高三理科数学一轮总复习第四章-平面向量(教师用书)

第四章平面向量

高考导航

考试要求重难点击命题展望

1.平面向量的实际背景及基本概念

(1)了解向量的实际背景；

(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；

(3)理解向量的几何表示.

2.向量的线性运算

(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；

(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；

(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.

3.平面向量的基本定理及其坐标表示

(1)了解平面向量的基本定理及其意义；

(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；

(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

4.平面向量的数量积

(1)理解平面向量数量积的含义及其物理

本章重点：

1.向量的各

种运算；

2.向量的坐

标运算及数形结

合的思想；

3.向量的数

量积在证明有关

向量相等、两向量

垂直、投影、夹角

等问题中的应用.

本章难点：

1.向量的直

角坐标运算在证

明向量垂直和平

行问题中的应用；

2.向量的夹

角公式和距离公

式在求解平面上

两条直线的夹角

和两点间距离中

的应用.

向量是近代数学中重

要和基本的数学概念之

一，它是沟通代数、几何

与三角函数的一种工具，

有着极其丰富的实际背

景，同时又是数形结合思

想运用的典范，正是由于

向量既具有几何形式又具

有代数形式的“双重身

份”，所以它成为中学数学

知识的一个交汇点.在高考

中，不仅注重考查向量本

身的基础知识和方法，而

且常与解析几何、三角函

数、数列等一起进行综合

考查.

在考试要求的层次上更加

突出向量的实际背景、几

何意义、运算功能和应用

价值.

意义；

(2)了解平面向量的数量积与向量投影的

关系；

(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平

面向量数量积的运算；

(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，

会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.向量的应用

(1)会用向量方法解决某些简单的平面几

何问题；

(2)会用向量方法解决某些简单的力学

问题及其他一些实际问题.

知识网络

4.1 平面向量的概念及线性运算

典例精析

题型一向量的有关概念

【例1】下列命题：

①向量AB的长度与BA的长度相等；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；

④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.

其中真命题的序号是.

【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.

【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.

【变式训练1】下列各式：

a•；

①|a|＝a

②(a•b) •c＝a•(b•c)；

③OA－OB＝BA；

④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN；

⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b).

其中正确的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

a•正确；(a•b) •c≠a•(b•c)；OA－OB＝BA正确；如下【解析】选D.| a|＝a

图所示，

MN =MD +DC +CN 且MN =MA +AB +BN ，

两式相加可得2MN ＝AB ＋DC ，即命题④正确；

因为a ，b 不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a ＋b ，a －b 为菱形的两条对角线， 即得(a ＋b )⊥(a －b ). 所以命题①③④⑤正确.

题型二 与向量线性运算有关的问题

【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且

DM =DO 31，

点N 在线段OC 上,且ON =OC 31

,设AB =a, AD =b,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN .

【解析】在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ， 所以DO ＝1

2DB ＝12(AB －AD )＝1

2(a －b )，

AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝1

2(a ＋b ).

又DM ＝13DO ， ON ＝1

3OC ，

所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋1

3DO

＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋56b ，

AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋1

3OC

＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝23(a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM