多元函数的极值与最值优秀课件
合集下载
多元函数极值与最值课件
x4 y6x2
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
z ( 4, 2) 64
y
x y6
D
o
x
所以在 D 的边界上 , max z 0 , min z z ( 4, 2) 64 .
与 z (P) z ( 2, 1) 4 相比较 , 得 : z ( 4, 2) 64 为最小值 , z ( 2, 1) 4 为最大值 .
三、条件极值
A<0 时取极大值;
则: 1) 当AC B2 0时, 具有极值 A>0 时取极小值. 2) 当AC B2 0时, 没有极值. 3) 当AC B2 0时, 不能确定 , 需另行讨论.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点.
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 判别. 求二阶偏导数
B
C
fxx ( x, y) 6x 6, fxy ( x, y) 0, f yy ( x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
为极小值;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在点(1,2) 处
AC B2 12 (6) 0,
y
在点 (0,0) 无极值.
y xx y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、驻点
使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点
f x ( x0 , y0 ) 0
fy(
x0 ,
y0 )
0
( x0 , y0 ) 为驻点
注 驻点 意
极值点
如 z x y 点 (0 , 0) 是驻点但不是极值点
如
8-8多元函数极值和最值-PPT文档资料
z
O
y
x
回忆
一元函数极值的必要条件
如果函数 f(x)在x0处可导,且f(x)在x0 处取得极值, 那么 f(x0)0.
一元函数极值(第二)充分条件
如f果 (x0)0,f ( x0 ) 0 ( 0),则f (x0)为
极大值 (极小值).
二元函数极值的必要条件
定理 设 zf(x,y)在 (x0 点 ,y0)具有 偏导数, 且在(x点 0,y0)处有极值, 则
函数的极大值与极小值统称为 极值. 函数的极大值点与极小值点统称为 极值点.
z
例 函数 z3x24y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值). O y
xz
例 函数 z x2y2 下半圆锥面
O
x
y
在(0,0)点取极大值. (也是最大值).
例 函数 zxy 马鞍面
在(0,0)点无极值.
8.8 多元函数的极值与最值
8.8.1 多元函数的极值 8.8.2 多元函数的条件极值 8.8.3 Lagrange(拉格朗日)乘数法 8.8.4 多元函数的最值及其应用
8.8.1 多元函数的极值(extremum)
极大值和极小值的定义 和一元函数一样，极值是局部概念
定义 设在点P0的某个邻域, f(P)f(P0),则称 点P0为函数的极大值点.f (P0) 为极大值(relative maximum). 类似可定义极小值点和极小值(relative minimum).
③定出 ACB2的符号, 判定是否是极值.
例 求 f( x 函 ,y ) 3 a 数 x x 3 y 3 ( a 0 )的极值.
解
①解方程组
fx fy
8.6多元函数的极值与最值ppt课件
将条件极值问题转化为求F( x, y, )的无条件极值。
2)、求解方程组：FFxy
f x x f y y
0 0
F ( x, y) 0
可能极值点( x, y)
和乘数
3)、判别(x,y)是否为极值点.一般根据实际问题得结论.
;
11
例： 某企业生产两种不同型号的机器，当生产量分别为 x, y台时，总成本函数：C( x, y) x2 xy 2 y2 , 如果两种 机器共生产8台，问：各生产多少可使总成本最少？
f
y
(
x0
,
y0
)
0.
注1：称使f x( x0 , y0 ) 0，f y( x0 , y0 ) 0的点为f ( x, y)的驻点。
注2：二元函数的极值点必是驻点或一阶偏导不存在的点，
因此，函数的极值点从这两类点中去寻找。
例 求函数f ( x, y) 3x2 4 y 2的极值。
解：
f x
6x
称f ( x0 , y0 )为f ( x, y)的最大值(或最小值).
相应的点为f ( x, y)的最大值点(或最小值点).
注1：若区域D为有界闭域，先求出f(x,y)在D内的全部驻点
的函数值,一阶偏导数不存在点的函数值, 以及区域D
边界上驻点的函数值，再比较大小，其中最大者为最大值，
最小者为最小值。
所以当两种机器各生产5台; 和3台时总成本最少。
12
例：将正数12分成三个正数x、y、z之和,并使S=xyz 最大。
解：目标函数：C( x, y) xyz
约束条件：( x,
y)
x
y
z
12
0
令F( x, y, z, ) xyz ( x y z 12)
人大微积分课件88多元函数的极值与最值
22
因为
lim x y 0
x y
x2
y2
1
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，
并无其他条件.
例7 某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方 体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能 使用料最省？
x 3 2, y 3 2 时，A取得最小值，
就是说，当水箱的长、宽、高均为 3 2, 3 2, 3 2 时， 水箱所用的材料最省。
二、条件极值、拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他
购买 x 张磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x, y) ln x ln y
求最值的一般方法：
1）将函数在D内的所有驻点处的函数值 2）求D的边界上的最大值和最小值
3）相互比较函数值的大小，其中最大者 即为最大值，最小者即为最小值.
例 5 求二元函数 z f (x, y) x2 y(4 x y) 在直线 x y 6，x轴和 y轴所围成的闭区域 D
上的最大值与最小值.
设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何 分配这200元以达到最佳效果．
问题的实质：求 U ( x, y) ln x ln y 在条件 8x 10 y 200 下的极值点．
无条件极值：对自变量除有定义域限制外， 无任何其它条件限制的极值．
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
Z7-7多元函数的极值及其求法PPT课件
(x, y) 0,
-
15
目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
试在椭圆 x2 y2 1 (x 0, y 0) 圆周上求一点 C, 使 94
△ABC 面积 S△最大.
yA
解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), D
B
则
-
21
目录 上页 下页 返回 结束
3. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积
为
A
1 2
( 24
2x
2x
cos
24
2x)
x sin
24xsin 2x2 sin x2 cos sin
-
4
目录 上页 下页 返回 结束
例7.7.1 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x的极值.
解: 第一步 求驻点.
解方程组
fx (x, y) 3x2 6x 9 0 f y (x, y) 3y2 6y 0
求得驻点为: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
f (P)为极小值
(大)
-
f (P)为最小值
(大)
7
目录 上页 下页 返回 结束
例7.7.2 某厂要用铁板做一个体积为8 m3的有盖长方体
水箱,问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省?
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
学习_课件98多元函数的极值及其求法
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
例4、 求 函 数f ( x, y) x2 y2 2x 1的 极 值. 例5、 求 函 数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的 极 值.
3、多元函数的最值 (1)无即约：束寻求 最目优标化函问数题的最大（小）值.
在条件 x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
G
x0
x02 a2
0,
体积最小，求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y,
z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
则Fx |P
2 x0 ， a2
Fy |P
2 y0 ， b2
Fz |P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x0 a2
其中1,2均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ，即得极值点的坐标.
例 7 将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
例4、 求 函 数f ( x, y) x2 y2 2x 1的 极 值. 例5、 求 函 数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的 极 值.
3、多元函数的最值 (1)无即约：束寻求 最目优标化函问数题的最大（小）值.
在条件 x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下求 V 的最小值,
令 u ln x0 ln y0 ln z0 ,
G( x0 , y0 , z0 )
ln
x0
ln
y0
ln
z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1) ,
由
G
x0
x02 a2
0,
体积最小，求切点坐标.
解 设P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点,
令F ( x,
y,
z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
则Fx |P
2 x0 ， a2
Fy |P
2 y0 ， b2
Fz |P
2z0 c2
过P( x0 , y0 , z0 )的切平面方程为
x0 a2
其中1,2均为常数，可由 偏导数为零及条件解出
x, y, z, t ，即得极值点的坐标.
例 7 将正数 12 分成三个正数x, y, z 之和 使得 u x3 y2z为最大.
解 令 F ( x, y, z) x3 y2z ( x y z 12),
高等数学(微积分)课件86多元函数极值与最值
在，即二重积分必存在.
(3)在直角f 坐x,y标d系中,若f用x,y平d行xd于;y面 坐标积 轴的元 直d线素 网d划xd
二分重,则积分D 的几何意义D
y
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体D积．
当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值． 一般,D上的二重积分等于部分区域o上的柱体体积 x 的代数和。
面的“曲顶柱体”体积。
z
应用计算“平行截
zf(x,y)
面面积为已知的立
体求体积”的方法, y
A( x)
垂直x轴作平行截面。
A(x)
2(x)
y2(x)
f(x,y)dy
1(x)
b
ax
D f(x,y)dx dayA(x)dx
bx
y1(x)
14 得
f(x ,y)db dx 2(x)f(x ,y)d.y
fi,ii
fx,y 叫做被积函数,
fx,yd叫做被积表达式,
d叫做面积元素,
7
D 叫做积分区域，
x与 y 叫做积分变量， n
f i,i 叫i 做积分和。
i1
关于二重积分定义的说明
(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意 的.
(2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存
X-型积分区域D： axb, 1 (x )y2 (x ).
［X－型］
y2(x)
y2(x)
D
y1(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
其中函数1(x) 、2(x) 在区间[a,b] 上连续.
13
X-型积分区域上计算二重积
分
将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲
12多元函数的极值与最值
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 。
2
2
4. 条件极值 拉格朗日乘数法
极值问题
无条件极值: 对自变量只有定义域限制
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制
2019年11月25日星期一
11
高等数学（下）主讲杨益民
引例： 小王有200元钱，他决定用来购买计算机磁盘x张和录 音磁带y盒，设购买这两种商品的效用函数为U(x, y)=lnx+lny。 每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元才能使 其效用达到最大。
( x , y )D
s.t. ( x, y, z) 0
(x, y, z) 0
（1）构造拉格朗日函数：
F( x, y, z, 1, 2 ) f ( x, y, z) 1( x, y, z) 2 ( x, y, z)
（2）求拉格朗日函数F(x, y, z, 1, 2)的无条件极值，得到 条件极值的可疑点。
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1的切平面，使
切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。
解：设 P( x0 , y0 , z0 )为椭球面上一点, 令：
F(
x,
y,
z)x2 a2y2 b2z2 c2
1
Fx
|P
2 x0 a2
，Fy
|P
2 y0 b2
，Fz
|P
2z0 c2
z0
a 3 b 3 c 3
当切点坐标为
a ,
3
b ,
六节多元函数的极值省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
3
3
转所得圆柱体体积最大，
Vmax
.4 πp3 27
第21页
例7 某企业两个工厂生产一样产品,但所需成本不一样,
第一个工厂生产x个产品和第二个工厂生产y个产品时
总成本为z=x2+2y2+5xy+700,若企业生产任务是500个产
品,问每个工厂生产多少产品才能使总成本最小?
解 由题意知成本函数为 z=x2+2y2+5xy+700
第9页
例4 求函数 f (x, y) ex y (x2 2 y2 ) 极值.
解 求方程组
f x (x, y) e x y (x2 2 y 2 ) 2xe x y 0,
f y (x,
y)
e x y (x2
2y2)
4 ye x y
0
一切实数解，得驻点(0,0)，(–4,–2).
求函数f二阶偏导数，
第11页
二、多元函数最大值与最小值
怎样求函数z=f(x,y)在区域D上最大值、最小值呢？ 假如f(x,y)在D上可微，可先求出函数在该区域内一切 驻点处函数值及函数在区域边界上最大值与最小值.在 这些函数值中最大就是函数在D上最大值，最小就是 函数在D上最小值.
第12页
例5 要用铁板做一个体积为常数a有盖长方体水箱， 问水箱各边尺寸多大时，用材料最省. 解 设水箱长、宽、高分别为x，y，z，于是体积
其中矩形边长x，y满足约束条件是 2x+2y=2p，即x+y=p.
现在求函数 V f (x, y) πx2 y 在条件x+y–p=0 下最大值.
第19页
结构辅助函数：
F (x, y,) πx2 y (x y p),
高等数学(微积分)课件-86多元函数极值与最值
极值的必要条件
必要条件一
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极 值，则该点的导数$f'(x_0)$必定为零 。
必要条件二
如果函数$f(x)$在点$x_0$处取得极值 ，则该点的二阶导数$f''(x_0)$必定存 在且不为零。
极值的充分条件
第一充分条件
如果函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的，则函数在点$x_0$处取得极 小值。
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日乘数，将约束条件转化为无约束条件，再利用 无约束条件的求解方法求得极值点。
惩罚函数法
通过构造一个惩罚函数，将约束条件转化为无约束条件，再利用无 约束条件的求解方法求得极值点。
序列二次规划法
将原问题转化为一系列二次规划问题，利用二次规划的求解方法逐 一求解，最终得到极值点。
数。
答案与解析
计算下列函数的极值 点
$f(x,y) = x^2 + 4y^2 - 4x + 8y + 10$的极值点为 $(0,0)$和$(2,-2)$。
$g(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 6$的极值 点为$(1,2)$和$(1,2)$。
求函数$f(x,y) = x^2 + y^2$在点$(1,1)$ 处的梯度：$nabla f(1,1) = (2,2)$。
高等数学(微积分)课件-86多元函 数极值与最值
目录
• 引言 • 多元函数极值的基本概念 • 多元函数的最值 • 多元函数的极值与最值的求解方法 • 习题与答案
01 引言
主题简介
01
多元函数极值与最值是高等数 学中的一个重要主题，主要研 究多元函数在某个区域内的最 大值和最小值问题。
多元函数的极值与最值市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
箱,问当长、宽、高各取怎样尺寸时, 才能使用料最省?
第八章 多元函数微分法及其应用
解:
设水箱长,宽分别为x ,y m ,
则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料面积为
A
2 xy
y
2 xy
x
2 xy
2 x
y
2 x
2 y
x 0 y 0
令
Ax
2(
y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
还有其它条件限制 条件极值求法:
方法1 代入法. 比如 ,
在条件( x, y) 0下, 求函数 z f ( x, y) 的极值
从条件( x, y) 0中解出 y ( x)
求一元函数 z f ( x, ( x)) 无条件极值问题
14
第14页
第八章 多元函数微分法及其应用
第六节 多元函数的极值与最值
9
第9页
第八章 多元函数微分法及其应用
第六节 多元函数的极值与最值
再求 f ( x, y)在D边界上的最值，
y
在边界 x 0和 y 0上 f ( x, y) 0,
在边界 x y 6上，即 y 6 x
x y6
D
o
x
于是令 g( x) x2(6 x)(2), 0 x 6
由 g 4x( x 6) 2x2 0,
得 x2 4 y 6 x |x4 2, g(0) 0, g(6) 0, g(4) f (4,2) 64,
比较后可知 f (2,1) 4为最大值, f (4,2) 64为最小值.
z f (x, y) x2 y(4 x y)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
fx ( x,y) 2x 0
f
y
(
x,y )
2 y 0
稳定点为 (0 , 0)
又在点 (a , 0) 处 :
f (a,0) a2 0 f (0,0) , a 0 , a R
在点 (0 , b) 处: f (0,b) b2 0 f (0,0) , b 0 , b R
在 (0 , 0) 点的任意邻域内 , 都有大于 f (0 , 0) = 0
2 1
H(1,0)
30
1 2
由 f xx(1,0) 2 0 , 知 P = (1 , 0) 是 f 的极小值点 极小值: f (1,0) 1
(2) f 是 R2 上的可微函数
fx 2 y 2xy y2 0 y(2 2x y) 0
f y 2x x2 2xy 0
x(2 x 2y) 0
2 2x 2 y 2x
在 P1 处 : H(0,0) 4 0 P1 = (0 , 0) 是鞍点
在 P2 处 : H(0,2) 4 0 P2 = (0 , 2) 是鞍点
在 P3 处 : H(2,0) 4 0 P3 = (2 , 0) 是鞍点
在 P4 处 :
H(2,2) 4 0 33 3
说明: 上例说明 (1) 稳定点未必一定是极值点 (2) 偏导数不存在的点也可能为极值点
定理 ( 极值点的必要条件)
极值点必是函数的稳定点或者偏导数不 存在的点 稳定点或者偏导数不存在的点统称为临界点
说明: (1) 临界点未必一定是极值点 , 仅是必要条件 (2) 不是极值点的临界点称为鞍点
定理 ( 二阶充分条件)
解得临界点 :
22
P1 (0, 0) ,
P2
(0, 2) ,
P3 (2, 0) ,
P4
( , ) 33
fxx ( x, y) 2 y , fxy ( x, y) 2 2x 2 y , f yy ( x, y) 2x
2 y H(x, y)
2 2x 2 y 4xy (2 2x 2 y)2
由 f (x , y) 在 P0 处可微 h(x) 在 x = x0 处可导 g(y) 在 y = y0 处可导
于是在 P0 点处成立
h'( x0 ) f x ( x0, y0 ) 0 g'( y0 ) f y ( x0, y0 ) 0
定理 ( 可微函数极值点的必要条件 )
设 z = f (x , y) 在 P0 = (x0 , y0) 处可微 , P0 是 f (x , y) 的极值点 , 则有
说明:
fx ( x0 ,y0 ) 0 , f y ( x0 ,y0 ) 0
(1) 使
fx ( x0 ,y0 )
f
y
(
x0
,y0
)
0 0
的点称为
f (x , y) 的
稳定点 ( 或驻点 )
(2) 可微函数的极值点必为 f (x , y) 的稳定点
例 讨论下列函数的极值
(1) z 1 x2 3y2 (2) z x2 y2 (3) z x2 y2
(4) 当 H = 0 时 , 对 P0 不能作出定性结论
例 讨论下列函数的极值
(1) z x2 xy y2 2x y (2) z xy(2 x y) 解 (1) f 是 R2 上的可微函数
fx(x, y) 2x y 2 0 f y(x, y) x 2y 1 0 解得临界点 P = (1 , 0) 又 f xx( x, y) 2 , f xy( x, y) 1 , f yy ( x, y) 2
解 (1) z 1 x2 3y2 在 R2 上可微
fx ( x,y) 2x 0
f
y
(
x,y )
6y 0
稳定点为 (0 , 0)
又 f (x, y) 1 x2 3y2 f (0,0) 1
(0 , 0) 是 f (x , y) 的极小值点 极小值: f (0 , 0) = 1
(2) z x2 y2 在 R2 上可微
多元函数的极值与最值
2º局部极值的计算
首先研究极值点的特征 , 即研究必要条件
设 P0 = (x0 , y0) 是 z = f (x , y) 的局部极小值点 , z = f (x , y) 在 P0 处可微
则根据定义 , 存在 N( P0 , δ ) , 使
f (x, y) f (x0 , y0 ) 对任意的 P N( P0 , δ )
若令 h(x) f (x, y0 ) , g( y) f (x0, y) y
则有
y0
h(x) h(x0 ) , (x, y0 ) N(P0, ) g( y) g( y0 ) , (x0, y) N(P0, )
0 x0
x
x = x0 是 h(x) 的局部极小值点 y = y0 是 g(y) 的局部极小值点
及小于 f (0 , 0) = 0 的点 , 所以 (0 , 0) 不是极值点
(3) f ( x, y) { x , y } 0 , ( x, y) (0,0)
x2 y2 x2 y2
f (x , y) 无稳定点 又注意到 f ( x, y) x2 y2 0 f (0,0)
(0 , 0) 是 f (x , y) 的极小值点 极小值 f (0 , 0) = 0
22 4 f xx ( 3 , 3) 3 0
8
f 在 P4 处取得极大值:
f 27
3º最值问题 条件极值 最值问题 设 z = f (x , y) 在有界闭区域 D 上连续 , 则 f 在
D 上可取得最值 ( 最小值及最大值 ) 设 P D 为 f 的最值点
设 z = f (x , y)在临界点 P0 = (x0 , y0) 的某邻域 N( P0 , δ ) 内具有二阶连续偏导数 , 记
H( x, y) f xx( x, y) f yx ( x, y)
则有
f xy( x, y) f yy ( x, y)
H H( x0, y0 )
(1) 当 H 0 , f xx(x0, y0 ) 0 时 , P0 为 f 的极小值点 (2) 当 H 0 , f xx(x0, y0 ) 0 时 , P0 为 f 的极大值点 (3) 当 H < 0 时 , P0 为 f 的鞍点