数值分析2(二分法)
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0.5( xn1 an1 ), 如果f ( xn-1 ) f (an-1 ) 0 xn ( xn1 ) 0.5( xn1 bn1 ), 如果f ( xn1 ) f (bn1 ) 0
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l
n
xn x
*
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2
)] 0, 0 x 1
函数在[0,1]内有唯一零点, 故[0,1]是隔根区间。
13:29
n 1
函数值符号 f(0.5)= - 0.1006<0
区间 [0,0.5]
2
3
f(0.25)=0.3961>0
f(0.375)=0.1317>0
[0.25,0.5]
[0.375,0.5]
Baidu Nhomakorabea
4
f(0.4375)=0.0113>0 [0.4375,0.5]
( x 3)2 ( y 2)2 ( z 3)2 [(10010.00692286 d )c ]2 2 2 2 2 ( x 1) ( y 3) ( z 1) [( 10013.34256381 d ) c ] ( x 5)2 ( y 7)2 ( z 4)2 [(10016.67820476 d )c ]2 2 2 2 2 ( x 1) ( y 7) ( z 3) [( 10020. 01384571 d ) c ] ( x 7)2 ( y 6)2 ( z 7)2 [(10023.34948666 d )c ]2 2 2 2 2 ( x 1) ( y 4) ( z 9) [ ( 10030.02076857 d ) c ]
化大为小 化繁为简 化难为易
病态性 收敛性 稳定性 复杂性
算法的构造与分析
核心的概念
误差
1/19
13:29
《数值分析》2
非线性方程
二分法迭代
13:29
GPS (Global Positioning System)和LBS (Location Based Service)
3/19
xyz位置 S1 S2 3,2,3 1,3,1
零点定理回答了根的存在性和根的范围的 问题,如何去寻找足够精度的根？
8/19
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游戏:模仿幸运52请同学们猜测这部电 脑的价格？
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13:29
化大为小 13:29
二分法迭代 已知f(x)=0在[a0,b0]内有一根,且f(a0)f(b0)<0 (1)计算 xn-1=0.5(an-1+bn-1)和f(xn-1)
收敛速度慢和不能求复根等不足。 二分法思想朴素却蕴含了迭代法的近 似逼近思想。
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迭代的思想
迭代法是一种逐次逼近法, 这种方法使用某 个固定公式反复校正根的近似值, 使之逐步精 确化, 最后得到满足精度要求的结果。
Iteration in mathematics may refer to the process of iterating a function i.e. applying a function repeatedly, using the output from one iteration as the input to the next. Iteration of apparently simple functions can resolve complex and difficult problems.
判断若f(xn-1)=0,则xn-1是根,否则转下一步;
(2)判断若f(xn-1) f(an-1)<0,则anan-1,bn xn-1 否则 anxn-1, bnbn-1 [a0,b0]
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x0=0.5(a 0 +b 0) [a1,b1]=[a 0,x0] x1=0.5(a1+b1)
[a1,b1]=[x0,b0] x0 x1 · · ·
0.5( xn1 an1 ), 如果f ( xn-1 ) f (an-1 ) 0 xn 0.5( xn1 bn1 ), 如果f ( xn1 ) f (bn1 ) 0
| xn x |
*
( b0 a0 ) 2n1
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苹果成功的原因
创新然后迭代
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http://alifeofproductivity.com/how-to-apply-apples-strategic-thinking-to-your-own-l
迭代的思想
设f(x) = 0的根为 x*,通过迭代计算,产生序列: x0 x1 x2 · · · x n· · · 只须 mi 二分法:
Takeaway: Once simplify the number of elements in your life and concentrate on fewer things, start to make small, incremental improvements to those elements.
x4=0.5(0.4375+0.5)=0.4688作为近似值, 误差 不超过1/(2^5) 。 14/19
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二分法的反思: 思想简单, 仅需函数值符号, 容易实现。
function root = bisect(func,x1,x2,filter,tol) for i = 1:n x3 = 0.5*(x1 + x2); f3 = feval(func,x3); if f3 == 0 root = x3; return end if f2*f3 < 0 x1 = x3; f1 = f3; else x2 = x3; f2 = f3; end end
根的精度,已知一个根的近似值后,能否 将它精确到足够精度?
Where is Flight MH370?
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定理2(零点定理) 若函数f在闭区间[a, b]上 连续,且f(a)与f(b)异号, 则至少存在一点 x0 属于(a,b),使得f(x0)=0,即方程f(x)=0在(a,b) 内至少有一个根。
f ( x ) a0 a1 x an x (an 0)
n
超越方程一般很难直接求出其准确解
f ( x ) e cos( x )
x
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求 f (x)= 0 根的问题包括如下方面: 根的存在性,即f(x)=0有没有根? 若有,有 几个根?
根的范围,确定有根区间
二分法迭代将得到一系列区间序列
[a0 , b0 ] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [an , bn ]
性质:1. f(an)f(bn)<0; 2. bn – an = (b0 – a0)/ 2n
定理2.2 设x*是 f(x)=0在[a 0, b 0]内的唯一根,且 f(a 0)f(b 0)<0,则二分过程中,各区间的中点数列 1 xn (an bn )( n 0,1,2,) 2 满足 | xn – x*|≤ (b 0 – a 0)/ 2n+1 1 * 3 注记: 若要 | x n x | 10 2 b0 a0 1 b0 a0 3 只需 10 n log 2 n 1 3 2 2 10 13:29
Does a small number of things, and does them very well; Religiously defends its focus; Only makes a product if they have a cohesive strategy behind it; Kills products that don’t work out, so they can focus on what does; Comes out with industry-shaking new products, then makes constant, incremental improvements to them.
收到信号时间 10 010.006 922 86 10 013.342 563 81
S3 S4
S5 S6
5,7,4 1,7,3
7,6,7 1,4,9
10 016.678 204 76 10 020.013 845 71
10 023.349 486 66 10 030.020 768 57
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例 1 二分法求方程 e sin(
在区间 [0, 1]内的根。
x
2
x
x
2
)0
解: 令 f ( x ) e sin(
f ( x ) [e
x
x
)
f (0) f (1) 0
f (0) 1 0 f (1) e 1 1 0
2
cos(
x
其中( x, y, z, t )表示点的当前位置。
Ref: Timothy Sauer, Numerical Analysis
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13:29
非线性科学是当今科学发展的一个重要研究 方向,其中非线性方程的求根是一个不可或缺的 研究内容。但是非线性方程的求根非常复杂。
例: 高于４次的代数方程,不存在通用的求根公式
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l
n
xn x
*
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2
)] 0, 0 x 1
函数在[0,1]内有唯一零点, 故[0,1]是隔根区间。
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n 1
函数值符号 f(0.5)= - 0.1006<0
区间 [0,0.5]
2
3
f(0.25)=0.3961>0
f(0.375)=0.1317>0
[0.25,0.5]
[0.375,0.5]
Baidu Nhomakorabea
4
f(0.4375)=0.0113>0 [0.4375,0.5]
( x 3)2 ( y 2)2 ( z 3)2 [(10010.00692286 d )c ]2 2 2 2 2 ( x 1) ( y 3) ( z 1) [( 10013.34256381 d ) c ] ( x 5)2 ( y 7)2 ( z 4)2 [(10016.67820476 d )c ]2 2 2 2 2 ( x 1) ( y 7) ( z 3) [( 10020. 01384571 d ) c ] ( x 7)2 ( y 6)2 ( z 7)2 [(10023.34948666 d )c ]2 2 2 2 2 ( x 1) ( y 4) ( z 9) [ ( 10030.02076857 d ) c ]
化大为小 化繁为简 化难为易
病态性 收敛性 稳定性 复杂性
算法的构造与分析
核心的概念
误差
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《数值分析》2
非线性方程
二分法迭代
13:29
GPS (Global Positioning System)和LBS (Location Based Service)
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零点定理回答了根的存在性和根的范围的 问题,如何去寻找足够精度的根？
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游戏:模仿幸运52请同学们猜测这部电 脑的价格？
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化大为小 13:29
二分法迭代 已知f(x)=0在[a0,b0]内有一根,且f(a0)f(b0)<0 (1)计算 xn-1=0.5(an-1+bn-1)和f(xn-1)
收敛速度慢和不能求复根等不足。 二分法思想朴素却蕴含了迭代法的近 似逼近思想。
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迭代的思想
迭代法是一种逐次逼近法, 这种方法使用某 个固定公式反复校正根的近似值, 使之逐步精 确化, 最后得到满足精度要求的结果。
Iteration in mathematics may refer to the process of iterating a function i.e. applying a function repeatedly, using the output from one iteration as the input to the next. Iteration of apparently simple functions can resolve complex and difficult problems.
判断若f(xn-1)=0,则xn-1是根,否则转下一步;
(2)判断若f(xn-1) f(an-1)<0,则anan-1,bn xn-1 否则 anxn-1, bnbn-1 [a0,b0]
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x0=0.5(a 0 +b 0) [a1,b1]=[a 0,x0] x1=0.5(a1+b1)
[a1,b1]=[x0,b0] x0 x1 · · ·
0.5( xn1 an1 ), 如果f ( xn-1 ) f (an-1 ) 0 xn 0.5( xn1 bn1 ), 如果f ( xn1 ) f (bn1 ) 0
| xn x |
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( b0 a0 ) 2n1
16/19
苹果成功的原因
创新然后迭代
17/19
http://alifeofproductivity.com/how-to-apply-apples-strategic-thinking-to-your-own-l
迭代的思想
设f(x) = 0的根为 x*,通过迭代计算,产生序列: x0 x1 x2 · · · x n· · · 只须 mi 二分法:
Takeaway: Once simplify the number of elements in your life and concentrate on fewer things, start to make small, incremental improvements to those elements.
x4=0.5(0.4375+0.5)=0.4688作为近似值, 误差 不超过1/(2^5) 。 14/19
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二分法的反思: 思想简单, 仅需函数值符号, 容易实现。
function root = bisect(func,x1,x2,filter,tol) for i = 1:n x3 = 0.5*(x1 + x2); f3 = feval(func,x3); if f3 == 0 root = x3; return end if f2*f3 < 0 x1 = x3; f1 = f3; else x2 = x3; f2 = f3; end end
根的精度,已知一个根的近似值后,能否 将它精确到足够精度?
Where is Flight MH370?
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定理2(零点定理) 若函数f在闭区间[a, b]上 连续,且f(a)与f(b)异号, 则至少存在一点 x0 属于(a,b),使得f(x0)=0,即方程f(x)=0在(a,b) 内至少有一个根。
f ( x ) a0 a1 x an x (an 0)
n
超越方程一般很难直接求出其准确解
f ( x ) e cos( x )
x
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求 f (x)= 0 根的问题包括如下方面: 根的存在性,即f(x)=0有没有根? 若有,有 几个根?
根的范围,确定有根区间
二分法迭代将得到一系列区间序列
[a0 , b0 ] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] [an , bn ]
性质:1. f(an)f(bn)<0; 2. bn – an = (b0 – a0)/ 2n
定理2.2 设x*是 f(x)=0在[a 0, b 0]内的唯一根,且 f(a 0)f(b 0)<0,则二分过程中,各区间的中点数列 1 xn (an bn )( n 0,1,2,) 2 满足 | xn – x*|≤ (b 0 – a 0)/ 2n+1 1 * 3 注记: 若要 | x n x | 10 2 b0 a0 1 b0 a0 3 只需 10 n log 2 n 1 3 2 2 10 13:29
Does a small number of things, and does them very well; Religiously defends its focus; Only makes a product if they have a cohesive strategy behind it; Kills products that don’t work out, so they can focus on what does; Comes out with industry-shaking new products, then makes constant, incremental improvements to them.
收到信号时间 10 010.006 922 86 10 013.342 563 81
S3 S4
S5 S6
5,7,4 1,7,3
7,6,7 1,4,9
10 016.678 204 76 10 020.013 845 71
10 023.349 486 66 10 030.020 768 57
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例 1 二分法求方程 e sin(
在区间 [0, 1]内的根。
x
2
x
x
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)0
解: 令 f ( x ) e sin(
f ( x ) [e
x
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)
f (0) f (1) 0
f (0) 1 0 f (1) e 1 1 0
2
cos(
x
其中( x, y, z, t )表示点的当前位置。
Ref: Timothy Sauer, Numerical Analysis
5/19
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非线性科学是当今科学发展的一个重要研究 方向,其中非线性方程的求根是一个不可或缺的 研究内容。但是非线性方程的求根非常复杂。
例: 高于４次的代数方程,不存在通用的求根公式