数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的目录

一、结题报告 (3)

二、附件

1、开题报告 (27)

2、活动记录 (29)

3、心得体会 (32)

4、组员互评 (33)

5、学生自我总结 (36)

6、导师评语 (39)

7、学分认定表 (40)

8、实验与采访 (41)

走进奇妙数学世界

──数学研究型课题报告

课题组组长:陈奕樽

课题组成员:侯智贤,陈义明

指导老师：张江涛

前言:

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单的说,是研究数和形的科学。由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。1+1=2、概率、勾股定理、黄金分割点等都是数学中极具代表性的知识，我们此次所做的研究性报告便是对这些知识的描述与探究。从中可以体验到真正的数学世界的奇妙与伟大。b5E2RGbCAP

1+1=2

小学生都知道的伟大公式

2004年10月，一条科学新闻在国内的媒体上不胫而走：“1+1=2入选最伟大的公式。”原来，英国著名的科学杂志《物理世界》此前举行了一场别开生面的评选活动，邀请世界各地的读者选出自己心目中最伟大、最喜爱的公式、定理或定律。结果，让很多人意外的是，1+1=2这个连小学生都知道的基本数学公式不仅入选，而且还高居第七。一个加拿大读者说出了他的理由：“这个最简单的公式有着一种妙不可言的美感。”此次评选活动的主持者则这样评价到：“一个伟大公式的力量不仅论述了宇宙的基本特性并传达了标志性的信息，而且还在尽力孕育出更多自然界的科学突破。”p1EanqFDPw

无独有偶，1971年，尼加拉瓜发行了一套纪念邮票《改变世界面貌的十个数学公式》，排在第一的赫然正是这个“1+1=2”。<看来它是很重要！！！）

DXDiTa9E3d

1+1=2之所以如此重要，原因在于它是一条关于“数”的基础公式。没有它，就根本不会有数学，更不要说物理、化学等其他自然科学了。RTCrpUDGiT

数的出现

早在蒙昧时代，人们就在对猎物的储藏与分配等活动中，逐渐产生了数的感觉。当一个原始人面对放在一起的3只羊、3个苹果或3支箭时，他会朦胧地意识到其中有一种共性。可以想象，他此时会是多么地惊讶。但是，从这种原始的感觉到抽象的“数”的概念的形成，却经过了极其漫长的时间。5PCzVD7HxA

一般认为，自然数的概念的形成可能与火的使用一样古老，至少有着30万年的历史。现在我们无法考证，人类究竟在什么时候发明了加法，因为那时没有足够

应该说，当某个原始人第一个意识到1+1=2，进而认识到两个数相加得到另一个

确定的数时，这一刻是人类文明的伟大时刻，因为他发现了一个非常重要的性质——可加性。这个性质及其推广正是数学的全部根基，它甚至说出数学为什么用

途广泛的同时，告诉我们数学的局限性。xHAQX74J0X

人们现在知道，世界上存在三类不同的事物。一类是完全满足可加性的量。比如

质量，容器里的气体总质量总是等于每个气体分子质量之和。对于这些量，

1+1=2是完全成立的。第二类是仅仅部分满足可加性的的量。比如温度，如果把

两个容器的气体合并在一起，则合并后气体的温度就是原来气体各自温度的加权

平均<这是一种广义的“相加”）。但这里就有一个问题：温度这个量不是完全

满足可加性的，因为单个分子没有温度。LDAYtRyKfE

世界上还有一些事物，他们是彻底拒绝可加性的，比如生命世界里的神经元。我

们可以将容器里的分子分到两个容器，使得每个容器里的气体仍然保持有宏观量——温度、压强等。但是，我们对神经元不能这样做。我们每个人都会产生幸福、痛苦之类的感觉。生物学告诉我们，这些感觉是由神经元产生的。但是，我们却

不能说，某个神经元会产生多少幸福或痛苦。不仅每个神经元并不具备这

种性质，而且我们也不能将大脑劈成两半，使得

每个半球都有幸福或者痛苦感。神经元不是分子——分子可以随时分开或者重组，神经元具有协调性，一旦将他们分开，生命就会终结，不可能再组合<你可以自

我实验下-.-）。Zzz6ZB2Ltk

目前的数学尽管已发展了5000年，却仍主要建立在可加性的基础之上。遇到这

些不满足可加性的问题时，我们常常觉得很难用数学来处理。这正反映了数学的

局限性。dvzfvkwMI1

另一种“1+1”

数学上，还有另一个非常有名的“<1+1）”，它就是著名的哥德巴赫猜想。尽管

听起来很神奇，但它的题面并不费解，只要具备小学三年级的数学水平就就能理

解其含义.原来，这是18世纪时，德国数学家哥德巴赫偶然发现，每个不小于6

的偶数都是两个素数之和。例如3+3=6； 11+13=24。他试图证明自己的发现，却

有人立即对一个个大于6的偶数进行了验算，一直算到了330000000，结果都表

明哥德巴赫猜想是对的，但就是不能证明。于是这道每个不小于6的偶数都是两

素数之和[简称<1+1）]的猜想，就被称为“哥德巴赫猜想”，成为数学皇冠上一

颗可望不可及的“明珠”。EmxvxOtOco

19世纪20年代，挪威数学家布朗用一种古老的数学方法“筛法”证明，每一个

大于6的偶数可以分解为一个不超过9个素数之积和另个不超过9个素数之积的和，简称“<9+9）”。从此，各国数学家纷纷采用筛法去研究哥德巴赫猜想。

SixE2yXPq5

1956年底，已先后写了四十多篇论文的陈景润调到科学院，开始在华罗庚教授指

导下专心研究数论。1966年5月，他象一颗璀璨的明星升上了数学的天空，宣布

他已经证明了<1＋2）。6ewMyirQFL

1973年，关于<1+1）的简化证明发表了，他的论文轰动了全世界数学界。

“<1+2）”即“大偶数都能表示为一个素数及一个不超过二个素数的积之和”，

被国际公认为“陈景润定理”。kavU42VRUs

陈景润(1933.5~1996.3>是中国现代数学家。1933年5月22日生于福建省福州市。1953年毕业于厦门大学数学系。由于他对塔里问题的一个结果作了改进，受到华

罗庚的重视，被调到中国科学院数学研究所工作，先任实习研究员、助理研究员，再越级提升为研究员，并当选为中国科学院数学物理学部委员。y6v3ALoS89

1996年3月下旬，由于积劳成疾，在距离哥德巴赫猜想的光辉顶峰只有咫尺之遥时，陈景润却倒下了，给世人留下无尽遗憾。M2ub6vSTnP

【概率的定义】

随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百分

之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。0YujCfmUCw

■概率的频率定义

随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对

于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复实验时，随着实验

次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳

定性。R.vonM泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。

从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出

了概率的公理化定义。eUts8ZQVRd

■概率的严格定义

设E是随机实验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为

P(A>，称为事件A的概率。这里P(·>是一个集合函数，P(·>要满足下列条件：sQsAEJkW5T

<1）非负性：对于每一个事件A，有P(A>≥0。

<2）规范性：对于必然事件S，有P(S>=1。

<3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，

Ai∩Aj=φ，

■概率的古典定义

如果一个实验满足两条：

<1）实验只有有限个基本结果；

<2）实验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

P(A>=m/n，n表示该实验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包

含的实验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。TIrRGchYzg

■概率的统计定义

在一定条件下，重复做n次实验，nA为n次实验中事件A发生的次数，如果随着

n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条

件下发生的概率，记做P(A>=p。这个定义成为概率的统计定义。7EqZcWLZNX

在历史上，第一个对“当实验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上”这

一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯

努利

从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小

的一个数量指标。

由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆

有0≤P(A>≤1，P(Ω>=1，P(Φ>=0。zvpgeqJ1hk

Ω、Φ分别表示必然事件<在一定条件下必然发生的事件）和不可能事件<在一定条件下必然不发生的事件）。

【生活中的实例】

普遍认为，人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉，或者说不安全感，俗称「点背」，下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识：NrpoJac3v1

■1. 六合彩：在六合彩<49选6）中，一共有13983816种可能性<参阅组合数学），普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在13983816/52<周）

=268919年後获得头等奖。事实上这种理解是错误的，因为每次中奖的机率是相

等的，中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大。1nowfTG4KI

■2. 生日悖论：在一个足球场上有23个人<2×11个运动员和1个裁判员），不可思议的是，在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大於50％。fjnFLDa5Zo

■3. 轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色後，出现黑色的

■4. 三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门後面的汽车的游戏节目中，在参赛

者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的後面有一辆汽车，其它两扇门後是

山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其後面有汽车的门，但是这扇门仍

保持关闭状态，紧接著主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊

的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得

汽车的机率更大一些？正确结果是，如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭

著的门，他赢得汽车的机率会增加一倍。HbmVN777sL

【概率的两大类别】

■古典概率相关

古典概率讨论的对象局限于随机实验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基

本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能

性是相同的。若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p

的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古

典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计

算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件

个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。V7l4jRB8Hs

■几何概率相关

集合概率若随机实验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件

与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是

应用几何概率的一个典型例子。83lcPA59W9

在概率论发展的早期，人们就注意到古典概率仅考虑实验结果只有有限个的情况

是不够的，还必须考虑实验结果是无限个的情况。为此可把无限个实验结果用欧

式空间的某一区域S表示，其实验结果具有所谓“均匀分布”的性质，关于“均

匀分布”的精确定义类似于古典概率中“等可能”只一概念。假设区域S以及其

中任何可能出现的小区域A都是可以度量的，其度量的大小分别用μ(S>和μ(A>表示。如一维空间的长度，二维空间的面积，三维空间的体积等。并且假定这种

设某一事件A<也是S中的某一区域），S包含A，它的量度大小为μ(A>，若以

P(A>表示事件A发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为：

P(A>=μ(A>/μ(S>，这样计算的概率称为几何概率。AVktR43bpw

◆若Φ是不可能事件，即Φ为Ω中的空的区域，其量度大小为0，故其概率

P(Φ>=0。

【必然事件与不可能事件】

在一个特定的随机实验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事

件的集合称为基本空间。随机事件<简称事件）是由某些基本事件组成的，例如，在连续掷两次骰子的随机实验中，用Z，Y分别表示第一次和第二次出现的点数，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一点

本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一事件，它是由一个基本事件<1，1）组成，可用集合｛<1，1）｝表示“点数之和为4”也是一事件，它由<1，3），

<2，2），<3，1>3个基本事件组成，可用集合｛<1，3），(3，1>，<2，2>｝表示。如果把“点数之和为1”也看成事件，则它是一个不包含任何基本事件的事件，称为不可能事件。在实验中此事件不可能发生。如果把“点数之和小于40”

看成一事件，它包含所有基本事件，在实验中此事件一定发生，所以称为必然

事件。若A是一事件，则“事件A不发生”也是一个事件，称为事件A的对立事件。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的

各种子集及其相互关系等进行研究。ORjBnOwcEd

【概率的性质】

性质１．P(Φ>=0.

性质２<有限可加性）．当n个事件A1，…，An两两互不相容时：

P(A1∪...∪An>=P(A1>+...+P(An>．2MiJTy0dTT

性质４．当事件A,B满足A包含于B时：P(B-A>=P(B>-P(A>，P(A>≤P(B>．

性质５．对于任意一个事件A，P(A>≤1．

性质６．对任意两个事件A和B，P(B-A>=P(B>-P(AB>．

性质７<加法公式）．对任意两个事件A和B，P(A∪B>=P(A>+P(B>-p(AB>．

<注：A后的数字１，２，．．．，n都表示下标．）

勾股定理

勾股定理

在初二我们将初步学习勾股定理.

勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理

在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角

三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a的平方＋b的平方＝c的平方。，即α*α+b*b=c*cgIiSpiue7A

推广：把指数改为n时，等号变为小于号

据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年

勾股数：是指能组成a^+b^=c^的三个正整数称为勾股数.

实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除上

述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因

教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他

们有拉绳人<测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的

三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考

古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专

家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在

墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边

为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特

的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到

15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。

这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。uEh0U1Yfmh

勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有

这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使

注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理

洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。IAg9qLsgBX

勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵

的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容

易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，

仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。<※关于勾股定理的详细证明，由于证明过程较为繁杂，不予收录。）WwghWvVhPE

人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。asfpsfpi4k

从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。ooeyYZTjj1

勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。BkeGuInkxI

若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

如此等等。

勾股定理的证明方法

【证法1】<传说中毕达哥拉斯的证明）

图1 图2

如图所示，作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正

方形.PgdO0sRlMo

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

，整理得.

【证法2】<邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的

面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图2所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. 四边形ABCD是一个边长

为a + b的正方形，它的面积等于.3cdXwckm15

∴. ∴.

【证法3】<赵爽证明）

以a、b 为直角边a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三

角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图(下页>所示形状. ABCD 是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EFGH是一个边长为b―a的正方形，

它的面积等于.h8c52WOngM

∴.

∴.

图

3 图4

【证法4】

以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的

面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一

条直线上. 则ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于. ABCD是一

个直角梯形，它的面积等于.v4bdyGious

∴∴.

【证法5】<马永庆证明方法1）

对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°得图5，该图是旋转90°

得到的，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt⊿BAE和Rt⊿BFE的面积之和，所以：J0bm4qMpJ9

即：.

整理：

∴a2+b2=c2.

图

5 图6

【证法6】<马永庆证明方法2）

对任意的符合条件的两个全等的Rt⊿BEA和Rt⊿ACD拼成图6(此图也可以看成Rt⊿BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到>。一方面，四边形ABCD的面积等于⊿ABC和Rt⊿ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt⊿ABD和⊿BCD的面积之和，所以：

S⊿ABC+S⊿ACD=S⊿ABD+S⊿BCDXVauA9grYP

即：.

整理：

∴a2+b2=c2.

(golden section ratio>

【基本定义】

在分割时．在长度为全长的约0.618处进行分割．就叫作黄金分割．这个分割点

就叫做黄金分割点

把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1>/2，取其前三位数字的近似值是

0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：bR9C6TJscw

1/0.618=1.618

(1-0.618>/0.618=0.618

【黄金分割的举例与应用】

这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在

管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。pN9LBDdtrd

让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做"菲波那契数列"，这些数被称为"菲波

那契数"。特点是即除前两个数<数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。DJ8T7nHuGT

菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比

值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n>/f(n-1>-→0.618…。由于

菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割

比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻

两数之比确实是非常接近黄金分割比的。QF81D7bvUA

可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连

满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。4B7a9QFw9h

由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18度。

【发现历史】

由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，

因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。

ix6iFA8xoX

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起

比例理论。他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一

部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，...后二数之比

2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的。wt6qbkCyDE

黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们

称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的

算法"。这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的

比例方法。Kp5zH46zRk

公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，

进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。Yl4HdOAA61

中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。ch4PJx4BlI

其实有关"黄金分割"，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数

学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过

印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。qd3YfhxCzo