1-7 两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限xx x sin lim 0→当x 取正值趋近于0时，x x sin →1，即+→0lim x xx sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是)()sin(limsin lim 00x x x x x x --=+-→-→． 综上所述，得一．1sin lim0=→x xx ．1sin lim 0=→xxx 的特点：(1)它是“00”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0；(2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广 如果ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ax →lim()[]()x x ϕϕsin =()()[]()x x x ϕϕϕsin lim 0→=1．例1 求xxx tan lim0→．解 x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0000=⋅=⋅=⋅=→→→→xx x x x x x x x x x x x ．例2 求x xx 3sin lim 0→．解 x x x 3sin lim 0→=3sin lim 3)3(33sin 3lim 00==→→ttt x x x t x 令．例3 求20cos 1lim x xx -→．解 20cos 1limxxx -→=2122sin22sin 21lim )2(22sin lim 2sin 2lim 0220220=⋅⋅==→→→x xx x x x x x x x x ．例4 求xxx arcsin lim0→．解 令arcsin x =t ，则x =sin t 且x →0时t →0． 所以x x x arcsin lim0→=1sin lim 0=→ttt ．例5 求30sin tan lim x xx x -→．解 30sin tan lim x x x x -→=3030cos cos 1sin lim sin cos sin lim xx xx x x x x x x -⋅=-→→ =21cos 1lim cos 1lim sin lim2000=-⋅⋅→→→xx x x x x x x ． 考察极限e xx x =+∞→)11(lim当x 取正值并无限增大时，x x )11(+是逐渐增大的，但是不论x 如何大，x x )11(+的值总不会超过3．实际上如果继续增大x ．即当x →+∞时，可以验证x x)11(+是趋近于一个确定的无理数e ＝2.718281828...．当x →-∞时，函数x x)11(+有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e ．综上所述，得二．x x x)11(lim +∞→=e ．xx x)11(lim +∞→=e 的特点：（１）lim(1+无穷小)无穷大案；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广 （１）若ax →lim ϕ(x )= ∞,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 ()[])()()(11lim ))(11(lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+∞→→=e ；（２）若ax →lim ϕ(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则[()]()[()])(10)(11lim1lim x x x ax x x ϕϕϕϕϕ+=+→→=e ．变形 令x1=t ，则x →∞时t →0，代入后得到 ()e t t t =+→101lim ．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．例6 求x x x)21(lim -∞→．解 令－x 2=t ，则x =－t2． 当x →∞时t →0，于是 x x x)21(lim -∞→=21020])1(lim [)1(lim -→-→+=+t t t t t t =e –2．例7 求xx x x )23(lim --∞→．解 令x x --23=1+u ，则x =2－u1．当x →∞时u →0， 于是 xx xx )23(lim --∞→=])1()1[(lim )1(lim 210120u u u u u u u +⋅+=+-→-→=])1(lim [])1(lim [2011u u u uu +⋅+→-→=e -1．例8 求x x x cot 0)tan 1(lim +→．解 设t =tan x ，则t1＝cot x ． 当x →0时t →0，于是 xx x cot 0)tan 1(lim +→=tt t 10)1(lim +→=e ．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。

作业：见首页§2-1 导数的概念教学过程： 引入：一、两个实例实例1 瞬时速度考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t =0到时刻t 这一时间段下落的路程s由公式s =21g t 2来确定．现在来求t =1秒这一时刻质点的速度． 当∆t 很小时，从1秒到1+∆t 秒这段时间，质点运动的速度变化不大，可以这段时间的平均速度作为质点在t =1时速度的近似．上表看出，平均速度t s ∆随着∆t 变化而变化，当∆t 越小时，ts ∆越接近于一个定值—9.8m/s ．考察下列各式： ∆s =21g ⋅(1+∆t )2－21g ⋅12=21g [2⋅∆t +(∆t )2]， t s ∆∆=21g ⋅t t t ∆∆+∆2)(2=21g (2+∆t )，思考： 当∆t 越来越接近于0时，ts∆∆越来越接近于1秒时的“速度”．现在取∆t →0的极限，得=→t s ∆∆∆0lim()=+→t g ∆∆221lim 0g =9.8(m/s )． 为质点在t =1秒时速度为瞬时速度．一般地，设质点的位移规律是s =f (t )，在时刻t 时时间有改变量∆t ，s 相应的改变量为∆s =f(t +∆t )-f (t )，在时间段t 到t +∆t 的平均速度为v =()()tt f t t f t s ∆∆∆∆-+=，对平均速度取∆t →0的极限，得v (t )=()()tt f t t f t s t t ∆-∆+=∆∆→∆→∆00lim lim ， 称v (t )为时刻t 的瞬时速。

研究类似的例子 实例2 曲线的切线设方程为y =f (x )曲线为L ．其上一点A 的坐标为(x 0,f (x 0))．在曲线上点A 附近另取一点B ，它的坐标是(x 0+∆x , f (x 0+∆x ))．直线AB 是曲线的割线，它的倾斜角记作β．由图中的R t ∆ACB ，可知割线AB 的斜率tan β=()()xx f x x f x y AC CB ∆∆∆∆00-+==． 在数量上，它表示当自变量从x 变到x +∆x 时函数f (x )关于变量x 的平均变化率(增长率或减小率)． 现在让点B 沿着曲线L 趋向于点A ，此时∆x →0， 过点A 的割线AB 如果也能趋向于一个极限位置—— 直线AT ，我们就称L 在点A 处存在切线AT ．记AT 的倾斜角为α，则α为β的极限，若α≠90︒，得切线AT 的斜率为 tan α=0lim →x ∆ tan β=xx f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆)()(limlim 0000-+=→→． 在数量上，它表示函数f (x )在x 处的变化率．上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y =f (x )和自变量x 具体容不同，但本质都是要求函数y 关于自变量x 在某一点x 处的变化率．1. 自变量x 作微小变化∆x ，求出函数在自变量这个段的平均变化率y =xy ∆∆，作为点x 处变化率的近似；2. 对y 求∆x →0的极限xy x ∆∆∆0lim→，若它存在，这个极限即为点x 处变化率的的精确值．二、导数的定义1. 函数在一点处可导的概念定义 设函数y =f (x )在x 0的某个邻域有定义．对应于自变量x 在x 0处有改变量∆x ，函数y =f (x )相应的改变量为∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)，若这两个改变量的比()()xx f x x f x y ∆∆∆∆00-+=当∆x →0时存在极限，我们就称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这一极限称为函数y =f (x )在点x 0处的导数(或变化率)，记作0|x x y ='或f '(x 0)或0x x dxdy=或0)(x x dx x df =．即 0|x x y ='=f '(x 0)=xx f x x f x yx x ∆∆∆∆∆∆)()(limlim 0000-+=→→ (2-1) 比值xy ∆∆表示函数y =f (x )在x 0到x 0+∆x 之间的平均变化率，导数0|x x y ='则表示了函数在点x 0处的变化率，它反映了函数y =f (x )在点x 0处的变化的快慢．如果当∆x →0时xy ∆∆的极限不存在，我们就称函数y =f (x )在点x 0处不可导或导数不存在．在定义中，若设x =x 0+∆x ，则(2-1)可写成f '(x 0)=()()000limx x x f x f x x --→ (2-2) 根据导数的定义，求函数y =f (x )在点x 0处的导数的步骤如下： 第一步 求函数的改变量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)； 第二步 求比值xx f x x f x y ∆∆∆∆)()(00-+=；f (x 0+∆xf (x 0第三步 求极限f '(x 0)=xy x ∆∆∆0lim→． 例1 求y =f (x )=x 2在点x =2处的导数．解 ∆y =f (2+∆x )-f (2)=(2+∆x )2-22=4∆x +(∆x )2；()x x x x y ∆∆∆∆∆24+==4+∆x ； x y x ∆∆∆0lim →=lim →x ∆(4+∆x )=4．所以y '|x =2=4．当()()xx f x x f x ∆∆∆000lim -+-→存在时，称其极限值为函数y =f (x )在点x 0处的左导数，记作)(0x f -'；当()()xx f x x f x ∆∆∆000lim -++→存在时，称其极限值为函数y =f (x )在点x 0处的右导数，记作)(0x f +'． 据极限与左、右极限之间的关系f '(x 0) ⇔ 存在)(0x f -',)(0x f +'，且)(0x f -'=)(0x f +'= f '(x 0)． 2. 导函数的概念如果函数y =f (x )在开区间(a ,b )每一点处都可导，就称函数y =f (x )在开区间(a ,b )可导．这时，对开区间(a ,b )每一个确定的值x 0都有对应着一个确定的导数f '(x 0)，这样就在开区间(a ,b )，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f (x )的导函数，记作等f '(x )或y '等． 根据导数定义，就可得出导函数f '(x )=y '=()()xx f x x f x y x x ∆∆∆∆∆∆-+=→→00lim lim (2-3) 导函数也简称为导数．注意 （１）f '(x )是x 的函数，而f '(x 0)是一个数值（２）f (x )在点处的导数f '(x 0)就是导函数f '(x )在点x 0处的函数值．例2 求y =C (C 为常数)的导数．解 因为∆y =C -C =0，x x y ∆∆∆0==0，所以y '=0lim →x ∆xy ∆∆=0． 即 (C )'=0常数的导数恒等于零）． 例3 求y =x n (n ∈N , x ∈R )的导数．解 因为∆y =(x +∆x )n -x n =nx n -1∆x +2n C x n -2(∆x )2+...+(∆x )n ，xy∆∆= nx n -1 +2n C x n -2⋅∆x +...+(∆x )n -1， 从而有 y '=0lim →x ∆x y∆∆=0lim →x ∆[ nx n -1 +2n C x n -2⋅∆x +...+(∆x )n-1]= nx n -1．即 (x n )'=nx n -1．可以证明，一般的幂函数y =x α, (α∈R, x >0)的导数为 (x α)'=α x α-1．例如 (x )'=(21x )'=xx 212121=-；(x 1)'=(x -1)'=-x -2=-21x ．例4 求y =sin x , (x ∈R )的导数．解x y ∆∆=xx x x ∆∆sin )sin(-+，在§1-7中已经求得 0lim→x ∆xy ∆∆=cos x ，即 (sin x )'=cos x ．用类似的方法可以求得y =cos x , (x ∈R )的导数为 (cos x )'=-sin x ．例5 求y =log a x 的导数(a >0, a ≠1, x >0)．解 对a =e 、y =ln x 的情况，在§1-7中已经求得为(ln x )'=x1．对一般的a ，只要先用换底公式得y =log a x =axln ln ，以下与§1-7完全相同推导，可得(log a x )'=ax ln 1．三、导数的几何意义方程为y =f (x )的曲线，在点A (x 0,f (x 0))处存在非垂直切线AT 的充分必要条件是f (x )在x 0存在导数f '(x 0)，且AT 的斜率k =f '(x 0)．导数的几何意义——函数y =f (x )在x 0处的导数f '(x 0)，是函数图象在点(x 0,f (x 0))处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y -f (x 0)=f '(x 0)(x -x 0) (2-4) 过切点A (x 0,f (x 0))且垂直于切线的直线，称为曲线y =f (x )在点A (x 0,f (x 0))处的法线，则当切线非水平(即f '(x 0)≠0)时的法线方程为y -f (x 0)=-)(10x f '(x -x 0) (2-5) 例6 求曲线y =sin x 在点(6π,21)处的切线和法线方程． 解 （sin x ）'6π=x =cos x6π=x =23． 所求的切线和法线方程为 y －21=23(x －6π)， 法线方程 y －21=－332(x －6π)． 例7 求曲线y =ln x 平行于直线y =2x 的切线方程．解 设切点为A (x 0, y 0)，则曲线在点A 处的切线的斜率为y '(x 0)，y '(x 0)=(ln x )'0x x ==01x ，因为切线平行于直线y =2x ，，所以01x =2，即x 0=21；又切点位于曲线上，因而y 0=ln 21=-ln2．故所求的切线方程为y +ln2=2(x -21)，即y =2x -1-ln2． 四、可导和连续的关系如果函数y =f (x )在点x 0处可导，则存在极限lim→x ∆x y ∆∆=f '(x 0)，则xy ∆∆=f '(x 0)+α (0lim →x ∆α=0)，或∆y = f '(x 0) ∆x +α⋅∆x (0lim →x ∆α=0)，所以 0lim →x ∆∆y =0lim →x ∆[f '(x 0) ∆x +α⋅∆x ]=0．这表明函数y =f (x )在点x 0处连续．但y =f (x )在点x 0处连续，在x 0处不一定是可导的． 例如：（１）y =|x |在x =0处都连续但却不可导．（２）y =3x 在x =0处都连续但却不可导．注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂直的．学生思考：设函数f (x )=⎩⎨⎧<+≥0,10,2x x x x ，讨论函数f (x )在x =0处的连续性和可导性．小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。