概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

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概率论与数理统计(第二版)课后答案

各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或所以选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容（C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容（D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立所以选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ；（2）)(C B A ；（3）C B A C B A C B A ；（4）AC BC AB ；（5）C B A ；（6）C B A ；（7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。

茆诗松《概率论与数理统计教程》课后习题

茆诗松《概率论与数理统计教程》课后习题本书是详解研究生入学考试指定考研参考书目为茆诗松《概率论与数理统计教程》的配套题库，每章包括以下四部分：第一部分为考研真题及详解。

本部分按教材章节从历年考研真题中挑选具有代表性的部分，并对其进行了详细的解答。

所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。

第二部分为课后习题及详解。

本部分对茆诗松编写的《概率论与数理统计教程》（第2版）教材每一章的课后习题进行了详细的分析和解答，并对个别知识点进行了扩展。

课后习题答案经过多次修改，质量上乘，特别适合应试作答和临考冲刺。

第三部分为章节题库及详解。

本部分严格按照茆诗松编写的《概率论与数理统计教程》（第2版）教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。

熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。

第四部分为模拟试题及详解。

参照茆诗松编写的《概率论与数理统计教程》（第2版）教材，根据历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了两套考前模拟试题，并提供详尽的解答。

通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。

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目录第一部分考研真题第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第二部分课后习题第1章随机事件与概率第2章随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第三部分章节题库第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第四部分模拟试题茆诗松《概率论与数理统计教程》（第2版）配套模拟试题及详解（一）茆诗松《概率论与数理统计教程》（第2版）配套模拟试题及详解（二）。

概率与数理统计第六章习题参考解答

《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A 求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx ni ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆnii x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01nii x d L p ndp pp=-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pnxp n dp p L d ni i解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解：由22()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数22122()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x e μμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x n x ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i i x n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni ixn L d d解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22ni i x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33n ii x x n θ===∑（3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解：1212222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i ni i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβni i n i i x x L 联立解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。

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第一章随机事件与概率习题1.11．写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币；（2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个．解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ；（5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2．先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3．设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生；（2）A , B , C 中不多于一个发生；（3）A , B , C 中不多于两个发生；（4）A , B , C 中至少有两个发生．解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ；（4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4．指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ；（2）AB = A ．解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5．设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ；（2）B A U ；（3）AB ；（4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ；（4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6．检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7．试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅；（3）(A ∪B ) − B = A ；（4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(；（4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8．若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9．请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”；（2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”．解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”；（3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =；（2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21．对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111；（3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ；（4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ；（5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }；（6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ．证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111；（3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ；（4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ，故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ；（5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b bx b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ；（6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ，再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2．抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1，即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3．任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率．解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1，即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4．掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6；（2）点数之和不超过6；（3）至少有一个6点．解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)，即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)，即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5．考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ．解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ．事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ．6．从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃；（2）同花；（3）没有两张同一花色；（4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ，故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ，故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7．设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ；事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8．口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1584524)(==A P ． 9．甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ．10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )，故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为21121010)(1==A P ；（2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5；（2）所得的最大点数等于5．解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ；（2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率．解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率．解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ．15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926；（2）P {一对} = 0.4630；（3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）；（5）P {四枚一样} = 0.0193；（6）P {五枚一样} = 0.0008．解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==；（2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {一对}4630.077763600==；（3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ，故P {两对}2315.077761800==；（4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==；事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==；（5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==；（6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ，故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为3121070}0{===X P ；事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为158210112}1{===X P ；事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布．解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ；事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ；事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率．解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ，（1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ，故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球，其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ，故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x + y< 7/5}，得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ，故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576，事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ，故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ，从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ，若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ，有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交；如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交；当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα ∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为d cb a m E m E P π)()()(++=Ω=．方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )，因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0，则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=，故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ，事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ，故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率．解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫，故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ．29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？（自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？（自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31．设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生；（2）A 和B 都发生；（3）A 发生但B 不发生．解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容；（2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件；（5）P (A ) = 0或P (B ) = 0；（6）P (A − B ) = P (A )．解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件；（4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件；（5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0；（6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3．一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =，则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ，故取到二级品的概率92)(=B P ．4．从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}；（2）A 2 = {三个数字中不含0或5}；（3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ；（2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ；（3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5．某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率：（1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的；（3）至少订阅一种报纸的；（4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ；（3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6．某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7．一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8．从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率．解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”，则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”，设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ，且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9．口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球，则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率．解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同，可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率；（2）三个人分配到不同房间的概率．解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ；（2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =，故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……，故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问：（1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4．注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )．（2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)．证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)，则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ．证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤，故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41．某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？（2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ；（2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2．设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3．掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ，故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4．以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ，事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ，得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ，得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7．掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8．已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ，故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9．已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ．解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ，故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ．解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ，则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ，故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ；（2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”，故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ；（2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。

概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第六章课后习题及参考答案1．已知总体X ～),(2σμN ，其中2σ已知，而μ未知，设1X ，2X ，3X 是取自总体X 的样本．试问下面哪些是统计量？(1)321X X X ++；(2)μ31-X ；(3)222σ+X ；(4)21σμ++X ；(5)},,max{321X X X ；(6)σ221++X X ；(7)∑=3122i i X σ；(8)2μ-X ．解：(1)(3)(4)(5)(6)(7)是，(2)(8)不是．2．求下列各组样本值的平均值和样本差．(1)18，20，19，22，20，21，19，19，20，21；(2)54，67，68，78，70，66，67，70．解：(1)9.19)21201919212022192018(101101101=+++++++++==∑=i i x x ；43.1)(9110122=-=∑=i i x x s ．(2)5.67)7067667078686754(1018181=+++++++==∑=i i x x ；018.292)(718122=-=∑=i i x x s ．3．(1)设总体X ～)1,0(N ，则2X ～)1(2χ．(2)设随机变量F ～),(21n n F ，则F1～),(12n n F ．(3)设总体X ～),(2σμN ，则X ～),(2n N σμ，22)1(S n σ-～)1(2-n χ，nS X /μ-～)1(-n t ．(4)设总体X ～)10(2χ，Y ～)15(2χ，且X 与Y 相互独立，则=+)(Y X E 25，=+)(Y X D 50．4．设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布，则(C )A ．Y X +服从正态分布B ．22Y X +服从2χ分布C ．2X 与2Y 均服从2χ分布D ．22YX 服从F 分布5．在总体X ～)3.6,52(2N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本平均值X 落在8.50到8.53之间的概率．解：因为X ～)3.6,52(2N ，即52=μ，223.6=σ，因为36=n ，22205.1363.6==n σ，所以X ～)05.1,52(2N ．由此可得)8.538.50(≤≤X P 05.1528.50()05.1528.53(-Φ--Φ=8302.0)1429.1()7143.1(=-Φ-Φ=．6．设总体X ～)1,0(N ，1X ，2X ，…，10X 为总体的一个样本，求：(1))99.15(1012>∑=i i X P ；(2)写出1X ，2X ，…，10X 的联合概率密度函数；(3)写出X 的概率密度．解：(1)由题可知∑==1012i i X X ～)10(2χ，查2χ分布表有99.15)10(210.0=χ，可得10.0=α，即10.0)99.15(1012=>∑=i i X P ．(2)1X ，2X ，…，10X 相互独立，则联合概率密度函数为}exp{321}21exp{21),,,(1012510121021∑∏==-=-=i i i i x x x x x f ππ ．(3)X Y =～)1.0,0(N ，所以有2251.02)0(e 5e1.021)(y y y f -⋅--==ππ．7．设总体X ～)1,0(N ，1X ，2X ，…，5X 为总体的一个样本．确定常数c ，使25242321)(XX X X X c Y +++=～)3(t ．解：因为i X ～)1,0(N ，5,,2,1 =i ，所以21X X +～)2,0(N ，)(2121X X +～)1,0(N ，252423X X X ++～)3(2χ，因为25242321252423212632XX X X X X X X X X +++=+++～)3(t ，所以有23=c ．8．设1X ，2X ，3X ，4X 是来自正态总体)4,0(N 的样本．已知243221)43()2(X X b X X a Y -+-=为服从自由度为2的2χ分布，求a ，b 的值．解：由题可知i X ～)4,0(N ，4,3,2,1=i ，故有0)2(21=-X X E ，20)2(21=-X X D ，所以212X X -～)20,0(N ．同理4343X X -～)100,0(N ．而20)2(221X X -～)1(2χ，100)43(221X X -～)1(2χ，故有100)43(20)2(243221X X X X -+-～)2(2χ，比较可知201=a ，1001=b ．9．设总体X ～)3.0,(2μN ，1X ，2X ，…，n X 为总体的一个样本，X 是样本均值，问样本容量n 至少应取多大，才能使95.0)1.0(≥<-μX P ．解：易知X ～)3.0,(2nN μ，由题意有95.013(2/3.01.0/3.0()1.0(≥-Φ=<-=<-nnnX P X P μμ，即应有975.0)3(≥Φn，查正态分布表知975.0)96.1(=Φ，所以取96.13≥n，即5744.34≥n ，取35=n ．10．设总体X ～)16,(μN ，1X ，2X ，…，10X 为总体的一个样本，2S 为样本方差，已知1.0)(2=>αS P ，求α的值．解：由抽样分布定理知22)1(σS n -～)1(2-n χ，因为10=n ，故有2249S ～)9(2χ，得1.0)169169()(22=>=>ααS P S P ，查2χ分布表得684.14)9(21.0=χ，即684.14169=α，解得105.26=α．11．设(1X ，2X ，…，1+n X )为来自总体X ～),(2σμN 的一个样本，记∑==n i i n X n X 11，∑=--=n i in X X n S 122(11，求证：nn n S X X n n T -⋅+=+11～)1(-n t ．证：由题可知n X ～),(2nN σμ，n n X X -+1～)11(,0(2σn N +，标准化得σnX X nn 111+-+～)1,0(N ．又因为∑=-=-ni inX XS n 1222)(1)1(σσ～)1(2-n χ，从而有nn nnn S XX n n n S n n X X -+=--+-++122111)1(11σσ～)1(-n t ，即nnn S X X n n T -⋅+=+11～)1(-n t ．。

概率论课后习题答案第六章习题解答

习题
E X1 2X2 E X1 2E X2 0,
解答
D X1 2X2 D X1 4E X2 4 44 20,
X1 2X2 ~ N 0, 20 同理：3X3 4X4 ~ N 0,100
且：X1
2
X
2与3X
3
4
X
独立
4
X1
2X 20
2
2
+
3X 3
4X 100
10
章
经验分布函数为：
习题
1
19
31
解
pk 10 0
0 5 20 20 10
答
0 当x 4
1/10 当4 x 5
1/10 当5 x 6
F10
(x)=
3/10 15/20
当6 x 7 当7 x 8
15/20 当8 x 9
18/20
当9 x 10
1
当x 10
2021年3月20日1时32分
i1
n
e n
xi !
xi !
i 1
i 1
其中 xi （i = 1，2，…，n ）取值 0,1, …，n, …
2021年3月20日星期六
第
P132 练习6.1 题2
六章
习
解
∵
总体
X
~
E
(
)，f
(
x)
e x
x0
；
0 x0
题解答
（X1 ，X2 ，…，Xn ）是来自总体 X 的样本，
∴ 样本概率密度为
P
2 16
0.1
答
2021年3月20日1时32分
P142 练习6.3 题2 样本（X1 ，X2 ，…，X10 ）

概率论第六章课后习题答案

概率论第六章课后习题答案概率论第六章课后习题答案概率论是一门研究随机现象的数学分支，它在解决实际问题中具有广泛的应用。

第六章是概率论中的重要章节，主要涉及随机变量及其概率分布、数学期望和方差等内容。

在课后习题中，我们将通过解答一些典型问题，进一步加深对这些概念的理解。

1. 随机变量X的概率分布函数为F(x) ={ 0, x < 0{ 1/4, 0 ≤ x < 1{ 1/2, 1 ≤ x < 2{ 3/4, 2 ≤ x < 3{ 1, x ≥ 3(1) 求随机变量X的概率密度函数f(x)。

(2) 求P(0.5 ≤ X ≤ 2.5)。

解：(1) 概率密度函数f(x)是概率分布函数F(x)的导数。

根据导数的定义，我们可以得到：f(x) ={ 0, x < 0{ 1/4, 0 ≤ x < 1{ 1/2, 1 ≤ x < 2{ 1/4, 2 ≤ x < 3{ 0, x ≥ 3(2) P(0.5 ≤ X ≤ 2.5) = F(2.5) - F(0.5) = 3/4 - 1/4 = 1/2 2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ={ c(1 - x^2), -1 ≤ x ≤ 1{ 0, 其他(1) 求常数c的值。

(2) 求P(|X| > 0.5)。

解：(1) 概率密度函数f(x)的积分值等于1。

我们可以计算：∫[-1,1] c(1 - x^2) dx = 1解这个积分方程，可得c = 3/4。

(2) P(|X| > 0.5) = 1 - P(|X| ≤ 0.5)= 1 - ∫[-0.5,0.5] c(1 - x^2) dx= 1 - 3/4 ∫[-0.5,0.5] (1 - x^2) dx= 1 - 3/4 [x - x^3/3] |[-0.5,0.5]= 1 - 3/4 [(0.5 - 0.5^3/3) - (-0.5 + 0.5^3/3)] = 1 - 3/4 [0.5 - 0.5/3 - (-0.5 + 0.5/3)]= 1 - 3/4 [1/3]= 1 - 1/4= 3/43. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ={ kx^2, 0 ≤ x ≤ 2{ 0, 其他(1) 求常数k的值。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考解答-1

n
∑ 4．设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 c ( X i+1 − X i )2 为σ 2 的无 i=1
偏估计．解：因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2，
( X i+1
−
Xi
)2
是σ
2
的无偏估计．
5．设 X1, X2, …, Xn 是来自下列总体中抽取的简单样本，
p(x; θ ) = ⎪⎨⎧1,
θ − 1 ≤ x≤θ + 1;
2
2
⎪⎩0, 其他.
证明样本均值
X
及
1 2
( X (1)
+
X (n) )
都是θ
的无偏估计，问何者更有效？
证：因总体 X ~ U ⎜⎛θ − 1 , θ + 1 ⎟⎞ ，有 Y = X − θ + 1 ~ U (0, 1) ，
1 6
X1
+
1 6
X
2
+
2 3
X3．
证：因
E ( µˆ1 )
=
1 2
E(X1)
+
1 3
E(X
2)
+
1 6
E(X3)
=
1 2
µ
+
1 3
µ
+1 6来自µ=µ

概率论与数理统计（茆诗松）第二版课后习题参考答案

第一章随机事件与概率习题1.11．写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币；（2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个．解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ；（5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2．先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3．设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生；（2）A , B , C 中不多于一个发生；（3）A , B , C 中不多于两个发生；（4）A , B , C 中至少有两个发生．解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ；（4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4．指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ；（2）AB = A ．解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5．设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ；（2）B A U ；（3）AB ；（4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ；（4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6．检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7．试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅；（3）(A ∪B ) − B = A ；（4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(；（4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8．若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9．请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”；（2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”．解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”；（3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =；（2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21．对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111；（3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ；（4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ；（5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }；（6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ．证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111；（3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ；（4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ，故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ；（5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b b x b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ；（6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ，再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2．抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1，即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3．任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率．解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1，即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4．掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6；（2）点数之和不超过6；（3）至少有一个6点．解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)，即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)，即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5．考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ．解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ．事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ． 6．从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃；（2）同花；（3）没有两张同一花色；（4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ，故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ，故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7．设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ；事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8．口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1584524)(==A P ． 9．甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ．10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )，故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为21121010)(1==A P ；（2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5；（2）所得的最大点数等于5．解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ；（2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率．解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率．解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ． 15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926；（2）P {一对} = 0.4630；（3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）；（5）P {四枚一样} = 0.0193；（6）P {五枚一样} = 0.0008．解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==；（2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {一对}4630.077763600==；（3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ，故P {两对}2315.077761800==；（4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==；事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==；（5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==；（6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ，故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为3121070}0{===X P ；事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为158210112}1{===X P ；事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布．解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ；事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ；事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率．解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ，（1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ，故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球，其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ，故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x +y < 7/5}，得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ，故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576，事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ，故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ，从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ，若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ，有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交；如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交；当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为d cb a m E m E P π)()()(++=Ω=．方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )，因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0，则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=，故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ，事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ，故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率．解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫，故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ． 29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？（自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？（自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31．设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生；（2）A 和B 都发生；（3）A 发生但B 不发生．解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容；（2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件；（5）P (A ) = 0或P (B ) = 0；（6）P (A − B ) = P (A )．解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件；（4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件；（5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0；（6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3．一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =，则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ，故取到二级品的概率92)(=B P ．4．从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}；（2）A 2 = {三个数字中不含0或5}；（3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ；（2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ；（3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5．某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率：（1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的；（3）至少订阅一种报纸的；（4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ；（3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6．某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7．一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8．从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率．解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”，则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”，设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ，且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9．口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球，则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率．解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同，可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率；（2）三个人分配到不同房间的概率．解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ；（2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =，故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……，故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问：（1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4．注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )．（2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)．证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)，则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ．证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤，故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41．某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？（2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ；（2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2．设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3．掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ，故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4．以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ，事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ，得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ，得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7．掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8．已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ，故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9．已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ．解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ，故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ．解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ，则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ，故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ；（2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”，故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ；（2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。

概率论与数理统计第六章习题答案

第六章习题6-11、由一致估计的定义，对0ε∀>{}{}{}()1212max ,,,max ,,,n n P X X X P X X X θεεθεθ-<=-+<<+()()F F εθεθ=+--+()0, 0, 01, X x xF x x x θθθ<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩及(){}()()()()1212max ,,,n n X X X X X X F x F x F x F x F x ==⋅⋅⋅()1F εθ∴+=(){}()12max ,,,1nn x F P X X X εθεθθ⎫⎛-+=<-+≈- ⎪⎝⎭{}()12max ,,,111()nn x P X X X n θεθ⎫⎛∴-<=--→→∞ ⎪⎝⎭2、证明：EX μ=()1111111ni i n n i i i i nn n i i i i i i i i a X E a E X a a a a μμ======⎫⎛⎪ ⎪ ==⋅=⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11niii nii a Xa==∴∑∑是μ的无偏估计量3、证明： ()() ()()22D E E θθθ=-()() ()()()2222E D E D θθθθθθ∴=+=+> 2θ∴不是2θ的无偏估计量4、证明：()~X P λEX λ∴=，()()222E X DX EX λλ=+=+()22E X EX λ∴-=，即()22E X X λ-=用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =代替相应的总体矩()2E X 、EX所以得2λ的无偏估计量： 22111n i i A A X X n λ==-=-∑ 5、()~,X B n p ，EX np ∴=()()()()22222111E X np p n p np n n p EX n n p =-+=+-=+-()()()()222111E X EX E X X p n n n n -⎫⎛∴=-=⎪ --⎝⎭所以用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =分别代替总体矩()2E X 、EX得2p 的无偏估计量： ()()()222121111ni i i A A p X X n n n n =-==---∑6、()~,1X N m ，()i E X m ∴=，()1i D X =，(1,2)i =()()()11212212121333333E m E X X E X E X m m m ⎫⎛∴=+=+=+= ⎪⎝⎭()()()1121221414153399999D m D X X D X D X ⎫⎛=+=+=+= ⎪⎝⎭同理可得： ()2E m m =， ()258D m =， ()3E m m =， ()212D m =123,,m m m ∴都是m 的无偏估计量，且在 123,,m m m 中， 3m 的方差最小习题6-21、（1）()11cccEX x c xdx cx dx θθθθθθθθ+∞+∞-+-=⋅==-⎰⎰EXEX cθ∴=-，令X EX =X X c θ∴=-为矩估计量，θ的矩估计值为 x x cθ=-，其中11n i i x x n ==∑似然函数为：()()11211,,,;nnn n n ii i i L x x x c xcx θθθθθθθ-+-====∏∏ ，i x c > 对数似然函数：()()()1ln ln ln 1ln nii L n n c x θθθθ==+-+∑求导，并令其为0，得：1ln ln ln 0ni i d L nn c x d θθ==+-=∑ 1ln ln Lnii nx n cθ=∴=-∑，即θ的最大似然估计量为 1ln ln Lnii nXn cθ==-∑（2）21111EX EX x x dx EX θθθθθ-⎫⎛=⋅=⇒= ⎪--⎝⎭⎰ 以X EX =，得： 21X X θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭为θ的矩估计量θ的矩估计值为： 21x x θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭，其中11ni i x x n ==∑ 而()1121211,,,;n nnn i i i i L x x x x x θθθθθ--==⎫⎛==⎪⎝⎭∏∏ ，01i x ≤≤()()1ln ln 1ln 2nii nL x θθθ=∴=+-∑令1ln 11ln 022ni i d L n x d θθθ==+⋅⋅=∑， 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ ∴=⎪⎪⎝⎭∑ 所以θ的最大似然估计量 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭∑ （3）()~,X B m p ，EXEX mp p m∴=⇒=p ∴的矩估计量： 111n i i X p X X m mn m====∑p ∴的矩估计值为： 11n i i p x mn ==∑ 而()()()111211,,,;11nniii i ii i i nnx m x m x x x x n mm i i L x x x p Cpp C pp ==--==∑∑=-=⋅⋅-∏∏ ，0,1,,ix m = ()()()111ln ln ln ln 1i nnn x mi i i i i L p C x p m x p ====+⋅+-⋅-∑∑∑令() 111ln 111101n n n i i L ii i i d L x m x p x x dp p p mn m ====⋅--⋅=⇒==-∑∑∑ p ∴的最大似然估计量为： 1L p X m=2、（1）()01;2EX xf x dx xdx θθθθ+∞-∞===⎰⎰令11n i i EX X X n ===∑，22X X θθ∴=⇒=2X θ∴= （2）由观测的样本值得：6111(0.30.80.270.350.620.55)0.481766i i x x ===+++++≈∑20.9634x θ∴== 3、由1111122EX X θθθθθ+=⨯+⨯++⨯== 21X θ∴=-为θ的矩估计量 4、设p ：抽得废品的概率；1p -：抽得正品的概率引入{1, i i X i =第次抽到废品0,第次抽到正品，1,2,,60i =()1i P X p ∴==，()01i P X p ==-，且i EX p =所以对样本1260,,,X X X 的一个观测值1260,,,x x x由矩估计法得，p 的估计值为： 601141606015ii p x ====∑，即这批产品的废品率为1155、()()2212213132EX θθθθθ=⨯+⨯-+⨯-=-，()1412133x =⨯++=EX x = ， 3526x θ-∴==为矩估计值 ()()()()()()()34511223312121i i i L P X x P X x P X x P X x θθθθθθ========⋅⋅-=-∏()()ln ln25ln ln 1L θθθ=++-令() ln 1155016Ld L d θθθθθ=⨯-=⇒=- 6、（1）λ的最大似然估计 LX λ=， ()0LX P X e e λ--∴=== （2）设X ：一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数()~X P λ∴，122n =得样本均值：5011(044142221394452) 1.123122122r r x r s ==⨯⋅=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑()1.12300.3253x P X e e --∴====习题6-33、从总体中抽取容量为n 的样本12,,,n X X X 由中心极限定理：()~0,1,/X U N n nμσ-=→∞（1）当2σ已知时，近似得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,X u X u n n αασσ⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭ （2）当2σ未知时，用2σ的无偏点估计2s 代替2σ：~(0,1),/X N n s nμ-→∞于是得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,s s X u X u n n αα⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭一般要求30n ≥才能使用上述公式，称为大样本区间估计 4、40n = 属于大样本，2,X N n σμ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭ 近似μ∴的95%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中642x =，3σ=，40 6.32n =≈，21.96u α=()23642 1.966420.9340x u n ασ⎫⎛⎫⎛∴±⋅=±⨯≈±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故μ的95%的置信区间上限为642.93，下限为641.075、100n =属于大样本，2~,X N n σμ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭近似μ∴的99%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中10x =，3σ=，100n =，22.58u α=()()2310 2.58100.7749.226,10.774100x u n ασ⎛⎫⎛⎫∴±⋅=±⨯=±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可知最少要准备10.77410000107740()kg ⨯=这种商品，才能以0.99的概率满足要求。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

解：因 E(Y ) = aE( X1) + bE( X 2 ) = aµ + bµ = (a + b)µ = µ ，故 Y 是µ 的无偏估计；
因 Var(Y ) = a2 Var( X1) + b2
Var( X 2 ) = a2
⋅σ2 n1
+ (1 − a)2 ⋅ σ 2 n2
=
⎜⎜⎝⎛
n1 + n2 n1n2
xn是来自n1的样本由正态分布可加性知x服从正态分布??????nn1则?????????dxxsndxnxssexnxnnxn222222ee2e2因es可知对任意的反常积分???dxxsxnxn22e收敛6则由参数的任意性以及该反常积分在?与两个方向的收敛性知?????dxxsxnxn22e收敛因xnxsxsxnxnxnxn???????????????2222ee且yey有1?2222eexnxnxnxnxn????则由?????dxxsxnxn122e的收敛性知?????????????dxxsxnxn22e一致收敛可得?????dxxsnsexnxnn2222ee2关于参数可导与es在0处不可导矛盾故g没有无偏估计
nλ n −1
，
故1/ X 不是λ的无偏估计．
3．设θˆ 是参数θ 的无偏估计，且有 Var(θˆ) > 0 ，试证 (θˆ)2 不是θ 2 的无偏估计．
证：因 E(θˆ) = θ ，有 E[(θˆ)2 ] = Var(θˆ) + [E(θˆ)]2 = Var(θˆ) + θ 2 > θ 2 ，故 (θˆ)2 不是θ 2 的无偏估计．
⋅ n ⋅ (−1)d ( y(n)
−
y(1) )n−1
∫ ∫ =

概率论与数理统计教程(茆诗松)第6章

其一是如何给出估计，即估计的方法问题；
其二是如何对不同的估计进行评价，即估
计的好坏判断标准。
14 July 2013
华东师范大学
第六章参数估计
第4页
§6.1 点估计的几种方法
6.1.1 替换原理和矩法估计
一、矩法估计替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如： ˆ • 用样本均值估计总体均值E(X)，即 E ( X ) x ； 2 ˆ • 用样本方差估计总体方差Var(X)，即 Var( X ) sn • 用样本的 p 分位数估计总体的 p 分位数， • 用样本中位数估计总体中位数。
n
则
ˆ ˆ limn E ( n ) 是的相合估计，, limn Var ( n ) 0
定理6.2.2 若 ,, 分别是1, …, k 的相合估 ˆ ˆ n1 nk 计， =g(1 , …, k) 是1, …, k 的连续函数，则 ˆ ˆ ˆ n g ( n1 , , nk ) 是的相合估计。
第六章参数估计
第24页
例6.2.4 对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩 k的无偏估计。但对中心矩则不一 n 1 2 2 ，样本方差s*2不是总样，譬如，由于 E (s * ) n 体方差 2的无偏估计，对此，有如下两点说明： (1) 当样本量趋于无穷时，有E(s*2) 2，我们称 s*2 为 2的渐近无偏估计。
n
1 n n n 2 2 2 ln L( , ) 2 ( xi ) ln ln(2) 2 i 1 2 2
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第六章参数估计

概率论与数理统计（茆诗松）第二版课后习题参考答案

第一章随机事件与概率习题1.11．写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币；（2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个．解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ；（5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2．先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3．设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生；（2）A , B , C 中不多于一个发生；（3）A , B , C 中不多于两个发生；（4）A , B , C 中至少有两个发生．解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ；（4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4．指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ；（2）AB = A ．解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5．设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ；（2）B A U ；（3）AB ；（4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ；（4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6．检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7．试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅；（3）(A ∪B ) − B = A ；（4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(；（4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8．若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9．请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”；（2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”．解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”；（3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =；（2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21．对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111；（3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ；（4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ；（5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }；（6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ．证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!；（2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111；（3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ；（4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ，故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ；（5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b b x b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ；（6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ，再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2．抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1，即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3．任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率．解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1，即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4．掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6；（2）点数之和不超过6；（3）至少有一个6点．解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)，即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)，即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5．考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ．解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ．事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ． 6．从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃；（2）同花；（3）没有两张同一花色；（4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ，故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ，故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7．设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ；事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8．口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1584524)(==A P ． 9．甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ．10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )，故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为21121010)(1==A P ；（2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5；（2）所得的最大点数等于5．解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ；（2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率．解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率．解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ． 15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926；（2）P {一对} = 0.4630；（3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）；（5）P {四枚一样} = 0.0193；（6）P {五枚一样} = 0.0008．解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==；（2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {一对}4630.077763600==；（3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ，故P {两对}2315.077761800==；（4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==；事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==；（5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==；（6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ，故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为3121070}0{===X P ；事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为158210112}1{===X P ；事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布．解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ；事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ；事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率．解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率；（2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ，（1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ，故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球，其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ，故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x +y < 7/5}，得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ，故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576，事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ，故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ，从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ，若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ，有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交；如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交；当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为d cb a m E m E P π)()()(++=Ω=．方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )，因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0，则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=，故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ，事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ，故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率．解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫，故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ． 29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？（自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？（自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31．设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生；（2）A 和B 都发生；（3）A 发生但B 不发生．解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容；（2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件；（5）P (A ) = 0或P (B ) = 0；（6）P (A − B ) = P (A )．解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件；（4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件；（5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0；（6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3．一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =，则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ，故取到二级品的概率92)(=B P ．4．从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}；（2）A 2 = {三个数字中不含0或5}；（3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ；（2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ；（3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5．某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率：（1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的；（3）至少订阅一种报纸的；（4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ；（3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6．某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7．一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8．从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率．解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”，则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”，设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ，且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9．口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球，则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率．解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同，可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率；（2）三个人分配到不同房间的概率．解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ；（2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =，故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……，故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问：（1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4．注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )．（2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)．证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)，则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ．证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤，故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41．某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？（2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ；（2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2．设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3．掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ，故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4．以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ，事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ，得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ，得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7．掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8．已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ，故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9．已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ．解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ，故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ．解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ，则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ，故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ；（2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”，故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ；（2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。

概率论与数理统计答案第六章

第六章样本及抽样分布1.[一] 在总体N （52，6.32）中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率。

解：8293.0)78()712(}63.68.163.65263.62.1{}8.538.50{),363.6,52(~2=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P N X2.[二] 在总体N （12，4）中随机抽一容量为5的样本X 1，X 2，X 3，X 4，X 5. （1）求样本均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}. （3）求概率P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>10}.解：（1）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=>-25541225415412}112{|X P X P X P=2628.0)]25(1[2=Φ- （2）P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)>15}=1－P {max (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≤15} =.2923.0)]21215([1}15{1551=-Φ-=≤-∏=i i X P （3）P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)<10}=1－ P {min (X 1，X 2，X 3，X 4，X 5)≥10} =.5785.0)]1([1)]21210(1[1}10{15551=Φ-=-Φ--=≥-∏=i iXP 4.[四] 设X 1，X 2…，X 10为N （0，0.32）的一个样本，求}.44.1{1012>∑=i iXP解：)5(1.0}163.0{}44.1{),10(~3.0101221012221012查表=>=>∑∑∑===i i i i i i X P X P χX7．设X 1，X 2，…，X n 是来自泊松分布π (λ )的一个样本，X ，S 2分别为样本均值和样本方差，求E (X ), D (X ), E (S 2 ).解：由X ~π (λ )知E (X )= λ ，λ=)(X D∴E (X )=E (X )= λ, D (X )=.)()(,)(2λX D S E nλn X D === [六] 设总体X~b (1,p)，X 1，X 2，…，X n 是来自X 的样本。

茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题参数估计)【圣才出品】

第6章　参数估计一、点估计的概念与无偏性1．设x 1，x 2，x 3是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值μ的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1）1123111=236x x x μ∧++（2）2123111=333x x x μ∧++（3）3123112=663x x x μ∧++解：先求三个统计量的数学期望，1123111111()=()()()236222E E x E x E x μμμμμ∧++=++=2123111111()=()()()333333E E x E x E x μμμμμ∧++=++=3123112112()=()()()663663E E x E x E x μμμμμ∧++=++=这说明它们都是总体均值μ的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为σ2，则222211231111117()=()()()4936493618Var Var x Var x Var x μσσσσ∧++=++=222221231111111()=()()()9999993Var Var x Var x Var x μσσσσ∧++=++=222231231141141()=()()()36369363692Var Var x Var x Var x μσσσσ∧++=++=不难看出，从而的有效性最差．123()<()<()Var Var Var μμμ∧∧∧3μ∧由此可推测。

当用样本的凸组合估计总体均值时，样本均值是最有效的。

1ni ii a x =∑x 2．x 1，x 2，…，x n 是来自Exp(λ)的样本，已知为1/λ的无偏估计，试说明1/是x x 否为λ的无偏估计．解：因为x 1，x 2，…，x n 服从Exp(λ)，所以y ＝~Ga （n ，λ），相应的密度函数1ni i x =∑为1()exp()y 0()n n p y n y y n λλλ-=->Γ，，，于是20(1/)e y ()n n y E y yn λλ∞--=Γ⎰d所以，．即不是λ的无偏估计，但它是λ的渐近无偏估计，经修偏，是λ的无偏估计．3．设是参数θ的无偏估计，且有，试证不是θ2的无偏估计．证：由方差的定义可知，由于是参数θ的无偏估计，即．因而所以不是θ2的无偏估计．4．设总体，是来自该总体的一个样本．试确定常数c 使为σ2的无偏估计．解：由于总体，这给出，于是若要使为σ2的无偏估计，即，这给出5．设总体为，为样本，证明样本均值和样本中程都是θ的无偏估计，并比较它们的有效性．解：由总体，得，，因而，这首先说明样本均值是θ的无偏估计，且为求样本中程的均值与方差，注意到，令则由于，故，从而这就证明了样本中程是θ的无偏估计．又注意到（参见第五章5.3节习题33）所以从而于是在n＞2时，，这说明作为0的无偏估计，在n＞2时，样本中程比样本均值有效．6．设x 1，x2，x3服从均匀分布，试证及都是θ的无偏估计量，哪个更有效？证：由可知x（1），x（3）的密度函数分别为从而故，由知两者均为θ的无偏估计．又可算得，从而故，即更有效．事实上，这里x（3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的．7．设从均值为μ，方差为的总体中，分别抽取容量为n1和n2的两独立样本，和分别是这两个样本的均值．试证，对于任意常数a，b（a＋b＝1），都是μ的无偏估计，并确定常数a，b使Var（Y）达到最小．证：由于和是容量分别为n1和n2的两独立样本的均值，故，，，因而这证明了是μ的无偏估计．又由a＋b＝1知，，从而由求导知，当时，Var（Y）达到最小，此时这个结果表明，来自同一总体的两个容量为n1和n2的样本的合样本（样本量为n1＋n2）的均值是线性无偏估计类中方差最小的．8．设总体X的均值为μ，方差为σ2，是来自该总体的一个样本，为μ的任一凸线性无偏估计量．证明：与T的相关系数为．证：由于为μ的线性无偏估计量，故，其中，于是而，故有，从而9．设有k台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi（i＝1，2，…，k）．用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到设仪器都没有系统误差．问应取何值，方能使成为θ的无偏估计，且方差达到最小？解：若要使为θ的无偏估计，即则必须有，此时，。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

第六章参数估计
习题 6.1
1．设 X1, X2, X3 是取自某总体容量为 3 的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ 的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1） µˆ1
=
1 2
X1
+
1 3
X
2
+
1 6
X3 ；
（2） µˆ2
=
1 3
X1
+
1 3
X
2
+
1 3
X
3
；
（3） µˆ3
=
n1 + n2
n1 + n2
n1 + n2
8．设总体 X 的均值为µ ，方差为σ 2，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本，T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性
无偏估计量．证明： X 与 T 的相关系数为 Var( X ) Var(T ) ．
n
∑ 证：因 T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性无偏估计量，设 T ( X1, L, X n ) = ai X i ， i=1
2．设 X1, X2, …, Xn 是来自 Exp(λ)的样本，已知 X 为 1/λ的无偏估计，试说明1/ X 是否为λ的无偏估计．解：因 X1, X2, …, Xn 相互独立且都服从指数分布 Exp(λ)，即都服从伽玛分布 Ga(1, λ)，
n
∑ 由伽玛分布的可加性知 Y = X i 服从伽玛分布 Ga(n, λ)，密度函数为 i=1
=
(n
2 + 1)(n
+
2)
，
E(Y(2n) )
=
1 y 2 ⋅ nyn−1dy = n ，

概率论与数理统计教程(茆诗松)第6章厦大版

连续型总体的似然函数(likelihood function)
若总体 X 属连续型，其概率密度函数的形式已知为 p ( x q), q Î Q ;
则样本 ( X 1 , L , X n ) 的联合概率密度函数为：
Õ p ( x ; q) ， q Î Q
i i =1
n
在θ固定时，它是(X1 , ,X n )在 (x1 , ,xn )处的密度，它的大小 L L 与(X1 , ,X n )落在(x1 , ,xn )邻域内的概率成正比。 L L
设
(
X1， L , X n
) 为来自总体
X 的样本，X
的分布类型已知，但参数 θ 未知，且θÎΘ .
在已经得到样本值( x1,…,xn)的情况下，我们应该寻找使这个样本值出现的可能性最大的那个分布所对应的θ作为真θ的估计.
离散型总体的似然函数(likelihood function)
若总体 X 属离散型，其概率分布的形式已知为
设 X1,…,Xn i.i.d.~ U (0 q ，其中θ>0为未知参数， , ) 试求参数θ的ML估计。
估计量和估计值统称为点估计(point estimate)，简称为 ˆ 估计，并简记为 q 。在点估计中，对如何构造估计量并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题： 1.构造点估计量的方法 2.点估计量的评价本章的内容是这样安排的，我们先介绍一些估计方法，再讨论估计的评价标准和几个专题，最后讲述区间估计。
最大似然估计与充分统计量的关系
定理6.1.1 设T为任一充分统计量，则ML估计一定可表示为T的函数。
对数似然函数
称似然函数的对数
l (q = log L q) ) (

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第六章参数估计习题6.11．设X 1, X 2, X 3是取自某总体容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ 的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1）3211613121ˆX X X ++=µ；（2）3212313131ˆX X X ++=µ；（3）3213326161ˆX X X ++=µ．证：因µµµµµ=++=++=613121)(61)(31)(21)ˆ(3211X E X E X E E ， µµµµµ=++=++=313131)(31)(31)(31)ˆ(3212X E X E X E E ， µµµµµ=++=++=326161)(32)(61)(61)ˆ(3213X E X E X E E ，故321ˆ,ˆ,ˆµµµ都是总体均值µ 的无偏估计；因2222321136143619141)Var(361)Var(91)Var(41)ˆVar(σσσσµ=++=++=X X X ， 2222321231919191)Var(91)Var(91)Var(91)ˆVar(σσσσµ=++=++=X X X ， 222232132194361361)Var(94)Var(361)Var(361)ˆVar(σσσσµ=++=++=X X X ，故)ˆVar()ˆVar()ˆVar(312µµµ<<，即2ˆµ有效性最好，1ˆµ其次，3ˆµ最差． 2．设X 1, X 2, …, X n 是来自Exp (λ)的样本，已知X 为1/λ的无偏估计，试说明X /1是否为λ的无偏估计．解：因X 1, X 2, …, X n 相互独立且都服从指数分布Exp (λ)，即都服从伽玛分布Ga (1, λ)，由伽玛分布的可加性知∑==ni i X Y 1服从伽玛分布Ga (n , λ)，密度函数为01e )()(>−−ΙΓ=y y n nY y n y p λλ，则λλλλλλλ1)1()(e )(e )(110201−=−Γ⋅Γ=Γ=Γ⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞+−−∞+−−∫∫n n n n n dy y n n dy y n y n Y n E X E n n y n n yn n，故X /1不是λ的无偏估计．3．设θˆ是参数θ 的无偏估计，且有0)ˆ(Var >θ，试证2)ˆ(θ不是θ 2的无偏估计．证：因θθ=)ˆ(E ，有2222)ˆVar()]ˆ([)ˆVar(])ˆ[(θθθθθθ>+=+=E E ，故2)ˆ(θ不是θ 2的无偏估计． 4．设总体X ~ N(µ , σ 2)，X 1, …, X n 是来自该总体的一个样本．试确定常数c 使∑=+−ni i i X X c 121)(为σ 2的无偏估计．解：因E [(X i + 1 − X i )2 ] = Var (X i + 1 − X i ) + [E (X i + 1 − X i )]2 = Var (X i + 1) + Var (X i ) + [E (X i + 1) − E (X i )]2 = 2σ 2，则2211211121)1(22)1(])[()(σσ−=⋅−⋅=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑∑−=+−=+n c n c X X E c X X c E n i i i n i i i ，故当)1(21−=n c 时，21121)(σ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑−=+n i i i X X c E ，即∑−=+−1121)(n i i i X X c 是σ 2的无偏估计．5．设X 1, X 2, …, X n 是来自下列总体中抽取的简单样本，⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤−=.,0;2121,1);(其他θθθx x p证明样本均值X 及)(21)()1(n X X +都是θ 的无偏估计，问何者更有效？证：因总体⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−21,21~θθU X ，有)1,0(~21U X Y +−=θ，则21−+=θY X ，21)1()1(−+=θY X ，21)()(−+=θn n Y X ，即21)(21)(21)()1()()1(−++=+θn n Y Y X X ，可得θθθ=−+=−+=21)(21)()(Y E Y E X E ，nY n Y X 121)Var(1)Var()Var(===，因Y 的密度函数与分布函数分别为p Y ( y ) = I 0<y <1，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(y y y y y F Y有Y (1)与Y (n )的密度函数分别为10111)1()()](1[)(<<−−Ι−=−=y n Y n Y y n y p y F n y p ，1011)()]([)(<<−−Ι==y n Y n Y n ny y p y F n y p ，且(Y (1), Y (n ))的联合密度函数为)()1()()()]()()[1(),()()1(2)1()()()1(1n y y n Y Y n Y n Y n n y p y p y F y F n n y y p <−Ι−−=102)1()()()1())(1(<<<−Ι−−=n y y n n y y n n ，则11)2()()2()1()(101)1(+=+ΓΓΓ⋅=−⋅=∫−n n n n dy y n y Y E n ，1)(101)(+=⋅=∫−n n dy ny y Y E n n ， )2)(1(2)3()()3()1()(10122)1(++=+ΓΓΓ⋅=−⋅=∫−n n n n n dy y n y Y E n ，2)(10122)(+=⋅=∫−n n dy ny y Y E n n ， ∫∫∫∫−−−−⋅⋅=−−⋅=11)1()()()1()(1)1(2)1()()()1()()()1()()()()1())(1()(n n y n n n n y n n n n n y y d n y y dy dy y y n n y y dy Y Y E∫∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅−+−−=−−100)1()(1)1()(01)1()()()1()()()()()(n n y n n n y n n n n dy y y y n y y y ny dy2121)(102)(10)(1)(100)1()()()()(+=+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅−=++∫∫n y n dy y y y y dy n n n n n y n n n n n ，即)2()1(11)2)(1(2)Var(22)1(++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−++=n n n n n n Y ，)2()1(12)Var(22)(++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=n n n n n n n Y n ，且)2()1(111121),Cov(2)()1(++=+⋅+−+=n n n nn n Y Y n 可得θθ=−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21)]()([21)(21)()1()()1(n n Y E Y E X X E ，)2)(1(21)2()1(422)],Cov(2)Var()[Var(41)(21Var 2)()1()()1()()1(++=+++=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n n n n Y Y Y Y X X n n n ，因θ=(X E ，θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+)(21)()1(n X X E ，故X 及)(21)()1(n X X +都是θ 的无偏估计；因当n > 1时，)2)(1(21)(21Var 121)Var()()1(++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+>=n n X X n X n ，故)(21)()1(n X X +比样本均值X 更有效． 6．设X 1, X 2, X 3服从均匀分布U (0, θ )，试证)3(34X 及4X (1)都是θ 的无偏估计量，哪个更有效？解：因总体X 的密度函数与分布函数分别为θθ<<Ι=x x p 01)(，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1;0,;0,0)(θθθx x x x x F有X (1)与X (3)的密度函数分别为θθθ<<Ι−=−=x x x p x F x p 03221)(3)()](1[3)(，θθ<<Ι==x x x p x F x p 032233)()]([3)(，则443223)(3)(043223032)1(θθθθθθθθ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅−⋅=−⋅=∫x x x dx x x X E ， 43433)(043032)3(θθθθθ=⋅=⋅=∫x dy x x X E ， 1054233)(3)(205432303222)1(θθθθθθθθ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅−⋅=−⋅=∫x x x dx x x X E ， 53533)(25303222)3(θθθθθ=⋅=⋅=∫x dy x x X E ，即803410)Var(222)1(θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=X ，8034353)Var(222)3(θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=X ，因θθ=⋅=44)4()1(X E ，θθ=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛433434)3(X E ，故4X (1)及)3(34X 都是θ 的无偏估计；因5380316)4Var(22)1(θθ=⋅=X ，1580391634Var 22)3(θθ=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛X ，有⎟⎠⎞⎜⎝⎛>)3()1(34Var )4Var(X X ，故)3(34X 比4X (1)更有效． 7．设从均值为µ ，方差为σ 2 > 0的总体中，分别抽取容量为n 1和n 2的两独立样本，1X 和2X 分别是这两个样本的均值．试证，对于任意常数a , b （a + b = 1），21X b X a Y +=都是µ 的无偏估计，并确定常数a , b 使Var (Y ) 达到最小．解：因µµµµ=+=+=+=)()()()(21b a b a X bE X aE Y E ，故Y 是µ 的无偏估计；因22222121222122221212)1()(Var )(Var )(Var σσσ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+=⋅−+⋅=+=n a n a n n n n n a n a X b X a Y ，令022)(Var 222121=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅+=σn a n n n n Y da d ，得211n n n a +=，且02)(Var 2212122>⋅+=σn n n n Y a d d ，故当211n n n a +=，2121n n n a b +=−=时，Var (Y ) 达到最小2211σn n +．8．设总体X 的均值为µ ，方差为σ 2，X 1, …, X n 是来自该总体的一个样本，T (X 1, …, X n )为µ 的任一线性无偏估计量．证明：X 与T 的相关系数为)Var()Var(T X ．证：因T(X 1, …, X n )为µ的任一线性无偏估计量，设∑==ni i i n X a X X T 11),,(L ，则µµ===∑∑==ni i ni i i a X E a T E 11)()(，即11=∑=ni i a ，因X 1, …, X n 相互独立，当i ≠ j 时，有Cov (X i , X j ) = 0，则nanX X n a X a X n X a X n T X ni in i i i i n i i i i ni i i n i i 2121111),Cov(,1Cov ,1Cov ),Cov(σσ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑∑∑=====，因),Cov()Var(1)Var(2T X nX n X ===σ，故X 与T 的相关系数为)Var()Var()Var()Var()Var()Var()Var(),Cov(),Corr(T X T X X T X T X T X ===．9．设有k 台仪器，已知用第i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为σ i （i = 1, …, k ）．用这些仪器独立地对某一物理量θ 各观察一次，分别得到X 1, …, X k ，设仪器都没有系统误差．问a 1, …, a k 应取何值，方能使∑==ki i i X a 1ˆθ成为θ 的无偏估计，且方差达到最小？解：因θθθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑∑====k i i ki i k i i i ki i i a a x E a x a E E 1111)()ˆ(，则当11=∑=ki i a 时，∑==ki ii x a 1ˆθ是θ 的无偏估计，因∑∑∑=====⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ki i i k i i i k i i i a x a x a 122121)(Var Var )ˆ(Var σθ，讨论在11=∑=ki i a 时，∑=ki i i a 122σ的条件极值，设拉格朗日函数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=∑∑==1),,,(11221ki i ki iik a a a a L λσλL ，令⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=−=∂∂=+=∂∂=+=∂∂∑=,01,02,02122111ki i k k ka L a a L a a L λλσλσL L L L L 得2212−−++−=k σσλL ，2212−−−++=k i i a σσσL ，i = 1, …, k ，故当2212−−−++=k i i a σσσL ，i = 1, …, k 时，∑==ki ii x a 1ˆθ是θ 的无偏估计，且方差达到最小． 10．设X 1, X 2, …, X n 是来自N (θ, 1)的样本，证明g (θ ) = |θ | 没有无偏估计（提示：利用g (θ )在θ = 0处不可导）．证：反证法：假设T = T (X 1, X 2, …, X n )是g (θ ) = |θ | 的任一无偏估计，因∑==ni i X n X 11是θ 的一个充分统计量，即在取定x X =条件下，样本条件分布与参数θ 无关，则)|(X T E S =与参数θ 无关，且S 是关于X 的函数，||)()()]|([)(θθ====g T E X T E E S E ，可得)(X S S =是g (θ ) = |θ | 的无偏估计，因X 1, X 2, …, X n 是来自N (θ, 1)的样本，由正态分布可加性知X 服从正态分布⎟⎠⎞⎜⎝⎛n N 1,θ，则∫∫∞+∞−+−−∞+∞−−−⋅⋅=⋅=dx x S ndx n x S S E x n x n n x nθθθ22222)(2e)(eπ2eπ2)()(，因E (S ) = |θ|，可知对任意的θ，反常积分∫∞+∞−+−⋅dx x S x n x n θ22e)(收敛，则由参数θ的任意性以及该反常积分在−∞与+∞两个方向的收敛性知∫∞+∞−⋅⋅+−⋅dx x S x n x n ||||22e)(θ收敛，因x n x S x S x n x n x n n ⋅⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅∂∂+−+−θθθ2222e )(e )(，且| y | ≤ e| y |，有||)1||(2222eex n n x n x n x n ⋅+⋅+−+−≤⋅θθ，则由∫∞+∞−⋅+⋅+−⋅dx x S x n x n ||)1|(|22e)(θ的收敛性知∫∞+∞−+−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅∂∂dx x S x n x n θθ22e )(一致收敛，可得∫∞+∞−+−−⋅⋅=dx x S nS E x n x n n θθ2222e)(e π2)(关于参数θ 可导，与E (S ) = |θ |在θ = 0处不可导矛盾，故g (θ ) = |θ | 没有无偏估计．11．设总体X 服从正态分布N (µ , σ 2)，X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本，为了得到标准差σ 的估计量，考虑统计量：∑=−=ni i X X n Y 11||1，∑==n i i X n X 11，n ≥ 2，∑∑==−−=n i nj j i X X n n Y 112||)1(1，n ≥ 2，求常数C 1与C 2，使得C 1Y 1与C 2Y 2都是σ 的无偏估计．解：设),0(~2θN Y ，有θθθθθθθπ2eπ22e π212e π21|||][|02022222222=−=⋅=⋅=+∞−∞+−∞+∞−⋅−∫∫y y y dy y dy y Y E ，因X X i −是独立正态变量X 1, X 2, …, X n 的线性组合，且0()()(=−=−=−µµX E X E X X E i i ，22211,Cov 21),Cov(2)Var()Var()Var(σσσn n X n X n X X X X X X i i i i i −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−+=−，则⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−21,0~σn n N X X i ，σσπ)1(21π2|][|n n n n X X E i −=−⋅=−，可得σσπ)1(2π)1(21|][|1)()(11111111n n C n n n n C X X E n C Y E C Y C E n i i −=−⋅⋅⋅=−⋅==∑=，故当)1(2π1−=n n C 时，E [C 1Y 1] = σ，C 1Y 1是σ 的无偏估计；当i ≠ j 时，X i 与X j 相互独立，都服从正态分布N (µ , σ 2)，有E (X i − X j ) = E (X i ) − E (X j ) = µ − µ = 0，Var(X i − X j ) = Var(X i ) + Var(X j ) = σ 2 + σ 2 = 2σ 2，则X i − X j ~ N (0, 2σ 2)，σσπ22π2|][|=⋅=−j i X X E ，当i = j 时，X i − X j = 0，E [| X i − X j |] = 0，可得σσπ2π2)()1(1|][|)1(1)()(2221122222C n n n n C X X E n n C Y E C Y C E n i nj j i =−⋅−⋅=−−⋅==∑∑==，故当2π2=C 时，E [C 2Y 2] = σ，C 2Y 2是σ 的无偏估计．习题6.21．从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）：1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080，试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计．解：平均寿命µ 的矩估计75.1143ˆ==x µ；标准差σ 的矩估计8523.89*ˆ==s µ． 2．设总体X ~ U (0, θ )，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为：0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6，试对参数θ 给出矩估计．解：因X ~ U (0, θ )，有2)(θ=X E ，即θ = 2 E (X )，故θ 的矩估计68.234.122ˆ=×==x θ． 3．设总体分布列如下，X 1, …, X n 是样本，试求未知参数的矩估计．（1）Nk X P 1}{==，k = 0, 1, 2, …, N − 1，N （正整数）是未知参数；（2）P {X = k } = (k − 1)θ 2 (1 − θ )k − 2，k = 2, 3, …，0 < θ < 1．解：（1）因21)]1(10[1)(−=−+++=N N N X E L ，即N = 2 E (X ) + 1，故N 的矩估计12ˆ+=X N ；（2）因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−=−−⋅=∑∑∑+∞=+∞=+∞=−22222222222)1()1()1()1()(k k k k k k d d d d k k X E θθθθθθθθ θθθθθθθθθθθ2221)1(1)1(322222222=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=d d d d ，则)(2X E =θ，故θ 的矩估计X2ˆ=θ． 4．设总体密度函数如下，X 1, …, X n 是样本，试求未知参数的矩估计．（1）)(2);(2x x p −=θθθ，0 < x < θ ，θ > 0；（2）p (x ;θ ) = (θ + 1) x θ，0 < x < 1，θ > 0；（3）1);(−=θθθx x p ，0 < x < 1，θ > 0；（4）θµθµθ−−=x x p e1),;(，x > µ ，θ > 0．解：（1）因3322)(2)(032202θθθθθθθ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=−⋅=∫x x dx x x X E ，即θ = 3 E (X )，故θ 的矩估计X 3ˆ=θ；（2）因212)1()1()(10210++=+⋅+=+⋅=+∫θθθθθθθx dx x x X E ，即)(11)(2X E X E −−=θ，故θ 的矩估计XX −−=112ˆθ；（3）因11)(101101+=+⋅=⋅=+−∫θθθθθθθxdx x x X E ，即2)(1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=X E X E θ，故θ 的矩估计21ˆ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=XX θ；（4）因θµθµθµθµµθµµθµµθµµθµ+=−=+−=−⋅=⋅=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x X E eeee)1(e1)(，)(2e2ee)1(e1)(22222X E dx x x d x dx x X E x x x x θµθµθµµθµµθµµθµ+=+−=−⋅=⋅=∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−= µ 2 + 2µθ + 2θ 2，则Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = θ 2，即)Var(X =θ，)Var()(X X E −=µ，故θ 的矩估计*ˆS =θ，*ˆS X −=µ． 5．设总体为N (µ , 1)，现对该总体观测n 次，发现有k 次观测值为正，使用频率替换方法求µ 的估计．解：因p = P {X > 0} = P {X − µ > −µ} = 1 − Φ (−µ) = Φ (µ)，即µ = Φ −1 ( p )，故µ 的矩估计⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ=Φ=−−n k p 11)ˆ(ˆµ．6．甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现a 个错字，乙发现b 个错字，其中共同发现的错字有c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计：（1）该书样稿的总错字个数；（2）未被发现的错字数．解：（1）设N 为该书样稿总错别字个数，且A 、B 分别表示甲、乙发现错别字，有A 与B 相互独立，则P (AB ) = P (A ) P (B )，使用频率替换方法，即N b N a p p N c p B A AB ⋅===ˆˆˆ，得cabN =，故总错字个数N 的矩估计cab N=ˆ；（2）设k 为未被发现的错字数，因)()()(1)(1)(AB P B P A P B A P B A P +−−=−=U ，使用频率替换方法，即N cN b N a p p pN k pAB B A B A +−−=+−−==1ˆˆˆ1ˆ，即k = N − a − b + c ，故未被发现的错字数k 的矩估计c b a cab c b a N k+−−=+−−=ˆˆ． 7．设总体X 服从二项分布b (m , p )，其中m , p 为未知参数，X 1, …, X n 为X 的一个样本，求m 与p 的矩估计．解：因E (X ) = mp ，Var (X ) = mp (1 − p )，有)()Var(1X E X p =−，则)()Var(1X E X p −=，)Var()()]([)(2X X E X E p X E m −==，故m 的矩估计22*ˆS X X m −=，p 的矩估计XS p 2*1ˆ−=．习题6.31．设总体概率函数如下，X 1, …, X n 是样本，试求未知参数的最大似然估计．（1）1);(−=θθθxx p ，0 < x < 1，θ > 0；（2）p (x ;θ ) = θ c θ x − (θ + 1) ，x > c ，c > 0已知，θ > 1．解：（1）因1,,,01212110121)()(<<−=<<−Ι=Ι=∏n i x x x n nni x ix x x x L L L θθθθθ，当0 < x 1, x 2, …, x n < 1时，)ln()1(ln 2)(ln 21n x x x nL L −+=θθθ，令0)ln(212)(ln 21=+=n x x x n d L d L θθθθ，得)ln(21n x x x n L −=θ，即221)ln(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n x x x nL θ，故θ 的最大似然估计221)ln(ˆ⎦⎤⎢⎣⎡=n X X X n L θ；（2）因c x x x n n n ni c x i n i x x x c x c L >+−=>+−Ι=Ι=∏,,,)1(211)1(21)()(L L θθθθθθθ，当x 1, x 2, …, x n > c 时，ln L (θ ) = n ln θ + n θ ln c − (θ + 1) ln (x 1 x 2 …x n )，令0)ln(ln )(ln 21=−+=n x x x c n n d L d L θθθ，得c n x x x nn ln )ln(21−=L θ，故θ 的最大似然估计cn X X X nn ln )ln(ˆ21−=L θ．2．设总体概率函数如下，X 1, …, X n 是样本，试求未知参数的最大似然估计．（1）p (x ;θ ) = c θ c x − (c + 1) ，x > θ ，θ > 0，c > 0已知；（2）θµθµθ−−=x x p e1),;(，x > µ ，θ > 0；（3）p (x ;θ ) = (k θ )−1，θ < x < (k + 1)θ ，θ > 0．解：（1）因θθθθθ>+−=>+−Ι=Ι=∏n i x x x c n nc n ni x c i c x x x c x c L ,,,)1(211)1(21)()(L L ，显然θ 越大，nc θ越大，但只有x 1 , x 2 , …, x n > θ 时，才有L (θ ) > 0，即θ = min {x 1, x 2, …, x n } 时，L (θ ) 达到最大，故θ 的最大似然估计},,,min{ˆ21)1(nX X X X L ==θ；（2）因µµθµθµθθµθ>⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=>−−Ι∑=Ι==∏n n i i i i x x x n x nni x x L ,,,11211e1e1),(L ，当x 1, x 2, …, x n > µ 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=∑=µθθµθn x n L ni i 11ln ),(ln ，令01),(ln 12=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=∑=µθθθµθn x n d L d ni i ，解得µµθ−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=x n x n n i i11，且显然µ越大，⎟⎟⎠⎞⎝⎛−−∑=µθn x n i i 11e 越大，但只有x 1 , x 2 , …, x n > µ 时，才有L (θ, µ) > 0，即µ = min {x 1, x 2, …, x n } 时，L (θ, µ) 才能达到最大，故µ 的最大似然估计},,,min{ˆ21)1(n X X X X L ==µ，θ 的最大似然估计)1(ˆˆX X X −=−=µθ；（3）因θθθθθθθ)1(,,,1)1(121)()()(+<<−=+<<−Ι=Ι=∏k x x x n ni k x n i k k L L ，显然θ 越小，(k θ )−n 越大，但只有θ < x 1 , x 2 , …, x n < (k + 1)θ 时，才有L (θ ) > 0，即},,,max{1121n x x x k L +=θ时，L (θ ) 达到最大，故θ 的最大似然估计为},,,max{111ˆ21)(nn X X X k k X L +=+=θ． 3．设总体概率函数如下，X 1, …, X n 是样本，试求未知参数的最大似然估计．（1）θθθ||e 21);(x x p −=，θ > 0；（2）p(x ;θ ) = 1，θ − 1/2 < x < θ + 1/2；（3）12211),;(θθθθ−=x p ，θ1 < x < θ2．解：（1）因∑===−=−∏ni i i x n n ni x L 1||11||e21e 21)(θθθθθ，有∑=−−−=n i i x n n L 1||1ln 2ln )(ln θθθ，令∑=+⋅−=ni i x n d L d 12||11)(ln θθθθ，得∑==ni i x n 1||1θ，故θ的最大似然估计∑==ni i X n 1||1ˆθ；（2）因2/1,,,2/112/12/121)(+<<−=+<<−Ι=Ι=∏θθθθθn i x x x ni x L L ，即θ − 1/2 < x (1) ≤ x (n ) < θ + 1/2，可得当x (n ) − 1/2 < θ < x (1) + 1/2时，都有L (θ ) = 1，故θ 的最大似然估计ˆθ是 (x (n ) − 1/2, x (1) + 1/2) 中任何一个值；（3）因221121,,,1211221)(11),(θθθθθθθθθθ<<=<<Ι−=Ι−=∏n i x x x n ni x L L ，显然θ 1越大且θ 2越小时，L (θ1, θ 2) 越大，但只有θ1 < x 1 , x 2 , …, x n < θ 2 时，才有L (θ1, θ 2) > 0，即θ 1 = min {x 1, x 2, …, x n }且θ 2 = max {x 1, x 2, …, x n }时，L (θ1, θ 2)达到最大，故θ 1的最大似然估计},,,min{ˆ21)1(1nX X X X L ==θ， θ 2的最大似然估计},,,max{ˆ21)(2nn X X X X L ==θ． 4．一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数．假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例p 的最大似然估计．该地质学家所得的数据如下：样本中的石子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10样品个数0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0解：总体X 为样品的10块石子中属石灰石的石子数，即X 服从二项分布B (10, p )，其概率函数为xx p p x x p −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=10)1(10)(，x = 1, 2, …, 10，因∑−∑⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===−==−∏∏1001100110001001110)1(10)1(10)(i ii iii x x i i ni x x i p p x p p x p L ，即)1ln(1000ln 10ln )(ln 100110011001p x p x x p L i i i i i i −⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⋅+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑===，令01110001)(ln 10011001=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=∑∑==p x p x dp p L d i i i i ，得∑==100110001i i x p ，即∑==100110001ˆi i X p 由于49909137261101001=+×+×+×+×+=∑=i i x ，故比例p 的最大似然估计499.049910001ˆ=×=p． 5．在遗传学研究中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为m k p p p k m p k X P mk m k ,,2,1,)1(1)1(};{L =−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−．若已知m = 2，X 1, …, X n 是样本，试求p 的最大似然估计．解：当m = 2时，X 只能取值1或2，且p p p p p X P −−=−−−==222)1(1)1(2}1{2，ppp p X P −=−−==2)1(1}2{22，即pp p p p p p p x X P x x x x−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−−−−2)22(2222};{1212，x = 1, 2，因nnx x n ni x x p p p p p p p L ni i ni i i i )2()22(2)22()(112112−∑∑−=−−=−−=−−==∏，即)2ln(ln )22ln(2)(ln 11p n p n x p x n p L n i i ni i −−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑∑==，令02112222)(ln 11=−−⋅−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑∑==p n p n x p x n dp p L d n i i ni i ，得x x n p n i i22221−=−=∑=，故p 的最大似然估计Xp22ˆ−=． 6．已知在文学家萧伯纳的“An Intelligent Woman’s Guide to Socialism ”一书中，一个句子的单词数X 近似地服从对数正态分布，即Z = ln X ~ N (µ , σ 2 )．今从该书中随机地取20个句子，这些句子中的单词数分别为52, 24, 15, 67, 15, 22, 63, 26, 16, 32, 7, 33, 28, 14, 7, 29, 10, 6, 59, 30，求该书中一个句子单词数均值22e )(σµ+=X E 的最大似然估计．解：因Z = ln X ~ N (µ , σ 2 )，则µ的最大似然估计09.3)30ln 24ln 52(ln 201ln 11ˆ11=+++====∑∑==L n i in i i x n z n z µ， σ 2的最大似然估计51.0])09.330(ln )09.324(ln )09.352[(ln 201)(12221222=−++−+−=−==∑=∗∧L n i i zz z n sσ，故由最大似然估计的不变性知22e)(σµ+=X E 的最大似然估计31.28e e )(251.009.322*===++∧zs z X E ．7．总体X ~ U (θ , 2θ )，其中θ > 0是未知参数，又X 1, …, X n 为取自该总体的样本，X 为样本均值．（1）证明X 32ˆ=θ是参数θ 的无偏估计和相合估计；（2）求θ的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？解：（1）因X ~ U(θ , 2θ )，有θθθ2322)(=+=X E ，2212112)2()Var(θθθ=−=X ，故θθ=⋅===2332)(32)(32)ˆ(X E X E E ，即X 32ˆ=θ是参数θ 的无偏估计；因n n X n X 2712194)Var(94)Var(94)ˆVar(22θθθ=⋅===，有θθ=→∞)ˆ(lim E n ，0)ˆVar(lim =∞→θn ，故X 32ˆ=θ是参数θ 的相合估计；（2）因θθθθθθθ2,,,122111)(<<=<<Ι=Ι=∏n i x x x nni x L L ，显然θ 越小，nθ1越大，但只有θ < x 1 , x 2 , …, x n < 2θ 时，才有L (θ ) > 0，即},,,max{2121n x x x L =θ时，L (θ ) 达到最大，故θ 的最大似然估计为},,,max{2121*ˆ21)(nn X X X X L ==θ；因X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;2,1)(其他θθθx x p ，分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤−<=.2,1;2,;,0)(θθθθθθx x x x x F则X (n ) 的密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<−==−−.,0;2,)()()]([)(11其他θθθθx x n x p x F n x p nn n n因θθθθθθθθθθθ11)()()()(2121)(+=+−⋅=−⋅−=−+−∫n nn x n dx x n x X E n n nn n ，有θ112)()(++=n n X E n ，且2222122)(22)()()(])[(θθθθθθθθθθθ+=+−⋅=−⋅−=−+−∫n nn x n dx x n x X E n n nn n ，则2222)()()2()1(12)Var()Var(θθθθ++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=−=n n n n n n n X X n n ，因θθθ≠++==)1(212)(21*)ˆ()(n n X E E n ，22)()2()1(4)Var(41*)ˆVar(θθ++==n n n X n ，故)(21*ˆn X =θ不是参数θ 的无偏估计，应该修偏为)(121ˆn X n n ++=θ才是θ 的无偏估计，因θθθ=++=→∞→∞)1(212lim *)ˆ(lim n n E n n ，0)2()1(4lim *)ˆVar(lim 22=++=∞→∞→θθn n n n n ，故θ 的最大似然估计)(21*ˆn X =θ是参数θ 的相合估计． 8．设X 1, …, X n 是来自密度函数为p (x ;θ ) = e − (x − θ), x >θ 的样本．（1）求θ 的最大似然估计1ˆθ，它是否是相合估计？是否是无偏估计？（2）求θ 的矩估计2ˆθ，它是否是相合估计？是否是无偏估计？解：（1）似然函数θθθθθ>+−=>−−Ι∑=Ι==∏n ni i i i x x x n x ni x x L ,,,1)(211ee)(L ，显然θ 越大，θn x ni i +−∑=1e 越大，但只有x 1 , x 2 , …, x n > θ 时，才有L (θ ) > 0，即θ = min {x 1, x 2, …, x n } 时，L (θ ) 达到最大，故θ 的最大似然估计},,,min{ˆ21)1(1nX X X X L ==θ；因X 的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧≤>=−−.,0;,e )()(θθθx x x p x ⎩⎨⎧≤>−=−−.,0;,e 1)()(θθθx x x F x 则X (1) 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=−=−−−.,0;,e )()](1[)()(11θθθx x n x p x F n x p x n n 可得X (1) − θ 服从指数分布Exp (n )，因n X E 1)()1(=−θ，2)1(1)Var(nX =−θ，则θθθ≠+==nX E E 1)()ˆ()1(1，2)1()1(11)Var()Var()ˆVar(n X X =−==θθ，故)1(1ˆX =θ不是θ 的无偏估计；因θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=→∞→∞n E n n 1lim )ˆ(lim 1，01lim )ˆVar(lim 21==→∞→∞n n n θ，故)1(1ˆX =θ是θ 的相合估计；（2）因总体X 的密度函数为p (x ;θ ) = e − (x − θ), x >θ ，有X − θ 服从指数分布Exp (1)，则E (X − θ ) = E (X ) − θ = 1，即θ = E (X ) − 1，故θ 的矩估计1ˆ2−=X θ；因E (X ) = θ + 1，Var(X ) = Var(X − θ) = θ 2，则θθ=−=−=1)(1)()ˆ(2X E X E E ，nX n X 22)Var(1)Var()ˆVar(θθ===，故1ˆ2−=X θ是θ 的无偏估计；因θθ=∞→)ˆ(lim 2E n ，0lim )ˆVar(lim 22==→∞→∞n n n θθ，故1ˆ2−=X θ是θ 的相合估计． 9．设总体X ~ Exp (1/θ )，X 1, …, X n 是样本，θ 的矩估计和最大似然估计都是X ，它也是θ 的相合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于X 的估计（提示：考虑X a a=θˆ，找均方误差最小者）．证：因X ~ Exp (1/θ )，有E (X ) = θ ，Var(X ) = θ 2，且X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0;0,e 1)(x x x p xθθ故θ = E (X )，即θ 的矩估计为X =θˆ；因似然函数0,,,110211e1e1)(>−=>−Ι∑=Ι==∏n ni ii ix x x x nni x x L L θθθθθ，当x 1, x 2, …, x n > 0时，∑=−−=ni i x n L 11ln )(ln θθθ，令01)(ln 12=+−=∑=ni i x n d L d θθθθ，得x x n ni i ==∑=11θ，故θ 的最大似然估计也为X =θˆ；因θ==)((X E X E ，nX n X 2)Var(1)Var(θ==，故X 是θ 的无偏估计；因θ=→∞)(lim X E n ，0lim)Var(lim 2==∞→∞→nX n n θ，故X 是θ 的相合估计；设X a a =θˆ，有θθa X aE E a ==)()ˆ(，na X a a 222)Var()ˆVar(θθ==，则nnX E X X 2222)(])([)Var()MSE(θθθθθ=−+=−+=，222222212)(])ˆ([)ˆVar()ˆMSE(θθθθθθθθ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+=−+=−+=a a n a a n a E a a a 2222111111121θθ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++−+=n n n a n n n n n a a n n ，故当1+=n n a 时，X n n a 1ˆ+=θ的均方误差1)ˆMSE(2+=n a θθ小于X 的均方误差nX 2)MSE(θ=．10．为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出1000条，标上记号后放回湖中，然后再捞出150条鱼，发现其中有10条鱼有记号．问湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大？解：设湖中有N 条鱼，有湖中每条鱼带记号的概率为Np 1000=，看作总体X 服从两点分布b (1, p )，从中抽取容量为150的样本X 1, X 2, …, X 150，有101501=∑=i i x ，似然函数∑−∑=−===−=−∏ni ini iiix n x ni x x p pp p p L 11)1()1()(11，有)1ln(ln )(ln 11p x n p x p L ni i ni i −⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⋅=∑∑==，令0111)(ln 11=−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⋅=∑∑==p x n p x dp p L d ni i n i i ，得x x n p ni i ==∑=11，即p 的最大似然估计为X p =ˆ，因pN 1000=，由最大似然估计的不变性知X N1000ˆ=，故湖中有150001015011000ˆ=×=N条鱼时，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大． 11．证明：对正态分布N (µ , σ 2 )，若只有一个观测值，则µ , σ 2的最大似然估计不存在．证：若只有一个观测值，似然函数222)(2eπ21),(σµσσµ−−=x L ，对于任一固定的σ，当µ = x 时，L (µ)取得最大值σπ21，但显然σ 越小，σπ21越大，且σ 可任意接近于0，即σπ21不存在最大值，故µ , σ 2的最大似然估计不存在．习题6.41．设总体概率函数是p (x ;θ )，X 1, …, X n 是其样本，T = T (X 1, …, X n )是θ 的充分统计量，则对g (θ )的任一估计gˆ，令)|ˆ(~T g E g =，证明：)ˆMSE()~MSE(g g ≤．这说明，在均方误差准则下，人们只需要考虑基于充分估计量的估计．解：因)|ˆ(~T g E g=，由Rao-Blackwell 定理知)ˆ()~(g E g E =，)ˆVar()~Var(g g ≤，故)ˆMSE()]()ˆ([)ˆVar()]()~([)~Var()~MSE(22g g g E g g g E g g=−+≤−+=θθ． 2．设T 1 , T 2分别是θ 1 , θ 2的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b ，aT 1 + bT 2 是a θ 1 + b θ 2的UMVUE ．证：因T 1 , T 2分别是θ 1 , θ 2的UMVUE ，有E (T 1) = θ 1 ，E (T 2) = θ 2 ，且对任意的满足E (ϕ) = 0的ϕ 都有Cov (T 1 , ϕ) = Cov (T 2 , ϕ) = 0，则E (aT 1 + bT 2) = a E (T 1) + b E (T 2) = a θ 1 + b θ 2 ，且Cov (aT 1 + bT 2 , ϕ) = a Cov (T 1 , ϕ) + b Cov (T 2 , ϕ) = 0，故aT 1 + bT 2是a θ 1 + b θ 2的UMVUE ．3．设T 是g (θ ) 的UMVUE ，gˆ是g (θ ) 的无偏估计，证明，若+∞<)ˆ(Var g ，则0)ˆ,Cov(≥g T ．证：因gˆ和T 都是g (θ ) 的无偏估计，有)()()ˆ(θg T E g E ==，即0)ˆ(=−T g E ，又因T 是g (θ ) 的UMVUE ，有0)ˆ,(Cov =−T g T ，即0),Cov()ˆ,Cov(=−T T g T ，故0),Cov()ˆ,Cov(≥=T T gT ． 4．设总体X ~ N (µ , σ 2)，X 1 , …, X n 为样本，证明，∑==n i i X n X 11，∑=−−=n i i X X n S 122)(11分别为µ , σ 2的UMVUE ．证：因X ~ N (µ , σ 2 )，有X 是µ 的无偏估计，S 2是σ 2的无偏估计，且样本X 1 , …, X n 的联合密度函数为===−−=−−∏ni i ix nni x n x x p 12222)(2112)(21e )π2(1e π21),;,,(µσσµσσσµL ，对任意的满足E (ϕ) = 0的ϕ (x 1 , …, x n )，有0e)π2(1)(1)(21122=∑⋅=∫∫∞+∞−∞+∞−−−=n x ndx dx E ni i L L µσϕσϕ，对E (ϕ) = 0两端关于µ 求偏导数，得∫∫∑∞+∞−∞+∞−−−=⋅−⋅==∂∂=n x ni i ndx dx x E ni i L L 1)(2112122e )(1)π2(10)(µσµσϕσµϕ∫∫∞+∞−∞+∞−−−∑⋅−⋅==n x n dx dx n x n ni i L L 1)(212122e)(1)π2(1µσµσϕσ)()]()([])[(222ϕσϕµϕσϕµσX E nE X E nX E n=−=−=，则0)(=ϕX E ，0)(()(),Cov(=⋅−=ϕϕϕE X E X E X ，故∑==ni i X n X 11是µ 的UMVUE ；对0)(=ϕX E 两端再关于µ 求偏导数，得∫∫∑∞+∞−∞+∞−−−=∑⋅−⋅==∂∂=n x n i i ndx dx x x X E ni i L L 1)(2112122e )(1)π2(10)(µσµσϕσµϕ∫∫∞+∞−∞+∞−−−∑⋅−⋅==n x n dx dx n x n x ni i L L 1)(212122e)(1)π2(1µσµσϕσ )()]()([])[(22ϕσϕµϕσϕµσX E nX E X E nX X E n=−=−=，则0)(2=ϕX E ，对0)()π2(=ϕσE n 两端关于σ 2求偏导数，得∫∫∑∞+∞−∞+∞−−−=∑⋅−⋅==∂∂=n x ni indx dx xE ni i L L 1)(211242122e)(210)]()π2[(µσµσϕσϕσ∫∫∑∞+∞−∞+∞−−−=∑⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⋅==n x n i i dx dx n x n x ni i L L 1)(212124122e 221µσµµσϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∑=ϕµµσσ21222)π2(n X n X E n i i n ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑==n i i n n i i n X E E n X E n X E 122122)π2()()(22)π2(ϕσσϕµϕµϕσσ，则012=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑=n i i X E ϕ，因⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−=∑∑==21212211)(11X n X n X X n S n i i n i i ，有0)(11)(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=ϕϕϕX nE X E n S E n i i ，则Cov (S 2, ϕ ) = E (S 2ϕ ) − E (S 2) ⋅ E (ϕ) = 0，故∑=−−=ni i X X n S 122)(11是σ 2的UMVUE ． 5．设总体的概率函数为p(x ;θ )，满足定义6.4.2的条件，若二阶导数);(22θθx p ∂∂对一切的θ ∈ Θ 存在，证明费希尔信息量⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−=);(ln )(22θθθX p E I ．证：因θθ∂∂⋅=∂∂p p p 1ln ，2222222221ln 111ln θθθθθθθ∂∂⋅+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=∂∂⋅+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⋅∂∂=∂∂p p p p p p p p p p ，故∫∫∞+∞−∞+∞−∂∂+−=⋅∂∂⋅+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂⋅+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂dx p I pdx p p I p p E p E p E 222222222)(1)(1ln ln θθθθθθθ)()()(22θθθI dx x p I −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+−=∫∞+∞−．6．设总体密度函数为p (x ;θ ) = θ x θ − 1, 0 < x < 1, θ > 0，X 1 , …, X n 是样本．（1）求g (θ ) = 1/θ 的最大似然估计；（2）求g (θ )的有效估计．解：（1）似然函数1,,,0121110121)()(<<−=<<−Ι=Ι=∏n i x x x n n ni x i x x x x L L L θθθθθ，当0 < x 1, x 2, …, x n < 1时，ln L (θ ) = n ln θ + (θ − 1) ln (x 1x 2…x n )，令0)ln()(ln 21=+=n x x x n d L d L θθθ，得∑=−=−=ni i n x n x x x n 121ln )ln(L θ，即∑=−=ni iX n 1ln ˆθ，故g(θ ) = 1/θ 的最大似然估计为∑=−==ni iX n g 1ln 1ˆ/1ˆθ；（2）因θθθθθθθθ1101ln )(ln ln )(ln 10101010101−=−=⋅−=⋅=⋅=∫∫∫−x dx x x x x x d x dx x x X E ，21102102101222)(ln 2ln 2)(ln )()(ln )(ln )(ln θθθθθθθ=−=⋅−==⋅=∫∫∫−X E dx x x x x x x d x dx x x X E ，则22222112)](ln [)(ln )Var(ln θθθ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−=X E X E X ，可得)(111)(ln 1)ˆ(1θθθg n n X E n gE n i i ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅⋅−=−=∑=，即∑=−=n i i X n g 1ln 1ˆ是g (θ )的无偏估计，且22212111)Var(ln 1)ˆ(Var θθn nn X ngni i =⋅⋅==∑=，因p (x ; θ ) = θ x θ − 1 I 0 < x < 1，当0 < x < 1时，ln p (x ; θ ) = ln θ + (θ − 1) ln x ，则x x p ln 1);(ln +=∂∂θθθ，2221);(ln θθθ−=∂∂x p ，即2221);(ln )(θθθθ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂−=X p E I ，可得g (θ ) = 1/θ 无偏估计方差的C-R 下界为)ˆ(Var 111)()]([22222g n n nI g ==⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=′θθθθθ，故∑=−=ni i X n g1ln 1ˆ是g (θ ) = 1/θ 的有效估计． 7．设总体密度函数为2e 2);(3x xx p θθθ−=, x > 0, θ > 0，求θ 的费希尔信息量I (θ )．解：因032e 2);(>−Ι=x x xx p θθθ，当x > 0时，2ln 3ln 2ln );(ln x x x p θθθ−−+=，。

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