勾股定理应用题
第3章《勾股定理》 ：3.1 勾股定理(1)(含答案)
第3章《勾股定理》：3.1 勾股定理（1）选择题1．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6（第1题）（第2题）2．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A． 5 +1 B．- 5 +1 C． 5 -1 D． 5填空题3．如图，半圆的直径AB= ．（第3题）（第4题）（第5题）4．如图，正方体的棱长为 2 cm，用经过A、B、C三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是 cm．（第6题）（第7题）（第12题）5．有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1=度时，电线杆与地面垂直．6．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠a=度．7．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为．（第13题）（第14题）（第15题）8．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为．9．已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12cm，则△ABC的角平分线AD的长是 cm ．10．已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 cm ．11．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3cm，AB= cm ．12．在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．13．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn= 度．14．如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF 为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为．15．图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为．16．已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是．17．等腰直角三角形的腰长为 2 ，则底边长为．18．等腰直角三角形的底角为度．19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D点到直线AB的距离是 cm．（第19题）（第21题）（第22题）20．已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为．21．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD= cm．22．下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．（第23题）（第24题）（第25题）23．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为．（精确到0.01）24．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是 cm2．（第26题）（第27题）25．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为．26．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D′，则BD′=．27．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）2的值是．（第28题）（第29题）28．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是．29．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是．30．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．答案：选择题1．故选A．考点：勾股定理的证明．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．解答：解：过D点作DE⊥BC于E．∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD=BD2−AB2 =52−42 =3，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴点D到BC的距离=AD=3．故选A．点评：本题利用勾股定理和角平分线的性质．2．故选C．考点：勾股定理；实数与数轴．分析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．解答：解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：12+22 = 5 ，∴-1到A的距离是 5 ，那么点A所表示的数为： 5 -1．故选C．点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．填空题3．故答案为2 2 ．考点：实数与数轴；勾股定理．专题：数形结合．分析：由图可知OE与OD、AC的长，再由勾股定理可得圆的半径OC的大小，进而可得半圆的直径AB的值．解答：解：连接OC，由图可知：OD=CD=1，由勾股定理可知，OC=OD2+CD2 =12+12 = 2 ，故半圆的直径为2 2 ，故答案为2 2 ．点评：此题很简单，解答此题关键是熟知勾股定理，理解题意．4．故填6厘米．考点：截一个几何体；勾股定理．专题：压轴题．分析：由图可知：所得的截面的周长=AC+BC+AB，正方体中，AC=BC=AB，所以只要求出正方体一面的对角线长度即可得出截面的周长，根据勾股定理，AB=( 2 2)+( 2 2) =2，因此，截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm．解答：解：根据勾股定理，AB=( 2 )2+( 2 )2 =2，∴截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm，即截面的周长为6厘米．点评：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．要利用本题中截面的特殊性求解．5．故答案为：60．考点：垂线；直角三角形的性质．专题：应用题．分析：将∠1的一边延长，找∠1的对顶角与30°，90°的关系，再根据对顶角相等求∠1．解答：解：如图，要使CB⊥AB，则在△ABC中，∠CBA=90°，∴∠1=∠ACB=90°-30°=60°．故答案为：60．点评：解答本题的关键是构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．6．故答案为：75°．考点：三角形的外角性质；直角三角形的性质．分析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．解答：解：由图可知，∠ACD=∠B+∠BAC=45°∴∠BAC=45°-30°=15°∴∠α=90°-15°=75°．点评：解决此题的关键是熟练运用直角三角形的性质．7．故填6．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB-AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．解答：解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6根据勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3 2 ，∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴AC=AE=3 2 ，DE=CD∴EB=AB-AE=6-3 2故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6-3 2 +3 2 =6．点评：此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．8．底边上的高为4．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理不难求得底边上的高．解答：解：根据等腰三角形的三线合一，知：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线．即底边的一半是3，再根据勾股定理得：底边上的高为4．点评：考查等腰三角形的三线合一及勾股定理的运用．9．故应填8．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：由已知可以得到等腰三角形被它的顶角的平分线，平分成两个全等的直角三角形，可以利用勾股定理来求解．解答：解：如图，由等腰三角形的“三线合一”性质，知AD⊥BC，且BD=CD，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=12BC=6，∴AD=AB2−BD2 =102−62 =8（cm）．故应填8．点评：命题立意：此题主要考查等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理．10．故应填 3 cm．．考点：等边三角形的性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解高．解答：解：根据等边三角形：三线合一，所以它的高为：22−12 = 3 cm．点评：考查等边三角形的性质及勾股定理，较为简单．11．故填答案：6．考点：直角三角形的性质．分析：根据直角三角形的性质即可解答．解答：解：如图：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A∴∠A+∠B=90°∴∠A=30°，∠B=60°∴BCAB =12，∵BC=3cm，∴AB=2×3=6cm．故填答案：6．点评：此题较简单，只要熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解答．12．故填130°．考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析：根据直角三角形的两个锐角互余和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和的性质计算．解答：解：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠AEB=90°∴∠ABE=90°-50°=40°∴∠BPC=∠ABE+∠BDP=40+90=130°．故填130°．点评：本题考查了直角三角形的性质，及三角形的内角和定理及其三角形外角的性质．13．故应填2n-2． 考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出S n 的表达式．解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=12=2-1； 根据勾股定理，得：AB= 2 ，则S 2=1=20；A 1B=2，则S 3=21，依此类推，发现：S n =2n -2．点评：本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．14．故应填( 2 2 )n ． 考点：等腰直角三角形． 专题：压轴题；规律型．分析：通过直角三角形的性质特点，斜边上的高等于斜边的一半，再分析规律，便能计算出答案了．解答：解：∵等腰直角△ABC 直角边长为1， ∴斜边长为12+12 = 2 ．斜边上的高也是斜边上的中线，应该等于斜边的一半． 那么第一个等腰直角三角形的腰长为 2 2； ∴第二个等腰直角三角形的斜边长=2×( 2 2 )2 =1． ∴第二个等腰直角三角形的腰长=12 =( 2 2)2， 那么第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ． 故第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ． 点评：解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质得到其他等腰直角三角形的表示规律．15．故答案为：2n．考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：利用勾股定理，分别把图中直角三角形的斜边求出，从中即可发现规律．解答：解：根据勾股定理，在①中，斜边是 2 ，在②中，斜边是2+2 =22，在③中，斜边是4+4 =23，以此类推，则第n个等腰直角三角形中的斜边是2n．点评：此题要结合图形熟练运用勾股定理计算几个具体值，从中发现规律．16．故答案为：等腰直角三角形．考点：等腰直角三角形．分析：已知△ABC是轴对称图形，则△ABC是等腰三角形，且三条高的交点恰好是C点，故△ABC是直角三角形；故△ABC的形状是等腰直角三角形．解答：解：△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是等腰直角三角形．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．17．故答案为：2．考点：等腰直角三角形．分析：已知等腰直角三角形的腰长为 2 ，则根据等腰直角三角形的性质及直角三角形的性质即可求得底边的长．解答：解：∵等腰直角三角形的腰长为 2 ，∴底边长为( 2 )2+( 2 )2 =2．点评：主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质．18．故答案为：45°．考点：等腰直角三角形．分析：根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理解答．解答：解：∵∠C=90°，AC=AB∴∠A=∠B=45°．点评：此题较简单，只要熟知根据等腰直角三角形的两底角相等且互余即可解答．19．故答案为：6cm．考点：勾股定理；角平分线的性质．分析：首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得D到AB得距离等于CD的长．解答：解：∵AD=10cm，AC=8cm∴CD=6cm∵AD平分∠CAB∴D点到直线AB的距离=CD=6cm点评：运用了勾股定理以及角平分线的性质．20．故答案为：5或7 ．考点：勾股定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．解答：解：设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42=x2，所以x=5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2=42，所以x=7 ；所以第三边的长为5或7 ．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．21．故答案为：4cm．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．解答：解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=AB2−BD2 =52−32 =4cm．点评：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得．22．故答案为：76．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．解答：解：设将AC延长到点D，连接BD，根据题意，得CD=6×2=12，BC=5．∵∠BCD=90°∴BC2+CD2=BD2，即52+122=BD2∴BD=13∴AD+BD=6+13=19∴这个风车的外围周长是19×4=76．点评：本题主要考查勾股定理的应用及识图能力．23．故答案为：6.71，考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质．专题：压轴题；跨学科．分析：要求从A到B光线经过的路线的长度利用光学反射原理得到∠ACO=∠BCX，这样找出A关于x轴的对称点D，则D、C、B在同一条直线上，再过B作BE⊥DE 于E，构造直角三角形，然后利用勾股定理就可以求出．解答：解：延长BC交y轴于D，过B作BE⊥DE于E，根据光学反射原理得∠ACO=∠BCX，而∠BCX=∠DCO∴∠ACO=∠DCO∴△ACO≌△DCO∴AC=DC∴OD=OA=1．在直角△DBE中，BE=6，DE=2+1=3，∴DB=BE2+DE2 =62+32 =45 ≈6.71，∴光线从A到B经过的路线的长度约是6.71．点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目．24．故答案为：27．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：本题考查直角三角形的性质和勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理解答．解答：解：∵两块三角尺是有30°的相同的直角三角尺，∠ABC=∠EBD=30°，AC AB =12，cos∠ABC=cos30°=BCAB=32，∴AB=BE=2AC=2DE=2×6=12，BC = 32×AB=32×12 = 6 3 ，∴BD=6 3 ，过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE=30°，∴DFBD = DF6 3=12， DF=3 3 ，∴S△B C D=12BC•DF=12×6 3 ×3 3 =27cm2．故答案为：27．点评：本题是一道根据直角三角形的性质结合勾股定理求解的综合题，求高DF 除上述方法外，还可根据面积法列方程解答．25．故答案为：2 3 ．考点：勾股定理；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：作DF⊥CE于F，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．解答：解：过D作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1．在直角三角形CDF中，根据勾股定理，得：DF2=3．在直角三角形BDF中，BF=BC+CF=2+1=3，根据勾股定理得：BD=9+3 =2 3 ．点评：熟练运用等腰三角形的三线合一和勾股定理．26．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；轴对称的性质．专题：压轴题．分析：根据已知条件发现等腰直角三角形ABC，再根据轴对称的性质得到等腰直角三角形DCD′，最后根据勾股定理计算B D′的长．解答：解：根据题意，得∠ACB=45°再根据轴对称的性质，得△CDD′是等腰直角三角形．则CD′=CD=1，在直角三角形BCD′中，根据勾股定理，得BD′= 5 ．点评：此题考查了勾股定理，以及轴对称的基本性质，难易程度适中．27．故答案为：25．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．解答：解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×12ab=13-1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故答案为：25．点评：注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．28．故答案为：a2．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据勾股定理知，以两条直角边为边作出的两个正方形面积和等于以斜边为边的正方形面积．解答：解：如图，由勾股定理可知，正方形A与B 的面积和等于正方形M的面积．正方形C与D的面积和等于正方形N的面积．并且正方形M与N的面积和等于最大的正方形的面积．因此A、B、C、D的面积之和是为最大正方形的面积=a2．点评：本题考查了勾股定理的意义及应用．29．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；直角三角形全等的判定．专题：压轴题．分析：两直角三角形的斜边是正方形的两边，相等；有一直角对应相等；再根据正方形的角为直角，可得到有一锐角对应相等，易得两直角三角形全等，由三角形全等的性质可把2，1，正方形的边长组合到直角三角形内得正方形边长为22+12 = 5 ．解答：解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°，而AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，∴△AMB≌△BCN，∴BM=CN，∴AB为22+12 = 5 ．点评：本题考查勾股定理及三角形全等的性质应用．30．故答案为：30cm2．考点：勾股定理．分析：直角三角形的面积的计算方法是两直角边乘积的一半，因而由勾股定理先求出另外一条直角边，再求面积．解答：解：∵另一条直角边长=12cm∴三角形的面积是=12×12×5=30cm2．点评：本题考查了勾股定理，面积的计算公式是解题的关键．。
北师大版八年级上第一章勾股定理(附习题和答案)
第一章 勾股定理1、勾股定理（性质定理）直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、勾股定理的逆定理（判定定理）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c ；（2）验证c 2和a 2＋b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2＞a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2＜a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
经典的勾股数：3、4、5（3n 、4n 、5n ） 5、12、13（5n 、12n 、13n ） 7、24、25（7n 、24n 、25n ） 8、15、17（8n 、15n 、17n ） 9、40、41（9n 、40n 、41n ） 11、60、61（11n 、60n 、61n ） 13、84、85（13n 、84n 、85n ）例1. 如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．5练习1：如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C'处，BC'交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为( )A.3B.4C.5D.6FEDCBACA B E D练习2：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为例 2. 三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是 ( ).A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、等边三角形练习1：已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)8100a b c -+-+-=，则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形练习2：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．例3. 将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）． A ．h ≤17cm B ．h ≥8cm C ．15cm ≤h ≤16cm D ．7cm ≤h ≤16cmCABD练习：如图，圆柱形玻璃容器高20cm ，底面圆的周长为48cm ，在外侧距下底1cm 的 点A 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm 的点B 处有一只 苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为________.例4. a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由练习：已知直角三角形的周长是62 ，斜边长2，求它的面积．例5. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析
初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析！_梯子_正方形_的底部题型一：利用勾股定理进行线段计算如果单独考查勾股定理，通常是给我们送分的，非常简单，我们只有熟记勾股定理的公式、常见的勾股数，以及常见的特殊rt△的三边比例，即可以轻松解出题目。
【例1】一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从ab位置滑到cd位置）？【分析】本题是常见的梯子滑动问题，是勾股定理结合实际问题产生的题型。
英对实际问题，我们需要实际问题抽象成简单的几何图形，再利用勾股定理解答。
题目要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度ao，且三角形aob，三角形cod均为直角三角形．可以运用勾股定理求解．解：在直角三角形aob中，根据勾股定理ab 2=ao 2+ob 2，可以求得：oa= =2.4米，现梯子的顶部滑下0.4米，即oc=2.4-0.4=2米，且cd=ab=2.5米，所以在直角三角形cod中，即do= =1.5米，所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米-0.7米=0.8米．答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米．题型二：勾股定理的证明过程勾股定理的证明过程同样是勾股定理的一个常考点。
因此我们同样要熟知勾股定的常见证明过程。
这个需要同学们查看课本，回忆整个证明过程。
下面给出常见的考题类型。
【例2】《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图（1））．设每个直角三角形中较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c。
（1）利用图（1）面积的不同表示方法验证勾股定理．（2）实际上还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性．试写出图（2）所表示的代数恒等式：（）；（3）如果图（1）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．【分析】（1）如图（1），根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）5个矩形，长宽分别为x，y；两个边长分别为y的正方形和两个边长为x的正方形，可以看成一个长宽为x+2y，2x+y的矩形；（3）利用（1）的结论进行解答．解：（1）图（1）中的大正方形的面积可以表示为c 2，也可表示为（b-a）2+4× ab∴（b-a）2+4× ab=c 2化简得b 2-2ab+b 2+2ab=c 2∴当∠c=90°时，a 2+b 2=c 2；（2）（x+y）（x+2y）=x 2+3xy+2y 2（3）依题意得 a2+ b2＝ c2＝13 ( b− a) 2＝1 则2ab=12∴（a+b） 2=a 2+b 2+2ab=13+12=25，即（a+b） 2=25．中考数学答题要点归纳，考前看这一篇就够了！中考数学复习9种题型答题模板+易错题练习，含答案！初中数学7-9年级，21个逢考必出的知识点，初中三年都适用！初中数学7-9年级，必考应用题分类+数量关系大全！初中数学复习，整式运算的几何背景与应用，常考题型解析！。
勾股定理题库
勾股定理题库一、选择题。
1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△BAC的平分线.已知AB= 5，AD= 3，则BC的长为( )。
A.5B.6C.8D.102.如图，已知两个正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为( )。
A.4B.8C.64D.163.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )。
A.5B.6C.7D.84.下列各组数中，是勾股数的是( )。
A.1，2，3B.0.3，0.4，0.5C.9，40，41D.-6，-8，-105.在△ABC中，△A，△B，△C的对边分别是a，b，c，若△B＝90°，则下列等式中成立的是( )。
A.a2+b2＝2c2B.b2+c2＝a2C.a2+c2＝b2D.c2-a2＝b26.若△ABC的三边长a，b，c满足(a−b)2+|a2+b2−c2|=0，则△ABC的形状是( )。
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7.下面各图，不能用来验证勾股定理的正确性的是( )。
8.东海上一艘快艇欲驶向正东方向24 km远的A处，速度为50 km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，则此时快艇距离A处( )。
A.25 kmB.24 kmC.7 kmD.1 km9.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线上的D′处.若AB＝3，AD＝4，则ED的长为( )。
A.32B.3 C.1 D.4310.如图为某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5m，高为3m.计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要( )。
A.5mB.7mC.8mD.12m11.如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点A沿着侧面爬到上底面与点A相对的点B，已知圆柱体的底面半径为1cm，高为4cm，则蚂蚁爬行的最短路程（π取3）约为( )。
A.4 cmB.4.5 cmC.5 cmD.6 cm12.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a−b)2的值是( )。
八年级上册勾股定理测试题
八年级上册勾股定理测试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 在直角三角形中，如果两直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 82. 如果一个三角形的三边长分别为5、12和13，那么这个三角形是直角三角形吗？A. 是B. 不是3. 一个三角形的两边长分别为8和15，斜边的长度至少是多少？A. 17B. 16C. 14D. 无法确定4. 勾股定理只适用于直角三角形，这个说法是正确的吗？A. 正确B. 错误5. 直角三角形的斜边长度一定大于直角边的长度，这个说法是正确的吗？A. 正确B. 错误二、填空题（每题3分，共15分）6. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，斜边的长度是________。
7. 如果一个三角形的两边长分别为7和24，那么第三边的长度至少是________。
8. 在直角三角形中，如果斜边的长度是10，一条直角边的长度是6，另一条直角边的长度是________。
9. 勾股定理的公式是________。
10. 如果一个三角形的三边长分别为a、b和c，且c为斜边，那么根据勾股定理，a² + b²应该等于________。
三、计算题（每题5分，共20分）11. 已知直角三角形的两条直角边分别为5厘米和12厘米，求斜边的长度。
12. 一个三角形的三边长分别为15厘米、20厘米和25厘米，求证这个三角形是否为直角三角形。
13. 一个三角形的两边长分别为10厘米和24厘米，求斜边的最大长度。
14. 已知一个三角形的斜边长度为13厘米，一条直角边的长度为5厘米，求另一条直角边的长度。
四、解答题（每题10分，共20分）15. 一个梯形的上底为3米，下底为4米，高为5米。
求梯形的对角线长度。
16. 一个长方形的长为8米，宽为6米。
求这个长方形的对角线长度。
五、应用题（每题15分，共30分）17. 某建筑物的两墙之间的距离为9米，从一墙到另一墙的对角线距离为10米。
勾股定理应用题(1)
2.勾股定理实际问题应用1．若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( )A. 48 cm 2B. 36 cm 2C. 24 cm 2 cm 22．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米3．小明和小强的跑步速度分别是6m/s 和8m/s ，他们同时从同一地点分别向东、南练习跑步，那么从出发开始需__________s 可以相距160m4．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为 （ ）A.440 mB.460 mC.480 mD. 500 m5、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（ ）．A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm6．一架5m 长的梯子靠在一面墙上，梯子的底部离建筑物2m ，若梯子底部滑开1m ，则梯子顶部下滑的距离是___________(结果可含根号)7、有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm ，底面直径为20cm ， 蚂蚁爬行的速度为2cm/s. 如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒外对面中部点B 处的食物，那么它至少需要多少时间 (结果保留π)8.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程大约是 ( )A.6cmB.10cmC.14cmD. 18cm A · B· B ··9、如图，笔直的公路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路的AB 段上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在离A 点多远处10. 已知：如图①，在Rt △ABC 中，两直角边AC 、BC 的长分别为6和8，现将直角边AC沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 （ ） .3 C11. 在上题中的Rt △ABC 折叠，使点B 与A 重合，折痕为DE （如图②），则CD 的长为（ ）A.1.50B.1.75C.D.以上都不图（1） 图（2） 图（4） 图（6） A D E BC A CDE B 图② A C B D E 图① 30OB C A ·B · A12．如图（1），山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。
勾股定理的应用
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
如图，在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.
解：作如图所示 在Rt△ABC中 ,根据勾股定理 B
AB2 AC 2 BC 2
72 242 625
AB 25
25
24
上述解法正确吗？
A 274 C
BE C
= DE2- BE2 = (DE+BE)·( DE- BE) = (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·CDຫໍສະໝຸດ 如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，
∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
D
解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
C
又AD=8
∴BD=
1
AD=4
2
A
8
30°
B
在Rt△ABD中 ,根据勾股定理
AC 2 AB2 BC2 12 22 5 D C
因此,AC= 5 ≈2.236 2m
因为AC__大__于__木板的宽,
所以木板__能__ 从门框内通过.
AB
1m
及时练
如图，盒内长，宽，高分别是30米，24米和18米， 盒内可放的棍子最长是多少米？
18
24
30
一个3m长的梯子AB,斜
靠在一竖直的墙AO上,
如图，池塘边有两
点A、B，点C是与BA
方向成直角的AC方向 上一点，现在测得
B
CB=60m，AC= 20m ，
请你求出A、B两点间
的距离。(结果保留整
数）
A
20 60
C
《九章算术》：有一个水池， 水面是一个边长为10尺的正方 E 形，在水池正中央有一根芦 苇，它高出水面1尺，如果把 这根芦苇拉向水池一边的中 点，它的顶端恰好到达池边 的水面，请问这个水的深度 与这根芦苇的长度各是多少？
勾股定理常见练习题精修订
勾股定理常见练习题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]勾股定理应用题题型一：已知两边求第三边1、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm，82cm，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm．2、已知直角三角形的两边长为5、12，则另一条边长是________________．3、作出长度为10的线段。
4、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？针对练习1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，122、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或253、以面积为9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（）A．9 cm2 B．13 cm2 C．18 cm2 D．24 cm2题型二：利用勾股定理测量长度例1：如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例2：如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.AB例3：如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？题型三：转化思想例:如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为________ cm。
（π取3）题型四：利用勾股定理解决实际问题例:如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为多少米？巩固练习1、如图1，直角△ABC的周长为24，且AB:AC=5:3，则BC=（）A．6 B．8 C．10 D．12图1 图22、如图2，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米3、将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．5≤h≤12 B．5≤h≤24 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24 4、已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm24题 5题6题5、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积为（）A、36，B、22C、18D、126、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为64厘米2，则X的长为厘米。
勾股定理(解析版)
一、选择题（每小题3分，共30分）1.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为20【答案】A．解析：此题较简单关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理求出后直接选取答案．两直角边长分别为a=3和b=4，∴斜边c==52.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42或32 D．37或33【答案】C．解析：此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5∴BC=5+9=14∴△ABC的周长为：15+13+14=42；（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD===9，在Rt△ACD中，CD===5，∴BC=9﹣5=4．∴△ABC的周长为：15+13+4=32∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．3．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（）A．4cm B． cm C．6cm D． cm【答案】C【解析】根据含30度角的直角三角形求出AB，根据勾股定理求出BC即可．∵∠C=90°，∠B=30°，AC=2cm，∴AB=2AC=4cm，由勾股定理得：BC==6cm4．如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c【答案】D【解析】先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．根据勾股定理，得a==；b==；c==．∵5＜10＜13，∴b＜a＜c．5．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（）A．或B．或C． D．【答案】A【解析】因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当4为腰时，此时等腰三角形的边长为4、4、6；②当6为腰时，此时等腰三角形的边长为4、6、6；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用解直角三角形的知识求出高．∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，边长为4、6的等腰三角形有4、4、6与4、6、6两种情况，①当是4、4、6时，底边上的高AD===；②当是4、6、6时，同理求出底边上的高AD是=．6．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍【答案】A【解析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2=c2；另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为=2c．即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．7．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【答案】C.【解析】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.在图①中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2∴BC＝BD―CD＝8―2＝68.△ABC中，a、b、c是三角形的三条边，若（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形应是（）A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】先对已知进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．∵（a+b）2﹣c2=2ab，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．9.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．8，15，17 B．4，5，6C．5，8，10 D．8，39，40【答案】A【解析】此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2－a2=（c －a）（c+a）来判断。
勾股定理经典应用题整理
S 3S 2S 1CB A 勾股定理经典应用题1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（保留）是 多少2、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ， 梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′， 使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降 至B ′，那么BB ′（ ）．A ．小于1mB ．大于1mC ．等于1mD ．小于或等于1m3、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取 值范围是（ ）．A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm4、如图所示，以Rt △ABC 的三边向 外作正方形，其面积分别为 s 1、s 2、s 3,且s 1=4，s 2=8，则s 3= 。
AB5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
6、如图2，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m ，棚宽a=2.4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？7、如图3，已知长方形ABCD 中AB=8cm ，BC=10cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长．8、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后 分别到达B 、A 两点，且知AB ＝30海里，问乙船每小时航行多少 海里？ABCD7cm9、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）10、如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，……，a n，请求出a2，a3，a4的值；（2）根据以上规律写出a n的表达式．。
专题01 勾股定理的证明(解析版)
专题01 勾股定理的证明1．做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a ，b ，斜边为c ，再做3个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把它们按下图所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明勾股定理：a 2＋b 2＝c 2【答案】证明见解析【解析】【分析】根据不同图形拼成的两个正方形面积相等即可证明【详解】证明：①左图大正方形的边长为：a +b ，则面积为（a +b ）2，分成了四个直角边为a ，b ，斜边为c 的全等的直角三角形和一个边长为c 的小正方形，()22142a b ab c \+=´+；②右图大正方形的边长为：a +b ，则面积为（a +b ）2，分成了边长为a 的一个正方形，边长为b 的一个正方形，还有四个直角边为a ，b ，斜边为c 的全等的直角三角形，()222142a b a b ab \+=++´；综上所述：2142ab c ´+()222142a b a b ab =+=++´，即222+=a b c ．【点睛】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．2．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD 和AC 都可以分割四边形ABCD ）【答案】证明见解析【解析】【详解】如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，根据S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝S△ADB+S△DCB 即可求解．【解答】证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+12ab．又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝12c2+12a（b﹣a）∴12b2+12ab＝12c2+12a（b﹣a）∴a2+b2＝c2．【点睛】本题考查了等面积法证明勾股定理．解题得关键在于利用等面积法进行证明．3．如图，四边形ACFD是一个边长为b的正方形，延长FC到B，使BC＝a，连接AB，使AB＝C；E是边DF上的点且DE＝a．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b的式子表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2＝c2．【答案】(1)△ABE 是等腰直角三角形，证明见解析；（2）b 2；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意可以得到△ADE ≌△ACB ，从而得到△ABE 是等腰直角三角形；（2）由（1）可得四边形ABFE 的面积=正方形ACFD 的面积=b 2；（3）由（2）可得正方形ACFD 的面积=△ABE 的面积+△BEF 的面积，把a 、b 、c 代入上式即可整理得a 2+b 2＝c 2．【详解】解：(1)△ABE 是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ACFD 是正方形，∴AC =AD ，∠D =∠DAC =∠ACB =90°，∵CB =a =DE ，∴△ADE ≌△ACB ，∴AB =AE ，∠BAC =∠EAD ，∴∠BAE =90°，∴△ABE 是等腰直角三角形．(2)∵△ADE ≌△ACB ，∴四边形ABFE 的面积=正方形ACFD 的面积=b 2．(3)证明：∵四边形ABFE 的面积=△ABE 的面积+△BEF 的面积，∴正方形ACFD 的面积=△ABE 的面积+△BEF 的面积，∴()()221122b c b a b a =++-，∴22222b c b a =+-，∴a 2+b 2＝c 2．【点睛】本题考查正方形的综合应用，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定方法、三角形与四边形面积的灵活计算是解题关键 ．4．如图，小明用6个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD ，EFGH ，MNPQ 都是正方形，证明：222+=a b c ．【答案】见解析【解析】【分析】根据4BEF ABCD EFGH S S S =+V 正方形正方形，列式计算即可求解．【详解】证明：由图得：4BEF ABCD EFGH S S S =+V 正方形正方形，∴()22142a b c ab +=+´，整理得：22222a ab b c ab ++=+，∴222a b c +=．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，得到4BEF ABCD EFGH S S S =+V 正方形正方形是解题的关键．5．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，若AC b =，BC a =，请你利用这个图形说明222+=a b c ；【答案】见解析【解析】【分析】根据题意，可在图中找出等量关系，由大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【详解】解：∵大正方形面积为2c ，直角三角形面积为12ab ，小正方形面积为()2b a -，∴()222214222c ab b a ab b ab a =´+-=+-+，即222c a b =+．【点睛】本题考查了对勾股定理的证明，解决问题的关键是在图中找出等量关系．7．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD 中，BD ⊥CD ，AE ⊥BD 于点E ，且△ABE ≌△BCD ．求证：AB 2＝BE 2+AE 2．【答案】证明见解析【解析】【分析】连接AC ，根据四边形ABCD 面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．【详解】解：连接AC ，∵△ABE ≌△BCD ，∴AB =BC ，AE =BD ，BE =CD ，∠BAE =∠CBD ，∵∠ABE +∠BAE =90°，∴∠ABE +∠CBE =90°，∴∠ABC =90°，∴S 四边形ABCD =2111111222222ABD BDC S S BD AE BD CD AE AE BD BE AE BD BE D D +=×+×=×+×=+×，又∵S 四边形ABCD =2111111222222ABC ADC S S AB BC CD DE AB AB BE DE AB BE DE D D +=×+×=×+×=+×，2211112222AE BD BE AB BE DE +×=+×Q ，∴AB 2=AE 2+BD •BE -BE •DE ，∴AB 2=AE 2+（BD -DE ）•BE ，即AB 2=BE 2+AE 2．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．8．【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．在ABC V 中，90ACB Ð=°，四边形ADEB 、ACHI 和BFGC 分别是以Rt ABC V 的三边为一边的正方形．延长IH 和FG ，交于点L ，连接LC 并延长交DE 于点J ，交AB 于点K ，延长DA 交IL 于点M ．(1)证明：AD LC =；(2)证明：正方形ACHI 的面积等于四边形ACLM 的面积；(3)请利用（2）中的结论证明勾股定理．(4)【迁移拓展】如图2，四边形ACHI 和BFGC 分别是以ABC V 的两边为一边的平行四边形，探索在AB 下方是否存在平行四边形ADEB ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI 、BFGC 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)存在，见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和SAS 证明△ACB ≌△HCG ，可得结论；（2）证明S △CHG ＝S △CHL ，所以S △AMI ＝S △CHL ，由此可得结论；（3）证明正方形ACHI 的面积+正方形BFGC 的面积＝▱ADJK 的面积+▱KJEB 的面积＝正方形ADEB，可得结论；（4）如图2，延长IH和FG交于点L，连接LC，以A为圆心CL为半径画弧交IH于一点，过这一点和A作直线，以A为圆心，AI为半径作弧交这直线于D，分别以A，B为圆心，以AB，AI为半径画弧交于E，连接AD，DE，BE，则四边形ADEB即为所求．(1)证明：如图1，连接HG，∵四边形ACHI，ABED和BCGF是正方形，∴AC＝CH，BC＝CG，∠ACH＝∠BCG＝90°，AB＝AD，∵∠ACB＝90°，∴∠GCH＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，∴∠GCH＝∠ACB，∴△ACB≌△HCG（SAS），∴GH＝AB＝AD，∵∠GCH＝∠CHI＝∠CGL＝90°，∴四边形CGLH是矩形，∴CL＝GH，∴AD＝LC；(2)证明：∵∠CAI＝∠BAM＝90°，∴∠BAC＝∠MAI，∵AC＝AI，∠ACB＝∠I＝90°，∴△ABC ≌△AMI （ASA ），由（1）知：△ACB ≌△HCG ，∴△AMI ≌△HGC ，∵四边形CGLH 是矩形，∴S △CHG ＝S △CHL ，∴S △AMI ＝S △CHL ，∴正方形ACHI 的面积等于四边形ACLM 的面积；(3)证明：由正方形ADEB 可得AB DE ∥，又AD LC P ，所以四边形ADJK 是平行四边形，由（2）知，四边形ACLM 是平行四边形，由（1）知，AD LC =，所以ACHI ADJK ACLM S S S ==正方形平行四边形平行四边形，延长EB 交LG 于Q ，同理有BFGC KJEB CBQL S S S ==正方形平行四边形平行四边形，所以+ACHI BFGC ADEB ADJK KJEB S S S S S +==正方形正方形正方形平行四边形平行四边形．所以222AC BC AB +=．(4)解：如图为所求作的平行四边形ADEB ．【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的证明等知识；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据图形面积的关系证出勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．9．阅读理解下列材料，并解决相应的问题．材料一：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．如图1，四边形ABCD 中，若AC BD ^，则12ABCD S AC BD =×四边形．材料二：人教版教材八年级下册介绍了几种利用全等直角三角形通过拼图证明勾股定理的方法．这些方法的共同特点：利用两种不同的方法计算同一个拼图的面积，然后建立等量关系，化简即可证明勾股定理．小文发现：把两块全等的直角三角板ACB 和直角三角板DEF 摆成图2的形状，点C 与点F 重合，并且点C ，E ，B 在同一条直线上，连接DA ，DB ．利用这种摆放方式，也能证明勾股定理．问题：如图2，已知(),90,,,ABC CDE ACB DEC BC DE a AC CE b a b Ð=Ð=°====>△≌△AB CD c ==，AB ，CD 交于点O ．求证：(1)AB CD ^；(2)222+=a b c ．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠CAB =∠DCE ，利用等角的余角相等得到结论（2）根据四边形的对角线垂直得到四边形的面积，再利用BDE ACBD ACED S S S =+V 四边形梯形得到四边形的面积，即可得到结论．(1)证明：∵△ABC ≌△CDE ，∴∠CAB =∠DCE ，∵∠DCE +∠ACO =90°，∴∠CAB +∠ACO =90°，∴∠AOC =90°，即AB ⊥CD ；(2)∵四边形ACBD 中，若AB ⊥CD ，∴21122ACBD S AB CD c =×=四边形．∵BDEACBD ACED S S S =+V 四边形梯形=()1122AC DE CE DE BE +×+×=()()1122b b a a a b ++-=221122b a +，∴222111222b ac +=，即222+=a b c ．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，应用题意的结论进行推论论证，正确理解题意并应用是解题的关键．10．数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理．2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为a 和b ，且a b <；最长的那条边叫做斜边，边长为c ）围成一个边长为c 的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为b a -的小正方形．(1)验证过程：大正方形的面积可以表示为2S c =，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为214()2S ab b a =´+-，∴2214()2c ab b a =´+-．化简等号右边的式子可得∴2c =_______．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．【答案】(1)a 2+b 2；(2)见解析【解析】【分析】（1）化简等号右边的式子，即可得出答案；（2）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为a+b的正方形的面积建立方程，即可得出结论．(1)解：（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为S=c2，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和ab+（b-a）2，表示为S=4×12ab+（b-a）2．∴c2=4×12化简等号右边的式子可得c2=a2+b2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：a2+b2；(2)如图4，∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，ab，大的正方形的面积又可以表示为c2+4×12∴c2+2ab=a2+b2+2ab，∴a2+b2=c2．【点睛】本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．11．阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；探索研究：(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；问题解决：(3)如图2，若6a =，8b =，此时空白部分的面积为__________；(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，3OC =，求该风车状图案的面积．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)52；(4)24．【解析】【分析】（1）运用等面积法4S S S =+△小正方形大正方形计算即可；（2）连接大正方形一条对角线，运用等面积法2BDE ACDE S S S =+△△梯形化简计算即可；（3）先用勾股定理计算出c ，再利用2S S S =-△空白大正方形计算面积即可；（4）将风车周长表示出来4()24C c b a =+-=风车，其中a =OC =3，得到b 、c 的等量关系，再结合勾股定理求解出b ，最后计算面积即可．(1)证明：由图可知，每个直角三角形的面积为12S ab =△，空白小正方形的面积为2()S b a =-小正方形，整个围成的大正方形的面积为2S c =大正方形，∵4S S S =+△小正方形大正方形，即2222221()4222c b a ab b a ab ab b a =-+×=+-+=+，故222c b a =+；(2)如下图所示，连接大正方形一条对角线DE可知2BDE ACDE S S S =+△△梯形 ，其中，1()()2ACDE S a b a b =++梯形，212BDE S c =△，12S ab =△，代入可得，22111()2222a b ab c +=×+，即222+=a b c ；(3)由图2可知，2S S S =-△空白大正方形，∵6a =，8b =，∴10c ==，则2S c =大正方形=100，∴21210068522S c ab =-×=-×=空白，故空白部分的面积为52；(4)由题意可知，风车的周长为4()24C c b a =+-=风车 ，其中OC =a =3，代入上式可得c +b =9，则c =9-b ，且222+=a b c ，即2229c b a -==，将c =9-b 代入得，22(9)9b b --=，解得b =4，则1144342422S ab =×=×××=风车．【点睛】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．12．勾股定理在全世界有超过400种证法，下面介绍欧几里得的证法：（不得直接运用勾股定理结论进行证明）在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°分别以AB ，BC ，AC 为边向Rt ABC V 外侧做正方形，求正方形，分别得到正方形ACDE ，正方形BCJK ，正方形ABGF ．(1)如图1，连接CF ，BE ，试证明线段CF 和线段BE 的数量关系．(2)如图2，过点C 作直线l AB ^交正方形ABGF 中AB 边于点H ，FG 边于点I ，求证：ACDE AHIF S S =正方形长方形．(3)设BC a =，AC b =，AB c =，运用此图合勾股定理的学习经验证明结论：222+=a b c ．（不得直接运用勾股定理结论证明）【答案】(1)EB ＝CF ，证明见解析(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）连接BE ，CF ，再证明EAB CAF SAS （）△≌△即可；（2）首先得出，·ACDE S EA AC =正方形，·AHIF S AF AH =长方形，再根据EAB CAF △≌△可得结论；（3）根据第第二问结论，可得出ACDE AHIF S S =正方形长方形，BCJK BGHI S S =正方形长方形即可证明．(1)解：如图，连接BE ，CF∵ACDE ，BCJK 为正方形∴AC ＝AE ，AB ＝AF ，∠EAC ＝90°，∠BAF ＝90°EAB CAF Ð=Ð∴EAB CAF SAS （）△≌△ ∴EB ＝CF ．(2)证明：过B 作BR EA ^于点R ，·ACDE S EA AC =正方形．1·2EAB S EA BR =V ．∵BR ＝AC ∴12ACDE S 正方形＝EAB S V （同底等高三角形面积是长方形的一半）·AHIF S AF AH =长方形．1·2FAC S AF SC =V ．∵AH ＝SC ∴12FAC AHIF S S =V 长方形又∵EAB CAF△≌△∴EAB FACS S =V V ∴ACDE AHIF S S =正方形长方形．(3)证明：如图，已知ACDE AHIFS S =正方形长方形同理可证BCJK BGHIS S =正方形长方形∴ACDE BCJK AHIF BGHI S S S S +=+正方形正方形长方形长方形．即ACDE BCJK ABGFS S S +=正方形正方形正方形又∵2ACDE S b =正方形，2BCJK S a =正方形，2ABGF S c=正方形∴222+=a b c ．【点睛】本题考查了勾股定理的验证，理解题意根据图形，找出等量关系是解题的关键．13．（1）阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；（2）问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE 的中心O ，作FG ⊥HP ，将它分成4份，所分成的四部分和以BC 为边的正方形恰好能拼成以AB 为边的正方形．若AC ＝12，BC ＝5，求EF 的值．【答案】（1）222+=a b c ，见解析；（2）EF 为172或72【解析】【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与小正方形的面积和证明；（2）分a ＞b 和a ＜b 两种情况求解．【详解】解：（1）222+=a b c （直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），证明如下：∵如图①，∵△ABE ≌△BCF ≌△CDG ≌△DAH ，∴AB =BC =CD =DA =c ，∴四边形ABCD 是菱形，∴∠BAE +∠HAD =90°，∴四边形ABCD 是正方形，同理可证，四边形EFGH 是正方形，且边长为（b ﹣a ），∵=4+ABE ABCD EFGHS S S △正方形正方形∴2211=4+()22c ab a b ´´´-，∴222+=a b c （2）由题意得：正方形ACDE 被分成4个全等的四边形，设EF ＝a ，FD ＝b ，分两种情况：①a ＞b 时，∴a +b ＝12，∵正方形ABIJ 是由正方形ACDE 被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM 拼成，∴E 'F '＝EF ，KF '＝FD ，E 'K ＝BC ＝5，∵E 'F '﹣KF '＝E 'K ，∴a ﹣b ＝5，∴=125a b a b +ìí-=î解得：a =172，∴EF =172；②a ＜b 时，同①得：=125a b b a +ìí-=î，解得：a =72，∴EF =72；综上所述，EF 为172或72．【点睛】本题考查了勾股定理的证明和应用，熟练掌握面积法证明勾股定理，并灵活运用是解题的关键．14．勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积1S，2S，3S之间满足的等量关系是：__________．迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，3，2，则正方形E的面积是________．【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积1S，2S，3S之间满足的等量关系是________．迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，分别以三边为直径作半圆．若5a =，13c =，则图中阴影部分的面积等于________．【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长多少？【答案】【探究一】：见解析；【探究二】：S 1+S 2=S 3；迁移应用：47；【探究三】S 1+S 2=S 3；迁移应用：30；【探究四】绳索长为736尺．【解析】【分析】【探究一】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．【探究二】由正方形面积公式以及勾股定理得S 1+S 2=S 3；迁移应用：根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A ，B ，C ，D 的面积和即为正方形E 的面积；【探究三】利用直角△ABC 的边长就可以表示出半圆S 1、S 2、S 3的大小；迁移应用：求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解；【探究四】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【详解】解：【探究一】：由题意得：②的面积为a2+b2+212´ab=a2+b2+ab；图③的面积为c2+212´ab=c2+ab，∴a2+b2+ab=c2+ab，即a2+b2=c2；【探究二】S1+S2=S3．证明如下：∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；故答案为：S1+S2=S3；迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；故答案为：47；【探究三】S1+S2=S3．证明如下：∵S3=18πc2，S1=18πa2，S2=18πb2，∴S1+S2=18πa2+18πb2=18πc2=S3；故答案为：S1+S2=S3；迁移应用：阴影部分面积和=S1+S2+12ab-S3=12ab，∵a=5，c=13，∴b==12，∴阴影部分面积和=12×5×12=30，故答案为：30；【探究四】设绳索长为x尺，根据题意得：x2-（x-3）2=82，解得：x=736，答：绳索长为736尺．【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键．。
勾股定理与实际问题十大类型大题专练(分层培优30题)
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.4勾股定理与实际问题十大类型大题专练（分层培优30题）类型一、勾股定理与梯子问题1．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙(BO)6米(1)此时梯子顶端A离地面多少米?(2)若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处?2．（2022秋·山西晋中·八年级统考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶的距离AB为0.6米若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙项D的距离DE为1米，点A、B、C 在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：(1)墙的高度；(2)竹竿的长度．【答案】(1)墙高3米(2)竹竿的长2.5米【分析】（1）设墙高x米，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理即可表示出竹竿长度的平方，联立即可得到答案；（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．【详解】（1）解：设墙高x米，∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠BCO=∠EFO=90°，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理可得，B O2=(x−0.6)2+0.72，O E2=(x−1)2+1.52，∵BO=OE，3．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一架梯子AB长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？（2）梯子底部不是水平方向滑动了由题意得：A A′=4米，∴A′C=24−4=20米，∴B′C=252−202=15（米）类型二、勾股定理与旗杆高度问题4．（2022秋·山东济南·七年级校考期中）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到离底座最近时，摆锤离底座的垂直高度DE=4cm，当它来回摆动到离底座的距离最高与最低时的水平距离为8cm时，摆锤离底座的垂直高度BF=6cm，求钟摆AD的长度．【答案】15cm【分析】根据勾股定理可知A B2=A C2+B C2列方程即可请求解.【详解】解：设AB=x cm，依题意得：BC=8cm，CD=CE−DE=6−4=2(cm)，AC=AD−CD=(x−2)(cm)，∵∠ACB=90°，∴A B2=A C2+B C2，即(x−2)2+82=x2，解得：x=15答：钟摆AD的长15cm【点睛】本题考查了利勾股定理解决实际问题，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键．5．（2022秋·山东济宁·七年级校考期中）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．【答案】17m【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x米，可得AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)，而BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x即可．【详解】解：如图，设旗杆高度为x米，则AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)，而BC=8m，在Rt△ABC中，A B2+B C2=A C2，即(x−2)2+82=x2，解得：x=17(m)，即旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．6．（2022秋·山东枣庄·八年级统考期中）如图，为预防新冠疫情，某小区人口的正上方A处装有红外线激光测温仪，测温仪离地面的距离AB=2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC=0.8米），测温仪自动显示体温，求此时人头顶离测温仪的距离AD．∵AB=2.4米，BE=∴AE=AB−BE=2.4−1.8在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=AE2+DE2=类型三、勾股定理与大树折断问题7．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少米？【答案】24【分析】先根据大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形利用勾股定理求出折断部分的长，进而可得出结论．【详解】解：根据题意：大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，且折断部分是斜边，8．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部的距离AB=4m．(1)求旗杆折断处C点距离地面的高度AC；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点D处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的B′处，形成一个直角△AD B′，请求出A B′的长．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图9．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．(1)求旗杆距地面多高处折断（AC）；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？因为点D距地面AD=3−1=2(m)类型四、勾股定理与筷子问题10．（2021春·云南红河·八年级校考期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为ℎcm，求h的取值范围【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确求出11．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？【答案】12尺【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．【详解】解：设水深为h尺，则芦苇长为(h + 1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．设水深为h尺，则芦苇长为(h+ 1)尺，根据勾股定理，得(h+ 1)2-h2=52解得h = 12，∴水深为12尺，故答案是：12尺．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．12．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【答案】26cm【分析】设杯子的高度是x cm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．【详解】解：设杯子的高度是x cm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，∵杯子的直径为20cm，∴杯子半径为10cm，∴x2+102＝（x+2）2，即x2+100＝x2+4x+4，解得：x＝24，24+2＝26（cm）．答：小木棍长26cm．【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长．类型五、勾股定理与航海问题13．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．(1)求M点与小岛P的距离；(2)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．14．（2022秋·江苏·八年级期中）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？【答案】此时游船移动的距离AD的长是9m15．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东60°的方向航行100km到达B港口，然后再沿北偏西30°方向航行100km到达C港口．(1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号）(2)C港口在A港口的什么方向．类型六、勾股定理与宽度问题16．（2022春·安徽·八年级校联考期中）如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一边开挖点E离D多远正好使A、C、E．732，结果精确到1米）？17．（2020秋·四川成都·八年级统考期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A,B，其中AB=AC，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，已知CB=CH=2千米，HB=1千米．（1）CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求新路CH比原路CA少多少千米？（2）设AC=AB=x，∵BH=1千米，18．（2022春·湖南长沙·八年级长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）去年某省将地处A，B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A，B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A，B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60度方向、B地的西偏北45度方向C处有一个半径为0.7km≈1.732）类型七、勾股定理与超速问题19．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在城市道路BC上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后到达B处（BC⊥AC），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为100米，请问这辆小汽车是否超速？20．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3s，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，(1)求AP的长？(2)试判断此车是否超过了80km/h 1.732）【答案】(1)AP的长为200m(2)此车超过了80km/h的限制速度21．（2022春·福建福州·八年级福建省福州第八中学校考期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h（约为19.4m/s）．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的C处（即AC＝40m），过了2s后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，问：这辆小汽车超速了吗？类型八、勾股定理与台风影响问题22．（2021秋·浙江嘉兴·八年级期中）如图，小明家位于笔直的公路MN一侧的点A处，且到公路MN的距离AB为600m，现有一广播车在公路MN上以250m/min的速度沿MN方向行驶，已知广播车周围1000m以内都能听到广播宣传，则小明家是否能听到广播宣传？若能，请求出小明家共能听到多长时间的广播宣传？若不能，请说明理由．∴在Rt△ABP中，由勾股定理，得BP=∵AB⊥PQ,AP=AQ，∴PQ=2BP=1600m．∴小明家共能听到广播宣传的时间为1600÷250=6.4min．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键．23．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°方向移动，若在距离台风中心130km范围内都要受到影响．（结果精确到0.01）≈1.414 1.732 2.236）(1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由．(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？在直角△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=AB=110km∴AD=12∵110<13024．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，某货船以20海里/小时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的目的地B处，经16小时的航行到达，到达后立即开始卸货，这时接到气象部门的通知，一台风中心正以40海里/小时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）都会受到影响．(1)问B处是否会受到台风的影响请说明理由；(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果保留根号）【答案】(1)会受台风影响，理由见解析；∵在Rt△ABD中，∠BACAB,∴BD=12∵AB=20×16=320∴BD=1AB=1×320=160在Rt△ADB中，AB=∴AD=1603海里，∵要使卸货不受台风影响，∴必须在点B距台风中心第一次为类型九、勾股定理与选址问题25．（2019春·山东济宁·八年级校考期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知，AB=2.5 km，CA=1.5 km，DB=1.0 km，试问，图书室E应该建在距点A多少km知处．才能使它到两所学校的距离相等？【答案】图书室E应该建在距A点1km处，才能使它到两所学校的距离相等【分析】根据题意表示出AE，EB的长，进而利用勾股定理求出即可．【详解】由题意可得：设AE=x km，则EB=(2.5−x)km．∵A C2+A E2=E C2，B E2+D B2=E D2，EC=DE，∴A C2+A E2=B E2+D B2，∴ 1.52+x2=(2.5−x)2+12，解得：x=1．答：图书室E应该建在距A点1km处，才能使它到两所学校的距离相等．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，得出A C2+A E2=B E2+D B2是解题的关键．26．（2022秋·山东东营·七年级统考期中）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB=80km，AD=50km，BC=30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？【答案】30km【分析】设AE=x km，则BE=(80−x)km，根据勾股定理可得，D E2=A D2+A E2，C E2=B E2+B C2，结合DE=CE得到关于x的方程，求解即可．【详解】解：设AE=x km，则BE=(80−x)km，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴△ADE和△BCE都是直角三角形，在Rt△ADE中，D E2=A D2+A E2，在Rt△BCE中，C E2=B E2+B C2，∵AD=50km，BC=30km，DE=CE，∴502+x2=(80−x)2+302，解得x=30，答：信号塔应该建在距离A乡镇30km的地方．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．27．（2022秋·江苏·八年级统考期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=30km，CB=20km，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处?并判断此时ΔDEC的形状，请说明理由．【答案】市场E应建在距A的20千米处；ΔDEC是等腰直角三角形，理由见解析．【分析】可以设AE=x，则BE=50−x，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE，根据CE=DE可以求得x的值，即可求得AE的值．【详解】解：设AE=x，则BE=50−x，在直角△ADE中，D E2=302+x2，在直角△BCE中，C E2=(50−x)2+202，∴302+x2=(50−x)2+202，解得：x=20，即AE=20km；∴市场E应建在距A的20千米处；∵AE=BC=20km，BE=50−20=30km，在△DAE和△EBC中，AE=BC∠DAE=∠EBC，AD=BE可得△DAE≌△EBC(SAS)，∴∠AED=∠BCE，又∵∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BEC+∠AED=90°，∴∠DEC=90∘又∵DE=EC，∴△DEC是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，本题中根据D E2=302+x2和C E2=(50−x)2+202求x的值是解题的关键．类型十、勾股定理与最短路径28．（2022秋·陕西汉中·八年级校考期中）如图，一只蜘蛛从长方体的一个顶点A爬到另一顶点B，已知长方体的长、宽高分别是AC是8cm，CD是7cm，BD是8cm，求这只蜘蛛爬行的最短距离是多少？29．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）如图，一个圆柱体，高等于12cm，底面半径等于3cm，一只蚂蚁在点A处，它要吃到上底面上与A点相对的点B处的食物，沿圆柱体侧面爬行的最短路程是多少cm（π取3）【答案】15cm由题意可知：BC=12cm30．（2022秋·江苏扬州·八年级校考期中）如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：高线AB＋底面直径BC，如图a所示，设长度为l1．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l2．(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）①此时，路线1的长度l1=，路线2的长度l2=；②所以选择哪条路线较短？试说明理由．。
勾股定理应用题型大汇总(经典)
勾股定理题型汇总一、用勾股定理解决实际问题 【经典例题】 1.水中芦苇问题在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
2.梯子滑动问题一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？【练一练】1、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？2、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？3、如图，南北向MN 为我国领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以每小时6.4海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 在线巡逻的我国反走私艇B 密切注意，反走私A 艇通知反走私艇B 时，A 和C 两艇的距离是20海里，A 、B 两艇的距离是12海里，反走私艇B 测得距离C 是16海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？AA ′BA ′ O二、最短路径问题1、如图1，长方体的长为12cm ，宽为6cm ，高为5cm ，一只蚂蚁沿侧面从A 点向B 点爬行，问：爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程是多少？2、如图壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?3：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？5、如图，一个高18m ，周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)A B 5 316、有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm ，底面直径为20cm ， 蚂蚁爬行的速度为2cm/s. ⑴如果在盒内下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B 处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含π)⑵如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B 处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含π)7、如图，圆锥的侧面展开图是半径为22cm 的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从A 点向B 点爬行，问：（1）爬到B 点时，蚂蚁爬过的最短路程；（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点C 的最近距离．8、如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6，D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为三、面积问题1. 已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．AB CD E FGA ·B · A· B ·FE DABC2．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长是____ _____．3．在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______ ___． 4．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S 1＋S 2与S 3的关系；(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S 1＋S 2与S 3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．图① 图② 图③5．如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去…，记正方形ABCD 的边长a1=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an ，根据上述规律，则第n 个正方形的边长an ＝___ _____记正方形AB －CD 的面积S 1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2，S 3，……，S n (n 为正整数)，那么S n ＝____ ____．6.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．四、翻折问题1、如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG.2、如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F. （1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.3、如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=求BF 的长．G AD A B C DAA B C D EG FF 4、如图，一张矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。
初中八年级上册有关勾股定理的动点问题
初中八年级上册有关勾股定理的动点问题勾股定理是数学中的一个基本定理，被广泛应用于几何学和物理学中。
它是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的。
勾股定理的表述是指在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边平方。
在初中八年级上册的数学课程中，勾股定理通常作为一个应用题出现，涉及到动点问题。
下面将介绍一些与勾股定理相关的动点问题示例。
一、航上的观察塔问题问题描述：一座观察塔高20米，离塔基100米处有一船只。
观察塔顶端有一个观察人员，观察到船只的仰角为30度。
求观察人员与船只之间的距离。
解法分析：根据题目描述，观察人员与船只之间构成一个直角三角形，观察塔的高度为20米，故可设观察人员与船只之间的距离为x 米。
根据勾股定理可得：x^2 = 100^2 + 20^2x^2 = 10000 + 400x^2 = 10400x = √10400 ≈ 102.05因此，观察人员与船只之间的距离约为102.05米。
二、飞机的飞行高度问题问题描述：一飞机在水平方向上以800千米/小时的速度飞行，飞行员观察到一个地面目标的仰角为60度。
求飞机飞行的高度。
解法分析：根据题目描述，飞机的飞行高度为h米，速度为800千米/小时，故可设飞机的飞行时间为t小时（t小时后飞机飞行的距离为800t千米）。
根据勾股定理可得：h^2 = (800t)^2 - (800t)^2 × sin^2(60°)化简可得：h^2 = (800t)^2 - (800t)^2 × (1/2)^2h^2 = (800t)^2 × (1 - (1/4))h^2 = 3(800t)^2 / 4因此，飞机的飞行高度为根号下3(800t)^2 / 4，即根号下3(200t)^2米。
三、烟花爆炸高度问题问题描述：一枚烟花在点火后经过3秒爆炸，观察者在听到烟花爆炸声后1.5秒时，向烟花发射点看去，发现目标方位角为45度。
已知烟花上升速度为100米/秒，求烟花爆炸的高度。
勾股定理综合应用题(含答案)
勾股定理应用综合题汇编一.屏斉换（共E小懸）I.如图所示.缉奇箸方衣基tiB处获和盹丟廿子分克在P吕和M 眈巧面^黑舅后，缉司i邙咄更已知母用沿北馆东60话向1丸3小时如海卫的速度颐!•乙艇沼离侦东勿方向以毎小时30河里冊懣度広汲•平小时云启S M£），Z..S P9«91M9-^ pflj之更的距密是多少？2. “W耘寺一尖三角舟菜地.虽得两丈*分别为创来，iu〕来，第三说上血髙为小来.诘f馬小朋计算这坟融刖血枳.3如图•一捋险看在杲雋色拧宝.登塔后•先往东走了8干洙•又往北走了2干米■又向西走了3干米.更又冋北逢了6千米•往东一拐・恆走了】丰米就悅列了钿，M：他专的杲帚笛I裕吗。
如果吊• •击求出这个裕好恰如杲不是，15在因上画出養近肘艺塢芥求岀置近的苗联.4 •如耕在圭曰鸽棊公路上由A.B两户相丽50kreC、D为两E1.DA1AB干< 3B JAB干点E•已知DX3g> C3-20M.现在娶在仝聒的AB段J涎一个土舞产品收购站&史器6 D商村到以助fc E的距离桂等.址收购站5.如鱼T辄咖从MA处出发.向以每小耐20离昱氏連复行驶了】5 •卜时対达B册行任务甬同正录方他以伯鬥町矗農行业了2小时到达c处继住执行任釦威咅以恫nm赵百珞从c处返回A处.⑴分别求AB、BC的长；（2）问返回时比di去时节省J多卩时阊？0.如图，一块草坪09形狀为口边形ABC6其中ABTm，BCfc CD-24m，AD-2frn・求遠块草圧的7.如图，抖坡心米，XAI>-30\坡顶有一旗仟EC （拦忏与地面AD辛直；，康円血湍B戌与A点有一彩带AB相连・AB-10米•试菇旗杆2C圧高岌？根号）8.帕更爺P市3济芒笛样子琦端A外有一貝非医，存看利Y4它从更样初Q氓B处向林胯啲笊崗C涝来.去麽很老匿悄葩飞行〉P.坨匡为條昭济芒饥庖AC・孙得ABT血BC-km・若馬天茁随道0 3km，问几天才111. 5⑧ 在図上S目竝而】0m的D处口两只猥孑，它匸13阳龙筑迪丽二C处口-芸水黑一只慈孑从D处向上理至!餌顶A处.然后利阳竝在A处的滑绳AC肩到C处，另一只怡子从。
勾股定理典型例题
勾股定理典型例题11.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，40 2.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）（A ）1、2、3 （B ）2223,4,5 （C ）1,2,3 （D ）3,4,53.在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且2()()a b a b c +-=，则（ ）（A ）A ∠为直角 （B ）C ∠为直角 （C ）B ∠为直角 （D ）不是直角三角形4.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草。
5.已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边长为 .6.现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（ ） A ．30厘米 B ．40厘米 C ．50厘米 D ．以上都不对7.图中字母A 所在的正方形的面积是 ．8.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是64cm 2，则最大的正方形的边长为 cm ．9.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m 处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 ( )m ．第8题图第9题图10.如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=．11,如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm12.长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．13.如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.14.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
八年级数学勾股定理的实际应用专题练习(含解析答案)
八年级数学勾股定理的实际应用专题练习一．选择题（共5小题）1．如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A．3m B．5m C．7m D．9m2．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15 C．5≤a≤12D．5≤a≤133．一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A处，上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（）A．18海里/小时B．海里/小时C．36海里/小时D．海里/小时4．在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是（）A．1m B．2m C．3m D．4m5．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）A．3＜h＜4 B．3≤h≤4C．2≤h≤4D．h=4二．解答题（共22小题）6．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？7．有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A的南偏东60°，在B的南偏东30°方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？（≈1.7）8．如图，要在高AC为2米，斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？9．如图，一块三角形铁皮，其中∠B=30°，∠C=45°，AC=12cm．求△ABC的面积．10．如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米．（1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处，求点B向外移动的距离BB1的长；（2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米？11．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？13．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？14．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．16．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．17．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．请解答：（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是_________．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是_________，请说明理由．（3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为_________，请说明理由．18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？19．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．20．请阅读下列材料：问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）（1）设路线1的长度为L1，则=_________．设路线2的长度为L2，则=_________．所以选择路线_________（填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：=_________．路线2：=_________．所以选择路线_________（填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．21．如图，正方体边长为30cm，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点，其爬行速度为每秒2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B点？22．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B（B为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？23．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB=4，BC=4，CC1=5，（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长．24．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？25．如图所示，圆柱形的玻璃容器，高18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径．26．如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一米粒．（1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？27．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少米？（结果不取近似值）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A．3m B．5m C．7m D．9m考点：勾股定理的应用．专题：应用题；压轴题．分析：为了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE 是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10．那么AE的长即可解答．解答：解：连接OA，交半圆O于E点，在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，所以OA==10；又OE=OB=6，所以AE=OA﹣OE=4．因此选用的绳子应该不大于4m，故选A．点评：此题确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．2．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13考点：勾股定理的应用．专题：压轴题．分析：最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．解答：解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选A．点评：主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常见，有一定的难度．3．一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A处，上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（）A．18海里/小时B．海里/小时C．36海里/小时D．海里/小时考点：勾股定理的应用；方向角．专题：应用题．分析：首先画图，构造直角三角形，利用勾股定理求出船8时到10时航行的距离，再求速度即可解答．解答：解：如图在Rt△ABC中，∠ABC=90°﹣60°=30°，AB=72海里，故AC=36海里，BC==36海里，艘船航行的速度为36÷2=18海里/时．故选B．点评：本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是（）A．1m B．2m C．3m D．4m考点：勾股定理的应用；垂径定理的应用．分析：本题是已知圆的直径，弦长求油的最大深度其实就是弧AB的中点到弦AB的距离，可以转化为求弦心距的问题，利用垂径定理来解决．解答：解：过点O作OM⊥AB交AB与M，交弧AB于点E．连接OA．在Rt△OAM中：OA=5m，AM=AB=4m．根据勾股定理可得OM=3m，则油的最大深度ME为5﹣3=2m．故选B．点评：考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用，圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定理转化为解直角三角形的问题．5．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）A．3＜h＜4 B．3≤h≤4C．2≤h≤4D．h=4考点：勾股定理的应用．分析：根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16﹣12=4cm；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短．解答：解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12=4（cm）；②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线直径为5cm，高为12cm，由勾股定理可得杯里面管长为=13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13=3cm；则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．故选B．点评：本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置，然后计算求解．二．解答题（共22小题）6．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（1）作BD⊥AE于D，构造两个直角三角形并用解直角三角形用BD表示出CD和AD，利用DA和DC 之间的关系列出方程求解．（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可．解答：解：（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD=60°，设CD=x，则BD=，BC=2x在Rt△ABD中，∠BAD=45°则AD=BD=，AB=BD=由AC+CD=AD得20+x=x解得：x=10+10故AB=30+10答：港口A到海岛B的距离为海里．（2）甲船看见灯塔所用时间：小时乙船看见灯塔所用时间：小时所以乙船先看见灯塔．点评：此题考查的知识点是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答．7．有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A的南偏东60°，在B的南偏东30°方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？（≈1.7）考点：勾股定理的应用．分析：作CD⊥AB交AB延长线于D，根据勾股定理分别计算出AB和BC的长度，利用速度、时间、路程之间的关系求出各自的时间比较大小即可．解答：解：作CD⊥AB交AB延长线于D，由已知得：∠EAC=60°，∠FBC=30°，∴∠1=30°，∠2=90°﹣60°=30°，∵∠1+∠3=∠2，∴∠3=30°，∴∠1=∠3，∴AB=BC=100，在Rt△BDC中，BD=BC=50，∴DC==50，∵AD=AB+BD=150，∴在Rt△ACD中，AC==100，∴t1号==≈4.25，t2号==，∵＜4.25，∴搜救中心应派2号艘救助轮才能尽早赶到C处救援．点评：本题考查了勾股定理的运用、等腰三角形的判定和性质以及速度、时间、路程之间的关系．8．如图，要在高AC为2米，斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？考点：勾股定理的应用．分析：根据题意，知还需要求出BC的长，根据勾股定理即可．解答：解：由勾股定理AB2=BC2+AC2，得BC===2，AC+BC=2+2（米）．答：所需地毯的长度为（2+2）米．点评：能够运用数学知识解决生活中的实际问题．熟练运用勾股定理．9．如图，一块三角形铁皮，其中∠B=30°，∠C=45°，AC=12cm．求△ABC的面积．考点：勾股定理的应用；三角形的面积；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．分析：首先过A作AD⊥CB，根据∠C=45°，可以求出AD=DC，再利用勾股定理求出AD的长，再根据直角三角形的性质求出AB的长，利用勾股定理求出BD的长，最后根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积．解答：解：过A作AD⊥CB，∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC，设AD=DC=x，则x2+x2=（12）2，解得：x=12，∵∠B=30°，∴AB=2AD=24，∴BD==12，∴CB=12+12，∴△ABC的面积=CB•AD=72+72．点评：此题主要考查了勾股定理的应用，以及直角三角形的性质，关键是熟练利用直角三角形的性质求出BD、AD的长．10．如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米．（1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处，求点B向外移动的距离BB1的长；（2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米？考点：勾股定理的应用．分析：（1）根据题意可知∠C=90°，AB=2.5m，BC=0.7m，根据勾股定理可求出AC的长度，根据梯子顶端B沿墙下滑0.9m，可求出A1C的长度，梯子的长度不变，根据勾股定理可求出B1C的长度，进而求出BB1的长度．（2）可设点B向外移动的距离的一半为2x，则梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x，根据勾股定理建立方程，解方程即可．解答：解：（1）∵AB=2.5m，BC=O.7m，∴AC==2.4m∴A1C=AC﹣AA1=2.4﹣0.9=1.5m，∴B1C==2m，∴BB1=B1C﹣BC=0.5m；（2）梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是x，则点B向外移动的距离的一半为2x，由勾股定理得：（2.4﹣x）2+（0.7+2x）2=2.52，解得：x=，答：梯子沿墙AC下滑的距离是米．点评：本题考查勾股定理的应用，在直角三角形里根据勾股定理，知道其中两边就可求出第三边，从而可求解．11．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．考点：勾股定理的应用．分析：在Rt△ABC中，∠B=90°，则满足AB2+BC2=AC2，BC=a（米），AC=b（米），AD=x（米），根据两只猴子经过的路程一样可得10+a=x+b=15解方程组可以求x的值，即可计算树高=10+x．解答：解：Rt△ABC中，∠B=90°，设BC=a（米），AC=b（米），AD=x（米）则10+a=x+b=15（米）．∴a=5（米），b=15﹣x（米）又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2=b2，∴（10+x）2+52=（15﹣x）2，解得，x=2，即AD=2（米）∴AB=AD+DB=2+10=12（米）答：树高AB为12米．点评：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键．12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？考点：勾股定理的应用．分析：地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．解答：解：由勾股定理，AC===12（m）．则地毯总长为12+5=17（m），则地毯的总面积为17×2=34（平方米），所以铺完这个楼道至少需要34×18=612元．点评：正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．13．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．解答：解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是BF的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．点评：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．14．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？考点：勾股定理的应用．分析：（1）首先根据勾股定理计算BD的长，再根据时间=路程÷速度进行计算；（2）根据在30千米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间=路程÷速度计算，然后求出时间段即可．解答：解：（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD===240km，所以，台风中心经过240÷15=16小时从B移动到D点，答：台风中心经过16小时时间从B移动到D点；（2）如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，∴BE=BD﹣DE=240﹣30=210km，BC=BD+CD=240+30=270km，∵台风速度为15km/h，∴210÷15=14时，270÷15=18，∵早上6：00接到台风警报，∴6+14=20时，6+18=24时，∴他们要在20时到24时时间段内做预防工作．点评：本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分析．15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．考点：勾股定理的应用．专题：计算题．分析：由题意知，△ABC为直角三角形，且AB是斜边，已知AB，AC根据勾股定理可以求BC，根据BC的长度和时间可以求小汽车在BC路程中的速度，若速度大于70千米/时，则小汽车超速；若速度小于70千米/时，则小汽车没有超速．解答：解：由题意知，AB=130米，AC=50米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，根据勾股定理AB2=BC2+AC2，可以求得：BC=120米=0.12千米，且6秒=时，所以速度为=72千米/时，故该小汽车超速．答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．点评：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中准确的求出BC的长度，并计算小汽车的行驶速度是解题的关键．16．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．考点：勾股定理的应用．专题：应用题．分析：根据题中的已知条件可将BB′的长求出，和卡车的高进行比较，若门高低于卡车的高则不能通过否则能通过．解答：解：设BB′与矩形的宽的交点为C，∵AB=1米，AC=0.8米，∠ACB=90°，∴BC===0.6米，∵BB′=BC+CB′=2.3+0.6=2.9＜3.0，∴不能通过．点评：考查了勾股定理的应用，本题的关键是建立数学模型，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．17．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．请解答：（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是S1+S2=S3．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是S1+S2=S3，请说明理由．（3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为S1+S2=S3，请说明理由．考点：勾股定理的应用．专题：探究型．分析：（1）利用直角△ABC的边长就可以表示出等边三角形S1、S2、S3的大小，满足勾股定理．（2）利用直角△ABC的边长就可以表示出半圆S1、S2、S3的大小，满足勾股定理．解答：解：设直角三角形ABC的三边AB、CA、BC的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1+S2=S3，证明如下：∵S3=，S1=，S2=∴S1+S2==S3；（2）S1+S2=S3．证明如下：∵S3=，S1=，S2=∴S1+S2=+==S3；（3）过D点作DE∥AB，交BC于E，设梯形的边AB、DC、AD的长分别为a、b、c，可证EC=AD=c，DE=AB=a，∠EDC=180°﹣（∠DEC+∠BCD）=180°﹣（∠ABC+∠BCD）=90°，则c2=a2+b2∵S1=a2、S2=b2、S3=c2，表示，则S1+S2=S3．故答案为：S1+S2=S3；S1+S2=S3；S1+S2=S3．点评：考查了三角形、正方形、圆的面积的计算以及勾股定理的应用．18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？考点：勾股定理的应用．专题：计算题．分析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解．解答：解：如图所示：根据题意，得AC=AD﹣BE=13﹣8=5m，BC=12m．根据勾股定理，得AB==13m．则小鸟所用的时间是13÷2=6.5（s）．答：这只小鸟至少6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起．。
勾股定理综合应用题(含答案)
勾股定理应用综合题汇编一・解答題（共29小題）1. 如图所示，缜峑警方在基地B处获知有贩浚分子分别在P2）和行羞品交易后，缉飆立即出矣已知甲題沿北偏东60方向以毋小时40海里的速度前逬，乙艇沿南偏东30。
方向以野小时30海里的速度前逬，半小时后甲51 MS.乙到PS.则M S^PS之间的距篦是多少？2. 小明家有一块三角形菜地，重得两边长分别为80耒，100米，第三边上的高为印米，诸你帮小明计算这块菜地册面积.3. 如图.一探险者在某海出探宝，登陆后，先往东走了8千米，又往北走了2千米，又向西走了3千来，再又向北走了6千米，往东一拐，仅走了1千米就找到了宝藏，试冋他走的是遅近的路吗？如果是，谙求出这个路雄长, 如果不是:，诫在图上画出最近旳路线.并求出眾近的路线长.丄B6384如图，在笔直的菜公路上有A、B两点相距50km. C^D为两村庄,DAJAB亍点A，CB-1AB于点B，已知DA・30km，CB=20km.现在蔓在公路的AB段上建一个土特产品收购站E・使得C、D两村到收购站E的距离相等.则收购站E应建在囱A点多远处？5. 如图.一艘渔政船从小£ A处出发.向正北方向以每小时20海里的逮废行驶了1.5小时到达B谢丸行任务.再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达C处继续执行任务，然后以相同的速度直播从Cid：i0a A处.：1）分别求AB、BC的长》：2）问返回时比出去时节省了多少时间？6. 如图.一块草坪的形状为四边形ABCD・亘中Q=90°・ AB=8m. BC=6m，CD=24m，AD=26m・求这块草坪的面积.7. 如图.斜坡AC总米./AD=30°・坡顶有一旗杆BC （旗杆与地而AD垂丙）•旗杆顶端B点与A点有一彩带A3相连.AB=10米.试求旗杆BC的高慶？（结果保留根号）&如图所示，在3米高的柱子顶端A处有一只老圏它看到一条蛇从距柱脚9米B处向注脚的蛇涓C游来，老鹰主眄卜下.如果它们的违度相等.间老鹰在距蛇洞多远处捉住蛇？（设老動直线飞行）9・如图.为修铁路需凿通随道AC・测得厶=50°・zBXO°，AB=5km. BC=4km.若每天凿隧道0 3km・间几天才能把随道凿通？10・如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上飓到树顶A处.択后利用拉在A处的滑绸AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑封地而B，再由B跑到C・已知两號子所经过的路程裁是15m，求树高AB・12.（2008＞义马市）如图.小胡用一块有一个锐角为30°册直角三角板测童树高，已知小朋离树的距离为3米DE 为1.68米，那么这探树大约有多高？（楕确到0.1米，“3汛732）13.（2005•双柏且）如图.有两櫟树.一櫟高10米.另一棵高4米.两树相距8米.一只小鸟从一鮒的树梢飞 鱼另一棵树的树梢，间小乌至少飞行多少米？1＜已知某开发区有一块四边形的空地ABCD.如图所示二现计划在空地上冲植草皮，经测重如90°. AB«3m.BA12m ，CD-13m ，DA-4m ，若每平方米草庆需S 200元，间要多少投入°15.英校把一块形状为直角三角形的陵迪开辟为生物园.如图所示.4CB=90°・ AC 割米，BC=60米.若线段CD 是F 小渠.且D 点在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，间D 点在距A 点多远处时.水渠的造价聂低？盪底18.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm. 3cm 和lcm. A 和B 是这个台阶的两个相对 的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可□的良物.请你想一想，这只蚂蚊从A 点出矣沿着台阶面爬到B 点.最短线路是多少？19・甲、乙两人在沙漠逬行探险 某日早舄& 00甲先出发，他以6千米时逋度向东南方向行走，1小时后乙出发, 他以5千米耐速度向西南方向行走.上午2 CD 时.甲、乙两人相距多远？严S 一 ------------ 东16.印度数学家什泗逻（1141年-1225年）旨提出过商花T 可题”: 平平湖水洁可鉴，面上半尺生红莲'出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 旌人观看忙向前，花篦康位二尺远： 能算诸君请解•题，湖水如何知深浅” 适用学过的敌学知识回答这个问题.P.如图，小强在江南岸选定逹這物A.并在江北岸的B 处观弱 此时，極绕与江岸BE 所成的夫角是30°，小强 沼江岸BE 向东走了 500m ，到C 处，再观麋A ，此时视线AC 与江岸所戚的夹角4CE ・60°・根据小强提供的信息, 你能测出江宽吗？若能.写出求解过程（结果可保留根号几若不能.诵说朗理由.20.如图一个长方体盒子，棱长AB-3cm« BF・3cm，BC-4cm・ <1）连授BD，求BD的长；（2）一根长为6cm的木棒能放进这个盒子里去吗？说明你的理由.2：.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m>长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元谙你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？22. 在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发•现有一C处需要爆破.已知点C与公路上旳停靠站A的距离为300X.与公路上的另一停軒站B的距离为400米，且CAJCB.如图所示.対了安全起见，爆破点C周围半径250米•范围内不得进入，间在进行爆舉时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？23. 如图，小翩秋千，秋千架高2.4米秋千座位商地04米，小红荡起战高时，坐位葛地0 8*・此肘小红荡出的水平距离是多少？（荡到秋千架两边的爱高点之间的距藹）24. 如图，将穿好彩旗的旗杆垂直插在樓场上，旗杆从旗顶到地而的高度为320皿在无风的天气里.彩旗自然下垂，如图.求彩旗下垂时最低处离地而的最小高度h.彩旗完全展平时的尺于如左图的长方形（单位：an）.25. 如图，一根竹竿在离地面5米处断裂，竹竽顶部珞在离竹竿底部12米处，间竹竿折断之前有多长?26・如图，要测一也塘两端A、B的距務请你利用三角形知识设计一个测重方案・要求，血述测量方法；Q®出示意图（原图画），觀你测童的数据（用宇母表示〉叢示AB.芥说明理由，说明：池塘周围在司一高度，芥且比较平坦.力.有一块询长为加米的&方牺绿的，如图审示.左绿地旁询R外有傅身器林由干民住在A外的住戻跋曙了绿地，小明想在A处树立f 标牌少走踏之何忍”，情你计算石帮小明在标牌的■［上适当的数字.28.如图，是一个长8n宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A （长的四等分点）处有一只壁％B （宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距冏犬多少米.答案1、25 海里2、2400 平方米或者3987.5 平方米3、10 千米4、20km5、（1）AB=30 海里BC=40 海里（2）省1 小时6、96 平方米7、 2 V 3 - 48、 4 米9、10 天10、A B=12m11、7米12、3.4 米13、10 米14、7200 元15、480 元16、（x+0.5）A2=x A2+2A2 x=3.7517、250V3 米18、13cm19、13km20、（1）BD=5cm （2）V34cm小于6cm 不够21、648 元22、240m<250m 没有危险，不需要封锁23、1.2 米24、170cm25、18 米26、略27、6米28、V89 米。
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勾股定理实际问题应用
教学目标：能运用勾股定理解决生活中的实际问题
教学重点：实际问题转化成数学问题再转化到直角三角形利用勾股定理解决问题
教学难点：“转化”思想的应用
一、预习作业
1．若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( )
A. 48 cm 2
B. 36 cm 2
C. 24 cm 2
D.12 cm 2
2．小明十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树
的离地面的高度是 米
3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，
PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米
4．小明和小强的跑步速度分别是6m/s 和8m/s ，他们同时从同一地点分别向东、南练习跑
步，那么从出发开始需__________s 可以相距160m
5．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸
地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为 （ ）
A.440 m
B.460 m
C.480 m
D. 500 m
6．一架5m 长的梯子靠在一面墙上，梯子的底部离建筑物2m ，若梯子底部滑开1m ，则梯
子顶部下滑的距离是___________(结果可含根号)
二、预习交流
三、展示探究
例1、如图，原计划从A 地经C 地到B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道
由A 地到B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧
道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
P Q
C B
例2、有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm ，底面直径为20cm ， 蚂蚁爬行的速度为2cm/s.
如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒外对面中部点B 处的食物，那么它至少
需要多少时间? (结果保留π)
巩固练习：如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的
最短路程大约是 ( )
A.6cm
B.10cm
C.14cm
D. 18cm
例3、如图，笔直的公路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB
于点B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路的AB 段上建一个土特产品收购站E ，使得
C 、
D 两村到收购站
E 的距离相等，则收购站E 应建在离A 点多远处？
A D
E B
C
B
巩固练习：
⒈ 已知：如图①，在Rt △ABC 中，两直角边AC 、BC 的长分别为6和8，现将直角边AC 沿
AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 （ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
⒉ 在上题中的Rt △ABC 折叠，使点B 与A 重合，折痕为DE （如图②），则CD 的长为（ ）
A.1.50
B.1.75
C.1.95
D.以上都不对
3．在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1m,一阵风吹来,红莲发生倾斜,花朵齐及水面,
已知红莲移动的水平距离为2m,求这里的水深是多少米?
B 图② A
C B
D E
图①
四、当堂检测
图（1） 图（2） 图（4） 图（6）
1．如图（1），山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。
2．如图（2），一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是_______________米
3．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米
4. 如图（4）,一圆柱高3cm,底面半径0.5cm,一只蚂蚁从A 点绕圆柱的侧面一圈爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程是____________________（结果保留根号和π）
5．旗杆上的绳子垂到地面还多出1m ，如果把绳子的下端拉开距旗杆底部5m 后，绷紧的绳子的末端刚好接触地面，则旗杆的高度为___________m
6. 如图（6）折叠长方形ABCD 的一边AD ，点D 落在BC 边的D’ 处，AE 是折痕，已知AB=8cm ， CD ′= 4cm ，则AD 的长为 ( )
A.6cm
B. 8cm
C. 10cm
D. 12cm
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A B C A · B ·。