工程力学第七章

1点： 点
Mzy σ = Iz
+ + max
3.75kN
= 30.6MPa < [σ]+
+ D
MB 2 1
B 4.5kN
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2点： 点
− M z y max σ = = 51.8MPa < [σ]− Iz −
因此， 截面是安全的 截面是安全的。 因此，B截面是安全的。
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解：1）应力分析 ）
σ′ p σ′ （b） ）
ds
σ″ σ′ （a） ）
δ
p
D
pD = 90 MPa σ′= 4δ
2) 强度校核
σ r 4 = 155.6 MPa ≤ [σ ]
dφ φ
p
σ ′′ =
σ″
pD = 180 MPa 2δ
σ″ （c） ）
锅炉壁的强度 是安全的。 是安全的。
F A
1000
q D
6000
F B
1000
240 12 3 2 1 800 840
z
解：内力图如下 Fs图
640
+
600 120 120 600
640
1 3
800
Mz图
620
+
620 2
y
640 600 + 120 800 620 240 620 12 3 2 1 800 840
-
+
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1+υ vd = [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] 6E 1+υ vd s = σ s2 3E 3E 1 [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] = σ s 2
最大切应力理论与形状改变能密度理论均能适 用于塑性材料的屈服失效。 用于塑性材料的屈服失效。按第三强度理论计算出 的构件尺寸往往偏于安全， 的构件尺寸往往偏于安全，按第四强度理论计算出 的结果与实验接近。 的结果与实验接近。
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例：由铸铁制造的外伸梁，受力及横截面尺寸如 由铸铁制造的外伸梁， 图所示，其中z为中性轴 为中性轴。 图所示，其中 为中性轴。已知铸铁的拉伸许用应 力[σ]+=39.3MPa，压缩许用应力为 σ]-=58.8MPa， ，压缩许用应力为[ ， Iz=7.56×104mm4。试校核该梁强度。 试校核该梁强度。 ×
低碳钢拉伸
1 2
σ1 −σ 3 = σ s
没有考虑σ 的影响。 没有考虑 2 对屈服破坏 的影响。 用这一理论计算简单且结果偏于 安全，在工程中广泛应用。 安全，在工程中广泛应用。
莫尔准则： 莫尔准则： 材料发生剪断破坏的因素主要是 切应力， 切应力，但也和同一截面上的正 应力有关。 应力有关。
τ
第七章：强度设计
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构件因强度不足而丧失承载能力的现象 强度失效。 称为强度失效 称为强度失效 本章介绍几个常用的强度失效的判别准 则及其在工程设计中的应用。 则及其在工程设计中的应用。
一、 简单应力状态下的强度条件 SOUTHEAST UNIVERSITY
σ max ≤ [σ ]
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通常， 通常，脆性材料选用关于脆断的强度理论 与莫尔理论； 与莫尔理论；塑性材料选用关于屈服的强度理 论。
无论是塑性或脆性材料， 无论是塑性或脆性材料，在三向受拉情况下 都会发生脆性断裂，宜用最大拉应力理论， 都会发生脆性断裂，宜用最大拉应力理论，在 三向受压情况下都引起塑性变形， 三向受压情况下都引起塑性变形，宜采用畸变 能密度理论。 能密度理论。
B
MD 3
D截面，弯矩为正值，大小为3.75kNm， 截面，弯矩为正值，大小为 截面 ， 可以确定该截面4点受拉 点受拉， 点受压 点受压， 可以确定该截面 点受拉，3点受压，但3 点的压应力要比B截面上的压应力小 截面上的压应力小， 点的压应力要比 截面上的压应力小，只 须校核4点的拉应力 点的拉应力。 须校核 点的拉应力。 4点： 点
普通热轧工字钢组成。 例：图示简支梁由No.20a普通热轧工字钢组成。若 图示简支梁由 普通热轧工字钢组成 已知工字钢材料的许用应力[ 已知工字钢材料的许用应力 σ] = 157MPa，l = 2m。 ， 。 试求许可载荷[F]。 试求许可载荷 。 F SOUTHEAST UNIVERSITY
A F/3 l C l D F l y B z F/3
主应力大小排序为： 主应力大小排序为：
σ 1 1 2 2 σ1 = + σ + 4τ , σ 2 = 0, σ 3 = − σ 2 + 4τ 2 2 2 2 2 σ
对脆性材料，按第一强度理论， 对脆性材料，按第一强度理论，有：
σ r1 σb 1 2 2 = + σ + 4τ ≤ [σ ], [σ ] = nb 2 2 σ
第二强度理论：无论材料在什么应力状态下， 第二强度理论：无论材料在什么应力状态下，引 起脆性断裂的共同原因是最大伸长线应变ε1达到 了某个共同的极限值εu。 ε1 = εu 如材料直至破坏都处于弹性范围， 如材料直至破坏都处于弹性范围，
σ1 - µ（ σ2 + σ3） = σb （ 只适用于材料直至发生脆断前都在 线弹性范围内工作。 线弹性范围内工作。 只与少数脆性 材料的实验结果相符 工程中较少应用。 合，工程中较少应用。
σ1 =σb
铸铁扭转
当脆性材料处于拉应力为主的应力状态时基本 上与试验结果相符。（二向和三向受拉）。 。（二向和三向受拉 上与试验结果相符。（二向和三向受拉）。 没有考虑σ 对破坏的影响。 没有考虑 2， σ3对破坏的影响。 σ1 必须为拉应力，否则无法应用。 必须为拉应力，否则无法应用。
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混凝土压缩
塑性屈服准则 SOUTHEAST UNIVERSITY 第三强度理论：无论材料处于什么应力状态， 第三强度理论：无论材料处于什么应力状态，发 生塑性屈服的共同原因是最大切应力τmax达到了 材料的某个共同极限值τs。（最大切应力准则）
τ max = τ s
τs = σs
1 2
τ max = (σ 1 − σ 3 )
σb σ1 − σ3 =σb σ bc
铸 铁 压 缩
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极限应力图
包络线
σ
拉和抗压强度。 拉和抗压强度。
σb、σbc分别为材料的抗
包络线
第四强度理论：无论材料处于什么应力状态， 第四强度理论：无论材料处于什么应力状态，发 生屈服的共同原因是畸变能密度达到了某一极限 畸变能密度准则、 值。（畸变能密度准则、Mises屈服准则） SOUTHEAST UNIVERSITY
解：因为细长梁中正应力对强度影响是主要的， 因为细长梁中正应力对强度影响是主要的， 所以先按最大正应力作用点的强度计算许可载 然后再对最大切应力作用点进行校核。 荷，然后再对最大切应力作用点进行校核。 1.按最大正应力的强度计算许可载荷： 按最大正应力的强度计算许可载荷： 按最大正应力的强度计算许可载荷 C、D两处的弯矩最大， 、 两处的弯矩最大 两处的弯矩最大， Mmax=Fl/3
σ
+
4D
=
+ M z y max
Iz
=
3.75 × 10 3 × 88 × 10 −3 7.65 × 10 − 6
= 43.1MPa > [σ ] +
因此， 截面是不安全的 亦即该梁的强度不安全。 截面是不安全的， 因此，D截面是不安全的，亦即该梁的强度不安全。
例：组合梁如图所示。已知q=40kN/m，F=480kN， 组合梁如图所示。已知 ， ， 梁材料的许用应力[σ 梁材料的许用应力 σ]=160MPa，试根据畸变能密 ， 度准则对梁的强度进行校核。 度准则对梁的强度进行校核。 y SOUTHEAST UNIVERSITY
σ max =
M
max
W
≤ [σ ]
Fl/3 + C
D Fl/3
由型钢表， 由型钢表，W=237cm3 SOUTHEAST UNIVERSITY
M
max
W
=
3 ≤ 157 5 2.37 × 10
Fl
3 × 2.37 × 10 5 × 157 F≤ = 55.8 × 10 3 N = 55.8kN 2000
τ max ≤ [τ s ] =
[σ ] = 78.5MPa 2
所以该梁的许可载 荷为55.8kN。 荷为 。
已知一锅炉的平均直径D=1000mm，壁厚 例： 已知一锅炉的平均直径 ，壁厚δ=10mm， ， 如图所示。锅炉材料为低碳钢，其容许应力 如图所示。锅炉材料为低碳钢，其容许应力[σ]=170MPa。 。 设锅炉内蒸汽压力的压强p=3.6MPa，试用第四强度理论 设锅炉内蒸汽压力的压强 ， 校核锅炉壁的强度。 校核锅炉壁的强度。
τ max ≤ [τ ]
单向应力状态 纯剪应力状态
二、 复杂应力状态下的强度条件
？
强度条件
假说
试验 强度理论
材料的破坏形式有两种： 、脆性断裂破坏； 材料的破坏形式有两种： 1、脆性断裂破坏； 2、屈服破坏。 、屈服破坏。
§7.1 设计准则
脆性断裂准则 SOUTHEAST UNIVERSITY 第一强度理论：无论材料在什么应力状态下， 第一强度理论：无论材料在什么应力状态下，引 起脆性断裂的共同原因是最大拉应力(σmax= σ 1 > 0) 达到了某个共同的极限值σu。
z
对于横截面上最大正应力作用点1： 对于横截面上最大正应力作用点 ：
例：如图所示平面应力状态，试分别讨论构件 如图所示平面应力状态， 的材料为脆性材料和塑性材料时的强度准则。 的材料为脆性材料和塑性材料时的强度准则。 SOUTHEAST UNIVERSITY 解：主应力为： 主应力为：
σi σ 1 σ 2 + 4τ 2 = ± σ j 2 2
τ
σ
对塑性材料，按第三或第四强度理论， 对塑性材料，按第三或第四强度理论，有： SOUTHEAST UNIVERSITY
σ r 3 = σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ], σ r 4 = σ + 3τ
2 2
≤ [σ ],
[σ ] =
σs
ns
§7.2 杆件强度设计
SOUTHEAST UNIVERSITY 根据强度准则，可以解决强度方面的三类问题： 根据强度准则，可以解决强度方面的三类问题： （1）强度校核； 2）截面设计； 3）计算许可载荷。 ）强度校核； ）截面设计； ）计算许可载荷。 （ （ 强度计算的一般步骤： 强度计算的一般步骤： （1）内力计算：确定危险截面； ）内力计算：确定危险截面； （2）应力分析：确定危险截面上的危险点； ）应力分析：确定危险截面上的危险点； （3）强度计算：选取适当的强度准则，进 ）强度计算：选取适当的强度准则， 行强度计算。 行强度计算。
2.校核梁内最大切应力 校核梁内最大切应力
τ max =
Fs
* Sz max
dIБайду номын сангаасz
=
Fs d
F/3 + -
F/3 + 2F/3
max Iz S* z
Fsmax=2F/3，d=7mm，Iz/Sz* =17.2cm ， ，
τ max =
2 × 55.8 × 10 3 3 × 7 × 10 − 3 × 0.172 = 30.9 × 10 6 Pa = 30.9MPa
强度准则的统一形式： 强度准则的统一形式：
σr =σu
σr：计算应力。 计算应力。
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1 σ r 4 = [(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ] 2 σb σ rM =σ1 − σ σ bc 3
σ r1 = σ 1 σ r3 = σ 1 − σ 3
许用应力 [σ] ：
塑性材料： 塑性材料：[σ ] =
σs
ns
；脆性材料：[σ ] = 脆性材料：
σb
nb
ns：1.2~2.5； nb：2.5~3 ； 设计准则的统一形式： 设计准则的统一形式：
σ r i ≤ [σ ]
( i = 1,3,4, M )
12.0kN
A
1000
D
1000
B
4.5kN
y
C z
1000
80 20 88 20 120
解：必须同时考虑 弯矩及截面上应力 的分布情况来确定 危险截面。 危险截面。
3.75kNm 1 B + MB D 4.5kNm 2 B
截面， 对B截面，弯矩为负值，大小为 截面 弯矩为负值，大小为4.5kNm，可以 ， 确定该截面1点受拉 点受拉， 点受压 点受压。 确定该截面 点受拉，2点受压。