数学建模在计算机专业的应用

应用一图论算法图论在计算机处理问题中占有重要地位，现实中的很多问题最终都可以转化成图论问题，或者要借助图结构来存储和处理。

但是怎么把一图存入计算机就要涉及到数学建模的知识。

比如下面一图：如果要求出从节点v1到节点v5的所有路径，就可以借助计算机来很轻松的解决。

但前提条件是，必须要把图以一种计算机可以理解的形式存进去，即要把它抽象为数学问题。

在此，我们需要定义一些关于图的概念，以便更好的描述问题。

边与顶点的关系有如下几种典型情况：简单图：无自回环，无重边的图。

无向图：边没有指向，1212e.i i i i iψ（）={v,v}=v v此时称边ei与顶点12i iv,v关联，称顶点1iv与顶点2iv邻接。

有向图:边有指向，1212e.i i i i iψ（）=（v,v）=v v下面是具体涉及到图如何存储的问题：1.图G(V,E)的关联矩阵xR=(r)ij n m，若G(V,E)为无向图，12i jij i j ji j jv er v e ev e e⎧⎪=⎨⎪⎩与不关联与关联,为非自回环与关联,为自回环若G(V,E)为有向图，12i jij i ji jv er v ev e⎧⎪=⎨⎪⎩与不关联是的起点是的终点因此该图可以用关联矩阵表示出来，如下所示11000001010100010100100110100000111R⎛⎫⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭这样，我们就可以以矩阵的形式将图存入计算机2. 邻接矩阵图G(V,E)的邻接矩阵xn A=(a )ij n ,若G(V,E)为无向图，ij a =从i v 到的j v 边数，若不邻接，取0；若G(V,E)为有向图，ij a =从 i v 到j v 的有向边数，若无，取0.0110010011100110110101110A ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭应用二 动态规划问题动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。

20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman 等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

也是信息学竞赛中选手必须熟练掌握的一种算法。

多阶段决策过程的最优化问题。

含有递推的思想以及各种数学原理（加法原理，乘法原理等等）。

动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。

举例线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等；区域动规：石子合并，加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等；树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等；背包问题：01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶。

多阶段决策的实际问题很多，下面通过具体例子，说明什么是动态规划模型中数学建模知识的运用。

最短路线问题：某工厂需要把一批货物从城市A运到城市E，中间可经过B1 、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A到E的距离最短？下面引进几个动态规划的基本概念和相关符号。

(1)阶段(Stage)把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n表示，用字母k表示阶段变量。

如例中(最短路线问题)可看作是n=4阶段的动态规划问题，k=2表示处于第二阶段。

(2)状态(State)状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。

描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母s k表示第k阶段的状态变量，状态变量的取值围称为状态集，用S k表示。

如例l中，第一阶段的状态为A（即出发位置）。

第二阶段有三个状态：B1 、B2、B3，状态变量s2=B2表示第2阶段系统所处的位置是B2。

第2阶段的状态集S2={ B1 、B2、B3}。

动态规划中的状态变量应具有如下性质：当某阶段状态给定以后，在这个阶段以后过程的发展不受这个阶段以前各个阶段状态的影响。

也就是说，未来系统所处的状态只与系统当前所处的状态有关，而与系统过去所处的状态无关，即过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展，这种特点称为无后效性（又称马尔可夫性）。

如果所选定的状态变量不具备无后效性，就不能作为状态变量来构造动态规划模型。

如例1中，当某阶段的初始状态即所在的城市选定以后，从这个状态以后的运货路线只与这个城市有关，不受以前的运货路线影响，所以是满足状态的无后效性的。

（3）决策(Decision)当系统在某阶段处于某种状态，可以采取的行动（或决定、选择），从而确定下一阶段系统将到达的状态，称这种行动为决策。

描述决策的变量，称为决策变量。

常用字母u k (s k )表示第k 阶段系统处于状态s k 时的决策变量。

决策变量的取值围称为决策集，用D k (s k )表示。

在例l 的第二阶段中，若从状态B 2出发，可以做出三种不同的决策，其允许的决策集为D 2(B 2)={ C 1、C 2、C 3}，决策u 2(B 2)= C 2表示第二阶段处于状态B 2，选择的确行动下一阶段是走到C 2。

（4）策略(Policy)系统从第k 阶段的状态s k 开始由每阶段的决策按顺序组成的决策序列{ uk(s k ) ，u k+1(s k+1)，…，u n (s n )}称为一个策略（k=1,2, …，n ）,记作,()k n k p s 。

在例l 中，p 2,4(B 2)={ u 2(B 2)= C 2，u 3(C 2)= D 1，u 4(D 1)=E}是一个策略，表示第二阶段从状态B 2出发，沿着B 2→C 2→D 1→E 的方向走到终点。

注意策略必须是一串实际可行的序列行动。

（5）状态转移方程系统由这一阶段的—个状态进行决策后转变到下—阶段的另—个状态称为状态转移，状态转移既与状态有关，又与决策有关，描述状态转移关系的方程称为状态转移方程，记为：s k+1=T k (s k ，u k )它的实际意义是当系统第k 阶段处于状态s k 做决策u k 时，第k+1阶段系统转移到状态s k+1。

状态转移方程在不同的问题中有不同的具体表现形式，在例l 中，状态转移方程表示为：s k+1=u k (s k )。

（6）阶段指标阶段效益是衡量系统阶段决策结果的一种数量指标，记为：(,)k k k v s u表示系统在第k 阶段处于状态s k 做出决策u k 时所获得的阶段效益。

这里的阶段效益在不同的实际问题中有不同的意义。

在例l 中它表示两个中转站的距离，如2222222(,())(,)7v B u B C d B C ===表示从中转站B 2走到中转站C 2之间的距离为7。

更一般地有(,())(,())k k k k k k k v s u s d s u s =。

（7）指标函数指标函数是用来街量所实现过程的优劣的一种数量指标，它是一个定义在全过程和所有后部子过程上的确定的数量函数，记为：,11(,,,,,,)1,2,,k n k k k k k k V s u s u s u k n ++=它应具有可分离性，并满足递推关系式：,111,11(,,,,,,)[,,(,,,,)]k n k k k k k k k k k n k k k k V s u s u s u s u V s u s u ϕ+++++=常见的指标函数的形式是：1）过程和任一子过程的指标是它所包含的各阶段指标的和。

既,111,111(,,,,,,)(,)(,)(,,,,)]nk n k k k k k k j j j k k k k n k k k k j V s u s u s u v s u v s u V s u s u +++++===+∑2）过程和任一子过程的指标是它所包含的各阶段指标的积。

既,111,111(,,,,,,)(,)(,)(,,,,)]nk n k k k k k k j j j k k k k n k k k k j V s u s u s u v s u v s u V s u s u +++++===⋅∏（8）最优值函数指标函数的最优值，称为最优值函数，记为()k k f s 。

它表示系统在第k 阶段处于状态s k 时按最优策略行动所获得总的效益。

既,,11()()(,,,,,,)k n k k k k n k k k k k k p s f s opt V s u s u s u ++=其中opt 是最优化（optimization ）的缩写，根据实际问题可取max(最大值)和min(最小值),,()k n k p s opt 表示对所有允许策略,()k n k p s 使后面算式取最优。

下面利用动态规划的逆推归纳法，将例1从最后一个城市E 逐步推算到第一个城市A ，在此()k k f s 表示第k 阶段从城市s k 到城市E 最短路。

1)当k=4时：要求44()f s ，由于第4阶段只有两个城市D 1、D 2（即s 4的取值为D 1、D 2），从D 1到E 只有一条路，故*41141()(,)4,()f D d D E u D E ===，同理*42242()(,)3,()f D d D E u D E ===。

2)当k=3时：s 3的取值为C 1、C 2、C 3，从C 1出发到E 有两条路，一条是经过D 1到E ，另一条是经过D 2到E ，显然：1141*313111242(,)()34()min min 7,()(,)()53d C D f D f C u C D d C D f D ++⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭即从C 1出发到E 的最短路为7，相应决策为*311()u C D =，最短路线是C 1→D 1→E 。

同理 2141*323222242(,)()64()5,()(,)()23d C D f D f C u C D d C D f D ++⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭3141*333313242(,)()14()5,()(,)()33d C D f D f C u C D d C D f D ++⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭2)当k=2时：s 2的取值为B 1、B 2、B 3，从B 1出发到E 有三条路，分别是经过C 1、C 2、C 3到E ，则有：1131*2112322121333(,)()67()(,)()459,()55(,)()d B C f C f B d B C f C u B C d B C f C ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪++⎩⎭⎩⎭同理 2131*2222322232333(,)()87()(,)()7511,()65(,)()d B C f C f B d B C f C u B C d B C f C ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪++⎩⎭⎩⎭3131*233232233333(,)()77()(,)()8512,()75(3,)()d B C f C f B d B C f C u B C d B C f C ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪++⎩⎭⎩⎭2)当k=1时：s 1的只有一个取值为A. 从A 出发到E 有三条路，分别是经过B 1、B 2、B 3到E ，则有：121*122211323(,)()89()min (,)()min 91117,()612(,)()d A B f B f A d A B f B u A B d A B f B ++⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=+=+==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪++⎩⎭⎩⎭于是得到从A 到E 的最短距离17，为了找出最短路线，按计算的顺序逆推回去，可得到最优策略为：****1,41121232242(){(),(),(),()}p A u A B u B C u C D u D E =====，最短路线是A →B 1→C 2→D 2→E 。