§5.2 一般电路系统IO微分方程的建立和求解
电路方程的建立与求解
1 2 3 4 5 6
显然，若上述支路按先树支 B f = [B ft :1l ] 后连支的顺序排列则：
10
二、KCL的矩阵形式 陈述1：对任意集中参数电路的任一节点， 在任一时刻，流入或流出该节点的所有支路电 流的代数和为0。 规定：在跟一个节点相关联的各支路中， 如果支路电流的参考方向离开节点，则该电流 取正号，否则取负号。 设i=[i1,i2,…,ib]T为各支路电流列向量， 则KCL用陈述1表示： Aai=0； 注意：上述两组方程组为线性相关。为了 能唯一求解电路中各个变量，最大线性独立方 11 程组为： Aib=0
22
−1 −1
则：
⎡1 0 0 1 0 1 ⎤ Abb = ⎢0 1 0 −1 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 0 −1 −1⎥ ⎣ ⎦
⎡ 1 ⎢ R ⎢ 1 ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
A bJ
⎡− 1 = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣
G
支路导纳矩阵：
2
Yb
1 SL3G4SC5SC
6
则节点导纳矩阵为：
Back 4
基础知识
所有的电网络方程必须满足： • KCL(Kirchhoff Current Law)和KVL (Kirchhoff Voltage Law)基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。 • VCR（Voltage Current RelationShips) 以上关系适用频域、时域、稳态及瞬态分析。 假设: A（关联矩阵）——节点与支路之间的关联关系； Ib—支路电流列向量； Ub—支路电压列向量； Vn—节点电压列向量； 则 KCL: AIb=0 KVL: ATVn=Ub
建立系统微分方程的一般步骤
建立系统微分方程的一般步骤引言：系统微分方程是描述自然界中动态系统行为的重要工具。
在建立系统微分方程时，我们需要根据问题的实际背景和要求，确定系统的物理模型，并通过一系列步骤将其转化为微分方程组。
本文将介绍建立系统微分方程的一般步骤，帮助读者更好地理解和应用系统微分方程。
步骤一：确定系统的物理模型建立系统微分方程的第一步是确定系统的物理模型。
物理模型是对系统行为的抽象描述，可以基于实验观测、理论分析或经验推测。
在确定物理模型时，需要考虑系统的特性、变量和参数，并确定它们之间的关系。
例如，对于机械系统，我们需要考虑质量、力、速度和位移等变量之间的关系。
步骤二：建立系统的状态方程在确定物理模型后，我们需要建立系统的状态方程。
状态方程描述了系统在不同时间点的状态变化情况。
常用的状态方程形式是一阶线性微分方程，可以表示为dx/dt = f(x, u)，其中x是系统的状态变量，u是系统的输入信号，f(x, u)是状态方程的右侧表达式。
通过分析系统的物理特性和输入输出关系，可以确定状态方程中的函数f(x, u)。
步骤三：建立系统的输出方程除了状态方程，我们还需要建立系统的输出方程。
输出方程描述了系统的输出变量与状态变量和输入信号之间的关系。
常用的输出方程形式是线性方程，可以表示为y = g(x, u)，其中y是系统的输出变量，g(x, u)是输出方程的右侧表达式。
通过分析系统的特性和输出变量与状态变量、输入信号之间的关系，可以确定输出方程中的函数g(x, u)。
步骤四：建立系统的微分方程组在确定状态方程和输出方程后，我们可以将它们组合成一个微分方程组。
微分方程组由状态方程和输出方程组成，可以表示为dx/dt = f(x, u)，y = g(x, u)。
通过联立和整理微分方程组，可以得到系统的一般形式。
在建立微分方程组时，需要注意方程的数量与未知数的数量相等，且方程之间无冲突。
步骤五：确定系统的初值条件和边界条件在建立微分方程组后，我们需要确定系统的初值条件和边界条件。
§2.2 连续LTI系统微分方程式的建立
信号与系统
微分方程的列写
例:求并联电路的端电压v(t) 与激励 is (t)间的关系. 间的关系. 1 电阻 解: iR (t) = v(t) R iR C 1 t is (t ) iL (t) = ∫ v(τ )dτ 电感 R iC L ∞ d v(t) 电容 iC (t) = C dt
根据KCL 根据
或者
d k y(t) m d k x(t) ∑ak dtk = ∑bk dtk k=0 k=0
n
�
解: ( Lp + R ) i = u + u = ( 1 +1)u 2 L C 1 1 RCp 1 u1 = i i R S L 1
用消元法求得. 用消元法求得.
R1
+ u1 (t )
iL (t )
L
R2
R Lp2 + R R2 p 1 u1 = 2 1 iS Lp + (R + R2 ) p +1/ C 1 R p +1/ C 1 i = iS L 2 Lp + (R + R2 ) p +1/ C 1
信号与系统
微分方程的列写
算子法列写电路的微分方程 表示微分算子, 用 p 表示微分算子,即有
d 2 d2 dn p = , p = 2 ,, pn = n dt dt dt
t 1 = ∫ () dτ p ∞
1/p 表示积分算子,即有 表示积分算子,
由此可以得到电阻,电感,电容的算子伏安关系: 由此可以得到电阻,电感,电容的算子伏安关系:
信号与系统
§2.2 微分方程的建立
信号与系统
微分方程的列写
根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程. 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程. 对于电路系统,主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系 对于电路系统,主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系 元件特性约束 统的微分方程. 统的微分方程. 元件特性约束:表征元件特性的关系式.例如二端元件电阻, 元件特性约束:表征元件特性的关系式.例如二端元件电阻,电 容,电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初,次级 电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初, 电压与电流的关系等等. 电压与电流的关系等等. 网络拓扑约束:由网络结构决定的电压电流约束关系, 网络拓扑约束:由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL,KVL. , .
建立微分方程的一般步骤
建立微分方程的一般步骤嘿，咱今儿个就来聊聊建立微分方程的那些事儿！你说啥是微分方程？简单来讲，就像是一个神秘的关系式，描述着某个过程中变量之间的奇妙联系。
那怎么建立它呢？别急，听我慢慢道来。
首先呢，你得搞清楚问题的本质呀！就好比你要去一个陌生地方，得先知道目的地是哪儿吧。
咱得仔细分析研究的对象，它有啥特点，有啥变化规律。
比如说，一个物体的运动，或者是某种物质的变化。
然后呢，就得找那些关键的量啦！这些量就像是拼图的小块，把它们凑到一块儿，才能看清整个画面。
想想看，就像搭积木一样，一块一块堆起来，才能建成漂亮的城堡嘛。
接下来，就得考虑这些量之间的关系啦！是随着时间变化呀，还是跟其他因素有关呢。
这就像是织网，把那些关键的点用线连起来，形成一个有规律的网络。
再然后呢，根据这些关系，用数学的语言把它们表达出来呀！这可就考验咱的数学功底啦。
什么导数啦，积分啦，都得派上用场。
哎呀，你说这是不是有点像破案呀！从一些蛛丝马迹中找出真相。
建立微分方程不就是这样嘛，从那些看似杂乱无章的现象中，找出隐藏的规律。
比如说，研究一个小球的自由落体运动。
咱得知道它的位置、速度、加速度这些量吧。
然后发现速度是位置的导数，加速度又是速度的导数。
这不就找到关系啦，然后就能建立起微分方程啦。
再比如，研究人口的增长。
那得考虑出生率、死亡率这些因素呀，然后根据它们之间的关系来建立方程。
建立微分方程可不容易呢，得有耐心，得细心，还得有点想象力。
就像画画一样，一笔一笔地勾勒出那神秘的关系式。
你想想，要是没有微分方程，好多现象咱都没法准确描述和预测呢！那得是多大的损失呀。
所以说呀，学会建立微分方程，那可真是打开了一扇通往科学奥秘的大门呢。
咱可得好好掌握这门学问，以后遇到啥问题都能迎刃而解啦！这不就是咱追求知识的意义嘛。
怎么样，现在对建立微分方程的一般步骤有点感觉了吧？哈哈！。
微分方程的建立、拉普拉斯变换及方程求解传递函数的表示
第2章
第2章 控制系统的数学模型
（3）按传递函数的定义，取系统的输出信号拉氏变换与输入 信号拉氏变换之比，即可得到机械位移系统的传递函数：
G(s)
Y (s) F (s)
mS
2
1 fS
k
21
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 关于传递函数的几点说明 （1）传递函数是经过拉普拉斯变换后得出的，它只适用于 线性定常系统。 （2）传递函数是由系统结构和参数来确定的，与输入信号 的形式无关，只能反映系统在零初始状态下的动态特性。 （3）传递函数的分母多项式称为特征多项式，它决定着系 统响应的基本特点和动态本质。 （4）传递函数是一种数学抽象，无法直接由它看出实际系 统的物理构造，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传 递函数表示。
；弹簧力与物体的位移成正比
10
第2章
第2章 控制系统的数学模型
（3）将中间变量带入原始方程式（2-1）中，削去中间变量 并整理得：
M d 2 y f dy Ky F
dt 2
dt
11
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 控制系统微分方程的一般表达式 为了方便以后的分析，我们针对一个线性定常系统，给出
33
第2章
第2章 控制系统的数学模型
3. 干扰信号作用下的系统闭环传递函数 令输入信号为0，输出信号与干扰信号之间的传递函数
即为干扰信号作用下的系统闭环传递函数。 可表示为：
n (s)
C(s) N (s)
G2 (s) 1 G1 (s)G2 (s)H (s)
34
第2章
第2章 控制系统的数学模型
4. 闭环系统的误差传递函数 （1）输入信号作用下的误差传递函数
微分方程与电路问题的建模与解法
微分方程与电路问题的建模与解法电路问题是现代科学与工程领域中常见的实际问题之一，而微分方程则是解决这些问题的重要工具之一。
本文将探讨微分方程与电路问题的建模与解法，并通过实例来说明其应用。
一、电路问题的建模电路问题通常涉及电流、电压、电阻等物理量之间的关系。
为了解决这些问题，我们需要将电路中的各个元件进行建模，并建立它们之间的数学关系。
微分方程提供了一种有效的建模方法。
以简单的电路为例，假设一个由电阻R、电感L和电容C组成的串联电路，电源为直流电源V(t)。
我们可以根据基尔霍夫定律建立以下微分方程：L(di/dt) + Ri + q/C = V(t)其中，i是电流，q是电容器的电荷量。
这个微分方程描述了电感、电阻和电容之间的关系。
二、微分方程的解法解决微分方程可以采用不同的方法，如分离变量法、变量代换法、特解法等。
在电路问题中，我们通常使用拉普拉斯变换和复变函数等方法来求解微分方程。
以上述电路问题为例，我们可以通过拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电流i(t)和电荷量q(t)的表达式。
通过求解微分方程，我们可以获得电路中各个物理量随时间的变化规律。
三、实例分析为了更好地理解微分方程与电路问题的应用，我们来看一个实际的例子。
假设有一个由电阻R和电感L组成的串联电路，电源为交流电源V(t) = V0 sin(ωt)。
我们希望求解电路中的电流i(t)。
根据基尔霍夫定律和欧姆定律，我们可以建立以下微分方程：L(di/dt) + Ri = V0 sin(ωt)通过拉普拉斯变换，我们可以将上述微分方程转化为代数方程：(sL + R)I(s) = V0/[(s^2 + ω^2)]其中，I(s)是电流的拉普拉斯变换，s是复变函数。
通过求解代数方程，我们可以得到电流的拉普拉斯变换表达式：I(s) = V0/[(s^2 + ω^2)(sL + R)]然后，我们可以通过拉普拉斯逆变换将I(s)转化为时间域的电流i(t)。
电路微分方程解法
下面给出过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种情况下电路方程的响应曲线,可以瞧出,三种情况下的稳态值相同。
另外,我们再给出衰减振荡(欠阻尼)与等幅振荡(零阻尼)情况下的响应曲线示意图。
7
一、定义
所谓“二阶电路的冲激响应”。实际上就是零状态的二阶电路在冲激源的作用下所产生的响应,即为二阶电路在冲激源作用下,建立一个初始状态后产生的零输入响应。
第七章
用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路,二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路,比如两个电容(电感)串(并)联情况。
重点:
1．电路微分方程的建立
2．特征根的重要意义
3．微分方程解的物理意义
难点:
1．电路微分的解及其物理意义
2．不同特征根的讨论计算
7
一、二阶齐次微分方程的通解形式
电容电压虽然为零,但其变化率不为零( , ),电路中的电流从I0逐渐减小,电容在电流的作用下被充电(电压的极性与以前不同),当电感中的电流下降到零的瞬间,能量再度全部存储在电容中,电容电压又达到,只就是极性与开始相反。
之后电容又开始放电,此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反,与刚才的过程相同,能量再次从电场能转化为电磁能,直到电容电压的大小与极性与初始情况一致,电路回到初始情况。
由此可见, 与 均为随着时间衰减的指数函数,电路的响应为非振荡响应。其中当电流的变化率为零的时刻 时电流达到最大值。
而:
3.过阻尼时的响应曲线
二、临界阻尼情况
1.临界阻尼的条件
当 ,即 ( )时,特征根 、 为相等的负实数p;此时固有频率为相等的负实数,
2.临界阻尼时的响应
当方程的特征根相同时, ,然后可以按照初值求取待定系数;也可以利用非振荡放电过程的解,令 ,取极限得出。
系统微分方程的建立
用解析法建立运动方程的步骤是： 1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确 定出待研究元件或系统的输入量和输出量； 2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手）， 依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写 各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就 是考虑后一级对前一级的影响。 3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输 出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：① 将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有 关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列； ③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定 物理意义的系数。
微分方程式的编写
• 例 RC电路 • 取u1为输入量,u2为输出量
u1 (t ) Ri u 2
u2 q C
dq i dtຫໍສະໝຸດ du 2 RC u 2 u1 dt
(完整版)关于微分方程计算过程说明
(完整版)关于微分方程计算过程说明关于微分方程计算过程说明
本文档将详细说明微分方程的计算过程，包括求解和验证结果的方法。
微分方程是描述物理、工程以及其他领域中变化和变量关系的重要工具。
1. 微分方程的基本概念
微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程。
常见的微分方程类型包括一阶和二阶线性微分方程、常微分方程和偏微分方程。
2. 微分方程的求解过程
求解微分方程的过程可以分为以下几步：
步骤1: 确定微分方程的类型和阶数
根据给定的方程形式，确定微分方程是一阶还是二阶，线性还是非线性。
步骤2: 分离变量或应用变换
根据微分方程的类型，可以尝试使用分离变量、线性变换、特殊变换等方法，将方程转化为更容易求解的形式。
步骤3: 求解微分方程
根据转化后的方程形式，使用数值方法或解析方法求解微分方程。
常见的求解方法包括分析解法、数值解法等。
步骤4: 验证解的正确性
将求解得到的解代入原方程，验证是否满足微分方程的要求。
如果方程对解成立，则解是正确的。
3. 微分方程的应用
微分方程在多个领域有着广泛的应用，例如：
- 物理学中，微分方程可以描述自然界中的运动、振动、热传导等现象。
- 工程学中，微分方程可以用于建模、控制系统设计等方面。
- 经济学中，微分方程可以用于分析经济变化、市场模型等。
结论
微分方程是一种重要的数学工具，其求解过程需要根据方程类型和阶数来确定适当的求解方法，并且需要验证解的正确性。
微分方程在多个领域中有广泛的应用，具有重要的理论和实际意义。
电路微分方程解法
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：aac b a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，t p t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pt e t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e e y t t j ω+ω==δ-ω+δ-二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ωβ-β=β-sin cos j ej2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j e e t 7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dtdi），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
电路理论-5_2一般电路系统IO微分方程的建立和求解讲解
N (P)
N (P)
(2) 广义阻抗
电阻 电容
电感
R 因为uR (t) ZR (P)iR (t) ZR (P) R
1 CP
因为
uC
(t)
1 C
t
iC
(t)dt
1 CP
iC
(t)
ZC
(P)iC
(t)
ZC
( P)
1 CP
LP
0.5iC (t) 0.5uL (t)
[
iC
(t)
C
duC (t) dt
,
uL
(t)
L
diL (t)] dt
diC (t) dt t0
0.5iC (0 ) 0.5uL (0 ) 2
(2) 有强迫跃变时电路初始条件的确定(不满足换路定律情况):
当电路中有冲击电流（或阶跃电压）强迫作用于电容， 或冲击电压（或阶跃电流）强迫作用于电感，这时iC→∞， uL →∞，即电路发生了强迫跃变，换路定律不成立，上述方 法失效。通常有两种情况：
ⅰ. 电路形式有强迫跳变可能性；
ⅱ. 激励信号为奇异信号时初始条件确定。
ⅰ. 电路形式有强迫跳变可能性情形
电路有强迫跃变的特点： 1) 存在全部由纯电容组成的闭合回路； 2) 存在由纯电容和理想电压源组成的闭合回路；
+ Us(t)
-
+
-
Us(t)
-
3) 存在有全部由含电感的支路组成的节点(割集)； 4) 存在含电感的支路和理想电流源组成的节点(割集) 。
ⅰ 引入广义阻抗于电路 ⅱ 列节点方程，网孔方程 ⅲ 用克莱姆法则求解,将微积分方程组化为一元高阶微分
系统微分方程的建立
ur
u1
R1
C1
i1
uc
R2
C2
i2
r
u
输入
c
u
输出
消去中间变量可得：
问题：
显然，这个结果是错误的。这是为什么呢？
这是一个两级的RC网络，能否先写出两个单级RC网络的微分方程，再消去中间变量，从而得到整个网络的微分方程呢？
我们来试一下，由上例结果可得：
ur
u1
R1
C1
i1
uc
R2
C2
i2
r
u
输入
从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理(或化学)定律，列出在变化过程中的动态微分方程组。
消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程。
列写微分方程式的方法步骤如下：
注意：负载效应
根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出变量。 基尔霍夫定律，牛顿定律，热力学定律，能量守恒定律
系统的数学模型能用线性微分方程描述
线性系统
线性系统的特点：可以运用叠加原理。
叠加原理：系统在几个外加作用下所产生的响应，等于各个外加作用单独作用的响应之和
用非线性方程描述的系统称~，它不能使用叠加原理 对于非线性问题通常采用如下的处理途径 线性化：在工作点附近将非线性函数用泰勒级数展开，并取一次近似 忽略非线性因素，如消除机械间隙，或用补偿反复消除间隙的影响 对非线性因素，若不能简化和忽略，就需用非线性系统的分析方法来处理
若电路有分支，它就有节点，则汇聚到某节点的所有电流的代数和应等于零。
基尔霍夫电流定律
电气系统
R
i(t)
u(t)
C
i(t)
u(t)
简述建立微分方程的一般步骤
简述建立微分方程的一般步骤建立微分方程是研究数学建模和物理问题的重要方法，它能够描述自然现象、工程问题和经济现象等，通过数学模型的建立，可以求解相应的微分方程来获得问题的解析解或数值解。
下面将简要介绍建立微分方程的一般步骤。
一、问题的分析和建模：建立微分方程的第一步是对问题进行仔细的分析和审视，明确问题的性质、要求和约束条件等。
然后根据问题的特点，选择适当的数学模型进行建模。
数学模型分为确定性模型和随机模型，确定性模型基于确定性关系描述问题的行为，而随机模型则基于概率论描述问题的随机性行为。
二、定义变量和关系：在建立数学模型之前，需要定义所需的变量和它们之间的关系。
这些变量可以是时间、空间、强度、速度等物理量。
关系可以使用线性关系、非线性关系或微分关系来描述，并且可以是常微分方程或偏微分方程，具体取决于问题的性质和要求。
三、进行合理的假设：在建立数学模型时，通常需要进行一些合理的假设，以简化问题的复杂性。
假设可以是物理上的近似，也可以是数学上的简化。
合理的假设可以使问题的分析和求解更加容易和快速。
四、应用物理定律和数学关系：在数学建模的过程中，需要应用物理定律和数学关系来描述事物之间的相互作用和变化。
对于物理问题，常见的相关定律包括牛顿定律、欧姆定律、热传导定律等；对于数学关系，常见的包括导数、积分、微积分中的基本定理等。
根据问题的特点和要求，选择合适的物理定律和数学关系进行应用。
五、将现有的关系转化为微分方程：在应用物理定律和数学关系的基础上，将问题中已知的关系转化为微分方程。
这一过程涉及到微分运算、积分运算和代数运算。
通常需要使用导数或偏导数来表示物理变量的变化率，然后使用代数关系来将不同变量联系起来。
最终得到的微分方程称为问题的数学描述。
六、确定边界条件和初值条件：建立微分方程后，需要确定相应的边界条件和初值条件。
边界条件是在方程适用区域边界上给出的条件，用于限制解函数的取值；初值条件是在方程适用区域内某一点给出的条件，用于确定解函数的初始状态。
微分方程的建立与求解
在航空和航海领域，微分方程用于描述流体 运动规律，如飞机和船舶的气动性能和流体 动力性能。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
通过建立微分方程，可以描述一 个国家或地区的经济增长率与时 间的关系。
在金融领域，微分方程可以用来 描述股票价格的变化规律，以及 最优投资组合的选择问题。
在工程学中的应用
控制理论
在自动化控制系统中，微分方程用于描述系 统的动态特性，如传递函数和状态方程。
航天器轨道
在航天工程中，微分方程用于描述航天器的轨道运 动，如地球同步轨道和太阳同步轨道等。
幂级数法
总结词
通过将解表示为幂级数的形式，逐步逼近精 确解。
详细描述
幂级数法是将微分方程的解表示为幂级数的 形式，通过逐步展开幂级数逼近精确解。这 种方法适用于具有特定形式的微分方程，如 形如y'' + y = 0的方程。通过选择适当的幂 级数形式，可以逐步逼近精确解，得到微分
方程的近似解。
04
热传导方程
在研究热量传递规律时，热传导 方程描述了温度随时间和空间的 变化规律。
波动方程
描述波动现象（如声波、光波、 电磁波等）的运动规律，是偏微 分方程的重要应用之一。
在经济学中的应用
01
供需关系
微分方程可以用来描述市场供需 关系的变化，分析价格与数量的 动态关系。
02
经济增长模型
03
投资组合优化
通过几何关系建立微分方程
曲线和曲面
通过几何关系，如曲线的长度、曲率或曲线的变化率，可以建立微分方程。同 样，曲面的一些性质，如面积或体积，也可以通过微分方程来描述。
运动轨迹
描述物体运动轨迹的微分方程可以通过速度和加速度的几何关系来建立。
微分方程的建立方法和步骤(精)
广州大学机械与电气工程学院
实践环节3
（3）已知机械旋转系统如图所所示，试列出系 统运动方程。
广州大学机械与电气工程学院ห้องสมุดไป่ตู้
微分方程式 的建立
克希霍夫电流定律：
广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
克希霍夫电压定律：
广州大学机械与电气工程学院
微分方程式 的建立
广州大学机械与电气工程学院
实践环节4
广州大学机械与电气工程学院
用解析法列写系统微分方程的一般步骤：
1.根据实际工作情况，确定系数和各元件的输入、 输出变量。 2.从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各 变量所遵循的物理化学定理，列写出动态方程。 一般为微分方程。 3.消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方 程。 4.标准化。
非线性微分方程的线性化
广州大学机械与电气工程学院
微分方程的建立方法和步骤
控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量） 之间关系的数学表达式。在静态条件下（即变量各阶导 数为零），描述变量之间关系的代数方程叫静态数学模 型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫动态数 学模型。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解， 就可以得到系统的输出量的表达式，并由此对系统进行 性能分析。 因此建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的 首要工作。
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实践环节5
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df f ( x ) y=f(x） dx
1 d2 f x x ( x x ) 2! dx 2
2 ( x x ) x x
y y k(x x) y y k(x x)
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ZL
(P)iL
(t)
ZL (P) LP
(3) 建立电路微分方程的方法 理论依据：
ⅰ 电路与系统整体应满足物理规律：KCL,KVL ⅱ 电路与系统局部应满足物理规律：VCR
方法步骤： 方法1：
ⅰ 引入广义阻抗于电路 ⅱ 列节点方程，网孔方程 ⅲ 用克莱姆法则求解,将微积分方程组化为一元高阶微分
式中，a0、a1、…、an-1、an与b0、b1、…、bm-1、bm为常数，它 们取决于元件的数值和系统的内部结构，而与外加激励无关。
对于一切用物理可实现的系统，输入与输出的导数最 高阶次n和m都必须满足不等式：n≥m。
数量n称为系统的阶，它等于系统中独立动态元件的个 数或独立初始条件的个数。
5.2.2 初始条件的确定
例5.8 已知电路如图所示，开关K闭合前电路已处于稳态，当
t=0时，开关K闭合，求初始条件： iC (0 ) ,
diC (0 ) dt
解：1) 作出t=0-时等效电路，求出
K
i(t) iL(t)
uC(0-) 和iL(0-) ：
t=0 + iC(t)
uiLC((00))00
R1 1
+
C - 1F L 1H
P2 GP
1 L
un1(t) un2 (t )
Pis (t 0
)
3）将微分方程组化为一元高阶微分方程（用克莱姆法则）
(C
CM
)
P
2
GP
1 L
u2 (t )
un2
2
CM P2 det
CM P3is (t)
[(C
CM
)P2
GP
1 L
]2
(CM
P2
)2
Pis (t) 0
即：
{(C
2
通常电路与系统给定的已知条件，是换路前(t=0-)瞬间的状 态即起始状态，而我们要求的初始条件是指换路后(t=0+)瞬间的 状态(初始状态)，即y(0+)、y(1)(0+) … y(n-1)(0+)，只有确定了它们 之后，才能求解微分方程。
(1) 没有强迫跃变时电路初始条件的确定(满足换路定律情况)：
所以 (R1 R2 )iC (t) US uC (t) R1iL (t)
即 iC (t) 2 0.5uC (t) 0.5iL (t)
微分得
diC (t) dt
0.5iC (t) 0.5uL (t)
[
iC
(t)
C
duC (t) dt
,
uL
(t)
L
diL (t)] dt
diC (t) dt t0
所以 C1U1 (0 ) C2U2 (0 ) C3U3 (0 ) 0 (a)
3) 根据基尔霍夫定律对两个回路列KVL方程
UU12((00))
U2 U3
(0 (0
) )
U 0
s
4) 联解(a)、(b)、(c)式得
(b)
(c)
K
+U1- A +U3-
U1 (0 )
C2 C3 C1 C2 C3
注意：双耦合电路本有5个动态元件，但微分方程为4阶，是因 为有一个全电容回路，即独立动态元件数只有4个。所以为4阶。
强调： 1）虽然复阻抗Z(s)与算符广义阻抗Z(P)形式相同，但物理本质
不同，Z(s)有明确的物理意义，而Z(P)只是一种数学符号。 2）变量s是复频率s=δ+jω，物理意义明确，在运算中可按代数
RR22 11 RR33 11
3)iC根(0据 )电路R1U方S程R2和t1=40+1时电2 (路A初) 始uL状(0态 ) ， R确2i定C (0微 )分初1始2 条 2件(Vd)iCd(t0 ) 因为 R1i(t) uC (t) R2iC (t) US
i(t) iC (t) iL (t)
1) 列出电荷守恒方程式
在t=0-时，与A点相连的各电容极板上的总电荷为0，开关闭 合后， 满足电荷守恒定律，所以：
∑q(0+)= ∑q(0-)=0
q1 (0 ) q2 (0 ) q3 (0 ) q(0) q(0 ) 0
2)因为
q1 (0 ) C1U1 (0 ) q2 (0 ) C2U2 (0 ) q3 (0 ) C3U3 (0 )
Us
4V
-
R2 1 R3 1
2) 作出t=0+时等效电路，求出iL(0+)和uC(0+)。
因为电路中无强迫跃变，可以由
换路定律得
uiLC((00))iLu(C0(0)
)
0
0
所以t=0+时等效电路如图，因此
RR11 11
UUss
++ --
44VV
ii((tt)) iiLL((tt))
+ C-
iiCC((t0) +) 1F uLL(0+1)H
即：若 Pf1(t)=Pf2(t), 则 f1(t)=f2(t)+A 即 f1(t) f2(t) 这是因为同时积分要多一个常数。
ⅱ积分算子P－1左乘一个P时，分子分母中的P可以相消，
而积分算子P－1右乘一个P时，分子分母中的P不可以相消; 即：PP－1＝1 而 P－1 P1
PP1 f (t) d t f ( )d f (t)
输入f(t)
系统黑箱 模型
输出y(t)
这就是所谓黑箱模型。至于系统黑箱内可以是电网络系统， 也可以是其它物理系统、生态系统或经济系统，等等。
这种描述方法称为系统时域的输入——输出描述法，并用如 下定义来表述
定义：任意一个LTI单I/O电路系统，可以用下列表示其输入f(t) 与输出y(t)之间关系的一元n阶微分方程来描述：
US
U2
(0
)
U3 (0
)
C1
C1 C2
C3
US
t=0 +
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(1) (t) a0 y(t) bm f (m) (t) bm1 f (m1) (t) b1 f (1) (t) b0 f (t)
或者表示为微分算符形式
[Pn an1Pn1 a1P a0 ]y(t) [bm pm bm1Pm1 b1P b0 ] f (t)
方法运算。而P是一种数学符号，无物理意义，也不是变量， 在运算中必须遵守其运算规则。
例2：已知双耦合电路如图，试建立输出响应i2(t)的微分方程
++
CC
M
L
L
CC
ii22((t)t)
ee((t-t)-)
i1(ti)1(t)
M
L
di2(t) +
RR dt -
L i2(t)
+
i2(t)
RR
-
M
di1(t) dt
N (P)
N (P)
(2) 广义阻抗
电阻 电容
电感
R 因为uR (t) ZR (P)iR (t) ZR (P) R
1 CP
因为
uC
(t)
1 C
t
iC
(t)dt
1 CP
iC
(t)
ZC
(P)iC
(t)
1
ZC (P) CP
LP
因为
uL
(t)
L
diL (t) dt
LPiL (t)
2CCM
)P
4
2G(C
CM
)
P
3
[
2(C
L
CM
)
G
2
]P
2
2G L
P
1 L2
}u2
(t)
CM
P3is
(t)
(C
2
2CCM
)
d
4u2 (t dt 4
)
2G(C
CM
)
d
3u2 (t dt 3
)
[ 2(C
CM L
)
G
2
]
d
2u2 (t dt 2
)
2G L
du2 (t) dt
1 L2
u2 (t)
CM
d 3is (t) dt 3
LP2 RP 1 Pe(t)
C
MP 2 i2 (t) LP2 RP 1
C
0
MP3e(t)
MP 2
(LP2 RP 1 )2 (MP 2 )2
C
MP 2
LP2 RP 1
C
[(L2
M
2
)P4
2RLP
3
(R2
2
L C
)P2
2
R C
P
1 C2
]i2
(t)
MP 3e(t )
[(L2
M 2)
+ Us(t)
Is(t)
-
方法步骤：
ⅰ. 对含电容节点列电荷守恒方程 (含电感回路列磁链守恒方
程) 。
q(0 ) q(0 )
(0 ) (0 )
ⅱ. 将q＝CuC (Φ=LiL)代入方程ⅰ。 ⅲ. 根据KVL列回路方程(根据KCL列节点方程) 。 ⅳ. 对ⅱ和ⅲ联解，即求得电路初始条件。
K
解 选用网孔电流i1(t)、i2(t)为变量，作出其等效电路图如上图 所示。据KCL，KVL和VCR利用网孔法写出电路方程组：
L
di1(t) dt
Ri1(t)
1 C
t
i1( )d
M
di2 (t) dt
e(t)
(1)
L
di2 (t dt
)
Ri2