第五章 多元回归模型的应用

n 4 0 9 , R 0 .3 3 0
2
在某些情况下，序数变量取值过多，可以将它分成几类。
5.2 虚拟变量的使用
虚拟变量的交互作用： 虚拟变量之间的交互作用：在前面工资的模型中，能否使 用两个虚拟变量female和married来反映四类不同的人 群？可以但需要加虚拟变量的交互项：
lo g w a g e 0 1 fem a le 2 m a rried 3 fem a le * m a rried
各类人群的截距项分别为： 单身男性： 0 结婚男性： 单身女性： 0 1 结婚女性：
0 2
0 1 3
容许出现不同的斜率：有些情况下，想研究非虚拟的解释 变量对因变量的影响是否会在虚拟变量所表现的各组之 间存在差异，需要使用虚拟变量与该解释变量的交互项。 如如果想检验男人和女人在受教育回报上是否相同，模 型为
2 2
0 .0 0 5 6 p r iG P A * a tn d r te
如何解释出勤率atndrte对期末标准化考试stndfnl的影响？仅 看atndrte前的系数估计会错误地得出：听课对考试分数 具有负面影响。但这只是度量了priGPA为零时的影响， 这是没有意义的。只有代入有意义的priGPA78，这意味 着出勤率提高10个百分点，期末考试分数会提高0.078被 标准差。
* * 变换后的形式为：Y * 1 2 X 2 k X k 此模型本质上是线性的，因为它是关于参数是线性的。 一些常用的模型形式： 2 具有二次项： Y 1 2 X 2 3 X 2
对数形式：
log Y 1 2 log X 2 3 log X 3
ˆ ˆ % y 100 exp 2

1 3 5 .8 %
以上的调整对小的百分数变化而言不那么重要。 在应用研究中广泛应用对数形式的原因： 使用对数对系数的解释具有吸引力，且不受测度单位影 响 使用对数比使用水平的因变量更接近CLM假定，如缓和 异方差和偏态性。 取对数可缩小变量取值范围，减弱对异常值的敏感度。
5.2 虚拟变量的使用
通过虚拟变量来反映序数信息：序数变量是 （ordinal variable）说明等级排序信息的变量。 如研究城市信用等级对市政债券利率（MBR） 的影响，信用等级变量CR取五级（0到4级）。 如何将序数变量CR放入模型中来解释MBR？ 直接将其放入模型： M B R 0 1C R CR前的系数如何解释？各等级之间差距一样吗？ 更好的方法是以0级为基组，设定四个虚拟变量：
5.2 虚拟变量的使用
对定性信息的描述：定性信息通常以二值信息的 形式出现，这些信息可通过定义一个二值变量 （binary variable）或0-1变量来刻画，这些变量 常称为虚拟变量（dummy variable）。 在定义一个虚拟变量时，需决定赋予哪个事件的值 为1，哪个事件的值为0，一般采用的变量名就是 取值为1的事件，如female、male、married等。 为什么要用数值0和1来描述定性信息？使用0－1变 量来刻画定性信息的真正好处是，回归模型的参 数有十分自然的解释。
此系数也决定了对女人是否存在歧视（是否小于0）。 在图形上可表现为男性工资方程与女性工资方程之间的截 距迁移（intercept shift）。
m a le : w a g e 0 1 e d u c u fe m a le : w a g e 0 0 1 e d u c u
M B R 0 1C R1 2 C R 2 3 C R 3 4 C R 4
5.2 虚拟变量的使用
例：相貌吸引力对工资的影响（Hamermesh and Biddle,AER,1994)： 男人：lo g w a g e ˆ 0 .1 6 4 b e la v g 0 .0 1 6 a b v a v g o th e rs
5.1 一般线性模型
乘法模型：Y X X 模型四： Y X X 1 2 3 指数模型：Y e x p X X * 倒数模型： 半对数模型： lo g X Y 有交互项的模型： X X X X Y 在实证研究中模型函数的设定是非常重要的，采 用哪一种函数形式，必须了解每种函数形式的 特点，特别是模型中斜率系数的解释是否符合 所研究现象的特点。多种形式的结合常采用。 以下主要对常用的三种形式更详细讨论。
2
0 .0 4 8 s tr a tio
含有交互作用项的模型：因变量对一个解释变 量的偏效应、弹性或半弹性可能受另一解释变 量的影响，这就需要交互项的使用。如：
price 0 1 sqrft 2 bdrm s 3 sqrft * bdrm s 4 bthrm s u
log w age 0 1 m arrm ale 2 m arrfem 3 sin gfem
在方程中用虚拟变量来表示不同组的一般原则：如果回归模 型具有g组（类）的不同截距，需要在模型中包括g-1个虚 拟变量和一个截距。基组的截距是总体上的截距，某一组 的虚拟变量的系数表示该组与基组在截距上的差异。
5.1 一般线性模型
使用对数形式的局限： 变量不能取零或负值，有时可用： lo g 1 x 使用对数形式的因变量，难以预测原变量的值。 以y作为因变量的模型与以log(y)作为因变量的模 型，不能比较R2，没有直接方法比较两种模型 优劣
5.1 一般线性模型
含二次型的模型：为了描述递减或递增的边际效应，常 2 y 0 1 x 2 x u 使用二次型： ˆ ˆ 1 2 2 x 边际效应的形式为： 例工资方程： w age 3.73 0.298 exp er 0.006 exp er 2 意味着工作经历对工资具有递减的影响。 有时为了计算一般的边际效应，可代入样本中的x的平均 值、中位数或上下四分位数。 ˆ 在多数应用中，1 常为正，而 ˆ 2 为负，此时具有抛物线形 态，存在一个转折点： * ˆ ˆ x 1 / 2 2
当模型中因变量为对数形式，而自变量以二次形式出现时， 解释需要小心。 对数形式的二次型可说明弹性是非参数的。
5.1 一般线性模型
ˆ 当 1 为负，而 ˆ 2 为正时，二项式可以具有U形。 如房屋价格的回归模型：
ˆ lo g ( p r ic e ) 1 3 .3 9 0 .9 0 2 lo g ( n o x ) 0 .0 8 7 lo g ( d is t ) 0 .5 4 5 r o o m s 0 .0 6 2 r o o m s
5.2 虚拟变量的使用
使用多个虚拟变量：如果某定性信息具有多个类别（两个 以上），需使用多个虚拟变量。如工资方程中将人分成四 类：已婚男人、已婚女人、单身男人和单身女人。如何设 置虚拟变量？首先选择一个基组：单身男人，然后对剩下 的每一组都定义一个虚拟变量：marrmale、marrfem和 singfem。
本质上线性的方程：那些通过变量替换可以变成为参数的 线性形式的模型。 设一般形式的模型为： Y F X , X , X , 如果能变成如下形式的模型：
2 3 k
f Y 1 2 g 2 X 2 , X 3 , , X k k g k X 2 , X 3 , , X k
5.2 虚拟变量的使用
能否在模型中再加入反映男性的虚拟变量male？ 不行：因为female+male=1，这意味着导致完全共线性，这 被称为虚拟变量陷进（dummy trap）。 有些研究者喜欢将总截距项去掉，将每一组的虚拟变量包括 进来：w a g e 0 m a le 0 fem a le 1 ed u c u 尽管此设置不会产生虚拟变量陷进，但没有截距项的回归会 带来许多困难（如R-平方的使用等），因此我们总是引 进一个总截距作为基组的截距。 通常的t检验可以对工资是否存在性别歧视进行检验。 在许多情形下，虚拟变量反映了个人或其他经济单位的选择 （而不是如性别等预先决定的变量），此时因果关系的问 题再度成为一个核心问题。
2 3
*
1
2
3
2
3
1
2
2
3
3
Y

1
1

1
2
X
2
2

3
X
3

2
1
2
2
3
3
4
2
3
5.1 一般线性模型
对数函数形式：对以下模型的系数进行解释： ˆ lo g p r ic e 9 .2 3 0 .7 1 8 lo g n o x 0 .3 0 6 r o o m s Rooms前面的系数常解释为，多增加一个房间，结果会提 高30.6%，但这种解释是近似的，精确应该是：
lo g w a g e 0 1 fem a le 2 ed u c 2 fem a le * ed u c
5.2 虚拟变量的使用
此模型意味着： lo g w a g e ed u c 男性： lo g w a g e ed u c 女性： 检验男人和女人在受教育的回报上相同的假设： H 0 : 2 检验男人和女人平均工资一样的假设： 0 : 1 0, 2 0 H 对美国数据实证结果为：
0
0 .0 4 6
0 .0 3 3
n 7 0 0 , R 0 .4 0 3
2
女人：
lo g w a g e ˆ 0 0 .1 2 4 b e la v g 0 .0 3 5 a b v a v g o th e r s