函数模型及应用
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1．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为( ) A．y＝20－20x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10) C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10) 答案：D
2．用长度为24的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，
则隔墙的长度为
考向一 一次、二次函数模型应用
【例1】 某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润 与投资成正比，其关系如图①所示，B产品的利润与投资的算术平方根成 正比，其关系如图②所示(注：利润与投资单位：万元)．
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们 的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，怎样 分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元 (精确到1万元)? 解：(1)设投资为x万元，A产品的利润为f (x)万元，B产品的利润为g(x)万元， 由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x(k1·k2≠0)， 由图知f (1)＝14，∴k 1＝14. 又g(4)＝52，∴k2＝54. 从而f(x)＝14x(x≥0)，g(x)＝54 x(x≥0)． 所以利润与投资的函数关系式为
应注意新的变元的取值范围，即注意转化的等价性．
迁移发散
1．杭州某房地产公司要在西湖边的空地ABCDE(如右图所示)上
划出一块长方形地面建一公寓，且所划长方形的一条边在ED
上，其中ED＝100，EA＝60，BC＝70，DC＝80.问：如何设
计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(单位：m)．
解：如题图，设FM＝x(0≤x≤30)，
因为△AGB与△BFM相似，所以BF＝AG＝2，得BF＝2x，
x GB 3
3
S＝(70＋x)(80－23x)＝－23x2＋1030x＋5 600.
当x＝25时，Smax＝18 3050，此时MB＝25 3 13，
所以当长方形顶点M在AB边上距B为25 13m时，面积最大为18 050m2.
3
3
考向二 分段函数模型的应用
当t＝52时，ymax＝
65≈4，此时x＝10－25＝3.75.
16
4
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．
反思感悟：善于总结，养成习惯 1．比例关系：变量y与x成正比例，可表示为y＝kx(k≠0)． 2．换元法：本例第2问通过换元转化为二次函数问题，使问题简化，但
A种产品f (x)＝14x(x≥0)， B种产品g(x)＝54 x(x≥0)． (2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10－x)万元，设企业利润为y万元，则 y＝f(x)＋g(10－x)＝x4＋54 10－x，
∴0≤x≤10，令 10－x＝t，
则0≤t≤ 10，
则y＝10－4 t2＋54t＝－14t－522＋6156(0≤t≤ 10)，
到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用
了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数
图象为
()
解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用 定性分析法不难得到答案为D. 答案：D
5．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品， 成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－ 1 Q2， 20 则总利润L(Q)的最大值是________． 解析：总利润L(Q)＝40Q－ 1 Q2－10Q－2 000 20 ＝－ 1 (Q－300)2＋2 500. 20 故当Q＝300时，总利润最大值为2 500万元． 答案：2 500万元
【例2】 某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市 销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完，公司 对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图② (一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③ 是每件样品的销售利润与上市时间的关系．
函数模型及应用
基础自查
1．三种增长型函数模型的图象与性质
函数 性质 在(0，＋∞)上
的增减性 增长速度
图象的变化
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
增函数
增函数
越来越快
越来越慢
随x增大逐渐表现 随x增大逐渐表现
为与y轴平行
为与x轴平行
y＝xn(n＞0)
增函数 相对平稳 随n值变化而不
同
2.常用的几类函数模型 (1)一次函数模型f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型f(x)＝＋b(k、b为常数，k≠0)； (3)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)； (4)指数函数模型f(x)＝a·bx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)； (5)对数函数模型f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)； (6)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)．
400吨，单价应该是
()
A．820元
B．840元
C．860元
D．880元
解析：依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
由x＝800，y＝1 000及x＝700，y＝2 000，
可得k＝－10，b＝9 000，即y＝－10x＋9 000，
将y＝400代入得x＝860.
答案：C
4．(2010·泰安模拟)设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地
联动思考
议一议：以上三种函数都是单调增函数，它们的增长速度相同吗？在(0，＋∞) 上随着x的增大，三种函数的函数值间有什么关系？ 答案：三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同 一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时有ax＞xn＞logax.
联动体验
()
A．3
B．4
C．6
D．12
解析：设隔墙的长为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，y＝x×24－2 4x＝2x(6－x)，
∴当x＝3时，y最大．
答案：A
3．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，
如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元；一客户购买
2．用长度为24的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，
则隔墙的长度为
考向一 一次、二次函数模型应用
【例1】 某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润 与投资成正比，其关系如图①所示，B产品的利润与投资的算术平方根成 正比，其关系如图②所示(注：利润与投资单位：万元)．
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们 的函数关系式； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，怎样 分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元 (精确到1万元)? 解：(1)设投资为x万元，A产品的利润为f (x)万元，B产品的利润为g(x)万元， 由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x(k1·k2≠0)， 由图知f (1)＝14，∴k 1＝14. 又g(4)＝52，∴k2＝54. 从而f(x)＝14x(x≥0)，g(x)＝54 x(x≥0)． 所以利润与投资的函数关系式为
应注意新的变元的取值范围，即注意转化的等价性．
迁移发散
1．杭州某房地产公司要在西湖边的空地ABCDE(如右图所示)上
划出一块长方形地面建一公寓，且所划长方形的一条边在ED
上，其中ED＝100，EA＝60，BC＝70，DC＝80.问：如何设
计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(单位：m)．
解：如题图，设FM＝x(0≤x≤30)，
因为△AGB与△BFM相似，所以BF＝AG＝2，得BF＝2x，
x GB 3
3
S＝(70＋x)(80－23x)＝－23x2＋1030x＋5 600.
当x＝25时，Smax＝18 3050，此时MB＝25 3 13，
所以当长方形顶点M在AB边上距B为25 13m时，面积最大为18 050m2.
3
3
考向二 分段函数模型的应用
当t＝52时，ymax＝
65≈4，此时x＝10－25＝3.75.
16
4
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．
反思感悟：善于总结，养成习惯 1．比例关系：变量y与x成正比例，可表示为y＝kx(k≠0)． 2．换元法：本例第2问通过换元转化为二次函数问题，使问题简化，但
A种产品f (x)＝14x(x≥0)， B种产品g(x)＝54 x(x≥0)． (2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10－x)万元，设企业利润为y万元，则 y＝f(x)＋g(10－x)＝x4＋54 10－x，
∴0≤x≤10，令 10－x＝t，
则0≤t≤ 10，
则y＝10－4 t2＋54t＝－14t－522＋6156(0≤t≤ 10)，
到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用
了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数
图象为
()
解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用 定性分析法不难得到答案为D. 答案：D
5．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品， 成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－ 1 Q2， 20 则总利润L(Q)的最大值是________． 解析：总利润L(Q)＝40Q－ 1 Q2－10Q－2 000 20 ＝－ 1 (Q－300)2＋2 500. 20 故当Q＝300时，总利润最大值为2 500万元． 答案：2 500万元
【例2】 某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市 销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完，公司 对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图② (一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③ 是每件样品的销售利润与上市时间的关系．
函数模型及应用
基础自查
1．三种增长型函数模型的图象与性质
函数 性质 在(0，＋∞)上
的增减性 增长速度
图象的变化
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
增函数
增函数
越来越快
越来越慢
随x增大逐渐表现 随x增大逐渐表现
为与y轴平行
为与x轴平行
y＝xn(n＞0)
增函数 相对平稳 随n值变化而不
同
2.常用的几类函数模型 (1)一次函数模型f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)； (2)反比例函数模型f(x)＝＋b(k、b为常数，k≠0)； (3)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)； (4)指数函数模型f(x)＝a·bx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)； (5)对数函数模型f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)； (6)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)．
400吨，单价应该是
()
A．820元
B．840元
C．860元
D．880元
解析：依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
由x＝800，y＝1 000及x＝700，y＝2 000，
可得k＝－10，b＝9 000，即y＝－10x＋9 000，
将y＝400代入得x＝860.
答案：C
4．(2010·泰安模拟)设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地
联动思考
议一议：以上三种函数都是单调增函数，它们的增长速度相同吗？在(0，＋∞) 上随着x的增大，三种函数的函数值间有什么关系？ 答案：三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同 一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时有ax＞xn＞logax.
联动体验
()
A．3
B．4
C．6
D．12
解析：设隔墙的长为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，y＝x×24－2 4x＝2x(6－x)，
∴当x＝3时，y最大．
答案：A
3．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，
如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元；一客户购买