微分方程-3奇次方程

解
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0, dx cos udu , sin u ln | x | C , x y 微分方程的解为 sin ln | x | C . x
y 令u ， 则 dy xdu udx， x
得原方程的通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C , 或 x 2 2 xy y 2 2 x 6 y C1 .
利用变量代换求微分方程的解
dy 例5 求 ( x y )2的通解. dx dy du 令 x y u , 解 1 代入原方程 dx dx du 2 1 u 解得 arctanu x C , dx 代回 u x y , 得 arctan( x y ) x C ,
令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得 dY X Y Y , 令u ， dX X Y X
方程变为
du 1 u 分离变量法得 u X , dX 1 u X 2 (u2 2u 1) c, 即 Y 2 2 XY X 2 C ,
将 X x 1,Y y 2 代回，
2u 2 u u xu , 2 1 u u
3 1 ln | ( u 1) | ln | ( u 2) | ln | u | ln | x | ln C , 2 2 u1 Cx . u ( u 2)
3 2
微分方程的解为 ( y x )2 Cy( y 2 x )3 .
例 2 求解微分方程
2
dx dy 2 . 2 2 x xy y 2 y xy
2
y y dy 2 y xy 2 解 2 x x 2 dx x xy y 2, y y 1 x x y 令u , 则 dy xdu udx , x
原方程的通解为 y tan( x C ) x .
三、小结
dy y f ( ). 齐次方程 dx x y 齐次方程的解法 令 u . x
可化为齐次方程的方程
令 x X h, y Y k.
思考题
方程 2 y( t )
x 0
t 2 y 2 ( t ) dt xy( x )
2011／03／25
§3
齐次方程
一、齐次方程
dy y 的微分方程称为齐次方程. 1.定义 形如 f ( ) dx x y 2.解法 作变量代换 u , 即 y xu, x dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
二、可化为齐次的方程
1.定义
dy ax by c 形如 f ( )的微分方程 dx a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 为齐次方程. 否则为非齐次方程.
2.解法
令x X h, （其中h和k是待定的常数） y Y k， dx dX , dy dY
( 2) 0,
未必有解, 上述方法不能用.
(i)当b1 0时, a1与b中必至少有一个为零.
(a)若 b 0, 可分离变量的微分方程. dy 1 dz (b)若 b 0, a1 0, 令 z ax by, ( a ), dx b dx 1 dz zc ( a) f ( ) 可分离变量的微分方程. b dx c1 a1 b1 (ii)当b1 0时, 令 , a b dy ax by c 方程可化为 f ( ), 令 z ax by,

是否为齐次方程?
思考题解答
方程两边同时对 x 求导:
2 y x 2 y 2 y xy, xy x y y,
2 2
y y y 1 , x x
2
原方程是齐次方程.
作业
习题7-3 1.奇数; 2.偶数; 4.（2，4）;
分离变量, 积分得
du ln C1 x , f ( u) u
即 x Ce
( u )
,
（ ( u ) Biblioteka du ） f ( u) u
( )
y x
y 将 u 代入, x
得通解 x Ce
.
例 1 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
dY aX bY ah bk c f( ) dX a1 X b1Y a1h b1k c1
ah bk c 0, a1h b1k c1 0,
(1) a b a1 b1 0,
有唯一一组解.
X x h, dY aX bY f( ) 得通解代回 dX a1 X b1Y Y y k，
dx (ax by ) c1
dz dy 1 dz zc 则 a b ， ( a) f ( ). 可分离变量. dx dx b dx z c1
dy x y 1 例4 求 的通解. dx x y 3
解
1 1 2 0, 1 1
h k 1 0 h 1, k 2, 方程组 h k 3 0,