有节点的曲线上带平方根的Riemann问题的讨论和求解

（ １ ）
Ｇ ｆｇ ∈４ 于 三上，且 Ｇ ｆ ０未知 函数 ） （ ，（ １ ） ｏ （≠ ． ） 为全 平 面用 剖 开所成 的 区域 中的无 穷 远处具 有有 限阶 的全 纯 函 数 ， ｚ在 各 端 点 处 有 不 到 一 阶奇 异 性 ， ）
ｍａｎ边值 问题 ， 给 出了它 的解 和 可解条件 ． ｎ 并 路 见可在 文献 ［］ ３ 中提 出并研究 了相 应 的复合边 值 问题 ．近 年来 ，有不 少学 者研 究 复合 边值 问题 ． 文 献 ［—１又对文献 【］ ４１］ ３的结果进 行 了推 广，从而得 到 了 复 合边 值 问题在 不 同情 况下 的一 般 解 ．以上所 求 问 题 的积 分路 径都 是 一条 光滑 封 闭 曲线 ，开 口光滑 弧 段或 无 穷直线 ．人 们 可 以把积 分路 径换 为 其他 类 型 的 曲线，譬如说有节点 的曲线上带根号 的 Ｒ ｅ ｎ 问 ｉ ｍａ ｎ 题，那么 问题 的转 化和求 解又是 如何 ？ 文就是 在上 本
摘要 ：给出了一类有节点的曲线上带平方根的 Ｒｅ ａｎ ｉ ｎ 边值问题， ｍ 讨论 了其中两种重要的情况： 若干开 口弧
段上 的带平方 根 的 Ｒ ｅ ｎ ｉｍａ ｎ边值 问题 和无穷直 线上 带平方 根 的 Ｒｉ ｎ ｅ ｎ边值 问题 ．通过对 未知 函数 的结构 分 ｍａ 析，将 它们 化为一 般的边 值 问题 ，进 一步 又可将其 化为 经典 的 Ｒ ｅ ｎ ｉｍａ ｎ边 值问题 ，从 而得到 问题 的解．
于经典 Ｒ ｅ ｎ 边 值 问题 的理论，分别讨论 了有节点 ｉ ｍａ ｎ 的曲线上带根 号的 Ｒ ｅ ｎ 复合边 值问题 的两种 重 ｉ ｍａｎ 要情 况：若干开 口弧段上 的带平 方根 的 Ｒｅ ｎ 边值 ｉｍａｎ 问题 和无穷直线上带 平方根 的 Ｒ ｅ ｒ ｉ ｍ边值 问题． ｍａ
其 中
（ ２ ）
＝ ∑ （ 一 对一切节点ｃ ） 求和 ．
关键 词：带根号的 Ｒｅ ａｎ ｉ ｎ 边值 问题； ｍ 节点；开口弧段 中图分类号 ： ５ Ｏ１ ． ７８ 文献标识 码： Ａ
述 工作 的基础 上，将复合 边值 问题进 行推广 ， 并借 助
０ 引言
解 析 函数边值 问题 是复 分析研 究 的一个 重要 方
面，它 既有 理 论 意义 又有 广 泛 的应 用 ，如 在 弹性 力
＝
ｌ
，
中可能有 相 同的一些 端点 ｃ，注 意把各 厶 的单独
端点 也算 在节点 中，仍 记全平 面除 掉 三后 的域为 ：
当 中有一 部分 围成 的封闭 曲线时 ， 并不 连通，这
时它 实际上 是一 些 区域 的并 ．即求解
√ （ ＝ （√ （＋ （， ｆ Ｇｆ ｆ ｇ， ） ） ） ）
（表示它在 正负侧的 边值， （ 在 √ ｔ 上连 ）
续且单 值 ． 求解 问题 （） １之前 先来 分析 一 下未知 函数 ） 的 结构 ， 设 ） 区域 中有 Ⅳ（ ≥０个 奇数 阶零点 ： 在 Ｊ ） Ｖ
ａ，２ ａ ，在 ∞ 有 ｋ极点 ． ｌ ， Ⅳ ａ …， 处 （ ｉ ）当 Ｎ ￣ ２ ＋ ｎ时，有
文 章编号 ： ０ ０５ ６ （０ ０ —０ １０ １０ ．８ ２２ １） １ ８ —４ １ ０
有 节 点 的 曲线 上 带 平 方 根 的 Ｒｉｍａ ｎ问题 的讨 论 和 求解 ｅ ｎ
陈振 华 ，郭 定 辉 ２
（． 京 工 业 大 学耿 丹 学 院，北 京 １ １０ ； ． 京 航 空 航 天 大 学理 学 院，北 京 １０ ８） １北 ０３１２ 北 ０００
收 稿 日期 ：２ ｌ－３ １ Ｏ ｏ０ ｏ
基金项 目：国家 自然科学基金（０ ７ Ｏ Ｏ资助项 目 １ ５ ｌ １） 作者简介：郭定辉（９４） １ ６一，男，四川乐 至人， 教授 ， 博士，主要从事偏微分方程 的研究
８ ２
江 西 师 范 大学 学 报 （ 自然科 学 版 ）
（ ： ｚ （ ，∈ ， ｚ 兀（ ｚ ｚ Ｓ ） ）
题 ，通过 对 未 知 函数 结 构 的分 析 化 为 一般 的 Ｒ ｅ ｉ—
１ 有节点 的曲线 上带平方根 的 础ｅ ｎ ｍａ ｎ
问题
是一 带节 点 的（ 光滑 ） 曲线 ，它是 由有 限 条（ 开
口 或封闭） 光滑弧段 Ｌ，， 组成， ＝ ， 在 ｌ２ 上 …， Ｌ ∑Ｌ ，
学 、断裂 力学及 工 程技 术 中都有 重要 的应 用，国外
一
些 学者 在这 方面 做 出 了许 多杰 出的工 作 ，如穆 斯
海 里什维 里 的专著 《 异积分 方程 》和维库 阿 的著 奇
作 《 奇异 积分方 程组 及某 些边值 问题 》．建 国以来， 国内也有 不少 学 者从 事这 方 面 的研 究 工作 ，特 别 以 路 见可 的 《 析 函数 边值 问题 》为代 表 ，该 书系统 解 地论 述 了解 析 函数 的各 种 基本边 值 问题及 其 在奇异 积分方 程上 的应 用，包 括 Ｒ ｅ ｎ ｉｍａｎ边值 问题 、 ｉ ｅｔ ｈｌ ｒ ｂ 边值 问题 、复合 边值 问题等 ． 路 见可教授 在文献 ［］ １中给出 了一种特殊 的非 线 性 Ｒｅ ｎ ｉ ｍａ ｎ边值 问题 ，即一种 带平方 根 Ｒ ｅ ｎ ｉｍａｎ边 值 问题 在光 滑封 闭 曲线 上 的解法 ．史西 专在 文献 ［】 ２ 中求解 了在 开 口弧段 上带 平方根 的 Ｒ ｅ ｎ ｉｍａｎ边值 问
第 ３卷第 １ ５ 期
２１ ０ １年 １ 月
江西 师范大 学学报 （ 自然 科学版 ）
Ｊ ＵＲ Ｏ ＮＡＬＯＦＪ Ｉ ＡＮＧＸＩ ＮＯＲ ＭＡＬＵ ＶＥ ＩＹ ｆ Ｔ ＡＬＳ Ｉ ＮＣ ） ＮＩ ＲＳＴ ＮＡ ＵＲ Ｃ Ｅ Ｅ
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