相似三角形拔高练习 三点定型法

“三点定型”法

一类：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定型”

例1， 已知：∠ACB=900，CD ⊥AB 。求证：AC 2=AD •AB

分析：要证AC 2=AD •AB ，可先证AC AB AD AC =，这时看等号的左边A 、C 、D 三点可确定一个三角形，而等号右边A 、C 、B 三点也可确定一个三角形，即证△ACD ∽△ABC 。都

看上面的分子为A 、B 、C 及都看下面的分母为A 、C 、D 也可确定去证△

ACD ∽△ABC 。

例2， 已知：等边三角形ABC 中，P 为BC 上任一点，AP 的垂直平分线交AB 、AC 于M 、N 两点。求

证：BP •PC=BM •CN

分析：要证BP •PC=BM •CN ，只需证PC

CN BM BP = 看等号的左边B 、P 、M 和等号右边C 、N 、P 可确定证△PBM ∽△NCP 。

二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。

例1， 已知；AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 与BC 的延长线交于F 。求证：DF 2=BF •CF

分析：由已知可得DF=AF ，直接证DF 2=BF •CF 找不出相似三角形，可改证AF 2=BF •CF ，即证

AF

CF BF AF =，这时用“左看、右看”或“上看、下看”定出△ABF ∽△CAF

例2， 已知；在Rt △ABC 中，∠A=900，四边形DEFG 为正方形。求证：EF 2=BE •FC

分析：要证EF 2=BE •FC ，可证EF FC BE EF =，这时我们不论是 “左看、右看”还是“上看、下看”B 、E 、F 、C 都在同一直线上，不能确定两个三角形。但在图形中有相等的线段DE=EF=FG ，这时用相等的线段去替换即证

FG FC BE DE =即可。再用“左看、右看”的方法确定证△BDE ∽△GCF 从而完成证明。

三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。

例1，已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于O 点，作BE//CD,交CA 的延长线于点E.求证：OC 2=OA.OE

分析：要证OC 2=OA.OE ,这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”都发现O,C,A,E 在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？这时，我们可以利用转化的数学思想，先证

OD OB OA OC =，用“上看、下看”定出△OBC ∽△ODC,然后再证OC

OE OD OB =,用同样的方法确定证△OBE ∽△ODC 相似即可。

例2，已知：BD 、CE 是△ABC 的两个高，DG ⊥BC ，与CE 交于F ，GD 的延长线与BA 的延长线交于H 。求证：GD 2=GF •GH

分析：要证GD 2=GF •GH,这时我们发现G 、D 、E 、F 在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换，这时，

我们可以利用直角三角形斜边上的高分的两个三角形和原三角形相似得出GD 2=BG •CG ，从而把原题转化为

证BG •CG=GF •GH ，再用“左看、右看、上看、下看”的方法确定证△BGH ∽△FGC 相似即可。

一、等积式、比例式的证明：

等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。

（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。

等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。

例1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。

分析：我们将此等积式变形改写成比例式得：，由等式左边得到△CDF，由等式右边得到△EDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为∠CDE是公共角，只需证明∠DCE=∠F就可证明两个三角形相似。

（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。

例2．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。

求证：BP2=PE·PF。

分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了。

证明：连结PC 在△ABC中，∵AB=AC，D为BC中点，

∴AD垂直平分BC，∴PB=PC，∴∠1=∠2，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2，∴∠3=∠4，

∵CF∥AB，∴∠3=∠F，∴∠4=∠F，

又∵∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PFC，∴，∴PC2=PE·PF，∵PC=PB，

∴PB2=PE·PF。（等线段代换）

例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。

求证：。

分析：比例式左边AB，AC在△ABC中，右边DF、AF在△ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。

证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=900，∴∠1+∠2=900，∠2+∠C=900，

∴∠1=∠C，∴△ABD∽△CAD，∴，

又∵E是AC中点，∴DE=EC，∴∠3=∠C，又∵∠3=∠4，∠1=∠C，

∴∠1=∠4，又有∠F=∠F，∴△FBD∽△FDA，∴，∴（等比代换）