最新北师大版八年级数学上册《平行线的证明》教学设计

合集下载

2024八年级数学上册第七章平行线的证明单元整体设计课件新版北师大版

9．了解平行于同一条直线的两条直线平行.
教学目标 1.理解证明的必要性和设置基本事实的必要性，体会演绎推理的严谨性
和结论的确定性，初步树立步步有依据的推理意识，发展推理能力． 2．通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义，会区分命题的
条件和结论，能对命题进行真假判断，并会对真命题进行证明，假命题举出反例． 3．初步感受公理化思想，以及公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值． 4．经历对两直线平行的有关判定定理、两直线平行的有关性质定理、三角形内角和定理及其推论的证明过程，初步掌握综合法证明的格式，能利用这些定理解决简单的问题.
大单元整体设计
第七章平行线的证明
学生已经具备了一定的几何基础，了解一些几何性质，大部分学生具有一定的分析、理解、思考的能力，同时也具备了一定的自主探究和合作的能力，因此学生在学习如何进行几何证明时已经有了一定的基础．但是结合具体内容进行说理和简单的推理对八年级学生来说是个难点，因此，教师在设计情境问题时，尽量设计学生感兴趣的问题，吸引学，了解定义、命题、定理、推论的意义． 2．知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可
以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式． 3．了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的． 4．掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线
平行． 5．掌握平行线基本事实Ⅱ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相
等，那么这两条直线平行．
6．探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行．
7．掌握平行线的性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．
8．探索并证明平行线的性质定理Ⅱ：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)．

北师大初中八年级数学上册《第七章平行线的证明》教案

第七章平行线的证明第一课时为什么要证明学习目标1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识．3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．教学重点、难点: .经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识．教学过程第一环节：验证活动（1）活动内容：某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．参考答案：列表归纳为第二环节：猜想并验证活动（2）活动内容：如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？参考答案：设赤道周长为c ，铁丝与地球赤道之间的间隙为：)(16.021221m c c ≈=-+πππ 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头．第三环节：猜想并验证活动（3）活动内容：如图，四边形ABCD 四边的中点E 、F 、G 、H ，度量四边形EFGH 的边和角，你能发现什么结论？改变四边形ABCD 的形状，还能得到类似的结论吗？参考答案：连接AC ．∵E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 四边中点， ∴EF ∥AC ，EF=21AC ；GH ∥AC ，GH=21AC ； ∴EF 平行且等于GH ，∴四边形EFHG 为平行四边形．第四环节：归纳与总结活动内容：A B E C D F GH①通过以上三个数学活动，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对其进行肯定．也即：要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步，有根有据的推理．②举例说明“推理意识”与推理方法．第五环节：反馈练习活动内容：1.如图中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下.，答案：a与b的长度相等.第1小题图第2小题图2.如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.答案：线段b与线段d在同一直线上.3.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？答案：经验证：当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数.第六环节：课堂小结活动内容：今天这节课你学到了什么知识？①要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例子，也无法保证其正确性．②要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理．第七环节巩固练习课本第217页习题6.1第2，3题．第二课时定义与命题教学目标1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题．2.用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．3.通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯．教学重点、难点：用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征。

北师大版八年级上册7.4《平行线的性质》教案

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平行线的基本概念。平行线是在同一平面内，永不相交的两条直线。它们在几何图形中有着重要的地位，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过观察教室内的墙壁和地板，我们可以发现平行线的应用，以及它们如何帮助我们理解和构造空间。
关于学生小组讨论的部分，我觉得整体效果还是不错的。学生们能够积极参与，提出自己的观点，也能在讨论中互相学习。但我也注意到，有些学生在讨论中比较沉默，可能是因为性格原因或者是缺乏自信。在今后的教学中，我要关注这些学生，鼓励他们大胆发表自己的看法，增强他们的自信心。
最后，总结回顾环节，我觉得可以进一步优化。在今后的课堂中，我可以尝试让学生来总结今天学到的知识点，这样既能检验他们对知识的掌握程度，也能提高他们的表达能力。同时，我要提醒自己在这个环节中加强对学生的反馈，了解他们在学习过程中的困惑和问题，并及时给予解答。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平行线的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两条直线永远不会相交的情况？”（如铁轨、黑板的边缘等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平行线的奥秘。
-举例：给定两条平行线和一条横截线，运用性质计算未知角度或线段长度。
2.教学难点
-理解平行线性质的推理过程：学生需要通过观察和操作，理解并掌握平行线性质的推理过程，这需要较强的逻辑思维能力。
-难点解析：如何引导学生从特殊实例中发现规律，进而推广到一般情况，并用严谨的几何语言表达出来。
-识别和应用平行线的条件：在实际问题中，学生需要能够识别哪些线段或角度与平行线有关，并运用性质来解决问题。

北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明单元教学设计

4.让学生掌握平行线与相交线的区别与联系，培养学生在实际问题中发现平行线、运用平行线的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，让学生在探索、发现、总结平行线性质的过程中，培养观察、分析、归纳的能力。
2.引导学生运用演绎推理方法，从特殊到一般，逐步掌握平行线的判定方法，提高学生的逻辑思维能力。
二、学情分析
八年级学生在经过之前的学习，已经具备了一定的几何基础，对几何图形有一定的认识和理解。在此基础上，学生对平行线的概念及性质已有初步的了解，但在判定方法、性质应用等方面仍需加强。此外，学生在演绎推理、问题解决等方面的能力有待提高。因此，在教学过程中，应关注以下学情：
1.学生对平行线性质的理解程度，注重引导学生从直观到抽象，逐步提高对平行线性质的认识。
c.解决实际问题，运用平行线性质求解。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，对学生的解答进行点评，及时纠正错误，巩固所学知识。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，让学生用自己的话总结平行线的性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
2.教师强调本节课的重点知识，提醒学生注意平行线性质及判定方法的灵活运用。
2.教师提出问题：我们已经学过直线、线段、射线等基本概念，那么如何判断两条直线是否平行？这节课我们就来探讨这个问题。
（二）讲授新知
1.教师引导学生回顾同位角、内错角、同旁内角等概念，为后续学习平行线的判定方法打下基础。
2.教师通过几何画板演示，引导学生观察并总结出平行线的性质，如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
通过生活中的实例，如铁轨、教室墙壁等，引出平行线的概念，激发学生对平行线性质探究的兴趣。

北师大版八年级上册第七章平行线的证明课程设计 (2)

北师大版八年级上册第七章平行线的证明课程设计一、课程的背景平行线的证明是初中数学中的重要内容之一，是学习几何的基础知识。

八年级上册第七章主要讲述平行线的概念、性质以及平行线的证明方法，对学生形成正确的思维方式、提高学生的证明能力和应用解决问题的能力都有着重要的意义。

在学习这个章节之前，学生应该已经掌握了基本的几何知识和初步证明方法，如角平分线、垂直平分线等。

因此，通过本课程设计的教学，使学生更全面、深入地了解平行线的概念、性质，提高证明能力，优化数学学习体验。

二、教学目标本课程的目标是帮助学生：•掌握平行线的基本概念和性质；•熟练运用平行线的证明方法；•培养利用几何知识解决有关问题的能力；•提高思维能力和创新意识三、教学内容和方法本课程的教学内容主要为平行线的概念、性质以及平行线的证明方法。

根据这些内容，教师可以采用“讲授-练习-探究”等多种教学方法，引导学生自主学习、交流合作、探究实践。

具体措施如下：1. 讲授教师先向学生介绍平行线的基本概念和性质，包括平行线的定义、判定和基本性质等。

在讲解的过程中，教师可以结合图像、视频、PPT等多种辅助工具，帮助学生更深入地理解相关内容。

同时，教师还要注重培养学生的证明能力，提示学生如何运用“前提-结论”的证明方法，掌握常用的证明方法和技巧。

2. 练习在讲授过程中适时安排练习，帮助学生巩固所学知识，并且培养学生的分析和解决问题的能力。

针对不同的题型，教师可以及时给予反馈，并指导学生如何正确解题，包括对证明步骤和方法的指导，引导学生在细节和思路上提高自我要求。

3. 探究引导学生通过探究的方式深入了解问题，展开自己的创造性思维。

例如，可以让学生自行推导证明平行线的定理，或者通过讨论多种情况，发掘更多的应用方法。

四、学生评价方式本课程可以采取以下评价方式：•日常学习评价：包括课堂表现、作业完成情况、课外学习成果等。

•周期性考核评价：例如小测验、阶段性测试等，主要检测学生基础知识掌握情况以及应用能力。

北师大版八年级上册数学第7章《平行线的证明》教案

第七章平行线的证明1为什么要证明【学习目标】1．初步体会观察、猜测得到的结论不一定正确．2．通过探索，初步了解数字中推理的重要性．3．初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理．【学习重点】判断一个结论正确与否需要进行推理．【学习难点】理解数学推理的重要性．一、情景导入生成问题在现实生活中，我们常采用观察的方法来了解世界．在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论．那这样得到的结论都是正确的吗？如果是正确的，那么用什么方法说明它的正确性呢？解：不一定都是正确的，如果正确，需要用推理证明的方法来说明它的正确性．二、自学互研生成能力知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗先阅读教材第162页“做一做”之前的内容，然后完成书中设置的两个问题，最后与同伴进行交流．【说明】让学生通过观察、实验、归纳等方法初步体会得到的结论不一定正确．知识模块二启发学生有理有据地推理师生合作共同完成教材第162页“做一做”的学习与探究．【说明】(1)中让学生体会数学教学中从特殊到一般的思想方法；(2)中利用先猜想再验证的方法，培养学生从不同的角度来用不同的数学方法解决实际问题的能力．【归纳结论】实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗知识模块二启发学生有理有据地推理四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________2定义与命题第1课时定义与命题【学习目标】1．理解定义与命题的概念．2．掌握命题的结构、形式及种类．3．能从具体实例中，了解命题的概念，并会区分真假命题．【学习重点】命题的相关概念．【学习难点】对于命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果……那么……”的形式．一、情景导入生成问题人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．这节课我们就一起研究定义与命题．二、自学互研生成能力知识模块一定义先阅读教材第165页“议一议”上面的内容，弄清“定义”的概念．【说明】通过思考、归纳得出定义的概念，并利用举例的形式加深对概念的理解与掌握．【归纳结论】证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识．为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．知识模块二命题阅读教材第165页“议一议”的内容，弄清命题的概念，并与同伴进行交流．【说明】通过讨论、交流让学生对命题形成初步认识，安排不是命题的问题参加，让学生逐步体会一个句子是不是命题的关键是对一件事情是否作出判断．【归纳结论】判断一件事情的句子叫做命题．如果一个句子没有对某件事情作出任何判断，那么它就不是命题．知识模块三命题的组成阅读教材第166页“想一想”部分的内容．弄清一个命题的组成，并与同伴进行交流．【说明】学生通过观察、思考得出命题是由两部分组成的，并掌握它们各自的概念，进一步加深对命题的理解．【归纳结论】一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．知识模块四命题的分类仿例：下列命题是真命题的是(D)A．若a2＝b2，则a＝bB．若a2>b2，则a>bC．若|a|>|b|，则a>bD．若a3＝b3，则a＝b阅读教材第166页“做一做”的内容，然后与同伴进行交流．【说明】进一步加深对命题组成的理解，同时学会利用自学的知识对命题作出正确的判断．【归纳结论】正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一定义知识模块二命题知识模块三命题的组成知识模块四命题的分类四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时定理与证明【学习目标】1．理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别．2．理解证明命题的思路、书写的格式，能对推理论证有初步的认识．【学习重点】命题证明的一般步骤．【学习难点】探索命题证明的思路及思维方向．一、情景导入生成问题我们知道，举一个反例就可以证明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？用以前学过的观察、实验、验证特例等方法来证明可靠吗？能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？【说明】提出一系列的问题启发思考，体会证明的必要性，让学生明白采用什么样的方式作为证实其他命题的出发点和依据．二、自学互研生成能力知识模块一公理、定理的概念阅读教材第168页和第169页例题前面部分的内容，然后解答下列问题：问题1什么是公理？什么是定理？问题2我们已经学习了哪几条基本事实作为证明的出发点和依据？【说明】给出概念，直入主题．回顾所学知识，加深对概念的理解，同时也让学生明白如何区分公理和定理．【归纳结论】除了上面几条可以作为证明的依据外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据．知识模块二定理的证明师生合作完成下面问题的学习与探究．问题3什么叫证明？如何来证明一个命题或定理的正确性？【说明】让学生明白证明的概念，并且为后面书写过程有个心理准备．例：已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角．求证：∠AOC＝∠BOD.由于证明过程是学生刚刚接触的，比较陌生，教师可以引导学生帮助分析，展示如下：证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)．∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义)．∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等)．定理：对顶角相等．注：对于符号“∵”“∴”表示的意思教师要作出解释；由于刚学证明，力求注明理由，证明过程要符合逻辑思维，不能因果不相匹配．仿例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，求证：∠1＝∠A，∠2＝∠B.证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵∠1＋∠B＝90°，∴∠2＝∠B，同理可证：∠1＝∠A.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一公理、定理的概念知识模块二定理的证明四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________3平行线的判定【学习目标】1．会用“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性．2．会用平行线的三个判定定理解决问题．【学习重点】平行线的三个判定定理．【学习难点】灵活应用平行线的三个判定定理解决问题．一、情景导入生成问题前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试试看．【说明】通过复习旧知识，为本节课进一步学习直线平行的条件做准备．两条直线被第三条直线所截，形成的角中，有同位角、内错角和同旁内角．同位角相等，两直线平行，那么利用内错角、同旁内角的关系，能否判定两直线平行？【说明】这个问题的提出，直截了当地切入本节课的中心内容，通过学生的猜想、讨论，引起学生的探究欲望．二、自学互研生成能力知识模块一内错角相等，两直线平行先阅读教材第172页定理1的内容及其证明过程，然后完成下面的问题．问题1如右图，∠1与∠2是什么位置关系？问题2当∠1＝∠2时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想．由未知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的．为了给学生一个清晰的证明过程，教师展示如下：证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)．∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．知识模块二同旁内角互补，两直线平行先阅读教材第172页定理2的内容及证明过程，然后完成下面的问题．问题3如下图，∠2与∠3是什么位置关系？问题4当∠2＋∠3＝180°时，直线a、b有什么关系？为什么？【说明】让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力．在思考探究的过程中，体会判断两条直线平行的条件．这个证明的过程，老师可以引导学生自己书写．【归纳结论】已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论．仿例：如图所示，一个合格的弯形管道经两次拐弯后，如果∠C＝68°，∠B＝112°，则AB与CD的位置关系是__平行__，理由是__同旁内角互补，两直线平行__．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一内错角相等，两直线平行知识模块二同旁内角互补，两直线平行四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________4平行线的性质【学习目标】1．初步掌握平行线的性质，并能用性质进行简单的推理和证明．2．进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．【学习重点】平行线的性质的探索及性质的应用．【学习难点】运用平行线的性质和判定去解决问题．一、情景导入生成问题现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，判定两条直线平行的三种方法．在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？【说明】了解学生的认知基础，让全体学生对前一节的内容进行回顾，并为新课程的学习做准备．二、自学互研生成能力知识模块一两直线平行，同位角相等师生合作共同完成教材第175页性质定理1的证明及探究过程．【说明】给学生留有充分的探索和交流的空间，鼓励学生利用多种方法探索，这对于发展学生的空间观念，理解平行线的性质是十分重要的．此题的证明可以让学生感受反证法．知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补阅读教材第176页平行线性质定理2和性质定理3的内容及证明过程，然后自己完成定理的证明．【说明】培养学生逻辑思维能力以及严谨的治学态度，逐步锻炼学生的推理能力，并进一步巩固对定理的理解及语言的规范，感受成功的喜悦，树立学习数学的信心．知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行先阅读教材第176页例题及证明过程，然后完成下面的问题．例：已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角．求证：b∥c.【说明】利用平行线的性质进行有关的证明，逐步培养学生的推理论证能力．发展他们的数学思维和空间观念．【归纳结论】平行于同一条直线的两条直线平行．讨论：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同学们交流．【说明】通过与学生交流、讨论，帮助他们形成知识体系，为以后的证明提供了很好的方法．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一两直线平行，同位角相等知识模块二两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补知识模块三平行于同一条直线的两条直线平行四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________5三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理及应用【学习目标】1．会证明三角形的内角和定理，并能运用三角形内角和定理解题．2．初步学会利用辅助线证题．【学习重点】三角形内角和定理的证明和应用．【学习难点】用不同方法证明三角形内角和定理．一、情景导入生成问题我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？【说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法，为后面的证明做准备．二、自学互研生成能力知识模块一三角形内角和定理的证明先阅读教材第178页的内容，再完成下面的思考．思考：(1)如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能证明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？(2)根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同学们交流．【说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚接触证明，并且还需添加辅助线，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤．【归纳结论】三角形的内角和等于180°.思考：(1)你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？(2)如果把三角形三个角“凑”到A处，过点A作直线PQ∥BC(如图)，这样的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同学们交流．【说明】让学生尝试模仿用另外的方法证明三角形内角和是180°，从而培养学生多角度分析问题和解决问题的能力，学生的推理和证明方法再次得到深化．知识模块二三角形内角和定理的应用先独立完成下面问题的解答，然后再对照教材第179页例1的规范格式自评自纠．例：如图，在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．【说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用．注意向学生分析解决问题的思路和方法．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形内角和定理的证明知识模块二三角形内角和定理的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________第2课时三角形的外角【学习目标】1．了解三角形的外角定义，掌握三角形外角的两个定理．2．能综合运用三角形内角和定理及外角的两个定理进行几何证明与计算．【学习重点】三角形外角的性质定理．【学习难点】运用三角形外角性质定理进行有关计算时能准确地推理．一、情景导入生成问题旧知回顾：1在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC的形状是直角三角形．2．一个三角形的三个内角中，至少有(B)A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角3．如图，直线l1∥l2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为(C)A．50°B．55°C．60°D．65°二、自学互研生成能力知识模块一三角形外角的定理先阅读教材第181页例2上面的内容，然后完成下面的问题：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角．如图，∠1是△ABC的外角．问题1你能在图中画出△ABC的其他外角吗？∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？【说明】结合图形，学生通过观察、思考、讨论等一系列活动，既巩固了对概念的理解，又让学生进行证明，培养了学生的推理论证能力．【归纳结论】三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．知识模块二运用三角形外角的定理进行证明你能运用所学的知识解决下面的问题吗？问题2(1)已知：在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.第(1)题图第(2)题图(2)已知如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC>∠A.你们的证明方法一样吗？与大家共同交流．【说明】学生的讨论、交流、解决问题的过程，也是一个培养学生发散思维与创新能力的过程，它不受教师点拨的思维定式的影响，可以提高学生的思维灵活性．仿例：如图D是△ABC中∠ACB的外角的平分线与BA的延长线的交点．求证：∠BAC>∠B＋∠D.证明：∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠ECD＝∠B＋∠D，∴∠ACD＝∠B＋∠D，∵∠BAC>∠ACD，∴∠BAC>∠B＋∠D.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一三角形外角的定理知识模块二运用三角形外角的定理进行证明四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________本章复习小结【学习目标】1．掌握本章的重要概念，能熟练灵活地运用有关定理解决实际问题．2．通过整理本章知识点，经历严格的推理证明过程，培养学生逻辑思维能力．【学习重点】回顾本章知识点，构建知识结构．【学习难点】利用本章有关定理解决实际问题．一、情景导入生成问题引导学生回顾本章知识点，展示知识结构图，让学生系统地了解本章知识及它们之间的相互联系．教学时，边回顾边引导学生画结构图．平行线的证明⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧为什么要证明定义与命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题⎩⎪⎨⎪⎧公理定理假命题平行线的判定⎩⎪⎨⎪⎧同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行平行于同一条直线的两条直线平行平行线的性质⎩⎪⎨⎪⎧两直线平行，同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，内错角相等三角形内角和定理→两个推论二、自学互研生成能力知识模块一知识清单加深理解1．平行线的性质和判定在运用的时候要注意：(1)判定是不知道两直线平行，是根据某些条件来判断两条直线是否平行；(2)性质是知道两直线平行，是根据两直线平行得到其他关系．2．三角形内角和定理及推论三角形内角和定理是有关角的问题中最常用的定理，是解决问题的基本手段．同时三角形的外角性质是证明角相等及不等问题的重要依据，必要时，可以通过添加辅助线来构造内、外角的位置关系，从而确定数量关系．知识模块二典例引路全面复习例1：在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是(D)A．∠A＋∠2＝180°B．∠A＝∠3C．∠1＝∠4D．∠1＝∠A分析：判定的是AB与DF平行，则把这两条直线看做被截的两直线，去找成同位角、内错角和同旁内角关系的两角，其中D选项∠1和∠A是AC、DE被截形成的同位角，由∠1＝∠A得的应是AC∥DE，故选D.例2：把下列命题改写成：“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论．(1)整数一定是有理数；(2)同角的外角相等；(3)两个锐角互余．分析：本题考查命题的概念、叙述简单的命题．要善于分辨条件与结论，这是改写成“如果……那么……”的形式的基础．解：(1)如果一个数是整数，那么它一定是有理数．条件：一个数是整数；结论：它一定是有理数；(2)如果两个角是同一个角的外角，那么这两个角相等．条件：两个角是同一个角的外角；结论：这两个角相等；(3)如果两个角是锐角，那么这两个角互为余角．条件：两个角是锐角；结论：这两个角互为余角．仿例：如图所示，已知∠4＝70°，∠3＝110°，∠1＝46°，求∠2的度数．分析：此题由同旁内角∠3＋∠4＝180°知AB∥CD，故∠2＝180°－∠1.解：因为∠A＝70°，∠3＝110°(已知)，所以∠4＋∠3＝180°，所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，所以∠2＝180°－∠1＝180°－46°＝134°(两直线平行，同旁内角互补)．变例：一零件的形状如图所示，按规定∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，检验工人量得∠BDC＝130°，就判定此零件不合格，请运用所学知识说明理由．分析：这是一个三角形知识的实际应用问题，解决此类问题的关键是如何把实际问题转化到三角形知识上来．解：连接AD并延长到点E，∵∠CDE＝∠C＋∠1，∠BDE＝∠B＋∠2，∴∠CDE＋∠BDE＝∠C＋∠1＋∠B＋∠2，即∠CDB＝∠C＋∠B＋∠CAB.若零件合格，则有∠CDB＝90°＋20°＋21°＝131°，而量得∠BDC＝130°，故此零件不合格．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一知识清单加深理解知识模块二典例引路全面复习四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

北师大版八年级上册第七章平行线的证明第一节为什么要证明教案

第七章平行线的证明第一节为什么要证明一、教学目标1. 知识目标：学生将了解平行线的基本概念和证明方法，理解平行线的性质定理和判定定理的含义。

2. 能力目标：学生将能够运用平行线的性质定理和判定定理证明简单的几何问题，培养逻辑思维和推理能力。

3. 情感目标：学生将激发对几何学习的兴趣，培养对数学严谨性和规范性的认识。

二、教学重点和难点1. 教学重点：学生需要掌握平行线的性质定理和判定定理，能够运用这些定理解决实际问题。

2. 教学难点：学生需要理解平行线的证明思路和方法，能够正确进行证明过程，遵循几何证明的规范。

三、教学过程1. 引入：通过实例引入平行线的概念，并介绍平行线在几何学中的重要性。

2. 讲解性质定理：介绍平行线的性质定理，并解释其含义和应用。

3. 讲解判定定理：介绍平行线的判定定理，并解释其含义和应用。

4. 举例说明：通过举出一些实际例子，让学生理解平行线的性质定理和判定定理的应用。

5. 巩固练习：针对刚学到的知识点，设计一些练习题，让学生通过实际操作加深理解。

6. 课堂讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法，促进互相学习和提高。

7. 总结与回顾：通过总结与回顾，帮助学生回顾平行线的性质定理和判定定理，加深对知识点的理解和记忆。

四、教学方法和手段1. 讲解法：通过讲解，使学生理解平行线的性质定理和判定定理的含义和应用。

2. 示范法：通过示范例题，让学生了解如何进行平行线的证明，掌握解题技巧和方法。

3. 练习法：通过大量练习，加深学生对平行线证明的理解和掌握。

4. 讨论法：通过小组讨论，提高学生的交流和合作能力，促进互相学习和提高。

五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：课堂上给出一些练习题，让学生当堂练习，加深对知识的理解和掌握。

2. 作业：布置一些课后作业，让学生回家后继续练习，巩固所学知识。

3. 评价方式：对学生的练习和作业进行评分，及时发现和解决学生的问题，同时对学生的学习情况进行评估，以便更好地调整教学策略。

北师大版八年级上册第七章平行线的证明课程设计

北师大版八年级上册第七章平行线的证明课程设计一、教学目标知识目标：1.了解平行线及相关概念；2.掌握平行线的判定方法；3.掌握平行线的性质及证明方法。

能力目标：1.能运用平行线的判定方法解决实际问题；2.能够运用证明方法证明平行线及其性质。

情感目标：1.培养学生对证明的兴趣；2.培养学生独立思考和解决问题的能力；3.培养学生用证明方法解决实际问题的意识。

二、教学重难点教学重点：1.平行线的定义及特征；2.平行线的判定方法；3.平行线的性质及证明方法。

教学难点：1.平行线的证明方法；2.平行线性质的证明。

三、教学过程1. 导入（5分钟）教师可以通过课堂游戏或者展示图片等形式，带领学生了解平行线的概念，引发学生对平行线的好奇心，为后续的学习打下基础。

2. 讲授（35分钟）2.1 平行线的定义及特征•平行线的定义：如果两条不同的直线在同一个平面内，且它们没有公共点，则这两条直线叫做平行线。

•平行线的特征：1.平行线不相交；2.平行线之间的距离是相等的；3.平行线上的对应角相等，同旁内角互补，同旁外角相等。

2.2 平行线的判定方法•通过角的对应关系判断平行线：若两条直线上的对应角相等，则这两条直线平行。

•通过角的内外关系判断平行线：若一条直线与另外两条直线形成的内角互补，则这两条直线平行。

•通过交错内角判断平行线：若两条平行线被一条横穿，则所构成的交错内角相等。

2.3 平行线的性质及证明方法•平行线性质：1.平行线投影原理：平行线间的投影相等；2.平行线截短定理：平行线截下的线段成比例；3.平行线夹角定理：直线穿过两条平行线时，内和角互补，外错角相等。

•平行线的证明方法：1.利用平行线的判定方法证明；2.利用等角、全等形、比例、勾股定理等证明。

3. 练习（30分钟）安排练习题，让学生通过练习提高对平行线的运用能力，并掌握证明方法。

4. 总结（5分钟）让学生通过总结，深入理解并掌握平行线的知识点。

四、教学资源准备1.标准教具：黑板、彩色粉笔；2.教科书、教辅资料等；3.练习题。

初中数学八年级上册第七章平行线的证明教案北师大版

第七章平行线的证明1 为什么要证明1．使学生经历通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确的过程认识到证明的必要性．2．理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例推理证明等，理解数学的严谨性．3．发展学生的探索意识以及合作交流的习惯；关注现实，培养学生进行深入思考的能力和质疑精神．重点理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法．难点体会数学推理的重要性和必要性．一、情境导入师：在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？下面我们一起来学习第七章第一节的内容：为什么要证明．二、探究新知1．探究一：观察得到的结论正确吗？课件出示教材第162页“做一做”上面的题目．学生凭着自己的观察和直观感觉说出想法后，组织学生动手量一量、算一算，验证结论是否正确．然后引导学生回答下列问题．(1)由观察得到的结论正确吗？(2)你还能举出日常生活中的例子吗？2．探究二：归纳得到的结论正确吗？(1)听故事“公鸡归纳法”．某主妇养小鸡十只，公母各半．她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐．每天早晨她拿米喂鸡，到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃．”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了．师：第1天有米吃，第2天有米吃……第99天有米吃，一定能推出第100天有米吃吗？从这个故事中你明白了什么道理？同桌之间相互交流．(2)算一算验证“归纳法”．课件出示教材第162页“做一做”第(1)题．师：我们是不是可以由此得出结论：当n为任意自然数时，n2－n＋11的值一定是质数呢？让学生再多取几个数代入代数式中，验证结论是否正确．(不正确，比如当n＝11时，n2－n＋11＝121，结果是合数．)思考：由归纳得到的结论一定正确吗？(3)再次验证“归纳法”．课件出示教材第162页“做一做”第(2)题．DE与BC平行，且等于BC长度的一半；引导学生尝试猜想：连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边，且是第三条边长度的一半；组织学生进行归纳并验证结论，发现这样的结论对所有的三角形都成立．小结：归纳得到的结论有的正确有的不正确．3．交流与发现．师：通过上述几类问题的分析，你有什么发现吗？师：通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确？怎样判断一个结论是否正确呢？总结：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．三、举例分析1．课件出示教材第163页“随堂练习”第1题第(1)题．解：线段b与线段d在同一条直线上．2．课件出示教材第163“随堂练习”第1题第(2)题．分析：观察往往会产生错觉，得出的结论不一定正确，想要判断两条线段是否一样长，最科学、合理的方式是量一量，组织学生动手操作量一量．解：两条线段一样长．四、练习巩固观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？解：一样大．说明：实验、观察、归纳得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．五、小结1．通过本节课的学习，我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确，从而明白证明的意义和必要性．2．让学生反思自己在本节课学习中的优缺点及改进的方法，并能积极地参与总结性的发言．六、课外作业教材第164页习题7.1第1～3题．本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面．不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位．2 定义与命题第1课时定义与命题1．了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题；能找出命题的条件和结论．2．用数学的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．3．通过对某些语句特征的判断，养成严谨的思考习惯．重点理解命题的概念，找出命题的条件和结论．难点正确找出命题的条件和结论．一、情境导入课件出示：小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》．小亮说：……小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”小亮说：“……”小刚说：“……”小亮说：“哈！这个黑客终于被逮住了．”……坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：一人说：“这黑客是个小偷吧？”另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼．”……一人说：“那因特网肯定是一张很大的网．”另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网．”……师：在这个故事中，你得到什么启示？(人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．)二、探究新知1．命题．课件出示教材第165页“议一议”．学生小组讨论，指名汇报，教师点评，并引出命题的概念．像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题．即：命题是判断一件事情的句子．例如，上面“议一议”中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断，都是命题．如果一个句子没有对某一事情做出任何判断，那么它就不是命题．例如，上面“议一议”中的(5)(6)都不是命题．师：大家能举出这样的例子吗？学生分小组讨论回答：任意一个三角形都有一个直角．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．全等三角形的对应角相等．……2．命题的条件和结论．阅读教材第166页“想一想”，完成下列小题．(1)这些命题都有________________的结构特征．(2)一般地，每个命题都由________和________两部分组成，________是已知的事项，________是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“________”引出的部分是条件，“________”引出的部分是结论．3．完成教材第166页“做一做”．三、举例分析1．举出一些是命题的语句．教师引导学生回答问题．2．举出一些不是命题的语句．教师引导学生回答问题．四、练习巩固1．下列句子中哪些是命题？(1)画线段AB＝3 cm；(2)两条直线相交，有几个交点？(3)等于同一个角的两个角相等吗？(4)在射线OA上，任取两点B，C.2．指出下列命题的条件和结论．(1)若a＞0，b＞0，则ab＞0；(2)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；(3)同角的补角相等；(4)内错角相等，两直线平行．五、小结1．定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义．2．命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．六、课外作业教材第167页习题7.2第1～3题．教学中以学生自主探索为主，通过学生活动，了解定义的含义．通过学生的自主探索、合作交流、归纳出命题的题设和结论，加深了学生对命题结构的理解与记忆．整个教学过程中以学生讨论为主，极大地调动了学生的学习积极性，激发了学生学习的兴趣．在教学中教师要加强对已经学过的相关知识的梳理，加深对新知识的认识，逐渐形成对知识的迁移与应用．3 平行线的判定1．熟练掌握平行线的判定定理；能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．2．通过学生画图、讨论、推理等活动，体会证明的基本方法和过程，体验推理的严谨性和结论的确定性，同时给学生渗透化归思想和分类思想．重点掌握平行线的判定定理及灵活运用．难点平行线判定定理的应用．一、复习导入1．什么叫做平行线？(同一平面内，两条直线不相交，就叫做平行线)2．什么叫做同位角、内错角和同旁内角？3．前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件？师：通过前面的学习我们知道，判断一个数学结论是否正确还需要有根有据的证明，那么，利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明下列定理吗？我们一起来试一试．二、探究新知1．平行线的判定定理一．(1)定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行．(2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言，谁能说一说，怎么转化？(画出两条直线a，b，被第三条直线c所截，标出内错角∠1和∠2，表示如果∠1＝∠2，那么a∥b.)已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1＝∠2.求证：a∥b.(3)怎么证明呢？请写出完整的证明过程．证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)，∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．2．平行线的判定定理二．(1)定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行．(2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二．(3)讨论：要由同旁内角互补证明两直线平行，怎么证明？(我们知道有基本事实“同位角相等，两直线平行”，如果能由同旁内角互补推出同位角相等，那么根据已有的这个基本事实就能证明两直线平行)(4)学生板书证明过程．三、举例分析1．如图①所示，由∠DCE＝∠D，可判断哪两条直线平行？由∠1＝∠2，可判断哪两条直线平行？2．如图②，已知∠1＝45°，∠2＝135°，l1∥l2吗？为什么？学生思考后回答问题，教师点评．四、练习巩固1．同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是( ) A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c2．如图，∠B＝60°，∠1＝________时，DE∥BC，理由是________________．五、小结1．如何判断两条直线平行？2．通过这节课的学习你还有哪些收获？六、课外作业教材第173～174页习题7.4第1～4题．本节课学习了判定两条直线平行的三个方法，其中一条是判定公理，另外两个是判定定理．判定公理是我们证明两直线平行的原始依据，在具体证明过程中，应根据已知条件灵活地选择判定方法．很多时候往往不能直接运用判定定理，此时需要进行适当地转化，有时需要添加必要的辅助线．注意：作铺助线时应用虚线．4 平行线的性质1．掌握平行线的三条性质定理；能熟练运用这三条性质定理证明几何题；进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．2．经历观察、操作、推理、交流等学习活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力．重点掌握平行线的性质定理．难点平行线性质定理的应用．一、复习导入师：平行线的判定方法有哪些？师：在上一节课中，我们证明了有关平行线的判定定理，那么对于平行线的性质，又怎么证明呢？能运用上节课积累的方法进行证明吗？今天这节课我们一起再来试一试证明它们．二、探究新知1．平行线的性质定理一．证明：两直线平行，同位角相等．(1)你能用几何语言描述这样的证明题吗？已知：直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角．求证：∠1＝∠2.(2)如果直接进行证明的话，难以找到能够作为依据的相关事实、定理，该怎么办？(提示学生可以用反证法，假设结论错误，再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方，说明假设不成立，从而得证)(3)如果∠1≠∠2，那么是否存在另外一条直线，它被第三条直线所截的∠2的另一同位角∠1′，有∠1′＝∠2呢？(有)(4)如果有，是否意味着这条直线和CD平行？(是的，同位角相等，两直线平行)这条直线可以是任意一条，也就是说我们可以过M点(AB与EF相交于点M)作这样的一条直线，此时我们发现过M点有两条直线与CD平行，这可能吗？(不可能，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)(5)这样看来假设不能成立，说明什么？(∠1＝∠2)(6)学生根据讨论、交流，板书证明过程．证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图所示．根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行．这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾．这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2.2．平行线的性质定理二．证明：两直线平行，内错角相等．(1) 你能用几何语言描述题目要求吗？已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角．求证：∠1＝∠2.(2)我们已经证明了两直线平行，同位角相等，可以将这个作为基本的事实(定理)，你能尝试完成吗？证明：∵l1∥l2(已知)，∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，∴∠1＝∠2(等量代换)．3．平行线的性质定理三．师：你能按照上面的思路证明两直线平行，同旁内角互补吗？学生独立完成，指名板演，教师讲评．三、举例分析课件出示教材第176页例题．通过例题，得出定理：平行于同一条直线的两条直线平行．四、练习巩固1．请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定，它们有什么不同？2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( ) A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补五、小结1．这节课你有什么收获？2．平行线的性质定理有哪些？3．完成一个命题的证明，需要哪些环节？六、课外作业教材第177页习题7.5第1～4题．本节课主要学习了平行线的三条性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的性质定理和判定定理中的条件和结论刚好相反，在具体应用时要注意，当知道两条直线平行时，要利用其性质得出相关的角相等或互补，当不知道两条直线是否平行时，要用相关的角相等或互补判定两直线平行．5 三角形内角和定理第1课时三角形的内角1．掌握三角形内角和定理的证明及简单应用；灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．2．用多种方法证明三角形内角和定理，培养一题多解的能力．重点掌握三角形内角和定理的证明及简单应用．难点灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．一、情境导入用折纸的方法验证三角形内角和定理．先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图①)，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图②、③)，最后得图④所示的结果．试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，还有其他折法吗？二、探究新知1．将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起．试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，如果只剪下一个角呢？2．用严谨的证明来论证三角形内角和定理．看哪个同学想的方法最多？方法一：过A点作DE∥BC.∵DE∥BC，∴ ________________(两直线平行，内错角相等)．∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，∴________________ (等量代换)．方法二：延长BC到D，过点C作射线CE∥BA.∵CE∥BA，∴∠B＝________________(两直线平行，同位角相等)．∠A＝________________(两直线平行，内错角相等)．∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝________________ (等量代换)．添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．三、举例分析课件出示教材第179页例1.小组合作解决问题并完成证明．四、巩固练习教材第179页“随堂练习”第1～3题．五、小结1．通过本节课的学习，我们了解证明三角形内角和定理的几种方法，学会了作辅助线创造条件以达到证明的目的．2．让学生反思自己本节课学习中的优缺点及改进的方法．六、课外作业教材第180页习题7.6第1～4题．根据课程的特点，创设问题情境，以引导学生探索、运用为主线来展开．坚持以学生为本的原则，引导学生操作、探索、讨论、归纳．在教学过程中，引导学生去探索，使学生感受到添加辅助线的教学思想，更好地掌握三角形内角和定理的证明及简单的应用，从而实现教师是引导者和学生是主体的课堂教学理念．第2课时三角形的外角1．掌握三角形外角的两条性质；进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧；灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．2．进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识．重点掌握三角形外角的两条性质．难点灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．一、情境导入师：在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的边BC延长到D得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这个角命名，并且来研究它的性质．二、探究新知1．三角形外角的概念．三角形的外角：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．(1)如下图，∠________是△ABC的一个外角．你还能作出△ABC其他的外角吗？(2)观察上图的外角，你能总结出三角形外角有哪些特征？①顶点在________________上；②一条边是三角形的____________；③另一条边是三角形某条边的______________．2．三角形内角和定理的推论．课件出示：如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？师：由上面的推导过程我们可以得到两个定理：定理1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．定理2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．推论：由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论．推论可以当做定理使用．三、举例分析1．课件出示教材第181页例2.(1)要证明AD∥BC，只需证明哪两个角相等？(2)如何利用题目中的条件？(3)你能说说自己的解题思路吗？(4)你还有其他的证明方法吗？(5)大家通过小组合作能解决问题并完成证明吗？证明：∵∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B＝∠C(已知)，∴2∠B＝∠EAC(等式的性质)．∵AD平分∠EAC(已知)，∴2∠DAE＝∠EAC(角平分线的定义)．∴∠DAE＝∠B(等量代换)．∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．2．课件出示教材第182页例3.引导学生用不同的方法证明．四、练习巩固教材第183页“随堂练习”第1，2题．五、小结1．这节课你有什么收获？2．三角形外角的两条定理是什么？六、课外作业教材第183页习题7.7第1～3题．本节课主要学习三角形外角的两个性质．因为这两个性质是由三角形内角和定理经过推理得来的，所以这两个性质也叫三角形的内角和定理的推论．当遇到证明角的不等关系时应自然想到用三角形的外角的性质．在解决实际问题时，根据题意构建几何模型是解题的关键．1。

北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明7.1为什么要证明(教案)

-通过逐步演示综合法的证明过程，强调每一步的逻辑依据，使学生能够模仿并独立完成类似的证明题目。
-以具体的反证法问题为例，引导学生思考假设反设的情况，并从中找到矛盾点，以此说明原命题的正确性。
2.教学难点
-理解并运用综合法中的逻辑推理步骤，对于初学者来说，如何将直观的几何关系转化为严密的逻辑推理是一个难点定定理，包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，使学生能够准确判断两条直线是否平行。
-学会运用综合法进行平行线的证明，通过严密的逻辑推理，让学生理解证明的完整过程。
-掌握反证法的基本思想，能够利用反证法对简单的几何问题进行推理分析。
举例解释：
-在讲解平行线判定定理时，通过具体的图形示例，让学生观察并理解定理背后的几何关系。
3.培养学生的空间观念和几何直观，使其能够准确把握图形中的角度关系，为后续几何学习打下坚实基础。
4.培养学生的合作意识和交流能力，通过小组讨论、问题解答等环节，促进学生间的互动交流，提高解决问题的效率。
5.培养学生严谨的科学态度和批判性思维，使其在学习过程中能够主动质疑、思考，形成自己的见解和认识。
-对于角度辨识和计算的难点，可以通过提供具有挑战性的练习题，让学生在小组讨论中共同解决，教师则适时提供指导和反馈，帮助学生克服这一难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平行线的证明》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两条直线看起来永远不会相交的情况？”（例如，铁轨、操场跑道等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平行线的奥秘。
-反证法的思维方式对学生来说较为抽象，如何引导学生建立反设并找出矛盾点，是教学中的一个难点。

2023八年级数学上册第七章平行线的证明4平行线的性质教案(新版)北师大版

3. 互动教学：教师利用互动教学手段，如提问、回答、游戏等，与学生进行互动，提高学生的参与度和积极性。例如，在讲解平行线的性质时，教师可以组织学生进行问答游戏，让学生通过回答问题来检验自己对平行线性质的理解。
教学流程
（一）课前准备（预计用时：5分钟）
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解平行线的性质的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
《探索平行线的奥秘》：一个互动数学游戏，让学生在游戏中探索平行线的性质，提高学生的实践操作能力。
《平行线的艺术与应用》：一篇介绍平行线在艺术和设计中的应用的文章，让学生了解平行线在现实生活中的广泛应用。
2. 鼓励学生进行课后自主学习和探究：
探究活动1：学生可以自行查找关于平行线的更多资料，了解平行线在其他领域的应用，如物理学、工程学等，并撰写一篇短文进行分享。
3. 完善评价方式：建立全面的评价体系，不仅关注学生的考试成绩，还要关注学生的实际操作能力和创新能力。例如，在评价学生的学习效果时，可以采用综合评价的方式，结合学生的课堂表现、作业完成情况和实际操作能力等方面进行评价。
重点题型整理
题型1：平行线的性质证明
题目：证明两条平行线的性质。
答案：
1. 平行线的性质：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线。
2. 合作学习法：教师组织学生进行小组合作学习，让学生通过交流和讨论，共同解决问题。例如，在证明平行线的性质时，教师可以让学生分组进行讨论，合作完成证明过程，培养学生的合作意识和沟通能力。
3. 实践操作法：教师组织学生进行实践操作，让学生通过实际操作来加深对知识的理解和应用。例如，在讲解平行线的性质时，教师可以让学生通过画图和实际操作，观察和验证平行线的性质。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习平行线的性质内容做好准备。

新北师大版八上数学第七章平行线的证明整章教案

第七章平行线的证明第1节为什么要证明教学目标：经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识。

教学重点：判定一个结论正确与否需进行推理. 教学难点：理解数学推理的重要性. 教学过程：1个课时教学内容一、导入：P1621、比较线段a 、b 的长短2、图中是正方形吗？3、如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？二、做一做：P1621、某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n ， n 2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流． n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n 2-n+11 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 121 是否为质数是是是是是是是是是是是不是2、三角形中位线P162三、例：把立方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上颜色红黄蓝白紫绿花的朵数 1 2 3 4 5 6方体，如图所示，那么此长方体的下底面有多少朵花？试写出你的结论并说出推理过程.四、议一议：P163要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.五、练习六、作业： 1、"当n 是整数时，两个连续整数的平方差22(1)n n +-等于这两个连续整数的和." 这个判断正确吗？试着用你学过的知识说明理由。

第2节定义与命题教学目标1、了解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义，会区分命题的条件和结论，了解判断命题真假的方法，通过实例感受证明的过程与格式。

2、初步感受公理化思想，并了解本套教科书所采用的基本事实。

北师大版八年级上册第七章平行线的证明教学设计

北师大版八年级上册第七章平行线的证明教学设计一、教学目标1.了解平行线的概念和性质；2.掌握使用平行线的性质来进行简单的证明；3.培养学生的证明能力和逻辑思维能力。

二、教学重难点1.平行线的概念和性质；2.平行线证明的基本方法。

三、教学内容及安排1. 平行线概念及性质讲解（20分钟）首先，要求学生先通过视觉、触觉等方式加深对平行线的概念的理解，在交流中引导学生自然地说出“两直线在平面内不相交，且在不同直线上任取一点，与这两点连线所成的两角相等，则这两直线平行”的概念。

接下来，教师通过PPT呈现平行线的多条性质，如平行线与被它们分割的两条直线所对应的内角互补、两平行线与一直线所对应的内角相等等。

2. 平行线的证明方法（30分钟）教师先讲解基本的平行线证明方法，如对顶角相等证明法、错切线证明法和夹角平分线证明法等。

通过讲解具体的证明案例，让学生理解证明方法的使用，理解证明过程中的推理和逻辑关系，培养证明的思维方式。

3. 讲解平行线证明中需要掌握的基本定理（20分钟）在讲解证明方法的同时，教师需要讲解平行线证明中需要掌握的基本定理，如等角定理、垂角定理和同旁内角互补定理等。

通过讲解这些定理，帮助学生掌握证明的有效思路和方法。

4. 实例演练（30分钟）在讲解完理论知识后，进行例题演练。

教师出示多个实例，通过让学生自己完成证明，检测学生对平行线证明的掌握程度。

对于有困难的学生，教师可以提供辅助思路或给出提示，引导学生完成证明。

四、教学方法1.讲授法：通过概念、定理和案例讲解来引导学生理解平行线证明的基本思路和方法。

2.演示法：通过展示具体的案例，让学生知道如何应用方法来解决问题。

3.互动问答法：通过与学生积极的互动，让学生表达自己的看法、提出自己的问题和解决方案，激发学生的学习热情。

五、教学资料和工具1.PPT教学展示；2.平行线证明练习题。

六、教学评估1.学生的课堂表现和参与度；2.学生完成的平行线证明案例及答案表现。

八年级数学上册第七章平行线的证明 7.3 平行线的判定教案 (新版)北师大版

平行线的判定课题平行线的判定课时安排共（1 ）课时课程标准172-174学习目标1．会用“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性．2．会用平行线的三个判定定理解决问题．教学重点平行线的三个判定定理．教学难点灵活应用平行线的三个判定定理解决问题．教学方法合作交流法教学准备让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．课前作业前面我们探索过两直线平行的哪些判别条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试试看．教学过程教学环节课堂合作交流二次备课（修改人：）环节一先阅读教材第172页定理1的内容及其证明过程，然后完成下面的问题．问题1如右图，∠1与∠2是什么位置关系？问题2当∠1＝∠2时，直线a、b有什么关系？为什么？课中作业证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)．∴∠3＝∠2(等量代换)．∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．环节二如下图，∠2与∠3是什么位置关系？课中作业环节三已给的基本事实、定义和已经证明的定理以后都可以作为依据，用来证明新的结论．仿例：如图所示，一个合格的弯形管道经两次拐弯后，如果∠C＝68°，∠B ＝112°，则AB 与CD 的位置关系是__平行__，理由是__同旁内角互补，两直线平行__．课中作业1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．课后作业设计：课本177页习题（修改人：）板书设计：平行线,的判定)⎩⎪⎨⎪⎧判定公理：同位角相等，两直线平行判定定理⎩⎪⎨⎪⎧内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行。

北师大版初中数学八年级上册《平行线地证明》教案设计

平行线的证明【考点一：命题、定理与公理】●对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．●判断一件事情的句子，叫做命题，每个命题都由条件和结论两局部组成．●正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．●公认的真命题称为公理．●推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理．【典型例题】1．把命题“对顶角相等〞改写成“如果…那么…〞的形式______________________________________．2．命题“任意两个直角都相等〞的条件是_________________________，结论是_________________，它是______〔真或假〕命题．3．有如下两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．其中正确的答案是〔〕A．只有命题①正确B．只有命题②正确C．命题①，②都正确D．命题①，②都不正确4．如下命题为真命题的是〔〕A．同位角相等B．如果∠A+∠B+∠C=180°，那么∠A，∠B，∠C互补C．邻补角是互补的角D．两个锐角的和是锐角【变式练习】1．把“等角的余角相等〞改写成“如果…，那么…〞的形式______________________________．2．如下命题是假命题的是〔〕A．对顶角相等B．圆有无数条对称轴C．两点之间，线段最短D．平行四边形是轴对称图形3．如下三个命题：①同位角相等，两直线平行；②两点之间，线段最短；③过两点有且只有一条直线，其中真命题有〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个4．如下语句中，属于命题的是〔〕A．画∠AOB=90°B．2比－2大吗C．过点A作直线mD．负数的偶次幂是正数5．如下四个命题是真命题的是〔〕A．同位角相等B．如果两个角的和是180度，那么这两个角是邻补角C．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直6．有如下四个命题，其中所有正确的命题是〔〕①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行②两条直线被第三条直线所截同旁内角互补③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直④在同一平面内，过一点由且只有一条直线与直线垂直．A．①②B．①④C．②③D．③④7．请写出命题：“全等三角形对应角相等〞的逆命题，并判断命题的真假．8．“有两个角相等的三角形是等腰三角形〞的逆命题是________________________________．【考点二：平行线的性质与判定】判定：1．同位角相等，两直线平行．性质：1．两直线平行，同位角相等．2．同旁内角互补，两直线平行． 2．两直线平行，同旁内角互补．3．内错角相等，两直线平行． 3．两直线平行，内错角相等．平行线的判定：【典型例题】1．如下列图：：AD∥EF，∠1＝∠2．求证：AB∥DG．【变式练习】1．如图，直线EF⊥MN垂足为F，且∠1=140°，如此当∠2等于〔〕时，AB∥CD．A．50°B．40°C．30°D．60°2．如图，可以推理得AB∥CD的条件是〔〕A．∠2=∠ABCB．∠1=∠AC．∠3=∠ABCD．∠3=∠A3．如下说法正确的答案是〔〕A．同一平面内没有公共点的两条直线平行B．两条不相交的直线一定是平行线C．同一平面内没有公共点的两条线段平行D．同一平面内没有公共点的两条射线平行4．如下说法正确的答案是〔〕①相等的角是对顶角；②相等且互补的两个角是直角；③一个角的两个邻补角是对顶角；④假如两个角不是对顶角，如此这两个角不相等；⑤凡直角皆相等；⑥同时垂直于同一条直线的两条直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个5．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相〔〕A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线6．小明到工厂去进展社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如下列图的零件，要求AB∥CD，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB与CD肯定是平行的，你知道什么原因吗?7．：如图∠1=∠2，当DE与FH有什么位置关系时，CD∥FG? 并说明理由．EA CB G M D NF12平行线的性质【典型例题】1．如下列图：如果AB ∥CD ，如此角α、β、γ之间的关系式为〔〕A 、α＋β＋γ=360°B 、α－β＋γ=180°C 、α＋β＋γ=180°D 、α＋β－γ=180°2．如下列图：直线AB ∥MN ，分别交直线EF 于点C 、D ，∠BCD 、∠CDN 的角平分线交于点G ，求∠CGD 的度数．【变式练习】1．如如下图左，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =46°，∠CEF =154°，如此∠BCE 等于〔〕A ．23°B ．16°C ．20°D ．26°2．如如下图中，将三角板的直角顶点放在两条平行线a 、b 中的直线b 上，如果∠1=40°，如此∠2的度数是〔〕A ．30°B ．45°C ．40°D ．50°3．把一块直尺与一块三角板如如下图右放置，假如∠1=45°，如此∠2的度数为〔〕A ．115°B ．120°C ．145°D ．135°4．如图，AE ∥BD ，∠1=120°，∠2=40°，如此∠C 的度数是〔〕A ．10°B ．20°C．30°D．40°5．如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，如此∠α等于〔〕A．21°B．48°C．58°D．30°6．如图，AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，如此∠BED为〔〕A．23°B．42°C．65°D．19°7．将一副三角板摆放成如下列图，图中∠1=〔〕度．A．90B．120C．125D．1508．如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2〞，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，如此∠E的度数为〔〕A．30°B．150°C．120°D．100°9．如下列图，OP∥QR∥ST，假如∠2=110°，∠3=120°，如此∠1的度数为〔〕A．60°B．50°C．40°D．10°10．如下说法正确的有〔〕〔1〕两直线被第三直线所截，假如同位角相等，如此同旁内角相等〔2〕两直线被第三直线所截，假如内错角的角平分线平行，如此这两直线平行〔3〕两直线被第三直线所截，假如同旁内角不互补，如此内错角也不相等〔4〕在同一平面内，两直线同时垂直同一条直线，如此这两直线也互相垂直A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，AB∥EF，∠BAC=p，∠ACD=x，∠CDE=y，∠DEF=q，如此用p、q、y来表示x．得〔〕A．x=p+y－q+180°B．x=p+q－y+180°C．x=p+q+yD．x=2p+2q－y+90°12．如图，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上．设与∠α相等的角的个数为m，与∠β互补的角的个数为n，假如α≠β，如此m+n的值是〔〕A．8B．9C．10D．1113．如图，AB∥CD，BE⊥DE．试说明∠B与∠D之间的关系，并说明理由．14．如图，点P是∠AOB内的任意一点，〔1〕过点P分别作OA、OB的平行线，分别交OA、OB于点C、D；〔2〕∠AOB和∠P是否相等? 说明理由．15．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，点F在DC上，且∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求证：DE∥BC．16．如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．〔保存作图痕迹，不要求写画法〕．【考点三：三角形的内角和外角定理】● 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ● 如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行． ● 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条． ● 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° ● 三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ● 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．【典型例题】1、：如下列图：在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的平分线，BH 是∠ABC 的平分线．求证：∠A = 2∠H证明：∵∠ACD 是△ABC 的一个外角，∴∠ACD =∠ABC +∠A 〔___________________________〕∠2是△BCD 的一个外角，∴∠2=∠1+∠H 〔__________________〕 ∵CH 是外角∠ACD 的平分线，BH 是∠ABC 的平分线， ∴∠1=21∠ABC ，∠2= 21∠ACD 〔_____________________〕 ∴∠A =∠ACD －∠ABC = 2 〔∠2 －∠1〕〔_______________________〕而∠H =∠2 － ∠1 〔等式的性质〕 ∴∠A = 2∠H 〔_______________________〕【变式练习】1．如图，在△ABC 中，∠B =67°，∠C =33°，AD 是△ABC 的角平分线，如此∠CAD 的度数为〔〕A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°2．如图，将一块三角板叠放在直尺上，假如∠1=20°，如此∠2的度数为〔〕A ．40°B ．60°C ．70°D ．80°3．如图，△ABC 中，BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∠A =50°，如此∠BOC 等于〔〕A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°4．两条平行线被第三条直线所截得的角中角平分线互相垂直的是〔〕A ．内错角B ．同旁内角C．同位角D．内错角和同位角5．如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线与∠FCB的平分线CE相交于E点，如此∠AEC为〔〕A．14．5°B．15．5°C．16．5°D．20°6．如图，两平面镜所成的∠1，一束光线由是P发出，经平面镜OB，OA两次反射后回到点P，PQ∥OA，PR∥OB，如此∠1的度数为〔〕A．30°B．45°C．60°D．75°7．假如一个三角形的两个内角的平分线所成的钝角为145°，如此这个三角形的形状为〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形8．假如△ABC的内角满足：2∠A－∠B=60°，4∠A+∠C=300°，如此△ABC是〔〕A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．无法确定9．△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C=7∠A，如此∠A的度数为〔〕A．40°B．48°C．36°D．44°10．如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，假如∠β=20°，如此∠α的度数为〔〕A．25°B．30°C．20°D．35°11．将一副常规的三角尺按如图方式放置，如此图中∠AOB的度数为〔〕A．75°B．95°C．105°D．120°12．如图，∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，如此∠A的度数是〔〕A．28°B．31°C．39°D．42°13．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，如此x可能是〔〕A．10°B．20°C．30°D．40°14．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，如此∠A5的度数为〔〕A°B．8°C．6°D．3°15．如下列图，l1∥l2，如此如下式子中值为180°的是〔〕A．α+β+γB．α+β－γC．β+γ－αD．α－β+γ16．如下说法：①三角形的高是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的一个外角一定大于三角形的内角．其中正确的有〔〕A．1个B．2个C．3个 D．4个17．△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC〔1〕在图中画出△ABC的高AE，垂足为E；并完成如下问题：1．假如∠B=50°，∠C=70°，如此∠DAE=．2．试探寻∠DAE与∠B、∠C的关系．请说明理由．〔2〕假如一点F在AD上移动，且FE⊥BC于E，其他条件不变，那么∠EFD与∠B、∠C间有怎样的关系?18．在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于180°，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．〔1〕求∠DAE的度数；〔2〕判定AD是∠EAC的平分线吗? 说明理由．〔3〕假如∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度数．〔∠C＞∠B〕19．：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答如下问题：〔1〕如图1，假如∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．〔2〕通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB－∠B 之间的关系应为：．〔3〕在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么〔2〕中的结论仍然成立吗? 为什么?20．如图，△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BD、CE交于点O，∠A=70°．〔1〕假如∠ACB=40°，求∠BOC的度数；〔2〕当∠ACB的大小改变时，∠BOC的大小是否发生变化? 为什么? 请写出证明过程．21．如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形〞．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答如下问题：〔1〕在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系〔2〕仔细观察，在图2中“8字形〞的个数〔3〕在图2中，假如∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；22．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，证明：∠BOC=90°+12∠A．探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系? 探究3：如图3 中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，如此∠BOC与∠A有怎样的关系?23．〔1〕如图1，∠1 与∠2 的大小有什么关系?〔2〕如图2，BE、CD相交于点A，∠DEA，∠BCA的平分线相交于F．探求∠F、∠B、∠D关系?。