(完整word版)全等三角形辅助线之截长补短和倍长中线(原题+解析).doc

全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线

一．填空题（共 1 小题）

1．（ 2015 秋 ?宿迁校级月考）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D ．若BD ： DC=3 ： 2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长是．

二．解答题（共10 小题）

2．（ 2010 秋 ?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90 °，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，求证： AB=AC+CD ．

3．如图， AD 是△ ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD ＜（AB+AC）．

4．（ 2013 秋 ?藁城市校级期末）在△ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且 AD ⊥ MN 于点 D，BE⊥MN 于点 E．

（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 1 的位置时，求证： DE=AD+BE ；

（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 2 的位置时，求证： DE=AD ﹣BE ；

（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 3 的位置时，线段 DE、 AD 、BE 之间又有什么样的数量关

系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．

5．已知△ABC 中，∠ A=60 °， BD ，CE 分别平分∠ ABC 和∠ ACB ， BD 、 CE 交于点 O，试判断 BE， CD ， BC 的数量关系，并说明理由．

6．（ 2012 秋 ?西城区校级期中）已知：如图，是 CD 中点，连 BF 交 AC 于点 E，∠ABE+ 明你的结论．

△ABC 中，点 D ，E 分别在 AB ，AC 边上， F ∠CEB=180 °，判断 BD 与 CE 的数量关系，并证

7．（ 2010 秋 ?丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ ACB=90 °，AC=BC ，点 D 是△ ABC 内的一点，且 AD=AC ，若∠DAC=30 °，试探究 BD 与 CD 的数量关系并加以

证明．

8．已知点 M 是等边△ ABD 中边 AB 上任意一点（不与 A 、B 重合），作∠ DMN=60 °，交

∠DBA 外角平分线于点 N．

（1）求证： DM=MN ；

（2）若点 M 在 AB 的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN ”是否依然成立？请你画出图

形并证明你的结论．

9．（ 2015 春 ?闵行区期末）如图所示，在正方形ABCD 中， M 是 CD 的中点， E 是 CD 上一点，且∠ BAE=2 ∠ DAM ．求证： AE=BC+CE ．

10．已知：如图，ABCD 是正方形，∠ FAD= ∠ FAE．求证： BE+DF=AE ．

11．（2010 秋 ?巢湖期中）如图， CE、CB 分别是△ ABC 、△ADC 的中线，且 AB=AC ．求证： CD=2CE ．

全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线

参考答案与试题解析

一．填空题（共 1 小题）

1．（ 2015 秋 ?宿迁校级月考）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于

D ．若 BD ： DC=3 ： 2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长是 15 ．

【考点】角平分线的性质．

【专题】计算题．

【分析】作 DE ⊥ AB 于 E，如图，则DE=6 ，根据角平分线定理得到DC=DE=6 ，再由 BD ：DC=3 ： 2 可计算出BD=9 ，然后利用BC=BD+DC进行计算即可．

【解答】解：作 DE⊥ AB 于 E，如图，则DE=6 ，

∵AD 平分∠BAC ，

∴D C=DE=6 ，

∵BD ： DC=3 ： 2，

∴B D= ×6=9 ，

∴B C=BD+DC=9+6=15 ．

故答案为 15．

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

二．解答题（共10 小题）

2．（ 2010 秋 ?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90 °，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，求证： AB=AC+CD ．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】利用已知条件，求得∠ B=∠ E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ ABD≌ △AED（AAS），∴A E=AB ．∵ AE=AC+CE=AC+CD ，∴AB=AC+CD ．

【解答】证法一：如答图所示，延长AC，到 E 使 CE=CD ，连接 DE．

∵∠ ACB=90 °， AC=BC ， CE=CD ，

∴∠ B=∠ CAB=（180°﹣∠ACB）=45°，∠E=∠CDE=45°，

∴∠ B=∠ E．

∵AD 平分∠BAC ，

∴∠ 1=∠ 2

在△ ABD 和△ AED 中，

，

∴△ ABD ≌ △ AED （ AAS ）．

∴A E=AB ．

∵A E=AC+CE=AC+CD ，

∴AB=AC+CD ．

证法二：如答图所示，在AB 上

截取 AE=AC ，连接 DE ，

∵AD 平分∠BAC ，

∴∠ 1=∠ 2．

在△ ACD 和△ AED 中，

，

∴△ ACD ≌ △ AED （ SAS）．

∴∠ AED= ∠ C=90， CD=ED ，

又∵ AC=BC ，

∴∠ B=45 °．

∴∠ EDB= ∠B=45 °．

∴DE=BE ，

∴CD=BE ．

∵AB=AE+BE ，

∴AB=AC+CD ．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS 的条件证明三角形全等，利用三

角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系．

3．如图， AD 是△ ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD ＜（AB+AC）．

【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．

【专题】计算题．

【分析】可延长 AD 到 E，使 AD=DE ，连 BE，则△ ACD ≌ △EBD 得 BE=AC ，进而在△ABE 中利用三角形三边关系，证之．

【解答】证明：如图延长AD 至 E，使 AD=DE ，连接 BE ．

在△ ACD 和△ EBD 中：