概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

第六章 参数估计

习题6.1

1． 设X 1, X 2, X 3是取自某总体容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ 的无偏估计，在方差存

在时指出哪一个估计的有效性最差？

（1）3211613121ˆX X X ++=µ

； （2）3212313131ˆX X X ++=µ

； （3）32133

2

6161ˆX X X ++=µ． 证：因µµµµµ

=++=++=613121)(61)(31)(2

1

)ˆ(3211X E X E X E E ， µµµµµ

=++=++=31

3131)(31)(31)(31)ˆ(3212X E X E X E E ， µµµµµ

=++=++=32

6161)(32)(61)(61)ˆ(3213X E X E X E E ， 故321ˆ,ˆ,ˆµµµ都是总体均值µ 的无偏估计； 因222232113614

3619141)Var(361)Var(91)Var(41)ˆVar(σσσσµ

=++=++=X X X ， 2222321231

919191)Var(91)Var(91)Var(91)ˆVar(σσσσµ

=++=++=X X X ， 222232132

1

94361361)Var(94)Var(361)Var(361)ˆVar(σσσσµ

=++=++=X X X ， 故)ˆVar()ˆVar()ˆVar(312µµµ

<<，即2ˆµ有效性最好，1ˆµ其次，3ˆµ最差． 2． 设X 1, X 2, …, X n 是来自Exp (λ)的样本，已知X 为1/λ的无偏估计，试说明X /1是否为λ的无偏估计．

解：因X 1, X 2, …, X n 相互独立且都服从指数分布Exp (λ)，即都服从伽玛分布Ga (1, λ)，

由伽玛分布的可加性知∑==n

i i X Y 1服从伽玛分布Ga (n , λ)，密度函数为

01e )

()(>−−ΙΓ=

y y n n

Y y n y p λλ，

则λλλλλλλ1)1()(e )(e )(110201−=−Γ⋅Γ=Γ=Γ⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞+−−∞+−−∫∫n n n n n dy y n n dy y n y n Y n E X E n n y n n y

n n

， 故X /1不是λ的无偏估计．

3． 设θ

ˆ是参数θ 的无偏估计，且有0)ˆ(Var >θ，试证2)ˆ(θ不是θ 2的无偏估计． 证：因θθ

=)ˆ(E ，有2222)ˆVar()]ˆ([)ˆVar(])ˆ[(θθθθθθ>+=+=E E ，故2)ˆ(θ不是θ 2的无偏估计． 4． 设总体X ~ N

(µ , σ 2

)，X 1, …, X n 是来自该总体的一个样本．试确定常数c 使∑=+−n

i i i X X c 121)(为σ 2的无

偏估计．

解：因E [(X i + 1 − X i )2 ] = Var (X i + 1 − X i ) + [E (X i + 1 − X i )]2 = Var (X i + 1) + Var (X i ) + [E (X i + 1) − E (X i )]2 = 2σ 2，

则221

12111

21)1(22)1(])[()(σσ−=⋅−⋅=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∑∑−=+−=+n c n c X X E c X X c E n i i i n i i i ，

故当)1(21−=n c 时，2

1121)(σ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−∑−=+n i i i X X c E ，即∑−=+−1121)(n i i i X X c 是σ 2的无偏估计．

5． 设X 1, X 2, …, X n 是来自下列总体中抽取的简单样本，

⎪⎩⎪⎨⎧

+≤≤−=.

,0;

2121,1);(其他θθθx x p

证明样本均值X 及

)(2

1

)()1(n X X +都是θ 的无偏估计，问何者更有效？ 证：因总体⎟⎠⎞⎜⎝

⎛

+−21,21~θθU X ，有)1,0(~21U X Y +−=θ，

则2

1−

+=θY X ，21)1()1(−+=θY X ，21)()(−+=θn n Y X ，即21

)(21)(21)()1()()1(−++=+θn n Y Y X X ，

可得θθθ=−+=−+=21)(21)()(Y E Y E X E ，n

Y n Y X 121

)Var(1)Var()Var(===，

因Y 的密度函数与分布函数分别为

p Y ( y ) = I 0

⎪

⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(y y y y y F Y

有Y (1)与Y (n )的密度函数分别为

10111)1()()](1[)(<<−−Ι−=−=y n Y n Y y n y p y F n y p ，1011)()]([)(<<−−Ι==y n Y n Y n ny y p y F n y p ，

且(Y (1), Y (n ))的联合密度函数为

)()1()()()]()()[1(),()()1(2)1()()()1(1n y y n Y Y n Y n Y n n y p y p y F y F n n y y p <−Ι−−=

102)1()()()1())(1(<<<−Ι−−=n y y n n y y n n ，

则1

1

)2()()2()1()(1

01)1(+=

+ΓΓΓ⋅

=−⋅=∫−n n n n dy y n y Y E n ，1)(101)(+=⋅=∫−n n dy ny y Y E n n ， )

2)(1(2)3()()3()1()(10122)1(++=+ΓΓΓ⋅=−⋅=∫−n n n n n dy y n y Y E n ，2)(1012

2)(+=⋅=∫−n n dy ny y Y E n n ， ∫∫

∫∫

−−−−⋅⋅=−−⋅=1

1)1()()()1()(1

)1(2

)1()()()1()()()1()

()

()()1()

)(1()(n n y n n n n y n n n n n y y d n y y dy dy y y n n y y dy Y Y E

∫∫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+−−=−−1

00

)1()(1)1()(01

)1()()()1()()

()

()()(n n y n n n y n n n n dy y y y n y y y ny dy

2

1

21)(102)(10)(1)(100)1()()()()(+=+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅−=++∫∫n y n dy y y y y dy n n n n n y n n n n n ， 即)

2()1(11)2)(1(2)Var(22)1(++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−++=n n n n n n Y ，)2()1(12)Var(22

)

(++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−+=n n n n n n n Y n ，