中考数学二次函数综合题解题技巧讲解

C x

x

y y

A O

B

E

D A

C B C

D G

图1 图2

A

P O B E C

x y

中考数学二次函数综合题解题技巧

一、 动态：动点、动线

1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、

x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式；

(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作 PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE

的面积最大时，求点P 的坐标；

(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点， 是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的

点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

二、 圆

2． 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l.

（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；

（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD△相似时，求出BF 的长 ．

3．如图1，在平面直角坐标系xOy ，二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于

点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝ 1

3．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度；

(3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．

4．在平面直角坐标系中，已知A (－4，0)，B (1，0)，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ．

（1）求点C 的坐标和过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）求点D 的坐标；

（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．

三、比例比值取值范围

5．图9是二次函数k m x y ++=2

)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=

4

5

,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.

6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，82OA = cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒． （1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；

（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线21

4

y x bx c =++经过B 、P 两点，过线段BP 上

一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．

B A P

x

C Q O

y 第26题图

7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．

（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；

（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ∆、BPC ∆的面积分别为ABP S ∆、BPC S ∆，且

:2:3ABP BPC S S ∆∆=，求点P 的坐标；

（3）设

Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相

切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？ 四、探究型

．

8.如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）.⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？ 若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.

9．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交

OA 于点E ．

（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段

OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为5

6

，那么EF ＝2GO

是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交

点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (－3，0)、B 两点，与y 轴相交于点C (0，3)．当

x ＝－4和x ＝2时，二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的函数值y 相等，连结AC 、BC ． （1）求实数a ，b ，c 的值；

（2）若点M 、N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．