数理统计·参数估计

§6 参数估计
数理统计
参数估计 数理推断问题
假设检验
点估计 区间估计
一、参数的点估计
定义1 设总体的分布函数已知但含未知参数 ,
X1, X2, , Xn 为来自总体的样本，相应的样本值 是 x1, x2, , xn .由样本构造一个统计量 (X1, X2, , Xn ),
用它的观测值 (x1, x2, , xn) 来估计未知参数 ,称 (X1, X2, , Xn ) 为 的点估计量,称 (x1, x2, , xn) 为
的点估计值.
1.数字特征法——用样本的数字特征估计 总体的数字特征
X1, X2, , X n 为来自总体 X 的一个样本，观测值
为 x1, x2, , xn ：
用样本均值 的点估计量,即
X

1 n
n i 1
Xi 作为总体均值 E(X )



从而

为 的点估计值.

X x

所以样本方差 S 2为总体方差 2的无偏估计.
[3]
E(B)

E[ 1 n
n i 1
(Xi

X )2]
2
)] E 1
(
X
2
)]

1 n 1
n i 1
E(Xi2)

2 n 1
E(n X
2
)

n n 1
E(X
2
)]

1 n 1
n i 1
{D( Xi
)
[E( Xi )]2}
2n n 1
E(X
2
)

n n 1
E(X
2
)]

n
{D(X ) [E(X )]2}
n
2
E(X )

x
x2
xf (x)dx dx
0
0 2
0


2
由数字特征法有

2

1 n
n i 1
Xi
因此 代入数据得


2 n
n i 1
Xi


2 10
10 i 1
xi

1 (2 4 5 8 3 6 5 6 10 1) 5
10 从而等车时间不超过5min的概率为
n
( Xi X )2 为总体
i 1
( Xi X )2 不是总体
方差 2 的无偏估计.
证明
[1]因为随机变量Xi (i 1, 2, , n)与总体X 同分
布，故
E(Xi ) ,i 1, 2, , n
E(X
)

E(1 n
n i 1
Xi)

1 n
Hale Waihona Puke n i 1E( Xi )
P(X 5)
5
f (x)dx
0
5 1 dx x 0 10 10
5 0

0.5.
2.估计量的评价标准
对于同一个未知参数,不同的方法得到的估 计量可能不同,应该选用哪一个估计量？应该用 什么标准评价一个估计量的好坏？ 常用的标准有三个： （1）无偏性； （2）有效性； （3）一致性.
例1 在一批某种零件中,随机地取8个,测得它 们的重量(单位:g)为:
801,804,799,794,802,800,803,805.
试用数字特征法估计总体均值 和方差 2 .
解


x

1 8
8 i1
xi
1 (801 804 799 794 802 800 803 805) 801
8
2


1
s2

1 8 1
8 i 1
( xi
[(801 801)2


x)2
(804

801)2

(799

801)2

(794

801)2
7
(802 801)2 (800 801)2 (803 801)2 (805 801)2 ] 12
例2 已知乘客在某公交汽车站等车的时间 X (单位：min)服从 [0, ] 上的均匀分布,现随机抽测
1
n
n


所以样本均值 X 为总体X 均值 的无偏估计.
[2]E(S 2 )

E[ 1 n 1
n i 1
(Xi

X
)2 ]

1 n 1
E[
n i 1
(Xi

X
)2 ]

1 n 1
E[
n i 1
(Xi2
2Xi
X

X
2
)]

1 n 1
n i 1
[E(Xi2)
n 1
n 1
n {D(X ) [E(X )]2} n {D( X ) [E( X )]2}
n 1
n 1
n {D(X ) [E(X )]2} n {D(X ) [E( X )]2}
n 1
n 1 n
n D(X ) n D(X )
n 1
n 1 n
D(X ) 2
(1)无偏性
设 是参数 的估计量,若 E( ) ,则称 是 的无偏估计量.
注:1.估计量 的值不一定就是 的真值 ,因为 它是一个随机变量,若 是 的无偏估计,则尽管
的值随样本值的不同而变化,但平均来说它会等于
的真值.
2.一般说来无偏估计量的函数并不是未知参数
相应函数的无偏估计量.例如，当 X ~ N (, 2 )时，
1
n 1
n
n i 1 n i 1
X xi
i
用样本方差
S2

1 n 1
n i 1
(Xi

X
)2 作为总体
方差 D( X ) 2的点估计量,即
从而
2

S2

1 n 1
n i 1
(Xi

X )2
2

s2

1 n 1
n i 1
( xi

x)2
为 2的点估计值.

2E(X
i
X
)

E(X
2
)]

1[ n 1
n i 1
E(Xi2)
2
n i 1
E(Xi
X
)

nE( X
2
)]

nn1111[in1in1EE( X( Xi2i)2
) 2E( 2
n 1
n in1 i 1
Xi E(
X Xi
) nE( X)
n
X n
是μ的X 无偏估计量，但 不是X 2的无偏2估计量，事
实上：
E(X
2)

D( X
)

E ( X
2
)

2
n

2

2.
例3 证明样本均值
的无偏估计.样本方差 S 方差 2 的无偏估计.而
X1 n
2 n1i1 n 1 1n
B n i1
Xi 为总体 X 均值
了10位乘客的等车时间,数据如下:
2,4,5,8,3,6,5,6,10,1.
试用数字特征法估计 的值,并求乘客等车时间不
超过5min的概率.
解 设 X1, X2, 密度函数为
, Xn 是抽得的样本,由于X ~ U[0, ] ,
f
(x)

1

,
0 x
0, 其他
总体的均值为E(X )