DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（）A．α，β的角度数之和为定值B．α随β增大而增大C．α，β的角度数之积为定值D．α随β增大而减小7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°8．如图，l1∥l2∥l3，∠1，∠2，∠3如图所示，则下列各式正确的是（）A．∠3＝∠1+∠2B．∠2+∠3﹣∠1＝90°C．∠1﹣∠2+∠3＝180°D．∠2+∠3﹣∠1＝180°9．如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④10．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（）A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°11．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为（）A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°12．如图，在墙面上安装某一管道需经两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行．若第一个弯道处∠B＝140°，则第二个弯道处∠C也为140°，能解释这一现象的数学知识是（）A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行13．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，折痕为DE，∠ABE平分线所在直线与∠EDH 平分线所在直线相交于点F，若∠F＝∠BED，则∠1的度数为．14．如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B落在点E处，若AE∥BD，∠ADB＝28°，则∠AFC＝°．15．如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥CD，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过点B，FD′交BC于点G，连结EG，EG平分∠BEF．（1）若∠CFG＝76°，则∠BEG的度数是；（2）若EG∥A′D′，∠A+∠DFE＝125°，则∠CFE的度数是．16．如图1，在矩形纸片ABCD中，点P在AD上，点Q在BC上，将纸片沿PQ折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．PF交BQ于点G．设∠QPG＝α．继续折叠纸片，使GF 落在BC边上（如图2），折痕为GM．（1）若α＝60°，则∠MGF＝°．（2）沿GF继续折叠，若GM恰好是∠PGF的三等分线，则α＝°．17．如图，已知AM∥CN，D为AM，CN之间一点，∠EAD＝32°，∠DCN＝88°，∠EAD 与∠DCN的角平分线交于点B，连结BD交AM、CN与点E、F，若∠ABD：∠CBD＝4：1，则∠ADF：∠CDF的比值为．18．如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．（1）若图中α＝70°，则β＝°（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的CD边与CB边重合（如图2），若继续沿CB边折叠，CE边恰好平分∠ACB，则此时β的度数为度．19．如图1，将长方形纸片ABCD沿MN折叠得到图2，点A，B的对应点分别为点A′，B'，折叠后A′M与CN相交于点E．（1）若∠B′NC＝48°，求∠A′MD的度数．（2）设∠B′NC＝α，∠A′MN＝β．①请用含α的代数式表示β．②当MA′恰好平分∠DMN时，求∠A′MD的度数．20．如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．（1）当∠FDC+∠ABC＝180°时：①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．②若∠ABC＝130°，求∠DFB的度数．（2）当∠C＝α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．二．平行线的判定与性质21．小明和小亮在研究一道数学题，如图EF⊥AB，CD⊥AB，垂足分别为E，D，G在AC 上．小明说：“如果∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB”；小亮说：“连接FG，如果FG∥AB，则能得到∠GFC＝∠ADG”．则下列判断正确的是（）A．小明说法正确，小亮说法错误B．小明说法正确，小亮说法正确C．小明说法错误，小亮说法正确D．小明说法错误，小亮说法错误22．如图，AD，BC相交于点O，∠MCD＝∠BCM＝α，∠B＝4α．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠A＝∠B，求∠BOD的度数；（用含α的式子表示）（3）若点E在AB上，连接OE，EP平分∠OEB交CM于点P，如备用图所示，求证：∠COE＝2∠EPC+∠B．23．如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．（1）求证：EF∥BC；（2）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．24．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．25．如图，已知∠1+∠BDE＝180°，∠2+∠4＝180°．（1）证明：AD∥EF；（2）若∠3＝90°，∠4＝140°，求∠BAC的度数．参考答案一．平行线的性质1．解：过点E作EM∥AB，如图：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故选：C．2．解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∠A+∠ACD＝180°，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠ABC＝∠BCD＝90°﹣∠BDC，①∵∠A＝2∠BDC，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣2∠BDC，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝180°﹣2∠BDC﹣（90°﹣∠BDC）＝90°﹣∠BDC，∴∠ACB＝∠ABC，故①正确；②∵∠BDC与∠A互补，∴∠BDC＝180°﹣∠A，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝∠BDC，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝∠BDC﹣（90°﹣∠BDC）＝2∠BDC﹣90°，∴2∠ABC+∠ACB＝2（90°﹣∠BDC）+（2∠BDC﹣90°）＝90°，故②正确；故选：C．3．解：如图：过点G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，HK∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD，∵GN∥AB，∴∠AEG＝∠EGN，∵GN∥KH，∴∠NGH＝GHK，∵HK∥CD，∴∠HFD＝∠KHF，∵∠EGH＝82°，∠HFD＝20°，∴∠AEG+∠GHF＝102°，∵EM和MH是角平分线，∴∠AEM+∠NHF＝51°，∵∠HFD＝∠KHF＝20°，∴∠AEM+∠MHK＝31°，∵MP∥AB∥HK，∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠NHK，∴∠EMP+∠PMH＝31°，即∠EMH＝31°．故选：A．4．解：过F点作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠BFG＝∠ABF，∠DFG+∠CDF＝180°，∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠ABF，∴∠BFG+∠DFG+∠CDF＝∠ABF+180°，∴90°+∠CDE＝∠ABE+180°，即∠EDC﹣∠ABE＝90°．故选：A．5．解：过G作GM∥AB，∴∠2＝∠5，∵AB∥CD，∴MG∥CD，∴∠6＝∠4，∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，∵FB、CG分别为∠EFG，∠ECD的角平分线，∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，∵AB∥CD，∴∠ENB＝∠ECD，∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，∵∠1＝∠E+∠ENB，∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，∴3∠1＝210°，∴∠1＝70°，∴∠EFG＝2×70°＝140°．故选：A．6．解：过C点作MF∥AB，∵AB∥DE，∴MF∥DE，∴∠α＝∠BCM，∠β+∠DCM＝180°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠DCM＝360°﹣∠BCD＝270°，∴∠α+（180°﹣∠β）＝270°，∴∠α﹣∠β＝90°，∴α随β增大而增大，故选：B．7．解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．8．解：∵l1∥l2∥l3，∴∠1＝∠2+∠4，∠4+∠3＝180°，∴∠1﹣∠2+∠3＝180°，故选：C．9．解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝180°＝90°，即α+β＝90°，又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β；（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．故选：D．10．解：A、如图1：∵∠1＝40°，∠2＝140°，∴AB与CD不平行；故本选项错误；B、如图2：∵∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠1＝∠2，∴AB与CD平行；故本选项正确；C、如图3：∵∠1＝40°，∠2＝140°，∴∠1≠∠2，∴AB不平行CD；故本选项错误；D、如图4：∠1＝40°，∠2＝40°，∴∠3＝140°，∴∠1≠∠3，∴AB与CD不平行；故本选项错误．故选：B．11．解：当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，由折叠可知，∠K＝∠P＝90°，∠ENM＝90°，∵PK∥MN，∴∠K＝∠Q＝90°，∴∠ENM＝∠Q，∴EN∥KH，∵∠EFC＝37°，∴∠AEF＝37°，∴∠AEN＝74°，∴∠AHQ＝74°，∵∠KHD＝∠AHQ，∴∠KHD＝74°；当PK在AD下方时，延长HK，MN交于点T，由折叠可知，∠HKP＝90°，∠MNE＝90°，∵MN∥KP，∴∠T＝∠HKP＝90°，∴∠ENM＝∠T＝90°，∴EN∥HK，∵∠EFC＝37°，∴∠AEF＝37°，∴∠AEN＝74°，∴∠AHK＝74°，∵∠KHD＝180°﹣∠AHK＝106°；综上所述：∠KHD＝74°或106°，故选：D．12．解：因为拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，所以根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠C＝140°，故选A．13．解：如图．令∠BED＝x，则∠F＝．由题意得：∠BED＝∠DEM＝x，AH∥EM．∴∠BDE＝∠DEH＝x，∠EDH＝180°﹣x．∴∠EBD＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝180°﹣2x．∴∠ABE＝180°﹣∠EBD＝2x．又∵直线BN是∠ABE的角平分线．∴∠ABN＝．∴∠FBD＝∠ABN＝x．又∵直线DF是∠EDH的角平分线所在直线．∴∠FDE＝．∴∠BDF＝∠FDE﹣∠BDE＝（90°+）﹣x＝90°﹣．又∵∠BFD+∠FBD+∠FDB＝180°．∴．∴x＝72°．∴∠1＝∠EBD＝180°﹣2x＝36°．14．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB＝28°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+28°＝118°，∵矩形ABCD沿AF折叠，点B落在点E处，∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，∴∠AFC＝∠BAF+∠ABF＝59°+90°＝149°．故答案为149．15．解：（1）由折叠可知∠DFE＝∠EFG，∵∠CFG＝76°，∴∠DFE＝52°，∵AB∥CD，∴∠FEB＝∠DFE＝52°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝26°，故答案为：26°；（2）设∠BEG＝α，则∠FEB＝2α，∴∠DFE＝∠FEB＝2α，由折叠可知，∠A＝∠A'，∵∠A+∠DFE＝125°，∴∠A'+2α＝125°，∵EG∥A′D′，∴∠A'+∠A'EB+α＝180°，∴∠A'EB＝55°+α，∵∠AEF+2α＝180°，∴∠A'EB+2α+2α＝180°，∴α＝25°，∴∠DFE＝50°，∴∠CFE＝130°，故答案为：130°．16．解：（1）如图：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠F′GF＝∠GPD，由折叠得：∠GPQ＝∠GPD，∠MGF＝∠F′GF，∴∠MGF＝∠GPQ＝α＝60°，故答案为：60；（2）如图：由折叠得：∠MGF＝∠M′GF＝α，∵BC∥AD，∴∠PGF＝180°﹣∠GPD＝180°﹣2α，∵GM是∠PGF的三等分线，∴分两种情况：当∠MGF＝∠PGF时，∴α＝（180°﹣2α），∴α＝，当∠MGF＝∠PGF时，∴α＝（180°﹣2α），∴α＝36°，综上所述，α＝或36°，故答案为：或36．17．解：设直线AD与CN交于点Q．∵AM∥CN，∠EAD＝32°，∴∠EAD＝∠DQC＝32°，∵AB为∠EAD的角平分线，CB为∠DCN的角平分线，∠DCN＝88°，∴∠DCB＝∠BCN＝44°，∠DAB＝∠EAB＝16°，∵∠BCN+∠DQC＝∠BAD+∠ABC，即44°+32°＝16°+∠ABC，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝60°，∵∠ABD：∠CBD＝4：1，∴∠ABD＝48°，∠CBD＝12°，∴∠ADF＝∠ABD+∠BAD＝64°，∠CDF＝∠CBD+∠BCD＝56°，∴∠ADF：∠CDF＝8：7．故答案为：8：7．18．解：（1）根据上下边互相平行可知，α＝∠OAD，∵α＝70°，∴∠OAD＝70°．又∠OAD+2β＝180°，∴β＝55°．故答案为：55．（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的∠ACE都相等，而这四个角的和为180°，故每个角为45°，∴∠ACB＝90°，即α＝90°，由（1）中可得，β＝（180°﹣90°）＝45°．故答案为：45．19．解：（1）∵NB′∥A′M，∴∠A′EC＝∠B′NC＝48°，∵CN∥MD，∴∠A′MD＝∠A′EC＝48°．（2）①由（1）得：∠A′MD＝∠B′NC＝α，又∵2∠A′MN+∠A′MD＝180°，∴β＝90°﹣．②∵MA′恰好平分∠DMN，∴∠A′MD＝180°÷3＝60°．20．解：（1）①AD∥BC，理由如下：∵ED∥AB，∴∠EDF＝∠DAB，∵DA是∠CDE的角平分线，∴∠EDF＝∠ADC，∴∠DAB＝∠ADC，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，∴∠FBC＝65°，∵AD∥BC，∴∠DFB＝180°﹣∠FBC＝115°；（2）作CG∥AB，∵AB∥DE，∴CG∥AB∥DE，∴∠1＝180°﹣∠EDC，∠2＝180°﹣∠ABC，∴∠BCD＝∠1+∠2＝180°﹣∠EDC+180°﹣∠ABC＝180°﹣2∠EDA+180°﹣2∠ABF＝180°﹣2∠DAB+180°﹣2∠ABF＝360°﹣2（∠DAB+∠ABF）＝360°﹣2∠DFB＝α，∴∠DFB＝180°﹣α．二．平行线的判定与性质21．解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF，若∠CDG＝∠BFE，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BCD＝∠CDG，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB，故小明说法正确；∵FG∥AB，∴∠B＝∠GFC，故得不到∠GFC＝∠ADG，故小亮说法错误，故选：A．22．证明：（1）∵∠MCD＝∠BCM＝α，∴∠BCD＝∠BCM+∠MCD＝4α＝∠B，∴AB∥CD．解：（2）过O做OF，使OF∥AB∥CD∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝∠B＝3α，∵AB∥OF，∴∠B＝∠BOF，CD∥OF，∴∠FOD＝∠D，∠BOD＝∠BOF+∠FOD＝∠B+∠D＝4α+3α＝7α．证明：（3）过点P作AB、CD的平行线PQ，∵AB∥PQ∥CD，∴∠QPC＝∠PCD＝α，∴∠BEP＝∠EPQ＝∠OEB，∵∠COE＝∠OEP+∠ENO，且∠ENO＝∠B+∠BEN＝∠BNP，∴∠COE＝∠B+∠BEN+∠OEP＝∠B+∠OEB，又∵EP平分∠OEB，∴∠COE＝2∠EPC+∠B．23．（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，∴EF∥BC；（2）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，∴∠3+∠MNF＝180°，∴AB∥FP，∴∠F+∠BAF＝180°，∵∠BAF＝3∠F﹣20°，∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，解得∠F＝50°，∵AB∥FP，EF∥BC，∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，∴∠B＝∠F＝50°．24．（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射线GH是∠BGM的平分线，∴，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵，∴，∴∠FGN＝2β，过点H作HT∥GN，则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．25．（1）证明：∵∠1+∠BDE＝180°，∴AC∥DE，∴∠2＝∠ADE，∵∠2+∠4＝180°．∴∠ADE+∠4＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∵AD∥EF，∴∠BAD＝∠3＝90°，∵∠2+∠4＝180°，∠4＝140°，∴∠2＝40°，∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°．。
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2-3平行线的性质》解答题专题训练(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学下册《2.3平行线的性质》解答题专题训练（附答案）1．已知：如图，AD是∠BAC的平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．求证：∠AGF＝∠F．请你根据已知条件补充推理过程，并在相应括号内注明理由．证明：∵（已知），∴∠BAD＝∠CAD（）．∵EF∥AD（已知），∴∠＝∠BAD（），∠＝∠CAD（）．∴∠AGF＝∠F（）．2．如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，求∠A的度数．3．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．4．如图，已知AD∥BC，点E在AB的延长线上，连结DE交BC于点F，且∠C＝∠A．（1）请说明∠E＝∠CDE的理由；（2）若∠1＝75°，∠E＝30°，求∠A的度数．5．如图，已知AB∥CD，∠ABD的平分线BF和∠BDC的平分线DE交于点E，BF交CD 于点F．（1）求∠1+∠2的度数；（2）若∠2＝35°，求∠3的度数．6．如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：∠D＝∠DCE．7．如图，AC与BD相交于点O，连接AB，CD，AE，CF分别平分∠OAB，∠OCD交OB，OD于点E，F，若AB∥CD，求证：∠1＝∠2．8．如图，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P（1）若∠AEF＝66°，求∠PEF的度数；（2）若直线AB∥CD，求∠P的度数．9．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD 分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D．（推理时不需要写出每一步的理由）（1）求∠CBD的度数．（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．10．如图，已知∠1＝40°，∠2＝2∠1．（1）分别求出∠2、∠FED的度数；（2）当∠BDE＝120°时，求证：∠C＝∠1；（3）请你过点A作一条射线AG，使得AG∥EF，并与DE的延长线交于点G，并判断∠EDC、∠AED与∠EAG的数量关系，不用说明理由．11．如图，AB∥DG，AD∥EF．（1）试说明：∠1+∠2＝180°；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝138°，求∠B的度数．12．已知AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，点G为平面内一点，连接EG、FG．（1）如图1．当点G在AB、CD之间时，请写出∠AEG、∠CFG与∠EGF之间的数量关系并写出证明过程；（2）如图2．当点G在AB上方时，且∠EGF＝90°，过点E作直线HK交直线CD于点K，使∠HEG＝∠GEA．过点K作FG的平行线KL交GE延长线于点L，请你判断KL是否平分∠EKD？若平分，请证明；若不平分，请说明理由．13．如图，已知AB∥CD，CP∥DN．（1）求证：∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；（2）求证：∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；（3）当，，且∠AMD＝150°时，求∠APC的度数．14．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O．（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度数；（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度数；（3）探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果）15．已知一角的两边与另一个角的两边分别平行，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．（1）如图1所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是；（2）如图2所示，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是；（3）经过上述探索，我们可以得到一个结论（试用文字语言表述）：；（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是多少度？16．已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝70°，∠ADC＝60°，直接写出∠BED 的度数；（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ADC＝x，∠ABC＝y，求∠BED的度数（用含有x，y的式子表示）．17．问题情境：如图1，AB∥CD，∠BAM＝45°，∠DCM＝37°，求∠AMC的度数．（1）请你用两种不同的方法解答这个问题；（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点M在直线BD上运动，∠BAM＝∠α，∠DCM＝∠β．①当点M在线段BD上运动时（不与点B，D重合），∠AMC、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．②如果点M在线段BD之外运动时，请你直接写出∠AMC、∠α、∠β之间的数量关系．18．综合与实践【问题情境】在一次综合与实践课上，老师让同学们以平行线为主题，进行相关问题的探究，进一步感受平行线在寻找角之间的关系的作用，以下是智慧小组的活动过程，请你加入他们小组一起完成探究．【初步探究】（1）如图1，AB∥CD∥EF，当∠1＝60°，∠3＝140°时，试求∠2的大小；【深入探究】（2）经过探究发现，图1中的∠1，∠2，∠3之间存在着一定的数量关系，下列选项中能正确表示这种关系的是；A．∠1+∠2＝∠3 B．∠3+∠2﹣∠1＝90°C．∠1+∠3﹣∠2＝180°D．∠3+∠2＝2∠1【拓展应用】（3）如图2，一条公路经过三次拐弯后又回到原来的方向，若第一次的拐角∠1＝75°，第三次的拐角∠3＝135°，则第二次的拐角∠2＝．19．数学活动课上，老师先在黑板上画出两条直线a∥b，再将三角板MBC（∠MBC＝90°，MB与直线a相交于点A）放在黑板上，转动三角板得到下面三个不同位置的图形．（1）如图1，若点B在直线b上，∠2＝24°，则∠1＝；（2）如图2，若点B在直线a的下方，在直线b的上方，∠1与∠2有怎样的关系？写出结论，并给出证明；（3）如图3，若点B在直线b的下方，请直接写出∠1与∠2之间的关系．20．已知，如图，AB∥CD，点E、F分别为直线AB、CD上的点，点G在两平行线AB与CD之间，连接EG、FG，∠AEG的角平分线EH交CD于点H．（1）如图1，当∠BEG＝70°时，求∠EHD；（2）如图2，∠GFD的角平分线FP的反向延长线交EH于点M，①求证：∠AEM＝∠EMF+∠PFD；②请直接写出∠EMF与∠EGF的数量关系．参考答案1．证明：∵AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），∵EF∥AD（已知），∴∠FGA＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），∠F＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），∴∠AGF＝∠F（等量代换），故答案为：AD是△ABC的角平分线；角平分线的定义；FGA，两直线平行，内错角相等；F，两直线平行，同位角相等；等量代换．2．解：∵m∥n，∴∠3＝∠1＝70°，∵∠3＝∠2+∠A，∴∠A＝∠3﹣∠2＝70°﹣30°＝40°．3．解：过点P作射线PN∥AB，如图．∵AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠4＝∠2＝28°．∵PN∥AB，∴∠3＝∠1．又∵∠3＝∠BPC﹣∠4＝58°﹣28°＝30°，∴∠1＝30°．4．解：（1）∵AD∥BC，∴∠A＝∠CBE，∵∠C＝∠A，∴∠C＝∠CBE，∴CD∥AB，∴∠E＝∠CDE；（2）∵∠1＝75°，∴∠BFE＝∠1＝75°，∵∠E＝30°，∴∠CBE＝180°﹣∠BFE﹣∠E＝75°，∵AD∥BC，∴∠A＝∠CBE＝75°．5．解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，∵BF平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，又∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝180°，即2∠1+2∠2＝180°，∴∠1+∠2＝90°；（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2＝35°，∴∠1＝90°﹣35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝125°．6．证明：∵∠3＝∠4，∴∠3+∠CAE＝∠4+∠CAE，即∠BAE＝∠DAC，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BAE，∴∠2＝∠DAC，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DAC，∴AD∥BE，∴∠D＝∠DCE．7．证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∵AE，CF分别平分∠OAB，∠OCD，∴∠OAE＝OAB，∠OCF＝∠OCD，∴∠OAE＝∠OCF，∴AE∥CF，∴∠1＝∠2．8．解：（1）∵∠AEF＝66°，∴∠BEF＝180°﹣∠AEF＝114°，∵EP平分∠BEF，∴∠PEF＝∠BEF＝57°；（2）∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，∴∠PEF+∠PFE＝（∠BEF+∠DFE）＝90°，∴∠P＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝90°．9．解：（1）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°，∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABP+∠PBN＝120°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN，∴∠APB：∠ADB＝2：1．10．（1）解：∵∠1＝40°，∠2＝2∠1，∴∠2＝2×40°＝80°，∴∠FED＝180°﹣∠1﹣∠2＝60°；（2）证明：∵∠BDE＝120°，∠FED＝60°，∴∠BDE+∠FED＝180°，∴EF∥BC，∴∠C＝∠1；（3）解：作图如下：∠AED＝∠GAE+∠EDC，理由如下：∵AG∥EF，∴∠GAE＝∠1，∵EF∥BC，∴∠FED＝∠EDC，∵∠AED＝∠1+∠FED，∴∠AED＝∠GAE+∠EDC．11．解：（1）∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°，∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∴∠1+∠2＝180°．（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝138°，∴∠1＝42°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝42°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝42°．12．解：（1）∠EGF＝∠AEG+CFG，理由如下：过点G作GH∥AB，∴∠AEG＝∠EGH，∵AB∥CD，GH∥AB，∴GH∥CD，∴∠FGH＝∠CFG，∵∠EGF＝∠EGH+∠FGH，∴∠EGF＝∠AEG+∠CFG；（2）KL平分∠EKD，理由如下：如图，设AB交FG于点Q，∵FG∥KL，∴∠LKD＝∠GFK，∵AB∥CD，∴∠GQB＝∠GFD，∴∠LKD＝∠GQB，∵∠EGF＝90°，∴∠GEA+∠GQB＝90°，∴∠GEA+∠LKD＝90°，∵∠HEG＝∠GEA，∴∠HEG+∠LKD＝90°，∵∠HEG＝∠LEK，∴∠LEK+∠LKD＝90°，∵FG∥KL，∴∠EGF+∠ELK＝180°，∵∠EGF＝90°，∴∠ELK＝90°，∴∠LEK+∠EKL＝90°，∴∠EKL＝∠LKD，∴KL平分∠EKD．13．（1）证明：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠BAP+∠APE＝180°，∠CPE+∠DCP＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠CPE+∠DCP＝360°，即∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°；（2）证明：过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MQ∥CD，∴∠BAM+∠AMQ＝180°，∠CDM＝∠DMQ，∵∠AMD＝∠AMQ+∠DMQ，∴∠AMQ＝∠AMD﹣∠CDM，∴∠BAM+∠AMD﹣∠CDM＝180°；（3）解：延长AM交CD于点E，延长AP交CD的延长线于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE+∠AED＝180°，∵∠AMD＝∠MED+∠MDE＝150°，∴180°﹣∠BAM+∠MDE＝150°，∵∠NDM＝∠NDC，∴∠MDE＝∠NDC，∵∠BAM＝∠BAP，∴∠BAP﹣∠NDC＝30°，∴∠BAP﹣∠NDC＝45°，∵AB∥CD，∴∠BAP+∠AFC＝180°，∵CP∥DN，∴∠PCF＝∠NDC，∴∠APC＝∠AFC+∠PCF＝180°﹣∠BAP+∠NDC＝180°﹣（∠BAP﹣∠NDC）＝180°﹣45°＝135°．14．解：（1）作EH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，∴∠MEN＝∠AME+∠CNE，∵EM是∠AMF的平分线，∴∠AME＝∠AMF，∴∠MEN＝∠AMF+∠CNE＝×52°+38°＝64°；同理可得∠MFN＝∠AMF+∠CNE＝52°+×38°＝71°；（2）∵∠MEN＝∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+∠CNE，∴2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，∴2∠MFN﹣∠MEN＝∠AMF，∵2∠MFN﹣∠MEN＝45°，∴∠AMF＝45°，∴∠AMF＝30°；（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，而∠MEN＝∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF+∠CNE，∴2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，∴2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），∴∠AMF+∠CNE＝（∠MEN+∠MFN），∴∠MON＝（∠MEN+∠MFN）．15．解：（1）如图1．∵AB∥EF，∴∠1＝∠3．∵BC∥DE，∴∠3＝∠2．∴∠1＝∠2．故答案为：∠1＝∠2．（2）∵AB∥EF，∴∠1＝∠BGE．∵BC∥DE，∴∠2+∠BGE＝180°．∴∠1+∠2＝180°．故答案为：∠1+∠2＝180°．（3）由（1）、（2）得：一角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角要么相等，要么互补．（4）设这两个角分别是∠1、∠2，且∠1＝2∠2﹣30°．∵∠1+∠2＝180°，∴2∠2﹣30°+∠2＝180°．∴∠2＝70°．∴∠1＝2×70°﹣30°＝110°．∴这两个角分别为70°、110°，或∠1＝∠2，且∠1＝2∠2﹣30°，∴∠1＝∠2＝30°．16．解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠EDC，∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC，即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°；（2）过点E作EF∥AB，如图2，则∠BEF+∠EBA＝180°，∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠EDC，∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝α，∠EDC＝∠ADC＝β，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣．17．解：（1）方法一：如图，过点M作MN∥AB，∴∠AMN＝∠BAM＝45°，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠CMN＝∠DCM＝37°，∴∠AMC＝∠AMN+∠CMN＝45°+37°＝82°．方法二：如图，延长AM交CD于点E，∵AB∥CD，∴∠CEM＝∠BAM＝45°，∵∠DCM＝37°，∴∠CME＝180°﹣∠DCM﹣∠CEM＝98°，∴∠AMC＝180°﹣∠CME＝82°，（2）①∠AMC＝∠α+∠β．如图，过点M作MN∥AB，∴∠AMN＝∠BAM＝∠α，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠CMN＝∠DCM＝∠β，∴∠AMC＝∠AMN+∠CMN＝∠α+∠β．②当点M在点B的上方时：∠AMC＝∠β﹣∠α；当点M在点B的下方时：∠AMC＝∠α﹣∠．18．解：（1）如图1，延长DC交OB于G，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BGD，∵∠BGD＝∠2+∠OCG，∴∠1＝∠2+∠OCG，∵∠OCG＝180°﹣∠3，∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，∵∠1＝60°，∠3＝140°，∴∠2＝20°（2）如图1，延长DC交OB于G，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BGD，∵∠BGD＝∠2+∠OCG，∴∠1＝∠2+∠OCG，∵∠OCG＝180°﹣∠3，∴∠1＝∠2+180°﹣∠3，∴∠1+∠3﹣∠2＝180°，故选：C．（3）如图2，延长DC交AB于F，∵DE∥AB，∴∠3+∠CFB＝180°，∴∠CFB＝∠180°﹣∠3，∵∠2＝∠1+∠DFB，∴∠2＝∠1+180°﹣∠3，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°∵∠1＝75°，∠3＝135°，∴∠2＝120°．故答案为：120°19．（1）解：设三角板与直线b的交点为N，由余角性质和平行线的性质可知，∠2+∠ABN＝90°，∠1+∠ABN＝180°，∴∠1+（90°﹣∠2）＝180°，∴∠1＝90°+∠2＝90°+24°＝114°．故答案为：114°．（2）∠1与∠2的关系：∠1＝90°+∠2．证明：过点B作BN∥a∥b，由题意可知，∠ABN+∠CBN＝90°，∠2＝∠CBN，∠1+∠ABN＝180°，∴∠1+（90°﹣∠2）＝180°，∴∠1＝90°+∠2．（3）∠1＝90°﹣∠2．证明：设BC与直线b交于E点，BM与直线b交于F点，则，∠2＝∠BEF，∠1＝∠BFE，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1＝90°﹣∠2．20．（1）解：∵∠BEG＝70°，∴∠AEG＝110°，∵EH平分∠AEG，∴∠AEH＝∠GEH＝55°，∵AB∥CD，∴∠EHD＝∠AEH＝55°；（2）①证明：∵AB∥CD，∴∠AEM＝∠EHD，∵∠EHD＝∠EMF+∠CFM，∴∠AEM＝∠EMF+∠CFM，∵∠PFD＝∠CFM，∴∠AEM＝∠EMF+∠PFD；②解：如图，过点G作GM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MG，∴∠BEG＝∠EGM，∠MGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，∵EH平分∠AEG，PF平分∠GFD，∴∠AEM＝∠MEG，∠GFP＝∠PFD，设∠AEM＝∠MEG＝y，∠GFP＝∠PFD＝∠MFH＝x，∴∠EGF＝180°﹣2y+2x，∠EMF＝y﹣x，∴∠EGF＝180°﹣2∠EMF．。
北师大数学七下课件2-3平行线的性质
新知2 平行线的判定与性质的区别及应用
平行线的判定叙述的是两条直线满足什么条件时， 它们互相平行；而平行线的性质是已知两条直线平 行，那么它会有哪些性质.
在应用平行线的判定与性质解题时，关键是要看清 题目中的平行关系是在条件中还是在结论中，以便 选择适当的定理来解题.
灿若寒星
【例2】如图2－3－9，已知BE∥DF，∠B＝∠D， 试说明：AD∥BC.
灿若寒星
1. (3分)如图KT2－3－1，直线a∥b，∠1＝75°，∠2 ＝35°，则∠3的度数是( C ) A.75° B. 55° C. 40° D. 35°
灿若寒星
2. (3分)如图KT2－3－2，AB∥CD，∠1＝58°，FG 平分∠EFD，则∠FGB的度数等于( B )
A. 122° B. 151° C. 116° D. 97°
m°；
灿若寒星
(3)如图KT2－3－8③点G为CD上一点，∠BMN＝ n·∠EMN，∠GEK＝n·∠GEM，EH∥MN交AB于点 H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系( 用含n的式子表示).
灿若寒图星KT2－3－8
解：因为∠BMN＝n·∠EMN，)， 所以∠D＝∠EAD(两条 直线平行，内错角相等). 因为∠B＝∠D(已知)， 所以∠B＝∠EAD. 所以AD∥BC(同位角相等，两直线平行).
灿若寒星
举一反三
1. 如图2－3－10，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E ＝∠1，可得AD平分∠BAC. 理由如下：
因为AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G (已知)， 所以∠ADC＝∠EGC＝90° ( 垂直定义 ). 所以AD∥ EG (同位角相等，两直线平行). 所以∠1＝∠2 ( 两直线平行，内错角相等 )， ∠E＝∠3 (两直线平行，同位角相等). 又因为∠E＝∠1 (已知)， 所以∠ 2 ＝∠ 3 (等量代换). 所以AD平分∠BAC( 角平灿若分寒星线定义 ).
北师大版初中数学七年级下册《2.3 平行线的性质》同步练习卷(含答案解析
北师大新版七年级下学期《2.3 平行线的性质》同步练习卷一．选择题（共25小题）1．如图，已知AB∥CD，∠BEG=58°，∠G=30°，则∠HFG的度数为（）A．28°B．29°C．30°D．32°2．如图，AB∥CD，∠AFE=135°，∠D=80°，则∠E等于（）A．55°B．45°C．80°D．50°3．如图，AC∥BE，∠ABE=70°，则∠A的度数为（）A．70°B．65°C．50°D．140°4．如图，DE∥AB，若∠A=60°，则∠ACE=（）A．30°B．60°C．70°D．120°5．如图，∠A的一边AB为平面镜，另一边AC上有一点D，从D点射出一束光线经AB上一点E反射，反射光线EF恰好与AC平行，已知∠AED=∠BEF，∠EDC=70°，则∠A的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°6．如图，直线l1和直线l2被直线l所截，已知l1∥l2，∠1=70°，则∠2的度数是（）A．50°B．70°C．90°D．110°7．如图，现将一块三角板的含有60°的角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=80°，那么∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，直线a∥b，则∠1与∠2不一定相等的是（）A．B．C．D．9．将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果∠1=58°，那么∠2的度数为（）A．32°B．58°C．138°D．148°10．如图，AB∥EF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=36°，则∠ADC 的度数（）A．106°B．116°C．126°D．136°11．如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板如图放置，直角顶点落在直线b 上，若∠1=55°，则∠2的度数为（）A．30°B．35°C．45°D．55°12．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，已知∠FEG=36°，则∠EFG=（）A．36°B．72°C．108°D．144°13．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．150°D．180°14．如图，直线m∥n，一个含30°角的直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）A．38°B．42°C．52°D．68°15．如图，直线a∥b，Rt△BCD如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°16．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．130°B．140°C．120°D．125°17．如图，已知直线AB∥CD，∠BEG的平分线EF交CD于点F，若∠1=42°，则∠2等于（）A．159°B．148°C．142°D．138°18．一辆汽车在直路上行驶，两次拐弯后，仍按原来的方向行驶，那么这两次拐弯是（）A．第一次向右拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐30°，第二次向右拐150°C．第一次向左拐30°，第二次向右拐150°D．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°19．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°20．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是（）A．18°B．126°C．18°或126°D．以上都不对21．如图所示，AB∥CD∥EF，CG平分∠DCE，AF平分∠BAE，则图中与∠CGE 相等的角共有（不包括∠CGE）（）个．A．5B．6C．7D．822．如图，a∥b，将一块三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1=42°，求∠2的度数．以下是排乱的推理过程：①∵∠1=42°②∵a∥b③∴∠3=90°﹣42°=48°④∴∠2=48°⑤∴∠2=∠3推理步骤正确的顺序是（）A．①→③→②→④→⑤B．①→③→②→⑤→④C．①→⑤→②→③→④D．②→③→①→④→⑤23．如图，已知直线a∥b，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点分别放在直线a、b上，若∠1=62°，则∠2的度数为（）A．28°B．32°C．38°D．40°24．如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D，C两点分别落在点D′，C′的位置，∠DEF=∠D′EF，并利用量角器量得∠EFB=66°，则∠AED′的度数为（）A．66°B．132°C．48°D．38°25．如图，长方形纸片ABCD的边长AB=2，AD=2，将长方形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，如果∠BCE=30°，则∠DFE的大小是（）A．120°B．110°C．115°D．105°二．填空题（共14小题）26．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2，若∠1=75°，则∠2的度数为．27．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，则图中∠1与∠2之间的数量关系为．28．用一张长方形纸条折成如图所示图形，如果∠1=62°，那么∠2=．29．如图，直线m∥n，若∠1=70°，∠2=25°，则∠A等于．30．如图，直线AB∥CD，E为直线AB上一点，EH，EM分别交直线CD与点F、M，EH平分∠AEM，MN⊥AB，垂足为点N，∠CFH=α，∠EMN=（用含α的式子表示）31．如图，小明把一块含有60°锐角的直角三角板的三个顶点分别放在一组平行线上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是．32．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2=．33．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1=45°，则∠2=．34．如图，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，若∠C=50°，则∠AED=°．35．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=．36．如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=．37．如图是一架婴儿车，其中AB∥CD，∠BFG=50°，∠D=40°，那么∠AEF=．38．如图，已知直线a∥b，∠1=72°，∠2=38°，则∠3=°．39．如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为．三．解答题（共11小题）40．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，求∠FAG的度数．41．如图，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了证明“∠A+∠B+∠C=180°”的过程，请补充完整：证明：∵DE∥AC，EF∥AB（已知），∴∠1=∠，∠3=∠，∠4=∠（两直线平行，同位角相等）∵EF∥AB（已知）∴∠2=∠4（）∴∠2=∠A（等量代换）∵∠1+∠2+∠3=180°（）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．42．如图，已知EF∥AB，∠1=∠B，求证：∠EDC=∠DCB．43．根据下面解答过程，完成下面填空：如图，已知AB∥CD∥EF，∠A=105°，∠ACE=51°，求∠E的度数．44．如图DE⊥AB，EF∥AC，∠A=35°，求∠DEF的度数．45．如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，问：EP⊥FP吗？请说明理由．46．已知AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．求证：∠AGF=∠F．47．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°，∠DEF=80°．（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由．（2）求∠AFE的度数．48．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，你能算出∠EAD、∠DAC、∠EAC的度数吗？49．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数．50．已知AB∥CD，AD∥BC，E为CB延长线上一点，∠EAF=∠EFA．（1）求证：AF平分∠EAD；（2）若AG平分∠EAB，∠D=70°，求∠GAF的度数．北师大新版七年级下学期《2.3 平行线的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．如图，已知AB∥CD，∠BEG=58°，∠G=30°，则∠HFG的度数为（）A．28°B．29°C．30°D．32°【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得∠EHF的度数，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠BEG=58°，∴∠EHF=58°，∵∠G=30°，∴∠HFG=58°﹣30°=28°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质与三角形外角的性质的定义，解题的依据是：两直线平行，内错角相等．2．如图，AB∥CD，∠AFE=135°，∠D=80°，则∠E等于（）A．55°B．45°C．80°D．50°【分析】先根据两直线平行内错角相等得出∠DGF=∠AFE=135°，由邻补角定义得出∠DGE=45°，最后根据三角形的内角和为180°可得答案．【解答】解：∵AB∥CD，∠AFE=135°，∴∠DGF=∠AFE=135°，∴∠DGE=180°﹣∠DGF=45°，∵∠D=80°，∴∠E=180°﹣∠D﹣∠DGE=55°，故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．3．如图，AC∥BE，∠ABE=70°，则∠A的度数为（）A．70°B．65°C．50°D．140°【分析】根据平行线的性质进行判断即可，两直线平行，内错角相等．【解答】解：∵AC∥BE，∴∠A=∠ABE=70°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．4．如图，DE∥AB，若∠A=60°，则∠ACE=（）A．30°B．60°C．70°D．120°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠A+∠ACE=180°，∴∠ACE=180°﹣60°=120°．故选：D．【点评】本题考查了平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5．如图，∠A的一边AB为平面镜，另一边AC上有一点D，从D点射出一束光线经AB上一点E反射，反射光线EF恰好与AC平行，已知∠AED=∠BEF，∠EDC=70°，则∠A的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】过点E作EH⊥AB交AC于点H．根据题意知，EH是∠DEF的角平分线，故∠1=∠3；然后又由两直线EF∥AC推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠A的度数．【解答】解：过点E作EH⊥AB交AC于点H．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3，∵EF∥AC，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；∴∠2=∠3（等量代换）；∵∠EDC=70°，∴∠2=∠3=55°，在Rt△AEH中，∠AEH=90°，∠2=55°，∴∠A=90°﹣55°=35°；故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．6．如图，直线l1和直线l2被直线l所截，已知l1∥l2，∠1=70°，则∠2的度数是（）A．50°B．70°C．90°D．110°【分析】根据平行线的性质得出∠2=∠3，然后根据对顶角相等得出∠3=∠1=70°，即可求出答案．【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠3=∠2，∵∠3=∠1=70°，∴∠2=70°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．7．如图，现将一块三角板的含有60°的角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=80°，那么∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】先根据两直线平行的性质，得到∠3=∠2，再根据平角的定义，即可得出∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3=∠2，∵∠1=80°，∴80°+60°+∠3=180°，∴∠3=40°，∴∠2=40°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．8．如图，直线a∥b，则∠1与∠2不一定相等的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线的性质分析选择．【解答】解：A、∵a∥b，∴∠1=∠2，正确；B、∵a∥b，∴∠1=∠2，正确；C、∵a∥b，∴∠1=∠2，正确；D、∵a∥b，∴∠1+∠2=180°，错误；故选：D．【点评】此题考查平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．9．将一把直尺与一块直角三角板如图放置，如果∠1=58°，那么∠2的度数为（）A．32°B．58°C．138°D．148°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．【解答】解：如图，由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+58°=148°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=148°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．10．如图，AB∥EF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=36°，则∠ADC 的度数（）A．106°B．116°C．126°D．136°【分析】依据BE∥AF，∠A=36°，即可得到∠B=∠A=36°，再根据DC⊥BE，即可得出∠ADC=∠B+∠BCD=36°+90°=126°．【解答】解：∵BE∥AF，∠A=36°，∴∠B=∠A=36°，又∵DC⊥BE，∴∠ADC=∠B+∠BCD=36°+90°=126°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．11．如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板如图放置，直角顶点落在直线b 上，若∠1=55°，则∠2的度数为（）A．30°B．35°C．45°D．55°【分析】依据直角顶点落在直线b上，∠1=55°，即可得到∠3=90°﹣55°=35°，再根据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=35°．【解答】解：∵直角顶点落在直线b上，∠1=55°，∴∠3=90°﹣55°=35°，又∵a∥b，∴∠2=∠3=35°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．12．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，已知∠FEG=36°，则∠EFG=（）A．36°B．72°C．108°D．144°【分析】依据EG平分∠AEF，∠FEG=36°，即可得到∠AEF=72°，再根据平行线的性质，即可得出∠EFG=180°﹣∠AEF=108°．【解答】解：∵EG平分∠AEF，∠FEG=36°，∴∠AEF=72°，又∵AB∥CD，∴∠EFG=180°﹣∠AEF=108°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．13．已知l1∥l2，一个含有30°角的三角尺按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．120°C．150°D．180°【分析】先利用平行线的性质得出∠1=∠3，∠2=∠4，最后利用直角三角形的性质即可．【解答】解：如图，过直角顶点作l3∥l1，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥l3，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线，是一道基础题目．14．如图，直线m∥n，一个含30°角的直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（）A．38°B．42°C．52°D．68°【分析】先求出∠1，再根据两直线平行，同位角相等可得∠α=∠1．【解答】解：如图，∠1=180°﹣60°﹣52°=68°，∵直线m∥n，∴∠α=∠1=68°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，平角的定义，要求正确观察图形，熟练掌握平行线的性质．15．如图，直线a∥b，Rt△BCD如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（）A．20°B．40°C．30°D．25°【分析】由三角形外角性质求出∠3的度数，再由a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到∠3+∠4+∠2的度数，根据∠3与∠4的度数求出∠2的度数即可．【解答】解：∵∠3为三角形的外角，∴∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∴∠3+∠4+∠2=180°，∵∠4=90°，∠3=70°，∴∠2=20°．故选：A．【点评】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．16．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．130°B．140°C．120°D．125°【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．【解答】解：∵∠1=40°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°，∴∠4=180°﹣50°=130°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠4=130°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．17．如图，已知直线AB∥CD，∠BEG的平分线EF交CD于点F，若∠1=42°，则∠2等于（）A．159°B．148°C．142°D．138°【分析】根据平行线的性质可得∠GEB=∠1=42°，然后根据EF为∠GEB的平分线可得出∠FEB的度数，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠GEB=∠1=40°，∵EF为∠GEB的平分线，∴∠FEB=∠GEB=21°，∴∠2=180°﹣∠FEB=159°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．18．一辆汽车在直路上行驶，两次拐弯后，仍按原来的方向行驶，那么这两次拐弯是（）A．第一次向右拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐30°，第二次向右拐150°C．第一次向左拐30°，第二次向右拐150°D．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等．【解答】解：如图所示，∵∠1=∠2=30°，∴AB∥CD，且两次拐弯方向相反，∴第一次向左拐30°，第二次向右拐30°．故选：D．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．19．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．20．如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是（）A．18°B．126°C．18°或126°D．以上都不对【分析】由∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，然后设∠α=x°，由∠α比∠β的3倍少36°，分别从∠α与∠β相等或互补去分析，求得方程，解方程即可求得∠α的度数．【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，∴∠α与∠β相等或互补，设∠α=x°，∵∠α比∠β的3倍少36°，∴若∠α与∠β相等，则x=3x﹣36，解得：x=18，若∠α与∠β互补，则x=3（180﹣x）﹣36，解得：x=126，∴∠α的度数是18°或126°．故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意若∠α与∠β的两边分别平行，即可得∠α与∠β相等或互补，注意方程思想与分类讨论思想的应用．21．如图所示，AB∥CD∥EF，CG平分∠DCE，AF平分∠BAE，则图中与∠CGE 相等的角共有（不包括∠CGE）（）个．A．5B．6C．7D．8【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，CG平分∠DCE，AF平分∠BAE，∴图中与∠CGE相等的角有∠HFG，∠DCG，∠ECG，∠CAF，∠BAF，∠AHC，∠DHF故选：C．【点评】本题考查了平行线性质，对顶角相等，角平分线的定义的应用，主要考查学生的推理能力．22．如图，a∥b，将一块三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1=42°，求∠2的度数．以下是排乱的推理过程：①∵∠1=42°②∵a∥b③∴∠3=90°﹣42°=48°④∴∠2=48°⑤∴∠2=∠3推理步骤正确的顺序是（）A．①→③→②→④→⑤B．①→③→②→⑤→④C．①→⑤→②→③→④D．②→③→①→④→⑤【分析】根据直角的定义求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠3，代入求出即可．【解答】解：①∵∠1=42°，③∴∠3=90°﹣42°=48°②∵a∥b⑤∴∠2=∠3④∴∠2=48°故推理步骤正确的顺序是①→③→②→⑤→④．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能求出∠2=∠3是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．23．如图，已知直线a∥b，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点分别放在直线a、b上，若∠1=62°，则∠2的度数为（）A．28°B．32°C．38°D．40°【分析】根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据角的和差关系即可求解．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1=62°，∴∠3=62°，90°﹣60°=30°，∴∠2=62°﹣30°=32°．故选：B．【点评】考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．24．如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D，C两点分别落在点D′，C′的位置，∠DEF=∠D′EF，并利用量角器量得∠EFB=66°，则∠AED′的度数为（）A．66°B．132°C．48°D．38°【分析】先根据平角的定义求出∠EFC，根据平行线的性质求出∠DEF，根据折叠求出∠D′EF，即可求出答案．【解答】解：∵∠EFB=66°，∴∠EFC=180°﹣66°=114°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF=180°﹣∠EFC=180°﹣114°=66°，∵沿EF折叠D和D′重合，∴∠D′EF=∠DEF=66°，∴∠AED′=180°﹣66°﹣66°=48°．故选：C．【点评】本题考查了折叠性质，矩形性质，平行线的性质的应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．25．如图，长方形纸片ABCD的边长AB=2，AD=2，将长方形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，如果∠BCE=30°，则∠DFE的大小是（）A．120°B．110°C．115°D．105°【分析】先根据三角形内角和定理得到∠BEC的度数，再根据折叠的性质即可得到∠AEF的度数，最后根据平行线的性质，即可得到∠DFE的度数．【解答】解：∵∠BCE=30°，∠B=90°，∴∠BEC=60°，由折叠可得，∠AEF=∠CEF，∴∠AEF=（180°﹣∠BEC）=60°，由CD∥AB，可得∠AEF+∠DFE=180°，∴∠DFE=180°﹣60°=120°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．二．填空题（共14小题）26．如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2，若∠1=75°，则∠2的度数为15°．【分析】过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可知∠1+∠2=∠AEC=90°，进而得到∠2的度数．【解答】解：如图，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，∴∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°，又∵∠1=75°，∴∠2=15°．故答案为：15°．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．27．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，则图中∠1与∠2之间的数量关系为∠2﹣∠1=90°．【分析】先根据平角的定义得出∠3=180°﹣∠2，再由平行线的性质得出∠4=∠3，根据∠4+∠1=90°即可得出结论．【解答】解：∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°﹣∠2．∵直尺的两边互相平行，∴∠4=∠3，∴∠4=180°﹣∠2．∵∠4+∠1=90°，∴180°﹣∠2+∠1=90°，即∠2﹣∠1=90°．∴∠1与∠2之间的数量关系为：∠2﹣∠1=90°，故答案为：∠2﹣∠1=90°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．28．用一张长方形纸条折成如图所示图形，如果∠1=62°，那么∠2=59°．【分析】由折叠可得，∠2=∠BEF，依据∠1=62°，即可得到∠2=（180°﹣62°）=59°．【解答】解：由折叠可得，∠2=∠BEF，又∵∠1=62°，∴∠2=（180°﹣62°）=59°，故答案为：59°．【点评】本题考查了折叠性质，平行线性质的应用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．29．如图，直线m∥n，若∠1=70°，∠2=25°，则∠A等于45°．【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．【解答】解：如图，∵直线m∥n，∴∠1=∠3，∵∠1=70°，∴∠3=70°，∵∠3=∠2+∠A，∠2=25°，∴∠A=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，解决问题的关键是求出∠3的度数．30．如图，直线AB∥CD，E为直线AB上一点，EH，EM分别交直线CD与点F、M，EH平分∠AEM，MN⊥AB，垂足为点N，∠CFH=α，∠EMN=2α﹣90°（用含α的式子表示）【分析】先利用平行线的性质得到∠AEH=∠CFH=α，再根据角平分线定义得到∠MEH=∠AEH=α，则利用邻补角的定义得到∠MEN=180°﹣2α，然后根据三角形内角和计算∠EMN的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEH=∠CFH=α，∵EH平分∠AEM，∴∠MEH=∠AEH=α，∴∠MEN=180°﹣2α，∵MN⊥AB，∴∠MNE=90°，∴∠EMN=90°﹣（180°﹣2α）=2α﹣90°．故答案为2α﹣90°．【点评】本题考查了平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．31．如图，小明把一块含有60°锐角的直角三角板的三个顶点分别放在一组平行线上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是40°．【分析】先根据a∥b得出∠1=∠3=20°，再求出∠4的度数，由b∥c即可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1=20°，∴∠1=∠3=30°，∴∠4=60°﹣20°=40°．∵b∥c，∴∠2=∠4=40°．故答案为：40°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．32．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，那么∠2=35°．【分析】由垂线的性质和平角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠3=180°﹣90°﹣∠1=35°，∵a∥b，∴∠2=∠3=35°．故答案为：35°．【点评】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．33．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1=45°，则∠2=135°．【分析】直接利用平行线的性质结合邻补角的性质得出答案．【解答】解：∵直线a∥b，∠1=45°，∴∠3=45°，∴∠2=180°﹣45°=135°．故答案为：135°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．34．如图，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，若∠C=50°，则∠AED=50°．【分析】依据DE∥BC，可得∠AED=∠C，利用∠C=50°，即可得到∠AED=50°．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠AED=∠C，又∵∠C=50°，∴∠AED=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．35．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=85°．【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1=40°，∠4=45°，∴∠3=∠1+∠4=85°，∵矩形对边平行，∴∠2=∠3=85°．故答案为：85°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．36．如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=60°．【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．【解答】解：∵DA⊥CE，∴∠DAE=90°，∵∠EAB=30°，∴∠BAD=60°，又∵AB∥CD，∴∠D=∠BAD=60°，故答案为：60°．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．37．如图是一架婴儿车，其中AB∥CD，∠BFG=50°，∠D=40°，那么∠AEF=90°．【分析】直接利用平行线的性质得出∠A=∠D=40°，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠D=40°，∵∠BFG=50°，∴∠AFE=50°，∴∠AEF=180°﹣40°﹣50°=90°．故答案为：90°．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，正确得出∠A度数是解题关键．38．如图，已知直线a∥b，∠1=72°，∠2=38°，则∠3=70°．【分析】依据a∥b，即可得到∠2=∠4=38°，再根据∠1=72°，即可得到∠3的度数．【解答】解：∵a∥b，∴∠2=∠4=38°，又∵∠1=72°，∴∠3=180°﹣38°﹣72°=70°，故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．39．如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为52°．【分析】依据AB∥CD，∠EGF=64°，即可得到∠BEG=∠EGF=64°，再根据EG平分∠BEF，即可得到∠BEF=2∠BEG=128°，进而得出∠AEF=180°﹣128°=52°．【解答】解：∵AB∥CD，∠EGF=64°，∴∠BEG=∠EGF=64°，又∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠BEG=128°，∴∠AEF=180°﹣128°=52°，故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义的运用，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键．三．解答题（共11小题）40．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，求∠FAG的度数．【分析】由平行线的性质得到∠BAC=∠ECF=70°；利用邻补角的定义、角平分线的定义，即可求∠FAG的度数．【解答】解：如图，∵AB∥ED，∠ECF=70°，∴∠BAC=∠ECF=70°，∴∠FAB=180°﹣∠BAC=110°．又∵AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠BAC=35°，∴∠FAG=∠FAB+∠BAG=145°．【点评】本题考查了平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”求得∠BAC 的度数是解题的难点．41．如图，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了证明“∠A+∠B+∠C=180°”的过程，请补充完整：证明：∵DE∥AC，EF∥AB（已知），∴∠1=∠C，∠3=∠B，∠4=∠A（两直线平行，同位角相等）∵EF∥AB（已知）∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠2=∠A（等量代换）∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的性质）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．【分析】先由DE∥AC，AB∥EF，根据平行线的性质得出∠1=∠C，∠3=∠B，∠2=∠4，进而得到∠A+∠B+∠C=180°．【解答】证明：∵DE∥AC，EF∥AB（已知），∴∠1=∠C，∠3=∠B，∠4=∠A（两直线平行，同位角相等）∵EF∥AB（已知）∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠2=∠A（等量代换）∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的性质）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．故答案为：C；B；A；两直线平行，内错角相等；平角的性质．【点评】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等．42．如图，已知EF∥AB，∠1=∠B，求证：∠EDC=∠DCB．【分析】证明∠EDC=∠DCB，只需具备DE∥BC即可，可以考虑证得∠ADE=∠B，而∠1与这两个角都相等．【解答】证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠ADE，∵∠1=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．43．根据下面解答过程，完成下面填空：如图，已知AB∥CD∥EF，∠A=105°，∠ACE=51°，求∠E的度数．【分析】直接利用平行线的性质得出∠ACD=75°，进而得出∠DCE=24°，再得出∠E=∠DCE即可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD（已知）．∴∠A+∠ACD=180°（同旁内角已互补，两直线平行）．∵∠A=105°．∴∠ACD=75°．∵∠DCE=∠ACD﹣∠ACE，∠ACE=51°．∴∠DCE=24°．∵CD∥EF（已知）．∴∠E=∠DCE（两直线平行、内错角相等）．∴∠E=24°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠DCE的度数是解题关键．44．如图DE⊥AB，EF∥AC，∠A=35°，求∠DEF的度数．【分析】先根据DE⊥AB可知∠ADE=90°，再由三角形外角的性质求出∠DGC的度数，根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠DGC是△ADG的外角，∠A=35°，∴∠DGC=∠A+∠ADG=35°+90°=125°，∵EF∥AC，∴∠DEF=∠DGC=125°．【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．45．如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，问：EP⊥FP吗？请说明理由．【分析】要证EP⊥FP，即证∠PEF+∠EFP=90°，由角平分线的性质和平行线的性质可知，∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°．【解答】解：EP⊥FP．理由：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，又EP、FP分别是∠BEF、∠EFD的平分线，∴∠PEF=∠BEF，∠EFP=∠EFD，∴∠PEF+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，∴∠P=180°﹣（∠PEF+∠EFP）=180°﹣90°=90°，即EP⊥FP．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键就是找到∠PEF+∠EFP 与∠BEF+∠EFD之间的关系，运用整体代换思想．46．已知AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．求证：∠AGF=∠F．【分析】直接利用平行线的性质得出∠AGF=∠BAD，∠CAD=∠F，再利用角平分线的定义得出答案．【解答】证明：∵EF∥AD，∴∠AGF=∠BAD，∠CAD=∠F，又∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∴∠AGF=∠F．【点评】此题主要考查了平行线的性质，得出相等的角是解题关键．47．如图，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠BCD=124°，∠DEF=80°．（1）观察直线AB与直线DE的位置关系，你能得出什么结论并说明理由．（2）求∠AFE的度数．【分析】（1）先延长AF、DE相交于点G，根据两直线平行同旁内角互补可得∠CDE+∠G=180°．又已知∠CDE=∠BAF，等量代换可得∠BAF+∠G=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AB∥DE；（2）先延长BC、ED相交于点H，由垂直的定义得∠B=90°，再由两直线平行，同旁内角互补可得∠H+∠B=180°，所以∠H=90°，最后可结合图形，根据邻补角的定义求得∠AFE的度数．【解答】解：（1）AB∥DE．理由如下：延长AF、DE相交于点G，∵CD∥AF，。
七年级数学平行线的判定和性质(二)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线．问题2：平行线的判定定理：①____________________，两直线平行；②____________________，两直线平行；③____________________，两直线平行．问题3：平行线的性质定理：①两直线平行，____________________；②两直线平行，____________________；③两直线平行，____________________．问题4：平行线的判定定理是用来判定两条直线平行的定理，即已知角的关系证明平行，用平行线的判定定理．平行线的性质定理是由直线平行，可以得到的结论，即已知平行求角的关系，用平行线的性质定理．请根据下面推理，填写推理的依据．①已知：如图，直线a和直线b被直线c所截，∠1=∠2．求证：a∥b．证明：∵∠1=∠2（已知）∴a∥b（_______________________________）①已知：如图，直线a和直线b被直线c所截，a∥b．求证：∠1=∠2．证明：∵a∥b（已知）∴∠1=∠2（_______________________________）平行线的判定和性质（二）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，直线DE经过点A，若∠B=∠DAB，则DE∥BC，其依据是( )A.两直线平行，内错角相等B.内错角相等，两直线平行C.同旁内角互补，两直线平行D.内错角相等答案：B解题思路：条件是∠B=∠DAB，结论是DE∥BC，且∠B和∠DAB是直线DE和直线BC被直线AB所截得到的内错角，由内错角相等得到两直线平行，依据是内错角相等，两直线平行，故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线的判定2.如图，已知D，E在△ABC的边上，DE∥BC，可得∠ADE=∠B，依据是( )A.两直线平行，同位角相等B.两直线平行，内错角相等C.同位角相等D.同位角相等，两直线平行答案：A解题思路：条件是DE∥BC，结论是∠ADE=∠B．∠ADE和∠B是直线DE和直线BC被直线AB所截得到的同位角，由两直线平行得到同位角相等，依据是两直线平行，同位角相等，故选A．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质3.如图，直线，分别与直线，相交，若∥，则∠1=_________，依据是_____________．( )A.∠2；两直线平行，内错角相等B.∠3；两直线平行，内错角相等C.∠2；内错角相等，两直线平行D.∠3；内错角相等，两直线平行答案：B解题思路：由平行得角的关系，先找截线，观察图形，与∠1有关的截线是直线，∠1和∠3是由直线和直线被直线所截得到的内错角，由∥，可以得到∠1=∠3，依据是两直线平行，内错角相等，故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质4.如图，若AB∥EF，则∠ADE=_________，依据是_____________．( )A.∠B；两直线平行，同位角相等B.∠DEF；内错角相等，两直线平行C.∠DEF；两直线平行，内错角相等D.∠CEF；两直线平行，同位角相等答案：C解题思路：由平行得角的关系，先找截线，观察图形，与∠ADE有关的截线是直线DE，∠ADE和∠DEF是由直线AB和EF被直线DE所截得到的内错角，若AB∥EF，则∠ADE=∠DEF，理由是两直线平行，内错角相等，故选C．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质5.如图，两直线a，b被直线c所截形成八个角，若a∥b，则下列结论错误的是( )A.∠1=∠2B.∠3+∠8=180°C.∠5=∠6D.∠7+∠8=180°答案：D解题思路：A选项：∵a∥b（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）故A选项结论正确；B选项：∵a∥b（已知）∴∠3+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠8=∠2（对顶角相等）∴∠3+∠8=180°（等量代换）故B选项结论正确；C选项：∵a∥b（已知）∴∠3=∠6（两直线平行，同位角相等）∵∠3=∠5（对顶角相等）∴∠5=∠6（等量代换）故C选项结论正确；D选项：∵a∥b（已知）∴∠1=∠8（两直线平行，同位角相等）∵∠1=∠7（对顶角相等）∴∠7=∠8（等量代换）故D选项结论错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质6.如图，若AD∥BC，则一定正确的是( )A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠1=∠2，∠3=∠4D.∠2=∠3答案：B解题思路：根据平行线的性质，由AD∥BC，要找角之间的关系，需要找两条平行直线AD和BC被第三条直线所截得到的角，四个选项中，只有∠3和∠4是两条平行直线AD和BC被直线BD所截得到的内错角，根据两直线平行，内错角相等，得∠3=∠4，故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质7.如图，能判定EB∥AC的条件是( )A.∠C=∠ABEB.∠A=∠EBDC.∠C=∠ABCD.∠A=∠ABE答案：D解题思路：要证平行，考虑找同位角，内错角，同旁内角，分析可得只有选项D中，∠A与∠ABE是直线EB和直线AC被直线AB所截的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以判定EB∥AC，故选D．试题难度：三颗星知识点：平行线的判定8.如图，若BE∥CF，则一定正确的是( )A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.AB∥CDD.∠ABC=∠BCD答案：B解题思路：根据平行线的性质，由BE∥CF，可以得到角之间的关系，需要找两条平行直线BE和CF被第三条直线所截得到的角，只有∠3和∠4是两条平行直线BE和CF被直线BC所截得到的内错角，根据两直线平行，内错角相等，得∠3=∠4，故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质9.如图，DE∥BC，则下列结论正确的( )A.∠1=∠3B.∠2=∠3C.∠4=∠CD.∠2=∠C答案：B解题思路：根据平行线的性质，由DE∥BC，可以得到角之间的关系，需要找两条平行直线DE和BC被第三条直线所截得到的角，分析可得只有∠2和∠3是两条平行线DE和BC被直线BE所截得到的内错角，根据两直线平行，内错角相等，得∠2=∠3，故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质10.如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，则∠1的度数为( )A.35°B.40°C.45°D.50°答案：B解题思路：解：如图，∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAC=2∠BAD（角平分线的定义）∵∠BAD=70°（已知）∴∠BAC=2×70°=140°（等量代换）∵AB∥CD（已知）∴∠1+∠BAC=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠1=40°（等式的性质）故选B．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质。
北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》(包含答案)
北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》（包含答案）2.3平行线的性质一、选择题1.如图，直线a // b，直线c分别于a，b相交，∠1＝50∘，∠2＝130∘，则∠3的度数为（）A.50∘B.80∘C.100∘D.130∘2.如图，下列判断正确的是( )A.若∠1=∠2，则AD // BCB.若∠1=∠2，则AB // CDC.若∠A=∠3，则AD // BCD.若∠3+∠DAB=180∘，则AB // CD3.如图，已知AC // DE，∠B＝24∘，∠D＝58∘，则∠C＝（）A.24∘B.34∘C.58∘D.82∘4.如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62∘，则∠DFE 的度数为( )A.31∘B.28∘C.62∘D.56∘5.如图所示，将含有30∘角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35∘，则∠2的度数( )A.10∘B.25∘C.30∘D.35∘6.如图，直线l1 // l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70∘，则∠1的大小为（）A.20∘B.35∘C.40∘D.70∘二、填空题7.如图，直线a // b，直线c与a，b相交．若∠1=70∘，则∠2=________度.8.如图，AB // CD，∠1=40∘，∠C=50∘，则∠D=________，∠B=________．9.如图，已知l1平行l2，直线l与l1，l2相交于C，D两点，把一块含30∘角的三角尺按如图位置摆放．若∠1=130∘，则∠2=________．北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》（包含答案）10.如图，把含30∘角的三角板的一个顶点放在直尺的一边上，若∠1=40∘，则∠2的度数为________．11.如图，直线l1 // l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=43∘，则∠2=________度．12.两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少20∘，则这两个角的度数分别是________．三、解答题13.如图所示，已知∠1=∠2，AC平分∠DAB，试说明DC // AB．14.如图，已知AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，BE // CF ，∠ABE =50∘，求∠FCD 的度数．15.如图所示，AB // CD ，∠1=∠2，∠3=∠4，那么EG // FH 吗？说明你的理由．16.如图，∠α和∠β的度数满足方程组{3∠α+∠β=260∘,∠β−∠α=100∘,且CD // EF ，AC ⊥AE ．(1)求证：AB // EF ；(2)求∠C 的度数．北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》（包含答案）17.如图，已知AM // BN，∠A＝60∘．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP 和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）当∠PBN＝70∘时，∠APB＝________；∠ADB＝________（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是________18.如图1，已知AB//CD，点P是平行线内一点，连接BP, DP.(1)求证：∠P=∠B+∠D；(2)如图2，在图1的基础上，在平行线内再取点Q（点P点Q在同一直线上），连接BQ, DQ，若∠QBP=14∠ABP，∠QDP=14∠CDP，求证：∠BQD=34∠BPD；(3)如图3，图1中AB//CD的条件不变，移动点P使得∠P=110∘，作∠ABP和∠CDP的平分线交于点H（点H与点P不在同一直线上），直接写出∠BHD的度数.2.3平行线的性质参考答案一、选择题1.B2.B3.B4.D5.B6.C二、7.708.40∘,130∘9.20∘10.80∘11.13312.10∘，10∘或130∘，50∘三、解答题13.【答案】证明：∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠CAB，北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》（包含答案）∵∠1=∠2，∴∠2=∠CAB，∴CD // AB．14.【答案】解：∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴AB // CD，∴∠ABC=∠DCB，∵BE // CF，∴∠EBC=∠FCB，∴∠ABE=∠DCF，又∵∠ABE=50∘，∴∠FCD=50∘．15.【答案】解：EG // FH．理由：∵AB // CD，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∵∠5=180∘−∠1−∠2，∠6=180∘−∠3−∠4，∴∠5=∠6，∴EG // FH．16.【答案】(1)证明：由{3∠α+∠β=260∘,∠β−∠α=100∘,解得{α=40∘,β=140∘,∴α+β=180∘，∴AB // EF ．(2)解：∵CD // EF ，EF // AB ，∴AB // CD ，∴∠BAC +∠C =180∘，∵AC ⊥AE ，∴∠EAC =90∘，∵∠BAE =40∘，∴∠BAC =130∘∴∠C =50∘．17.【答案】70∘,35∘不变化，∠APB ＝2∠ADB ，证明：∵AM // BN ，∴∠APB ＝∠PBN ，∠ADB ＝∠DBN ，又∵BD 平分∠PBN ，∴∠PBN ＝2∠DBN ，∴∠APB ＝2∠ADB ；30∘18.【答案】北师大新版七年级数学下册《2.3 平行线的性质》（包含答案）解：(1)如图，过点P作平行于AB，CD的直线EF，∵EF//CD，∴∠D=∠FPD.∵EF//AB，∴∠B=∠FPB，∴∠P=∠FPB+∠FPD，∴∠P=∠D+∠B.(2)如图，过点P作平行于AB, CD的直线EF，∵EF//AB，∴∠ABQ=∠BQF.∵EF//CD，∴∠CDQ=∠DQF.∠ABP，∵∠QBP=14∴∠BQF+∠QBP=∠BPF=∠ABP，∠ABP=∠BQF.∴34∵∠QDP=1∠CDP，4∴∠DQF+∠QDP=∠CDP，∴34∠CDP=∠DQF.∵∠ABP+∠CDP=∠BPD，34∠ABP+34∠CDP=∠BQD，∴∠BQD=34∠BPD.(3)如图，过点P作平行于AB, CD的直线EF，过点H作直线a平行于AB，CD，∵∠P=110∘，∴∠CDP+∠ABP=250∘.∵∠ABP和∠CDP的平分线相交于点H，又∠CDH+∠ABH=∠BHD，∴∠BHD=12(∠CDP+∠ABP)=12×250∘=125∘.。
北师大版七年级数学下册 学案 2.3 平行线的性质(1)--含答案
第2章相交线与平行线2.3 平行线的性质(1)核心提要1．两直线平行，同位角________．2．两直线平行，内错角________．3．两直线平行，同旁内角________．典例精讲知识点一两直线平行，同位角相等1．如图，AD平分∠EAC，AD∥BC.求证：∠B＝∠1.知识点二两直线平行，内错角相等2．如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1＝50°，则∠2的度数为________．知识点三两直线平行，同旁内角互补3．如图，直线a，b被c所截，且a∥b，∠1＝120°，则∠2＝________．变式训练变式1如图所示，已知∠B＝∠C，AD∥BC，试说明：AD平分∠CAE.变式2如图，已知AB∥CD，∠2＝120°，则∠1的度数是()A．30°B．60°C．120°D．150°变式3如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4＝()A．70°B．80°C．110°D．100°基础巩固1.如图，直线l截两平行直线a，b，则下列式子不一定成立的是()A．∠1＝∠5B．∠2＝∠4C．∠3＝∠5D．∠5＝∠22．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是()A．B．C．D．3．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是()A．30°B．45°C．60°D．65°4．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是()A．60°B．50°C．40°D．30°5．如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是________．6．如图，已知∠1＝∠2，∠D＝55°，求∠B的度数．能力提升7.如图，已知AB∥CD，BC∥DE，则∠B＋∠D的度数为()A．180°B．90°C．120°D．不确定8．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝________.9．如图，AB∥CD，∠B＝160°，∠D＝120°，则∠E＝________10．如图，已知AB∥CD，∠ABE＝∠DCF，请说明∠E＝∠F 的理由．培优训练11．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD.解：∵EF∥AD(已知)，∴∠2＝________()．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AB∥________()．∴∠BAC＋________＝180°()．∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝________．2.3 平行线的性质(1)----答案【核心提要】(1)相等(2)相等(3)互补【典例精讲】1．证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠1.∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∴∠B＝∠1.2．50° 3.60°【变式训练】1．解：∵AD∥BC，∴∠2＝∠B，∠1＝∠C.又∵∠B＝∠C，∴∠1＝∠2，即AD平分∠CAE.2．B 3.A【基础巩固】1．D 2.B 3.C 4.C 5.60°6．解：∵∠1＝∠2，∠2＝∠EQD，∴∠1＝∠EQD，∴AB∥CD.∴∠B＋∠D＝180°.∵∠D＝55°，∴∠B＝125°.【能力提升】7．A 8.120°9.40°10．解：∵AB∥CD(已知)，∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行内错角相等)．∵∠ABE＝∠DCF(已知)，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．∴∠E＝∠F(两直线平行内错角相等)．【培优训练】11．∠3 两直线平行，同位角相等DG内错角相等，两直线平行∠DGA两直线平行，同旁内角互补110°。
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2.3 平行线的特征
一、填空题:（每题4分，共28分） 1.如图1，AB ∥CD ，AF 分别交AB 、CD 于A 、C ，CE 平分∠D CF ，∠1＝100 °,则∠2＝_____.
2
1
F
E D
C
B A
G 1
F E
C
B
A
G
2
1
E
D
C
B A
(1) (2) (3)
2.如图2，AB ⊥EF ，CD ⊥EF ，∠1＝∠F ＝45°，那么与∠F CD 相等的角有_________个，它们分别是___________________________。
3.如图3，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1＝72°，则∠2＝_________。
4.如图4，DH ∥EG ∥BC ，DC ∥EF ，图中与∠1相等的角有________________________。
K H G 1
F
E
D C
B
A D
C
B
A E
D C B A
(4) (5) (6) 5.如图5，AD ∥BC ，∠A 是∠ABC 的2倍。
（1）∠A ＝_______度。
（2）若BD 平分∠ABC ，则∠ADB ＝___________。
6.如图6，BA ∥DE ，∠B ＝150°，∠D ＝130°，则∠C 的度数是__________。
7.如图7，∠ACD ＝∠BCD ，DE ∥BC 交AC 于E ，若∠ACB ＝6 0°，∠B ＝74°，则∠EDC ＝___°，∠CDB ＝____°。
E D B
A F
E
D
C
B A
30︒
北
西
南
东
B A
γ
β
α
D
C
B
A
(7) (8) (9) (10)
二、选择题:（每题4分，共28分）
8.如图8，由AC ∥ED ，可知相等的角有（ ） A.6对 B.5对 C.4对 D.3对
9.如图9，由A 到B 的方向是（ ）
A.南偏东30°
B.南偏东60°
C.北偏西30°
D.北偏西60°
10.如图10，如果AB ∥CD ，则角α、β、γ之间的关系为（ ） A. α+β+γ＝360° B. α-β+γ＝180° C. α+β-γ＝180° D. α+β+γ＝180° 11.如图11，AB ∥CD ∥EF ，若∠ABC ＝50°，∠CEF ＝150°，则∠BCE ＝（ ） A.60° B.50° C.30° D.20°
F E
D
C
B A
F
E
D
C
B
A
(11) (12)
12.下列说法中，为平行线特征的是（ ）
①两条直线平行, 同旁内角互补; ②同位角相等, 两条直线平行;③内错角相等, 两条直线平行; ④垂直于同一条直线的两条直线平行. A.① B.②③ C.④ D.②和④
13.如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能（ ）
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.相等且互补
14.如图12，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，∠EBC ＝∠BCF ，那么，∠ABE 与∠DCF 的位置与大小关系是 （ ）
A.是同位角且相等;
B.不是同位角但相等;
C.是同位角但不等;
D.不是同位角也不等 三、解答题:（共44分）
15.已知，如图，MN ⊥AB ，垂足为G ，MN ⊥CD ，垂足为H ，直线EF 分别交AB 、CD 于G 、Q ，
∠GQC ＝120°，求∠EGB 和∠HGQ 的度数。
（7分）
Q
H G
M N
F
E
D
C B
A
16.如图，∠CAB ＝100°，∠ABF ＝130°，AC ∥MD ，BF ∥ME ，求∠DME 的度数，（7分）
M F
E D C
B
A
17.如图，DE ∥CB ，试证明∠AED ＝∠A ＋∠B 。
（7分）
E
D C
B
A
18.如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，那么∠A ＝∠F ，为什么？（7）
1
4
32F
E
D C
B
A
19.如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠BDF 与 ∠EFC 相等吗？为什么？（8分）
1
2
F E D
C
B A
20.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ，试判断∠ AED 与∠C 的关系。
（8分）
1
54
32
F E
D
C
A
答案
1. 50°
2. 4，∠F，∠1，∠FAB，∠ABG
3. 54°
4. ∠FEK，∠DCF，∠CKG，∠EKD，∠KDH
5.(1）120°（2）30°
6.80°
7.30°，76°
8.B 9.B 10.C 11.D 12.A 13.C 14.B
15. ∵MN⊥AB，MN⊥CD
∴∠MGB=∠MHD=90°
∴AB∥CD
∴∠EGB=∠EQH
∵∠EQH=180°-∠GQC=180°-120°
=60°
∴∠EGB=60°
∴∠EGM=90°-∠EGB=30°
∴∠EGB=60°，∠HGQ=30°
16. ∵AC∥MD，∠CAB=100°
∴∠CAB+∠AMD=180°，∠AMD=80°
理可得∠EMF=50°
∴∠DME=∠AMB-∠AMD-∠EMB
=180°-80°-50°=50°
17.作EF∥AB交OB于F
∵EF∥AB
∴∠2=∠A，∠3=∠B
∵DE∥CB
∴∠1=∠3
∴∠1=∠B
∴∠1+∠2=∠B+∠A
∴∠AED=∠A+∠B
18. ∵∠2=∠3，∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DB∥EC
∴∠4=∠C
∵∠C=∠D
∴∠D=∠4
∴DF∥AC
∴∠A=∠F
19. ∠BEF=∠EFC，理由如下：
连结BC
∵AB∥CD
∴∠ABC=∠DCB
∵∠1=∠2
∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2
即∠EBC=∠BCF
∴BE∥CF
∴∠BEF=∠EFC 20.∠AED=∠C
∵∠1+∠2=180°
∵∠1+∠4=180°
∴∠2=∠4
∴EF∥AB
∴∠3=∠5
∵∠3=∠B
∴∠5=∠B
∴DE∥BC
∴∠C=∠AED.。