高三文科数学第一轮知识点专项复习课件22

sin60
2
在△ABC中，由余弦定理可得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，
∴ AB2＝( 3)2＋( 6＋ 2 )2－2 3 6＋ 2 cos75＝5，
2
2
∴AB＝ 5(km).
即两目标A、B间的距离为 5 km.
答案： 5km
【反思·感悟】1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关 的三角形中，建立一个解三角形的模型. 2.利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的 解.
BA=2OB=200(海里),
当B=120°时,A=∠AOB=30°,
∴OB=AB=100(海里),
故渔船B与救护船A的距离是100海里或200海里.
2.(2012·西安模拟)如图，货轮在 海上以35n mile/h的速度沿方位角 (从正北方向顺时针转到目标方向线 的水平角)为152°的方向航行.为了 确定船位，在B点处观测到灯塔A的 方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方 位角为32°，则此时货轮与灯塔之间的距离为______n mile.
【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三 角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和 平面图形的结合.
【例2】要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔 顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水 平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度. 【解题指南】设出塔高x，先放到Rt△ABC和Rt△ABD中把BC和 BD用x表示；再在△BDC中用余弦定理求得x.
【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下 失分警示与备考建议：
失 解答此题时有两点容易造成失分: 分 (1)由于角多不能正确地利用角之间的关系，特别是 警 三角形的外角的应用. 示 (2)计算的失误造成失分，特别是sin15°的计算.
关于解决三角形的实际应用问题还有以下几点容易造
成失分，在备考时要高度关注： 备
10
【反思·感悟】利用正弦定理和余弦定理来解实际问题时，要学 会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中抽取主 要因素，进行适当地简化.另外要准确选择恰当的三角形，把实 际问题转化到三角形中时，正确地表示出所用的边和角.
【满分指导】三角形中实际应用问题的规范解答 【典例】(12分)(2012·三明模拟)如 图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂 直的平面内，B，D为两岛上的两座灯 塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点 和D点的仰角分别为75°，30°，于 水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km.
2.解三角形应用题的一般步骤 (1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清 量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型. (3)选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、 近似计算要求.
【即时应用】 (1)已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现 测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为______km. (2)如图，在坡度为15°的观礼台 上，某一列座位与旗杆在同一个 垂直于地面的平面上，在该列的 第一排和最后一排测得旗杆顶端 的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为 10 6 米，则旗杆的高度为______米.
【解题指南】(1)作出高线可直接应用直角三角形的边角关系求 得；(2)确定好三角形利用正弦定理和余弦定理解三角形求得. 【规范解答】(1)如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点， 则CD为所求宽度， 在△ABC中， ∵∠CAB＝30°， ∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120 m.
于是∠CBD=120°.
在△BCD中，由正弦定理，得
sinBCD BDsinCBD 10t sin120 1 ,
CD
10 3t 2
得∠BCD=30°, 又 CD BC ，
sin120 sin30
10 3t 6,得t 6 .
3
10
所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船，最少
要花 6小时.
第八节 应用举例
三年7考 高考指数:★★ 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和
几何计算有关的实际问题.
1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是 高考考查的重点. 2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中低档题.
1.实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角， 在水平线下方的角叫俯角(如图①).
由正弦定理，得
10
6
＝
2 3h
故3 h＝，30米.
sin30 sin45
答案：(1) 10 7 (2)30
测量距离问题 【方法点睛】求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三 角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在 另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便 于计算的定理.
【规范解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船，
则有CD=10 3t,BD=10t. 在△ABC中，AB 3A1C, =2,∠BAC=120°. 利用余弦定理可得 BC 6.
由正弦定理，得
sinABC AC sinBAC 2 3 2 ,
BC
62 2
得∠ABC=45°，即BC与正北方向垂直.
测量高度问题 【方法点睛】处理高度问题的注意事项 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线 上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的 问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形， 这样处理起来既清楚又不容易搞错.
【例1】(1)如图，为了测量河的宽度， 在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物 C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， AB＝120 m，则这条河的宽度为______. (2)隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 3 km 的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，则两目标A、 B之间的距离为______.
在Rt△ACD中， CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)， 因此这条河宽为60 m. 答案：60 m
(2)如图所示，在△ACD中，
∵∠ADC＝30°，
∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，
∴AC＝CD＝ 3. 在△BDC中，
∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.
由正弦定理可得 BC＝ 3sin75＝ 6＋ 2 .
【规范解答】如图，设电视塔AB的高为x m， 则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x. 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°， ∴ BD＝ 3x. 在△BDC中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°， 即（ 3x）2＝x－2＋24·0x2·40·cos120°， 解得x＝40，∴电视塔高为40米.
【即时应用】 (1)思考:仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示:三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的， 而方位角是相对于正北方向而言的. (2)思考:如何用方位角、方向角确定一点的位置？ 提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确 定一点的位置.
(3)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋 观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的 北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东 60°，则灯塔A在灯塔B的_______方向. 【解析】由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°， 又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°. ∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°. 答案：北偏西10°
(A)100海里
(B)200海里
(C)100海里或200海里
(D) 100 3 海里
【解析】选C.设基地位于O处,根据正弦定理可知
1
OB OA ,sinB sinA OA 2 100 3 3 .
∴sBin=A60s°in或B120°. OB
100
2
当B=60°时,∠BOA=90°,A=30°,
wenku.baidu.com
(1)试探究图中B，D间的距离与另外哪两点间距离会相等？ (2)求B，D间的距离. 【解题指南】作出图形确定利用的三角形，(1)要充分利用仰 角和俯角与三角形中的角的关系；(2)利用正弦定理正确地解 答.
【规范解答】(1)如图， 在△ADC中，∠DAC=30°， ∠ADC=60°－∠DAC=30°, ∴CD=AC=0.1 km， ………………………………4分 又∠BCD=180°－60°－60° =60°，∴∠CED=90°， ∴CB是△CAD底边AD的中垂线， ∴BD=BA.……………………………………………………6分
【解析】在△ABC中，∠ABC=152°-122°=30°，C=180°-
152°+32°=60°，
A=180°-30°-60°=90°，
BC=35 n mile，
2
∴ AC 35 sin(3n0m i3l5e).
2
4
答案：35
4
3.(2012·黄石模拟)如图，一船在海 上由西向东航行，在A处测得某岛M的 方位角为北偏东α角，前进4 km后在 B处测得该岛的方位角为北偏东β角. 已知该岛周围3.5 km范围内有暗礁，现该船继续东行. (1)若α=2β=60°,问该船有无触礁危险？如果没有，请说明 理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危 险？ (2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？
【反思·感悟】解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的 三角形，准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相 对应；分清已知和待求的关系，正确地选择定理和公式，特别 注意高度垂直地面构成的直角三角形.
测量角度问题 【方法点睛】测量角度问题的一般步骤 (1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图 形中标出有关的角和距离; (2)用正弦定理或余弦定理解三角形; (3)将解得的结果转化为实际问题的解． 同时注意把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解 不出来，需要先在其他三角形中求解相关量.
(2)在△ABC中，由正弦定理得：
AB AC , sinBCA sinABC
即 AB AC sin60 3 …2 ……6 …(km…),…………8分
sin15
20
∴BD=3 2 (k6m).……………………………………11分
20
答：B，D间的距离是3 2 k6m.……………………12分
20
【解析】(1)如图所示， 由余弦定理可得： AC2=100+400-2×10×20×cos120° =700，∴AC=10 7 (km). (2)设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶 端为点C，则 BC＝ h ＝2 3 h.
sin60 3
在△ABC中，AB＝10 6，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°， 所以∠ACB＝30°，
(1)对题目所给条件不能作出相关示意图. 考
(2)不会将实际问题转化到三角形中利用正、余弦定 建
理求解. 议
另外,对于仰角、俯角、方向角、方位角要正确地理
解和应用.
1.(2012·潍坊模拟)海事救护船A在基地的北偏东60°,与基地
相距 100 3 海里,渔船B被困海面,已知B距离基地100海里,而 且在救护船A正西方,则渔船B与救护船A的距离是( )
【例3】在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处 ( 3 1) 海 里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里 的C处的缉私船奉命以 10 3 海里/小时的速度追截走私船.同 时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃 窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时 间？ 【解题指南】设出缉私船t小时后在D处追上走私船后，确定出 三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间.
(2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角 为α(如图②).
(3)方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋 转α°到达目标方向. ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋 转α°到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.
(4)坡度 ①定义:坡面与水平面所成的二面角的 度数(如图④，角θ为坡角)． ②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之 比(如图④，i为坡比).