2012年高考数学理(四川卷)含答案
2012高考理科数学概率统计_(答案详解)2
高考试题汇编（理）---概率统计解答题1、（全国卷大纲版）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。
每次发球，胜方得1分，负方得0分。
设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。
甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望。
2、（全国卷新课标版）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.(1) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：n∈）的函数解析式；枝，N(2)以（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.3、（北京卷）近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误额概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,其中0a >， 600a b c ++=。
当数据c b a ,,的方差2s 最大时，写出c b a ,,的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值。
（注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数） 4、（福建卷）受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该将频率视为概率，解答下列问题：（1）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （2）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（3）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
2012年全国高考数学三大题型
江西4.若sin cos 1sin cos 2+=-αααα则tan 2α= A. -34 B. 34 C. -43 D. 436.小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为A.30％B.10％C.3％D.不能确定 9.已知若a=f （lg5），则A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=113.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比若不为1。
若a 1=1，且对任意的都有a n ＋2＋a n ＋1-2a n =0，则S 5=_________________。
16.（本小题满分12分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知3cos （B-C ）-1=6cosBcosC 。
（1）求cosA ； （2）若a=3，△ABC的面积为b ，c 。
21.（本小题满分14分） 已知函数f(x)=（ax 2+bx+c ）e x在[]0,1上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.（1）求a 上午取值范围； （2）设g(x)= f(-x)- f ′(x)，求g(x)在[]0,1上的最大值和最小值。
安徽（7）要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位（C ） 向左平移12个单位 （D ） 向右平移12个单位（10）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 （A ）15 （B ）25（C ）35 （D ）4516设△ABC的内角CB A ,,所对边的长分别为,,,c b a ，且有C A C A A B s i n c o s c o s s i n c o s s i n 2+=。
（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ) 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长。
四川高考数学试题理科含答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。
第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 24s R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 243v R π=在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径n ()(1)(0,1,2,...)k kn k n P k C p p k n -=-=第一部分（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。
2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（11四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [， 2 [, 4 [，23．5) 9 [, 18 [， 1l [， 12 [． 7 [, 3根据样本的频率分布估计，数据落在[，的概率约是 (A)16 (B)13 (C)12 （D ）23（11四川理2）复数1i i-+=(A)2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i （11四川理3）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ⇒ （B ）12l l ⊥，23l l ⇒13l l ⊥[来源:](C)233l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面（11四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= (A)0 (B)BE (C)AD (D)CF（11四川理5）函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件（11四川理6）在ABC ∆中．222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是 (A)(0，6π] (B)[ 6π，π) (c)(0，3π] (D) [ 3π，π) （11四川理7）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是（11四川理8）数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a =（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11（11四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元（11四川理10）在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)--（B ）(0,5)-（C ）(2,9)-（D ）(1,6)-（11四川理11）已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）32（11四川理12）在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn= （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（11四川理13）计算121(lg lg 25)100=4--÷ .（11四川理14）双曲线22x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 .（11四川理15）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 .（11四川理16）函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数()21()f x x x R =+∈是单函数.下列命题：① 函数2()()f x x x R =∈是单函数；② 若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ③ 若f ：A →B 为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④ 函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数. 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 三、解答题（11四川理17）已知函数73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈ (1)求()f x 的最小正周期和最小值； （2）已知44cos(),cos(),(0)552a πββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=（11四川理18）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。
2024年四川高考数学(理)试题(含答案)
2024年四川高考数学(理)试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A 10iB. 2iC. 10D. 2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9 C. {}1,2,3 D. {}2,3,5【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5 B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：.由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A. 2- B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值.【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()2e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选：A.7. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.8. 已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+⎪-α⎝⎭，故选：B.9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D. “1x =-”是“//a b”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（ ）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac+=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2 B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．【答案】5【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==-甲，)12h r r ==-乙，所以V h V h ====甲甲乙乙.15. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤，故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤，故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=.故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p=，根据题意计算p+.【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64 150=，用频率估计概率可得0.64p=，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a -=⋅- （2）(21)31n n T n =-⋅+【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式．（2）利用错位相减法可求n T .【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．【答案】（1）证明见详解； （2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，为所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅，则sin ,m n =，故二面角F BM E --20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k=-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值0，无极大值. （2）12a ≤-【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.小问1详解】当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数，为【故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x+-=-+'+-=-+->++，设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+，当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<，故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a ≤-.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．为[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+ （2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。
2012年四川省高考数学试题及答案
2012年四川省初中毕业生升学文化课考试数 学 试 卷本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．卷Ⅰ（选择题，共30分）注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效．一、选择题（本大题共12个小题，1~6小题，每小题2分；7~12小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列各数中，为负数的是（ ）A ．0 Ｂ．2- Ｃ．1 Ｄ．122．计算3()ab 的结果是（ ）A ．3ab Ｂ．3a b Ｃ．33a b Ｄ．3ab 3．图1中几何体的主视图是（ ）4．下列各数中，为不等式组23040x x ->⎧⎨-<⎩解的是（ ）A ．1- Ｂ．0 Ｃ．2 Ｄ．45．如图2，CD 是O ⊙的直径，AB 是弦（不是直径），AB CD ⊥于点E ，则下列结论正确的是（ ）A ．AE BE > Ｂ． AD BC= Ｃ．12D AEC =∠∠ Ｄ．ADE CBE △∽△ 6．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）Ａ．每2次必有1次正面向上 B ．可能有5次正面向上 C ．必有5次正面向上 D ．不可能有10次正面向上7．如图3，点C 在AOB ∠的OB 边上，用尺规作出了CN OA ∥，作图痕迹中， FG是（ ）A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧 Ｂ．以点C 为圆心，DM 为半径弧 Ｃ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧 Ｄ．以点E 为圆心，DM 为半径的 8．用配方法解方程2410x x ++=，配方后的方程是（ ）A ．2(2)3x += Ｂ．2(2)3x -= Ｃ．2(2)5x -= Ｄ．2(2)5x += 9．如图4，在ABCD 中，70A ∠=︒，将ABCD 折叠，使点D C 、分别落在点F 、E处（点,F E 都在AB 所在的直线上），折痕为MN ，则AMF ∠等于（ ）A ．70Ｂ．40Ｃ．30Ｄ．2010．化简22111x x ÷--的结果是（ ） A ．21x - Ｂ．321x - Ｃ．21x + Ｄ．2(1)x +11．如图5，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a ，b ()a b >，则()a b -等于（ ）A ．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．412．如图6，抛物线21(2)3y a x =+-与221(3)12y x =-+交于点(13)A ，，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B C ，．则以下结论： ①无论x 取何值，2y 的值总是正数． ②1a =．③当0x =时，214y y -=．④23AB AC =．其中正确结论是（ ）A ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①④2012年四川省初中毕业生升学文化课考试数 学 试 卷 卷Ⅱ（非选择题，共9 0分）注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13．5-的相反数是 ．14．如图7，AB CD ，相交于点O ，AC CD ⊥于点C ，若BO D∠=38，则A ∠等于 ．15．已知1y x =-，则2()()1x y y x -+-+的值为 ．16．在12⨯的正方形网格格点上放三枚棋子，按图8所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其他格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为 ．17．某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报111⎛⎫+ ⎪⎝⎭，第2位同学报112⎛⎫+⎪⎝⎭，第3位同学报113⎛⎫+⎪⎝⎭……这样得到的20个数的积为 ． 18．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图91-，用n 个全等的正六边形按这种方式拼接，如图92-，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n 的值为 ．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分8分）计算：021153)6(1)32⎛⎫--+⨯-+- ⎪⎝⎭． 20．（本小题满分8分）如图10，某市A B ，两地之间有两条公路，一条是市区公路AB ，另一条是外环公路AD DC CB --.这两条公路转成等腰梯形ABCD ，其中DC AB AB AD DC ∥，::=10:5:2.（1） 求外环公路总长和市区公路长的比；（2） 某人驾车从A 地出发，沿市区公路去B 地，平均速度是40km/h ，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h ，结果比去时少用了110h ，求市区公路的长.21．（本小题满分8分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．（1）a ___________,x 乙=__________；（2）请完成图11中表示乙成绩变化情况的折线；（3）①观察图11，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）.参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断.②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．22．（本小题满分8分）如图12，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D ，点P 是一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象与该反比例函数图象的一个公共点.（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C ；（3）对于一次函数33(0)y kx k k =+-≠，当y x 随的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 23．（本小题满分9分）如图131-，点E 是线段BC 的中点，分别以B C ，为直角顶点的EAB EDC △和△均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．（1）AE ED 和的数量关系为___________，AE ED 和的位置关系为___________；（2）在图131-中，以点E 为位似中心，作EGF △与EAB △位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连接GH HD ，，分别得到了图132-和图133-； ①在图132-中，点F 在BE 上，EGF EAB △与△的相似比是1:2，H 是EC的中点.求证：.GH HD GH HD =⊥，②在图133-中，点F 在BE 的延长线上，EGF EAB △与△的相似比是k :1，若2BC =，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH HD GH HD =⊥且（用含k 的代数式表示）． 24．（本小题满分9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm ）在5~50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：2cm ）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据．（1） 求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式； （2） 已知出厂一张边长为40cm 的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价-成本价）.① 求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；② 当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.25．（本小题满分10分）如图14，(50)(30).A B --，，，点C 在y 轴的正半轴上，CBO∠=45，CD AB ∥，90CDA = ∠.点P 从点(40)Q ，出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒.（1） 求点C 的坐标；（2） 当15BCP =∠时，求t 的值；（3） 以点P 为圆心，PC 为半径的P ⊙随点P 的运动而变化，当P ⊙与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．26．（本小题满分12分）如图151-和图152-，在ABC △中，51314cos .13AB BC ABC ===，，∠ 探究在如图151-，AH BC ⊥于点H ，则AH =_______，AC =_______， ABC △的面积ABC S △=___________．拓展如图152-，点D 在AC 上（可与点A C ，重合），分别过点A C ，作直线BD 的垂线，垂足为E F ，.设.BD x AE m CF n ===，，（当点D 与点A 重合时，我们认为ABC S △=0. （1）用含x m ，或n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；（2）求()m n +与x 的函数关系式，并求()m n +的最大值和最小值．（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围.发现请你确定一条直线，使得A B C ，，三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.2012年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试题参考答案二、填空题（每小题3分，满分18分） 13．5 14．52 15．1 16．3417．21 18．6 三、解答题（本大题共8小题，共72分）19．解：021153)6(1)32⎛⎫--+⨯-+- ⎪⎝⎭=51(23)1-+-+ ··········································································· 5分 =4． ····························································································· 8分 20．解：（1）设10AB x =km ，则5AD x =km ，2CD x =km ．四边形ABCD 是等腰梯形，DC AB ∥， 5.BC AD x ∴==12.AD DC CB x ∴++=∴外环公路总长和市区公路长的比为12x x :10=6:5. ··········································· 3分 （2）由（1）可知，市区公路物长为10x km ，外环公路的总长为12x km ．由题意，得10121408010x x =+. ············································································· 6分 解这个方程，得1x =. 1010x ∴=.答：市区公路的长为10km. ··············································································· 8分 21．解：（1）4，6 ··························································································· 2分 （2）如图1 ··································································································· 3分（3）①乙 ····································································································· 4分2222221[(76)(56)(76)(46)(76)]5S =-+-+-+-+-乙=1.6. ································ 5分由于22S S <乙甲，所以上述判断正确. ····································································· 6分 ②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中. ···· 8分22．解：（1）由题意，2AD BC ==，故点D 的坐标为（1，2）. ··························· 2分 反比例函数m x 的图象经过点(12)D ，， 2. 2.1m m ∴=∴= ∴反比例函数的解析式为2.y x= ······································································· 4分 （2）当3x =时，333 3.y k k =+-=∴一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C ． ········································· 6分 （3）设点P 的横坐标为2 3.3a a <<， ································································ 8分 （注：对（3）中的取值范围，其他正确写法，均相应给分）23．解：（1）AE ED AE ED =⊥，． ······························································ 2分（2）①证明：由题意，90.B C AB BE EC DC ===== ∠∠， EGF EAB △与△位似且相似比是1:2，1190.22GFE B GF AB EF EB ∴==== ∠∠，， GFE C ∴=∠∠.12EH HC EC == ， 111.222GF HC FH FE EH EB EC BC EC CD ∴==+=+===， HGF DHC ∴△≌△. ···················································································· 5分 .GH HD GHF HDC ∴==，∠∠又9090HDC DHC GHF DHC +=∴+=∠∠，∠∠. .GHD ∴ ∠=90GH HD ∴⊥. ······························································································· 7分 ②CH 的长为k . ···························································································· 9分24．解：（1）设一张薄板的边长为x cm ，它的出厂价为y 元，基础价为n 元，浮动价为kx 元，则y kx n =+. ·························································································· 2分由表格中的数据，得50207030.k n k n =+⎧⎨=+⎩， 解得210.k n =⎧⎨=⎩， 所以210.y x =+ ··························································································· 4分（2）①设一张薄板的利润为P 元，它的成本价为2mx 元，由题意，得22210.P y mx x mx =-=+- ·········································································· 5分 将4026x P ==，代入2210P x mx =+-中，得2262401040m =⨯+-⨯. 解得1.25m =所以21210.25P x x =-++ ············································································· 7分 ②因为1025a =-<，所以，当22512225b x a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（在5~50之间）时，221410242535.14425ac b P a ⎛⎫⨯-⨯- ⎪-⎝⎭===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值 即出厂一张边长为25cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元. ······················ 9分 （注：边长的取值范围不作为扣分点）25．解：（1）45BCO CBO ==∠∠， 3.OC OB ∴==又 点C 在y 轴的正半轴上，x k b1 . c om∴点C 的坐标为（0，3） ················································································ 2分（2）当点P 在点B 右侧时，如图2.若15BCP = ∠，得30PCO =∠.故tan30OP OC == 4t =······················································ 4分 当点P 在点B 左侧时，如图3，由15BCP = ∠，得60PCO = ∠，故tan60PO OC ==.此时4t =+.t ∴的值为4+4+·········································································· 6分（3）由题意知，若P ⊙与四边形ABCD 的边相切，有以下三种情况：①当P ⊙与BC 相切于点C 时，有90BCP = ∠，从而45OCP = ∠得到3OP =.此时1t =. ···································································································· 7分 ②当P ⊙与CD 相切于点C 时，有PC CD ⊥，即点P 与点O 重合，此时4t =. ···································································································· 8分 ③当P ⊙与AD 相切时，由题意，90DAO =∠， ∴点A 为切点，如图4.22222(9)(4)PC PA t PO t ==-=-，.于是222(9)(4)3t t -=-+.解处 5.6t =.新课 标 第 一 网t ∴的值为1或4或5.6. ················································································ 10分 26．解：探究：12，15，84 ············································································· 3分 拓展：（1）由三角形面积公式，得ABD CBD S mx S nx △△11=，=22. ···························· 4分 （2）由（1）得22ABD CBD S S m n x x==△△，， 22168ABD CBD S S m n x x x∴+=+=△△. ································································· 5分 由于AC 边上的高为22845615155ABC S ⨯==△，x ∴的取值范围是56145x ≤≤. ()m n + 随x 的增大而减小，ww w.xkb1 .com∴当565x =时，()m n +的最大值为15. ····························································· 7分 当14x =时，()m n +的最小值为12. ································································· 8分（3）x 的取值范围是565x =或13x <≤14. ····················································· 10分 发现：AC 所在的直线， ·············································································· 11分 最小值为565. ······························································································ 12分。
2012年四川高考数学文科试题及答案(Word全解析版)-精品
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(文史类)本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷．草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A ．B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A ．B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-第一部分（选择题 共60分）1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B =（A ）{}b（B ）{,,}b c d（C ）{,,}a c d（D ）{,,,}a b c d2．7(1)x +的展开式中2x 的系数是（A ）21（B ）28（C ）35（D ）423．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为 （A ）101（B ）808（C ）1212（D ）20124．函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是5．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC ．ED 则sin CED ∠= （A （B（C （D6．下列命题正确的是（A ）若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 （B ）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 （C ）若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 （D ）若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||=a ba b 成立的充分条件是 （A ）a ∥b 且||||=a b （B ）=-a b（C ）a ∥b （D ）2=a b8．若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y =+的最大值是（A ）12 （B ）26 （C ）28 （D ）339．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（A ）（B ）（C ）4（D ）10．如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠= ，则A 、P 两点间的球面距离为（A）R （B ）4Rπ（C）R（D ）3R π11．方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（A ）28条 （B ）32条 （C ）36条（D ）48条12．设函数3()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+=（A ）0（B ）7（C ）14（D ）21第二部分（非选择题 共90分）注意事项：1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共10小题，共90分．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．函数()f x =的定义域是____________．（用区间表示）14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________．15．椭圆2221(5x y a a +=为定值，且a >的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_________． 16．设,a b 为正实数，现有下列命题：①若221a b -=，则1a b -<；②若111b a-=，则1a b -<；③若1=，则||1a b -<；④若33||1a b -=，则||1a b -<． 其中的真命题有____________．（写出所有真命题的编号）三．解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p ． （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值； （Ⅱ）求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．18．(本小题满分12分)已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若()f α，求sin 2α的值．19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠= ，60PAB ∠= ，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上．（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小．20．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg }na 的前n 项和最大？21．(本小题满分12分)如图，动点M 与两定点(1,0)A -、(1,0)B 构成M AB ∆，且直线MA MB 、的斜率之积为4，设动点M 的轨迹为C ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围．22．(本小题满分14分)已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距．（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ； （Ⅱ）求对所有n 都有()1()11f n nf n n -≥++成立的a 的最小值；（Ⅲ）当01a <<时，比较111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n ++⋅⋅⋅+---与(1)(1)6(0)(1)f f n f f -+⋅-的大小，并说明理由．参考答案一．选择题1【答案】选D ．【解析】∵{,}A a b =，{,,}B b c d =，∴A B = {,,,}a b c d ． 2【答案】选A ．【解析】7234567(1)17213535217x x x x x x x x +=+++++++，2x 的系数是21． 3【答案】选B ．【解析】根据题意，任何一名驾驶员被抽取到的概率为121968=，则这四个社区驾驶员的总人数1(12212543)8088N =+++÷=．4【答案】选C ．【解析】函数x y a a =-过定点(1,0)，故C 项满足条件．5【答案】选B ．【解析】45CED CEB ∠=-∠ ，sin sin )CED CEB CEB ∠=∠-∠==． 6 【答案】选C ．【解析】根据线面关系可知C 项正确．7 【答案】选D ．【解析】||||=a b a b 表示a 与b 是同向的非零单位向量，则||||=a ab b 的一个充分条件是λ=a b ，其中0λ>． 8【答案】选C ．【解析】作出该不等式组表示的平面区域，当34z x y =+表示的直线过点（4，4）时，z 最大，即min 344428z =⨯+⨯=． 9【答案】选B ．【解析】设抛物线的方程为22y px =（0p >），焦点(0)2p F ，，准线:2pl x =-．∵抛物线上的点0(2)M y ，到:2p l x =-的距离等于它到焦点(0)2p F ，的距离， ∴122pp -=-⇒=，24y x =，故(2M 或(2M -，，||OM =10【答案】选A ．【解析】由题意可知，AOB BCD ⊥平面平面，则cos cos cos AOP AOB BOP AOP ∠=∠∠=∠= AP R = 11 【答案】选B ．【解析】首先，00a b ≠≠，；其次，2a b c ，，没有大于1的公约数．①当0c =时，方程化为22b y x a =，{2123}a b ∈-,,,,，即2{2123}{149}a b ∈-∈,,,,,,，如下：222222222221(i)1{223}:4(ii)2{123}:4(iii)2{2131112234423}:24b a y x a b a y x a y x y x y x y x y x y x y b a y x a x y x =-====∈-==-∈==∈-====-=，,,，，，，，,,；，,；,，，，，243y x =,22229(iv)3{2999122},2:.b a y x a y x y x y x =-===∈-=，，，，；,这类中，不同的抛物线有110N =条．②当0c ≠时，方程化为22b x cy a+=，{2123}a b c ∈-，，，，，， 即2{2123}{149}a c b ∈-∈，，，，，，，， 抛物线有如下5类：2222222(i)1{22232322222233}:3x x x x x x y y y y x c b a y y c ay ++-+-+===+=∈-====--，，，；，；，，，，；22222224(ii)2{123}42434143414211:2233x x x x x x x cb ac y y y ay y y y ++++++======∈=+=-，，，，，，；，；，.222224(iii)2{24143424321213}1:x x cb ac x x x y y ay y y +++=∈-=-+====--，，，；，，，，22424133x x y y -+==；，.22222229(iv)3{212}91929292929122:1122x x x x x x y y x c b a y y y c y ay ++-+-+====+=∈--=-==，，，，，，；，；，.这类中，不同的抛物线有222N =条. 共有102232N =+=条. 12【答案】选D ．【解析】函数3()(3)1f x x x =-+-关于点（3,2）对称，即当126x x +=时，12()()4f x f x +=，∵{}n a 是公差不为0的等差数列，∴17263542a a a a a a a +=+=+=，猜想：当43a =时，{}n a 满足127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，故此时12721a a a ++⋅⋅⋅+=．二．填空题13【答案】填1(,)2-∞．【解析】由120x ->得12x <，故1(,)2x ∈-∞．14【答案】填2π． 【解析】取CN 中点K ，连接1MK A K 、，则1//2MK DN MK DN =，．设正方体的棱长为a，则1132DN MK A M a A K ====，，，，22219541cos 0a a a A MK +-∠==，190A MK ∠= ． 15【答案】填23．【解析】设椭圆的右焦点为F '，连接F A F B ''、，则FAB ∆的周长|||||||||||'||'|412l FA FB AB FA FB F A F B a =++≤+++==，（当且仅当A 、F '、B 共线时“=”成立）．此时3a =，则离心率23e =．16【答案】填①④．【解析】因为,a b 为正实数，由221a b -=知1a >，则11a b a b -=<+，①正确；由111b a-=，不妨取4a =，45b =，则1a b ->，②错误；由1=，取4a =，1b =，则||1a b ->，③错误；由33||1a b -=，不妨设0a b >>，则3311a b =+>，则221||1a b a ab b-=<++，④正确．三．解答题17【解析】本题主要考查相对独立事件、独立重复事件、互斥事件等概念及相关运算，考查运用概率知识和方法解决实际问题的能力．（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么．149()1()11050P C P C p =-=-⨯=，解得15p =． （或111149()(1)(1)(1)(1)11010101050P C p p p p =--+-+-=-=，解得15p =．）（Ⅱ）设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ，那么2233111972243()C (1)(1)1010101000250P D =⋅-+-==. 答：系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率243250．18【解析】本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识、考查运算能力，考查化归与转化等数学思想．（Ⅰ）21()cos sin cos 2222x x x f x =--111(1cos )sin 222x x =+--)4x π=+．所以函数()f x 的最小正周期是2π，值域为[．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())4f παα=+=，所以3cos()45πα+=． 所以sin 2cos(2)cos2()24ππααα=-+=-+218712cos ()142525πα=-+=-=．19【解析】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力． 连接OC ，∠OPC 为直线PC 与平面ABC 所成的角，设AB 的中点为D ，连接PD 、CD ．因为AB BC CA ==，所以CD AB ⊥，因为90APB ∠= ，60PAB ∠= ，所以PAD ∆为等边三角形不妨设PA=2，则1,4OD OP AB ===．所以CD =，OC =，在R tO C ∆中，9t a n PO OCD CO ∠===即直线PC 与ABC 平面所成的角等于（． （Ⅱ）过D 作DE AP ⊥于E ，连结CE ．由已知可得CD ⊥平面PAB ．所以CED ∠为B AP C--的平面角．由（Ⅰ）知DE Rt CDE ∆中，tan 2CD CED DE ∠===，，二面角B AP C --的大小为arctan 2（或．20【解析】本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，并考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想．（Ⅰ）取1n =，得211122a S a λ==，11(2)0a a λ-=，若10a =，则0n S =．当2n ≥时，1000n n n a S S -=-=-=，所以0n a =． 若10a ≠，则12a λ=．当2n ≥时，22n n a S λ=+，1122n n a S λ--=+，两式相减得122n n n a a a --=， 所以12(2)n n a a n -=≥，从而数列{}n a 是等比数列，所以1112222nn n n a a λλ--=⋅=⋅=．综上，当10a =时，0n a =；当10a ≠时，2nn a λ=．（Ⅱ）当10a >，100λ=时，令1lgn n b a =，由（Ⅰ）有，100lg 2lg 22n n b n ==-． 所以数列{}n b 是单调递减的等差数列（公差为lg 2-）．1266100100lg lg lg10264b b b >>>==>= ，当7n >时，77100100lg lg lg102128n b b <==<=，故数列1{lg }n a 的前6项和最大．21【解析】本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函数、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．（Ⅰ）设M 的坐标为(,)x y ，当1x =-时，直线MA 的斜率不存在；当1x =时，直线MB 的斜率不存在，于是1x ≠±．此时，MA 的斜率为1y x +，MB 的斜率为1y x -． 由题意，有1y x +41yx ⋅=-，化简可得，22440x y --=． 故动点M 的轨迹为C 的方程为22440x y --=（1x ≠±）．（Ⅱ）联立22,440y x m x y =+⎧⎨--=⎩消去y ，可得223240x mx m ---=．（*） 对于方程（*），其判别式222(2)12(4)16480m m m ∆=----=+>， 而当－1或1为方程（*）的根时，m 的值为－1或1． 结合题设（0m >）可知，0m >且1m ≠．设Q R 、的坐标分别为(,)Q Q x y 、(,)R R x y ，则Q x 、R x 为方程（*）的两根． 因为||||PQ PR <，所以||||Q R x x <，Q x =R x所以||||1||||R Q x PR PQ x ===+，12，所以113<<，且513≠， 所以||||13||||R Q x PR PQ x <=<，且||||5||||3R Q x PR PQ x =≠． 综上所述，||||PR PQ 的取值范围是55(1,)(,3)33．22【解析】本小题主要考查导数的运用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析和解决问题的能力和创新意识，考查函数、化归与转化、特殊与一般等数学思想方法．（Ⅰ）令202na x -+=，得x x ==A ．由'2y x =-知，点A 处的切线方程为y x =-．令0x =，得n y a =，∴()n f n a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()n f n a =，则()1()11f n nf n n -≥++成立的充要条件是21n a n ≥+，即知，21n a n ≥+对于所有的n 成立，特别地，取n =1得到3a ≥．当3a =，n ≥1时，13(12)1221n n n na C n ==+=+⋅+≥+ ．当n =0时，21n a n =+．故3a =时，()1()11f n nf n n -≥++对所有n 都成立．所以满足条件的a 的最小值为3． （Ⅲ）由（Ⅰ）知()k f k a =． 下面证明：111(1)(1)6(1)(2)(2)(4)()(2)(0)(1)f f n f f f f f n f n f f -+++⋅⋅⋅+>⋅----．首先证明：当01x <<时，216x x x >-， 设函数2()6()1g x x x x =-+，01x <<，则2()18()3g x x x '=-．当203x <<时，()0g x '<；当213x <<时，()0g x '>． 故()g x 在(0,1)上的最小值min 21()()039g x g ==>，所以当01x <<时，()0g x >，即得216x x x >-． 由01a <<知*01()k a k <<∈N ，因此216k k ka a a>-，从而 111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n +++---2242111n na a a a a a =+++--- 12(1)(1)6()661(0)(1)n na a f f n a a a a f f +--+>+++=⋅=⋅-- ．。
2012高考四川数学（理）真题及答案
第1/11页DCA E B2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）参考公式：参考公式：如果事件互斥，那么事件互斥，那么 球的表面积公式球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R p =如果事件相互独立，那么如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径表示球的半径()()()P A B P A P B ? 球的体积公式球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么，那么 343V Rp =在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率次的概率 其中R 表示球的半径表示球的半径()(1)(0,1,2,,)kkn kn n P k C p p k n -=-=…第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、77(1)x +的展开式中2x 的系数是（的系数是（ ）A 、42B 、35C 、28D 、21 2、复数2(1)2i i-=（ ）A 、1B 、1-C 、iD 、i - 3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ì-<ï=-íï-³î在3x =处的极限是（处的极限是（ ） A 、不存在、不存在 B 、等于6 C 、等于3 D 、等于04、如图，正方形A B C D 的边长为1，延长B A 至E ，使1A E =，连接E C 、E D 则sin C E D Ð=（ ） A 、31010B 、1010C 、510D 、5155、函数1(0,1)xy a a a a =->¹的图象可能是（的图象可能是（ ），并且经过点2 35原2p 3p αCO DBP公差为pp9015]](列命题：a]aMB1C D1BD C3w象的最高点，为正三角形。
2012四川省高考数学试题及答案(理数).doc
2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B+=+24S Rp=如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径()()()P A B P A P B?球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么343V Rp=在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n-=-=…第一部分（选择题共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、7(1)x+的展开式中2x的系数是（）A、42B、35C、28D、212、复数2(1)2ii-=（）A、1B、1-C、iD、i-3、函数29,3()3ln(2),3xxf x xx x⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x=处的极限是（）A、不存在B、等于6C、等于3D、等于04、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE=，连接EC、ED则sin CED∠=（）A、10B、10C、10D5、函数1(0,1)xy a a aa=->≠的图象可能是（）6、下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b a b =成立的充分条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2012四川高考数学试卷分析
cos a3 )2
a1a5
2
3 2
16
13 2
16
[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合
使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，(cos a1 cos a2 cos a5 ) 0,
隐蔽性较强，要借助于直觉思维先猜想出 5 个余弦值之各为 0 的结论，从而完成解 答，需要考生具备一定的探究能力。
11、18、20、22 32 4、11、20、21 26
一般与特殊
22
10
22
10
7、试题注重文理科试卷的差异
题数
相同题 6
姊妹题 不同题
11
5
8、试题回归教材，有利于高中教学的正确导向
理 科 如 图 ， 动 点 M 到 两 定 点 A(1, 0) 、 B(2, 0) 构 成 MAB ， 且
MBA 2MAB ，设动点 M 的轨迹为 C 。 （Ⅰ）求轨迹 C 的方程； （Ⅱ）设直线 y 2x m 与 y 轴交于点 P ，与轨迹 C 相
。
4、试题注重基础知识的考查,常考常新
2011 年文科第 4 题．函数 y (1)x 1的图象关于直线 y=x 对称的图像大致
2
是
2012 年文科第 4 题、函数 y ax a(a 0, a 1) 的图象可能是（ ）
4、试题注重基础知识的考查,常考常新
2012 年理科第 9 题、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A
利润 450 元；派用的每辆乙型卡车虚配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元.该公司
合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润
（A）4650 元 （B）4700 元 （C）4900 元 （D）5000 元
2012年高考数学试卷及解析四川卷(文科)
2012年高考数学试卷及解析四川卷(文科)2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文）参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P •=• 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334P V π= 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=… 第一部分 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5份，共60份。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。
假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。
若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A、101B、808C、1212D、20127、设b a 、都是非零向量，下列四个条件中，使b b a a =成立的充分条件是（ ）A 、b a b a //且=B 、b a -=C 、b a //D 、2b a =9、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、22B 、3C 、4D 、511、方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A 、28条B 、32条C 、36条D 、48条12、设函数3()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A 、0B 、7C 、14D 、21第二部分 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）15、椭圆2221(5x y a a +=为定值，且5)a >的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
2012高考理科数学概率统计 (答案详解)
2012年高考试题汇编（理） ---概率统计（一）选择题1、（全国卷大纲版）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 2、（全国卷新课标版）将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） （A ）12种 （B ）10种 （C ）9种 （D ）8种3、（北京卷）设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x 表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） （A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-4、（北京卷）从0，2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数。
其中奇数的个数为( )（A ） 24 （B ） 18 （C ） 12 （D ） 65、（福建卷）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）（A ）41 （B ）51 （C ）61 （D ）716、（湖北卷）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（A ）21π-（B ）112π-（C ）2π （D ）1π7、（辽宁卷）一排9个座位坐了3个三口之家。
若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 （A ）!33⨯（B ）3)!3(3⨯ （C ）4)!3(（D ）!98、（辽宁卷）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C 。
现做一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为 （A ）61 （B ）31 （C ）32 （D ）54 9、（山东卷）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为（A ）7 （B ） 9 （C ）10 （D ）15 10、（山东卷）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 （A ）232 (B)252 (C)472 (D)48411、（陕西卷）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则（ ）（A ） x x <甲乙，m 甲>m 乙 （B ） x x <甲乙，m 甲<m 乙 （C ） x x >甲乙，m 甲>m 乙 （D ） x x >甲乙，m 甲<m 乙12、（陕西卷）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）（A ） 10种 （B ）15种 （C ） 20种 （D ） 30种13、（上海卷）设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）（A ）21ξξD D > （B ）21ξξD D =（C ）21ξξD D < （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关14、（浙江卷）若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )（A ）60种 （B ）63种 （C ）65种 （D ）66种15、（安徽卷）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )（A ）甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 （B ）甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 （C ）甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 （D ）甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 16、（安徽卷））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品。
最新四川省高考数学试卷(理科)及答案(word版)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅2、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∀∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉（C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉5、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π6、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ） （A ）12（B）2（C ）1 （D7、函数331x x y =-的图象大致是（ ）8、从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20 9、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮。
2012年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•四川）（1+x）7的展开式中x2的系数是（）A．42 B．35 C．28 D．21考点：二项式定理．专题：计算题．分析：由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是，计算出答案即可得出正确选项解答：解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是Tr+1=x r故展开式中x2的系数是=21故选D点评：本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键2．（5分）（2012•四川）复数=（）A．1B．﹣1 C．i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项解答：解：由题意得，故选B点评：本题考查复合代数形式的混合运算，解题的关键是根据复数的运算规则化简分子3．（5分）（2012•四川）函数在x=3处的极限是（）A．不存在B．等于6 C．等于3 D．等于0考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案．解答：解：∵=x+3；∴f（x）=（）=6；而f（x）=[ln（x﹣2）]=0．即左右都有极限，但极限值不相等．故函数在x=3处的极限不存在．故选：A．点评：本题主要考察函数的极限及其运算．分段函数在分界点处极限存在的条件是：两段的极限都存在，且相等．4．（5分）（2012•四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．解答：解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．故选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．故选B．点评：本题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题，题后要注意总结做题的规律．5．（5分）（2012•四川）函数y=a x ﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．解答：解：函数y=a x ﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x 的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x ﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x ﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．点评：本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．6．（5分）（2012•四川）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．解答：解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．点评：本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．7．（5分）（2012•四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．B．C．D．且考点：充分条件．专题：简易逻辑．分析：利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件解答：解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，故选C．点评：本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题．8．（5分）（2012•四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：关键点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．解答：解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．点评：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．9．（5分）（2012•四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元考点：简单线性规划．专题：应用题．分析：根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．解答：解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800点评：本题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件10．（5分）（2012•四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（）A．B．C．D．考点：反三角函数的运用；球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．解答：解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=，E为BQ的中点，AE==，AP==，AP2=OP2+OA2﹣2OP•OAcos∠AOP，，cos∠AOP=，∠AOP=arccos，A、P两点间的球面距离为，故选A．点评：本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．11．（5分）（2012•四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条考点：排列、组合及简单计数问题．专题：综合题；压轴题．分析：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况，利用列举法可解．解答：解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：（1）当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0，1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；（2）当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2，0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；（3）同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；（4）当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条．综上，共有23+23+16=62种故选B．点评：此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法．要能熟练运用12．（5分）（2012•四川）设函数f（x）=2x﹣cosx，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f （a2）+…+f（a5）=5π，则=（）A．0B．C．D．考点：数列与三角函数的综合．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：由f（x）=2x﹣cosx，又{a n}是公差为的等差数列，可求得f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=10a3﹣cosa3（1++），由题意可求得a3=，从而可求得答案．解答：解：∵f（x）=2x﹣cosx，∴f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=2（a1+a2+…+a5）﹣（cosa1+cosa2+…+cosa5），∵{a n}是公差为的等差数列，∴a1+a2+…+a5=5a3，由和差化积公式可得，cosa1+cosa2+…+cosa5=（cosa1+cosa5）+（cosa2+cosa4）+cosa3=[cos（a3﹣×2）+cos（a3+×2）]+[cos（a3﹣）+cos（a3+）]+cosa3=2cos cos +2coscos+cosa3=2cosa3•+2cosa3•cos （﹣）+cosa3=cosa3（1++），∵f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，∴10a3+cosa3（1++）=5π，∴cosa3=0，10a3=5π，故a3=，∴=π2﹣（﹣）•=π2﹣=．故选D．点评：本题考查数列与三角函数的综合，求得cosa3=0，继而求得a3=是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）13．（4分）（2012•四川）设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，则（∁U A）∪（∁U B）={a，c，d}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，可先求出两集合A，B 的补集，再由并的运算求出（∁U A）∪（∁U B）解答：解：集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，所以∁U A={c，d}，∁U B={a}，所以（∁U A）∪（∁U B）={a，c，d}故答案为{a，c，d}点评：本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则14．（4分）（2012•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点评：本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．15．（4分）（2012•四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．∴AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．16．（4分）（2012•四川）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，，现有下列命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；③当n≥1时，；④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的编号）考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题；压轴题；新定义．分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误．解答：解：①当a=5时，x1=5，，，∴①正确．②当a=8时，x1=8，∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2…为摆动数列，故②错误；③当n=1时，x1=a，∵a﹣（）=＞0，∴x1=a＞成立，假设n=k时，，则n=k+1时，，∵≥≥=（当且仅当x k=时等号成立），∴＞，∴对任意正整数n，当n≥1时，；③正确；④≥x k，由数列①②规律可知一定成立故正确答案为①③④点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则∴；（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3P（ξ=0）=；P（ξ=1）=；P（ξ=2）==；P（ξ=3）=；∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3P数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=点评：本题考查概率知识的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．18．（12分）（2012•四川）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2sin（ωx+），利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）由，知x0+∈（﹣，），由，可求得即sin（x0+）=，利用两角和的正弦公式即可求得f（x0+1）．解答：解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，∴函数f（x）的值域为[﹣2，2]．（Ⅱ）∵f（x0）=，由（Ⅰ）有f（x0）=2sin（x0+）=，即sin（x0+）=，由，知x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）==．∴f（x0+1）=2sin（x0++）=2sin[（x0+）+]=2[sin（x0+）cos+cos（x0+）sin]=2（×+×）=．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．19．（12分）（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角．分析：解法一（Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．可以证出∠OCP 为直线PC与平面ABC所成的角．不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP 中求解．（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量求解．解法二（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．（Ⅱ）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．解答：解法一（Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD．PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．所以CD=2，OC===在RT△OCP中，tan∠OCP===．故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．（Ⅱ）过D作DE⊥AP于E，连接CE．由已知，可得CD⊥平面PAB．根据三垂线定理知，CE⊥PA．所以∠CED为二面角B﹣AP﹣C的平面角．由（Ⅰ）知，DE=，在RT△CDE中，tan∠CED===2，故二面角B﹣AP﹣C的大小为arctan2．解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC 内的射影，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（﹣1，﹣2，）=（0，0，）为平面ABC的一个法向量．设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（1，0，），=（2，2，0）．设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．点评：本题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．20．（12分）（2012•四川）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2﹣a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a2（Ⅱ）由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②﹣①得，a2（a2﹣a1）=a2③若a2=0，则由①知a1=0，若a2≠0，则a2﹣a1=1④①④联立可得或综上可得，a1=0，a2=0或或（Ⅱ）当a1＞0，由（Ⅰ）可得当n≥2时，，∴∴（n≥2）∴=令由（Ⅰ）可知==∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b7=当n≥8时，∴数列的前7项和最大，==7﹣点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．21．（12分）（2012•四川）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出x R，x Q，利用，即可确定的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=，化简可得3x2﹣y2﹣3=0而点（2，±3）在曲线3x2﹣y2﹣3=0上综上可知，轨迹C的方程为3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）；（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①∴①有两根且均在（1，+∞）内设f（x）=x2﹣4mx+m2+3，∴，∴m＞1，m≠2设Q，R的坐标分别为（x Q，y Q），（x R，y R），∵|PQ|＜|PR|，∴x R=2m+，x Q=2m﹣，∴==∵m＞1，且m≠2∴，且∴，且∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4）点评：本题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围．22．（14分）（2012•四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．（Ⅰ）用a和n表示f（n）；（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．考点：圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A（），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=a n，则成立的充要条件是a n≥2n3+1，即知，a n≥2n3+1对所有n成立，当a=，n≥3时，a n＞4n=（1+3）n＞2n3+1，当n=0，1，2时，，由此可得a的最小值；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a k，证明当0＜x＜1时，，即可证明：．解答：解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，∴A（）对求导得y′=﹣2x∴抛物线在点A处的切线方程为，∴∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=a n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=a n，则成立的充要条件是a n≥2n3+1即知，a n≥2n3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥当a=，n≥3时，a n＞4n=（1+3）n≥1+=1+2n3+＞2n3+1当n=0，1，2时，∴a=时，对所有n都有成立∴a的最小值为；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a k，下面证明：首先证明：当0＜x＜1时，设函数g（x）=x（x2﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=x（x﹣）当0＜x＜时，g′（x）＜0；当时，g′（x）＞0故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴由0＜a＜1知0＜a k＜1，因此，从而=≥=＞=点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题．。
2012年高考理科数学四川卷(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）参考公式：如果事件A ，B 互斥 ，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B =+24πS R =如果事件A ，B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅球的体积公式如果时间A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =在n 次重复试验中时间A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A. 42B. 35C. 28D. 21 2. 复数2(1i)2i-=（ ）A. 1B. 1-C. iD. i -3. 函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-⎪=-⎨⎪-⎩＜，≥，在3x =处的极限是（ ）A. 不存在B. 等于6C. 等于3D. 等于04. 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A.B.C.D.5. 函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）A.B.C.D. 6. 下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7. 设a 、b 都是非零向量.下列四个条件中，使||||=a b a b 成立的充分条件是 （ ）A. =-a bB. ∥a bC. 2=a bD. ∥a b 且||||=a b8. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（）A.B. C. 4D. 9. 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A. 1800元B. 2400元C. 2800元D. 3100元10. 如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A. 4RB. π4RC. RD. π3R11. 方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A. 60条B. 62条C. 71条D. 80条12. 设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为π8的等差数列，125()()()5πf a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则2315[()]f a a a -=--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------（ ） A. 0B.21π16C.21π8D.213π16第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 设全集{,,,}U a b c d =，集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则()()U U A B =痧_________.14. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是_________.15. 椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B .当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是_________.16. 记[]x 为不超过实数x 的最大整数.例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-.设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[][]()2n nn a x x x n *++=∈N .现有下列命题：①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5，3，2；②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥时，1n x ；④对某个正整数k ，若1k k x x +≥，则n x =. 其中的真命题有_________.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；（Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E ξ.18.（本小题满分12分）函数2()6cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；（Ⅱ）若0()f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，平面PAB ⊥平面ABC .（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立. （Ⅰ）求1a ，2a 的值；（Ⅱ）设10a >，数列110{lg }na a 的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值.21.（本小题满分12分）如图，动点M 与两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2M B A M A B ∠=∠.设动点M的轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且||||P Q P R <，求||||PR PQ 的取值范围.22.（本小题满分14分）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；（Ⅱ）求对所有n 都有33()1()11f n n f n n -++≥成立的a 的最小值；（Ⅲ）当01a <<时，比较11()(2)nk f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f -⋅-的大小，并说明理由.NA 12012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】二项式7(1)x +展开式的通项公式为712=k k C T x +，令2k =，则2237T C x =，2x ∴的系数为2721C =．【提示】由题设，二项式7(1)x +，根据二项式定理知，2x 项是展开式的第三项，由此得展开式中2x 的系数是27C ，计算出答案即可得出正确选项【考点】二项式定理．2.【答案】B【解析】22(1i)1i 2i12i 2i-+-==-【提示】由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项 【考点】复数 3.【答案】A【解析】分段函数在3x =处不是无限靠近同一个值，故不存在极限． 【提示】对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案 【考点】分段函数，对数函数，函数的定义域． 4.【答案】B 【解析】1AE =正方形的边长也为1ED =EC 1CD =222cos 2ED EC CDCED ED EC+-∴∠==sin CED ∠== 【提示】用余弦定理在三角形CED 中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦【考点】余弦定理，同角三角函数． 5.【答案】D【解析】函数1(0,1)x y a a a a=->≠，的图像可以看成把函数x y a =的图像向下平移1a个单位得到的．当1a >时，函数1(0,1)x y a a a a =->≠在R 上增函数，且图像过(1,0)-故排除A ，B ，当10a >>时，函数1,(0,1)x y a a a a=->≠在R 上减函数，且图像过点(1,0)-，故排除C ，故选D ．【提示】讨论a 与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可 【考点】函数图像 6.【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确．【提示】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A ；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B ；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C 正确；利用面面垂直的性质可排除D ．【考点】真假命题的判定，平行与垂直关系． 7.【答案】D 【解析】若使a b ab=成立，则a 与b 方向相同且模长相等，选项中只有D 能保证，故选D ．【提示】利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件【考点】平面向量的基本概念，充分必要条件． 8.【答案】B【解析】设抛物线方程为22(0)y px p =>，则焦点坐标为,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-在抛物线上，M 到焦点的距离等于到准线的距离．3=3=解得：2p =，0y =∴点MOM ∴==【提示】关键点0(2,)M y 到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M 的坐标，由此可求OM 【考点】抛物线，点与点的距离公式． 9.【答案】C【解析】设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得利润为z 元/天，则由已知，得300400z x y =+且21221200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩画可行域如图所示，第9题图目标函数300400z x y =+可变形为34400zy x =-+这是随z 变化的一组平行直线 解方程组212212x y x y +=⎧⎨+=⎩，44x y =⎧⎨=⎩即(4,4)A max 120016002800z ∴=+=【提示】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可 【考点】二元线性规划的实际应用．10.【答案】A【解析】以O 为原点，分别以OB 、OC 和OA 成45︒角所在直线为x 、y 、z 轴，则A ⎫⎪⎪⎝⎭，1,02P R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭22cos AO PO AOP ∴∠== AOP ∴∠=2arccos 4AP R ∴= 【提示】由题意求出AP 的距离，然后求出AOP ∠，即可求解A 、P 两点间的球面距离 【考点】空间向量 11.【答案】B【解析】方程22ay b x c =+变形得222a cx y b b=-，若表示抛物线，则0,0a b ≠≠所以，分3b =-，2-，1，2，3五种情况：（1）若3b =-，2,0,1,2,31,2,0,2,32,2,0,1,332,0,1,2a c a c a c a c =-=⎧⎪==-⎪⎨==-⎪⎪==-⎩或或或或或或或或或，或或或（2）若3b =，2,0,1,2,31,2,0,2,32,2,0,1,332,0,1,2a c a c a c a c =-=⎧⎪==-⎪⎨==-⎪⎪==-⎩或或或或或或或或或，或或或 以上两种情况下有9条重复，故共有16723+=条；同理当2b =-，或2时，共有23条；当1b =时，共有16条；综上，共有23231662++=种。
2012年四川省高考数学试卷(理科)
2012年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•四川）（1+x）7的展开式中x2的系数是（）A．42B．35C．28D．212．（5分）（2012•四川）复数=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）（2012•四川）函数在x=3处的极限是（）A．不存在B．等于6C．等于3D．等于04．（5分）（2012•四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）A．B．C．D．5．（5分）（2012•四川）函数的图象可能是（）AB．C．D．．6．（5分）（2012•四川）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7．（5分）（2012•四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．B．C．D．且8．（5分）（2012•四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4D．9．（5分）（2012•四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元10．（5分）（2012•四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（）A．B．C．D．11．（5分）（2012•四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条12．（5分）（2012•四川）设函数f（x）=2x﹣cosx，{an }是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则=（）A．0B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）13．（4分）（2012•四川）设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，则（∁U A）∪（∁UB）= _________ ．14．（4分）（2012•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_________ ．15．（4分）（2012•四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是_________ ．16．（4分）（2012•四川）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{xn }满足x1=a，，现有下列命题：①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；②对数列{xn }都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；③当n≥1时，；④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则．其中的真命题有_________ ．（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．18．（12分）（2012•四川）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x0）=，且x∈（﹣），求f（x+1）的值．19．（12分）（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．20．（12分）（2012•四川）已知数列{an }的前n项和为Sn，且a2an=S2+Sn对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．21．（12分）（2012•四川）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．22．（14分）（2012•四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．（Ⅰ）用a和n表示f（n）；（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．2012年四川省高考数学试卷（理科）答案解析一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•四川）（1+x）7的展开式中x2的系数是（）A．42B．35C．28D．21分析：由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是，计算出答案即可得出正确选项解答：解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是T r+1=x r故展开式中x2的系数是=21故选D点评：本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键2．（5分）（2012•四川）复数=（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i分析：由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项解答：解：由题意得，故选B点评：本题考查复合代数形式的混合运算，解题的关键是根据复数的运算规则化简分子3．（5分）（2012•四川）函数在x=3处的极限是（）A．不存在B．等于6C．等于3D．等于0分析：对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案．解答：解：∵=x+3；∴f（x）=（）=6；而f（x）=[ln（x﹣2）]=0．即左右都有极限，但极限值不相等．故函数在x=3处的极限不存在．故选：A．点评：本题主要考察函数的极限及其运算．分段函数在分界点处极限存在的条件是：两段的极限都存在，且相等．4．（5分）（2012•四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：由题意，可得∠CED=∠AED﹣∠AEC，根据图象可得tan∠AED=1，tan∠AEC=，从而有tan∠CED=tan（∠AED ﹣∠AEC）===，再由三角函数的定义即可求出sin∠CED选出正确选项解答：解：由题设及图知∠CED=∠AED﹣∠AEC，又正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1∴tan∠AED=1，tan∠AEC=∴tan∠CED=tan（∠AED﹣∠AEC）===由图知，可依EC所在直线为X轴，以垂直于EC的线向上的方向为Y轴建立坐标系，又∠CED锐角，由三角函数的定义知，∠CED终边一点的坐标为（3，1），此点到原点的距离是故sin∠CED==故选B点评：本题考查任意角三角函数的定义及两角各与差的正切函数，解题的关键是根据图象求出tan∠CED，本题综合考查了正切的差角公式及三角函数的定义，综合性强，知识性强，题后要注意总结做题的规律5．（5分）（2012•四川）函数的图象可能是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：计算题．分析：根据指数函数的图象变换以及指数函数的单调性和特殊点，分a＞1和1＞a＞0两种情况，结合所给的各个选项，排除不符合条件的选项，从而得到结论．解答：解：函数可以看成把函数y=a x 的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数是增函数，图象过点（0，1﹣），且 1＞1﹣＞0，故排除A、B．当 1＞a＞0时，函数是减函数，图象过点（0，1﹣），且1﹣＜0，故排除C，故选D．点评：本题主要考查指数函数的单调性和特殊点的应用，指数函数的图象变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．6．（5分）（2012•四川）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D解答：解：A，若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面；排除A；B，若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，排除B；C，设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a；故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D；故选 C点评：本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题7．（5分）（2012•四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．B．C．D．且考点：充分条件．专题：证明题．分析：利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件解答：解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，故选 C点评：本题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属基础题8．（5分）（2012•四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：关键点M（2，y）到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．解答：解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选B．点评：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．9．（5分）（2012•四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元考点：简单线性规划．专题：应用题．分析：根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．解答：解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为y元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800点评：本题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件10．（5分）（2012•四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面距离为（）A．B．C．D．考点：反三角函数的运用；球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．解答：解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD 作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=，E为BQ的中点，AE==，AP==，AP2=OP2+OA2﹣2OP•OAcos∠AOP，，cos∠AOP=，∠AOP=arccos，A、P两点间的球面距离为，故选A．点评：本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．11．（5分）（2012•四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条考点：排列、组合及简单计数问题．专题：综合题．分析：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况，利用列举法可解．解答：解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：（1）当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0，1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；（2）当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2，0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；（3）同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；（4）当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条．综上，共有23+23+16=62种故选B．点评：此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法．要能熟练运用12．（5分）（2012•四川）设函数f（x）=2x﹣cosx，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则=（）A．0B．C．D．考数列与三角函数的综合．点：专计算题；综合题．题：分由f（x）=2x﹣cosx，又{a n}是公差为的等差数列，可求得f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=10a3﹣cosa3（1++析：3=，从而可求得答案．解答： 解：∵f （x ）=2x ﹣cosx ， ∴f （a 1）+f （a 2）+…+f （a 5）=2（a 1+a 2+…+a 5）﹣（cosa 1+cosa 2+…+cosa 5），∵{a n }是公差为的等差数列，∴a 1+a 2+…+a 5=5a 3，由和差化积公式可得，cosa 1+cosa 2+…+cosa 5=（cosa 1+cosa 5）+（cosa 2+cosa 4）+cosa 3 =[cos （a 3﹣×2）+cos （a 3+×2）]+[cos （a 3﹣）+cos （a 3+）]+cosa 3=2cos cos +2cos cosa 3 =2cosa 3•+2cosa 3•cos （﹣）+cosa 3=cosa 3（1++），∵f （a 1）+f （a 2）+…+f （a 5）=5π， ∴cosa 3=0，故a 3=，∴=π2﹣（﹣）•=π2﹣=．故选D ．点评： 本题考查数列与三角函数的综合，求得cosa 3=0，继而求得a 3=是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．） 13．（4分）（2012•四川）设全集U={a ，b ，c ，d}，集合A={a ，b}，B={b ，c ，d}，则（∁U A ）∪（∁U B ）= {a ，c ，d} ．考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 计算题．分析： 由题意全集U={a ，b ，c ，d}，集合A={a ，b}，B={b ，c ，d}，可先求出两集合A ，B 的补集，再由并的运算求出（∁U A ）∪（∁U B ）解答： 解：集U={a ，b ，c ，d}，集合A={a ，b}，B={b ，c ，d}，所以（∁U A={c ，d}，∁U B={a}， 所以（∁U A ）∪（∁U B ）={a ，c ，d} 故答案为{a ，c ，d}点评： 本题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规则14．（4分）（2012•四川）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是 90° ．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点评：本题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否则容易由于计算失误而出错．15．（4分）（2012•四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是 3 ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．∴AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．16．（4分）（2012•四川）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，，现有下列命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；③当n≥1时，；④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的编号）考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题；新定义．分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误解答：解：①当a=5时，x=5，1，，∴①正确．②当a=8时，x1=8，∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2…为摆动数列，故②错误；③当n=1时，x1=a，∵a﹣（）=＞0，∴x1=a＞成立，假设n=k时，，则n=k+1时，，∵＞＞﹣∴≥[﹣]＞∴对任意正整数n，当n≥1时，；③正确；④∵≥x k，由数列①②规律可知一定成立故正确答案为①③④点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：（Ⅰ）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则∴；（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3P（ξ=0）=；P（ξ=1）=；P（ξ=2）==；P（ξ=3）=；∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=点评：本题考查概率知识的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．18．（12分）（2012•四川）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2sin（ωx+），利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f （x）的值域；（Ⅱ）由，知x0+∈（﹣，），由，可求得即sin（x0+）=，利用两角和的正弦公式即可求得f（x0+1）．解答：解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，∴数f（x）的值域为[﹣2，2]…6分（Ⅱ）∵f（x0）=，由（Ⅰ）有f（x0）=2sin（x0+）=，即sin（x0+）=，由，知x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）==．∴f（x0+1）=2sin（x0++）=2sin[（x0+）+]=2[sin（x0+）cos+cos（x0+）sin]=2（×+×）=…12分点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．19．（12分）（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角．分析：解法一（Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．可以证出∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量求解．解法二（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．（Ⅱ）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．解答：解法一（Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB ∩平面ABC=AD．PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．所以CD=2，OC===在RT△OCP中，tan∠OCP===．故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．（Ⅱ）过D作DE⊥AP于E，连接CE．由已知，可得CD⊥平面PAB．根据三垂线定理知，CE⊥PA．所以∠CED为二面角B﹣AP﹣C的平面角．由（Ⅰ）知，DE=，在RT△CDE中，tan∠CED===2，故二面角B﹣AP﹣C的大小为arctan2．解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（﹣1，﹣2，）=（0，0，）为平面ABC的一个法向量．设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（1，0，），=（2，2，0）．设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．点评：本题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．20．（12分）（2012•四川）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）由题意，n=2时，由已知可得，a（a2﹣a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a22（II）由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解：（I）当n=1时，aa1=s2+s1=2a1+a2①2当n=2时，得②②﹣①得，a2（a2﹣a1）=a2③若a2=0，则由（I）知a1=0，若a2≠0，则a2﹣a1=1④①④联立可得或综上可得，a1=0，a2=0或或（II）当a1＞0，由（I）可得当n≥2时，，∴∴（n≥2）∴=令由（I）可知==∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b7=当n≥8时，∴数列的前7项和最大，==7﹣点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．21．（12分）（2012•四川）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M 的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M 的轨迹方程；（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出x R，x Q，利用，即可确定的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=，化简可得3x2﹣y2﹣3=0而点（2，±3）在曲线3x2﹣y2﹣3=0上综上可知，轨迹C的方程为3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）；（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①∴①有两根且均在（1，+∞）内设f（x）=x2﹣4mx+m2+3，∴，∴m＞1，m≠2设Q，R的坐标分别为（x Q，y Q），（x R，y R），∵|PQ|＜|PR|，∴x R=2m+，x Q=2m﹣，∴==∵m＞1，且m≠2∴，且∴，且∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4）点评：本题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围．22．（14分）（2012•四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．（Ⅰ）用a和n表示f（n）；（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．考点：圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A（），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=a n，则成立的充要条件是a n≥2n3+1，即知，a n≥2n3+1对所有n成立，当a=，n≥3时，a n＞4n=（1+3）n＞2n3+1，当n=0，1，2时，，由此可得a的最小值；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a k，证明当0＜x＜1时，，即可证明：．解答：解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，∴A（）对求导得y′=﹣2x∴抛物线在点A处的切线方程为，∴∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=a n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=a n，则成立的充要条件是a n≥2n3+1即知，a n≥2n3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥当a=，n≥3时，a n＞4n=（1+3）n≥1+=1+2n3+＞2n3+1当n=0，1，2时，∴a=时，对所有n都有成立∴a的最小值为；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a k，下面证明：首先证明：当0＜x＜1时，设函数g（x）=x（x2﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=x（x﹣）当0＜x＜时，g′（x）＜0；当时，g′（x）＞0故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴由0＜a＜1知0＜a k＜1，因此，从而=≥=＞=点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题．（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数学（理工类）
参考公式：
如果事件互斥，那么球的表面积公式
()()()
P A B P A P B2
4
S R
如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径
()()()
P A B P A P B球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么3
4
3
V R
在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
()(1)(0,1,2,,)
k k n k
n n
P k C p p k n
…
第一部分（选择题共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、7
(1)x
+的展开式中2x的系数是（）
A、42
B、35
C、28
D、21
2、复数
2
(1)
2
i
i
-
=（）
A、1
B、1-
C、i
D、i-
3、函数
29
,3
()3
ln(2),3
x
x
f x x
x x
⎧-
<
⎪
=-
⎨
⎪-≥
⎩
在3
x=处的极限是（）
A、不存在
B、等于6
C、等于3
D、等于0
4、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1
AE=，连接EC、ED则sin CED
∠=（）
A B C D
5、函数
1
(0,1)
x
y a a a
a
=->≠的图象可能是（）
6、下列命题正确的是（ ）
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使
||||
a b
a b =
成立的充分条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b = 8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）
A 、22
B 、3
C 、4
D 、259、某公司生产甲、乙两种桶装产品。
已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。
每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。
公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。
通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A 、1800元
B 、2400元
C 、2800元
D 、3100元 10、如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为
B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两点间的球面
距离为（ ） A 、2R B 、4R π C 、3R D 、3
R
π 11、方程2
2
ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A 、60条
B 、62条
C 、71条
D 、80条
α
C
A
O D
B
P
12、设函数()2cos f x x x =-，
{}n a 是公差为8
π
的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2
313[()]f a a a -=（ ）
A 、0
B 、2116π
C 、21
8
π D 、21316π
第二部分 （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。
答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
把答案填在答题纸的相应位置上。
） 13、设全集{,,,}U a b c d =，集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，
则()()U
U A B =___________。
14、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。
15、椭圆
2
2
143
x y
+=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
16、记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-。
设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[
][
]()2
n n
n a
x x x n N *++=∈，现有下列命题：
①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2； ②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥
时，1n x >；
④对某个正整数k ，若1k k x x +≥
，则n x =。
其中的真命题有____________。
（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。
解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
）
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意
时刻发生故障的概率分别为
1
10
和p 。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
49
50
，求p 的值； （Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E ξ。
N
A 1
18、(本小题满分12分)
函数2
()6cos
33(0)2
x
f x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为图
象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形。
（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域； （Ⅱ）若083()f x =
，且0102
(,)33
x ∈-，求0(1)f x +的值。
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，
60PAB ∠=，AB BC CA ==，
平面PAB ⊥平面ABC 。
（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。
20、(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n
都成立。
（Ⅰ）求1a ，2a 的值； （Ⅱ）设10a >，数列1
10{lg }n
a a 的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值。
21、(本小题满分12分)
如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，设动
点M 的轨迹为C 。
（Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||
||
PR PQ 的取值范围。
22、(本小题满分14分)
已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线2
2
n
a y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设()
f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。
（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；
（Ⅱ）求对所有n 都有3
3()1()11
f n n f n n -≥++成立的a 的最小值；
（Ⅲ）当01a <<时，比较1
1()(2)n
k f k f k =-∑
与27(1)()
4(0)(1)
f f n f f --的大小，并说明理由。
C
P
y
x
B A
O
M。