多元函数的极值与最值优秀课件

(4) 当 H = 0 时 , 对 P0 不能作出定性结论
例 讨论下列函数的极值
(1) z x2 xy y2 2x y (2) z xy(2 x y) 解 (1) f 是 R2 上的可微函数
fx(x, y) 2x y 2 0 f y(x, y) x 2y 1 0 解得临界点 P = (1 , 0) 又 f xx( x, y) 2 , f xy( x, y) 1 , f yy ( x, y) 2
说明:
fx ( x0 ,y0 ) 0 , f y ( x0 ,y0 ) 0
(1) 使
fx ( x0 ,y0 )
f
y
(
x0
,y0
Байду номын сангаас
)
0 0
的点称为
f (x , y) 的
稳定点 ( 或驻点 )
(2) 可微函数的极值点必为 f (x , y) 的稳定点
例 讨论下列函数的极值
(1) z 1 x2 3y2 (2) z x2 y2 (3) z x2 y2
及小于 f (0 , 0) = 0 的点 , 所以 (0 , 0) 不是极值点
(3) f ( x, y) { x , y } 0 , ( x, y) (0,0)
x2 y2 x2 y2
f (x , y) 无稳定点 又注意到 f ( x, y) x2 y2 0 f (0,0)
(0 , 0) 是 f (x , y) 的极小值点 极小值 f (0 , 0) = 0
2 1
H(1,0)
30
1 2
由 f xx(1,0) 2 0 , 知 P = (1 , 0) 是 f 的极小值点 极小值: f (1,0) 1
(2) f 是 R2 上的可微函数
fx 2 y 2xy y2 0 y(2 2x y) 0
f y 2x x2 2xy 0
x(2 x 2y) 0
22 4 f xx ( 3 , 3) 3 0
8
f 在 P4 处取得极大值:
f 27
3º最值问题 条件极值 最值问题 设 z = f (x , y) 在有界闭区域 D 上连续 , 则 f 在
D 上可取得最值 ( 最小值及最大值 ) 设 P D 为 f 的最值点
多元函数的极值与最值
2º局部极值的计算
首先研究极值点的特征 , 即研究必要条件
设 P0 = (x0 , y0) 是 z = f (x , y) 的局部极小值点 , z = f (x , y) 在 P0 处可微
则根据定义 , 存在 N( P0 , δ ) , 使
f (x, y) f (x0 , y0 ) 对任意的 P N( P0 , δ )
说明: 上例说明 (1) 稳定点未必一定是极值点 (2) 偏导数不存在的点也可能为极值点
定理 ( 极值点的必要条件)
极值点必是函数的稳定点或者偏导数不 存在的点 稳定点或者偏导数不存在的点统称为临界点
说明: (1) 临界点未必一定是极值点 , 仅是必要条件 (2) 不是极值点的临界点称为鞍点
定理 ( 二阶充分条件)
fx ( x,y) 2x 0
f
y
(
x,y )
2 y 0
稳定点为 (0 , 0)
又在点 (a , 0) 处 :
f (a,0) a2 0 f (0,0) , a 0 , a R
在点 (0 , b) 处: f (0,b) b2 0 f (0,0) , b 0 , b R
在 (0 , 0) 点的任意邻域内 , 都有大于 f (0 , 0) = 0
由 f (x , y) 在 P0 处可微 h(x) 在 x = x0 处可导 g(y) 在 y = y0 处可导
于是在 P0 点处成立
h'( x0 ) f x ( x0, y0 ) 0 g'( y0 ) f y ( x0, y0 ) 0
定理 ( 可微函数极值点的必要条件 )
设 z = f (x , y) 在 P0 = (x0 , y0) 处可微 , P0 是 f (x , y) 的极值点 , 则有
若令 h(x) f (x, y0 ) , g( y) f (x0, y) y
则有
y0
h(x) h(x0 ) , (x, y0 ) N(P0, ) g( y) g( y0 ) , (x0, y) N(P0, )
0 x0
x
x = x0 是 h(x) 的局部极小值点 y = y0 是 g(y) 的局部极小值点
解 (1) z 1 x2 3y2 在 R2 上可微
fx ( x,y) 2x 0
f
y
(
x,y )
6y 0
稳定点为 (0 , 0)
又 f (x, y) 1 x2 3y2 f (0,0) 1
(0 , 0) 是 f (x , y) 的极小值点 极小值: f (0 , 0) = 1
(2) z x2 y2 在 R2 上可微
2 2x 2 y 2x
在 P1 处 : H(0,0) 4 0 P1 = (0 , 0) 是鞍点
在 P2 处 : H(0,2) 4 0 P2 = (0 , 2) 是鞍点
在 P3 处 : H(2,0) 4 0 P3 = (2 , 0) 是鞍点
在 P4 处 :
H(2,2) 4 0 33 3
解得临界点 :
22
P1 (0, 0) ,
P2
(0, 2) ,
P3 (2, 0) ,
P4
( , ) 33
fxx ( x, y) 2 y , fxy ( x, y) 2 2x 2 y , f yy ( x, y) 2x
2 y H(x, y)
2 2x 2 y 4xy (2 2x 2 y)2
设 z = f (x , y)在临界点 P0 = (x0 , y0) 的某邻域 N( P0 , δ ) 内具有二阶连续偏导数 , 记
H( x, y) f xx( x, y) f yx ( x, y)
则有
f xy( x, y) f yy ( x, y)
H H( x0, y0 )
(1) 当 H 0 , f xx(x0, y0 ) 0 时 , P0 为 f 的极小值点 (2) 当 H 0 , f xx(x0, y0 ) 0 时 , P0 为 f 的极大值点 (3) 当 H < 0 时 , P0 为 f 的鞍点