函数模型及应用课件
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高中数学必修一(人教版)《4.5.3 函数模型的应用》课件
D．2025年
解析：设从 2018 年起，再过 n 年这家工厂生产这种产品的年产量超过 6 万件，根
据题意，得 2(1＋20%)n>6，即 1.2n>3，两边取对数，得 nlg 1.2>lg 3，∴n>lglg13.2＝
lg
lg 3 3－1＋2lg
2≈6.03，又
n
为整数，∴n
的最小值为
7，又
2
018＋7＝2
[典例 3] 某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在 50 万元到 500 万元 的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金 y(单位：万元)随年产值 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于 7 万元，同时奖金不超过年产值的 15%.
(1)若某企业年产值 100 万元，核定可得 9 万元奖金，试分析函数 y＝lg x＋kx ＋5(k 为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知 lg 2≈0.3， lg 5≈0.7)．
分段函数模型
y＝b·ax＋c
y＝mlogax＋n y＝axn＋b
y＝fgxx，，xx<≥mm，
a＞0 且 a≠1 b≠0，
a＞0 且 a≠1， m≠0
a≠0，n≠1
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．
()
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．
2 2 a.
(1)求 p%的值．
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[解] (1)由题意得 a(1－p%)10＝a2， 故今后最多还能砍伐15年．
[方法技巧] 在 实 际 问 题 的 应 用 中 ， 常 见 的 增 长 率 问 题 的 解 析 式 可 以 表 示 为 y ＝ N(1 ＋ p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．有关人口增长、银行利率、 细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．
函数模型及其应用-课件PPT
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且 a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
温馨提醒：解决实际应用问题的一般步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
【解】设可获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210 时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.
近_平__行_
随n值变化而 不同
1．下列函数中，随 x 的增大，y 的增大速度最快的是( A )A． y＝ 11ຫໍສະໝຸດ 0exB．y＝100 ln x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途 中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( C )
∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
分段函数模型 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格 均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)＝－2t ＋200(1≤t≤50，t∈N)．前 30 天价格为 g(t)＝12t＋30(1≤t≤30， t∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；
4.5.3函数模型的应用课件(人教版)
16
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要 将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已 知函数解析式求函数值或自变量的值.
17
1．某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数关 系为：
P＝t－＋t2＋0100<0t<2255≤，t≤30. (t∈N*) 设该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系为 Q＝40－ t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金 额最大是第几天？
31
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
/cm
体重 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
/kg
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第3课时 函数模型的应用
2
学习目标
核心素养
1.会利用已知函数模型解决实际问
题．(重点) 通过本节内容的学习，使学生认识函
2．能建立函数模型解决实际问 数模型的作用，提高学生数学建模、
题．(重点、难点) 数据分析的素养.
3．了解拟合函数模型并解决实际问
车有营运利润的时间不超过
解 y≥0，得 6－ 11≤x≤6＋
________年．
11，所以有营运利润的时间为 2 11.
又 6<2 11<7，所以有营运利润的时
间不超过 7 年．]
12
合作探究 提素养
13
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
121n0≥1232，1n0≤32，解得 n≤15.
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
函数模型的应用实例 课件
解：由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽 象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个 数据．
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标 代入函数式，得32aa＋ ＋bb＝ ＝11..32， ，解得ab＝＝01..1，
所以有关系式 y＝0.1x＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下， 产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的．
过筛选，以指数函数模型为最佳，一是误差小，二是由于 厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间 内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设 备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模拟恰好反映了这 种趋势．因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 比较接近 客观实际．
类型 3 建立拟合函数解决实际问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)某个体经营者把开始六 个月试销 A、B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列 成下表：
(3)设模拟函数为 y＝abx＋c 时，
将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，
得aabb2＋＋cc＝＝11，.2，
① ②
ab3＋c＝1.3. ③
由①，得 ab＝1－c，代入②③，
得bb2（（11－－cc））＋＋cc＝＝11.2.3，.
则cc＝＝1111..32－ －－－bbbb22，，解得bc＝＝10..45.， 则 a＝1－b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最 小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经
设 y＝kx＋b，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入， 得01..32＝ ＝k4＋ k＋b， b，解得kb＝＝00..3，所以 y＝0.3x.(8 分) 设第 7 个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元、 (12－x)万元，总利润为 W 万元， 那么 W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)． 所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10 分) 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.55 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元．(11 分)
函数模型及其应用_PPT课件
设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，
而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利润为
W2＝
[－
1 160
(x－
40)2＋
100]×5＋
(－
159 160
x2＋
119 2
x)×5＝
－
5(x
－30)2＋4950.
当 x＝30 时，(W2)max＝4950(万元)．从而 10 年的总利润为27875
例 1 西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，
当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得 利润 P＝－1160(x－40)2＋100 万元．当地政府拟在新的十年发展
规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该 项目每年都投入 60 万元的销售投资，在未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成， 通车前该特产只能在当地销售；
【解】 设温室的左侧边长为 xm，则后侧边长为80x0m.
∴蔬菜种植面积
y
＝
(x
－
4)(
800 x
－
2)
＝
808
－
2(x
＋
16x00)(4<x<400)，
∵x＋16x00≥2 x·16x00＝80，∴y≤808－2×80＝648(m2)．
当且仅当 x＝16x00，即 x＝40，此时80x0＝20(m)，y 最大＝648m2.
∴当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧边长为 20m 时，蔬菜
的种植面积最大，为 648m2.
变式迁移 2 某工厂有一段旧墙长 14m，现准备利用这段旧 墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126m2 的厂房，工程条件 是：①建 1m 新墙的费用为 a 元；②修 1m 旧墙费用是a4元；③拆 去 1m 旧墙，用所得的材料建 1m 新墙的费用为a2元，经讨论有两 种方案：(1)利用旧墙的一段 xm(x<14)为矩形厂房一面的边长；
函数模型的应用实例 课件
fnx，x∈Dn
2.建立函数模型解决问题的框图表示
一次函数、二次函数模型的应用
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标 价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效 价格为每件 300 元．现在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件，商场以高于成本价的 价格(标价)出售．问：
分段函数模型的应用
经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与 价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满足 g(t)＝80－2t(件)，价格近似满
足于 f(t)＝2155－＋2121tt，，100≤<tt≤≤1200
(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式；
函数模型的应用实例
教材整理 函数模型的应用 1．常见的函数模型
函数模型 (1)正比例函数模型 (2)反比例函数模型 (3)一次函数模型 (4)二次函数模型
函数解析式 f(x)＝kx(k为常数，k≠0) f(x)＝(k为常数，k≠0) f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
[探究共研型] 拟合数据构建函数模型
探究1 画函数图象的一般步骤有哪些？ 【提示】 列表、描点、连线．
探究2 学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学 知识给予指导性说明吗？
【提示】 第一步：收集样本一周的数据，制成样本点．如(1，x1)，(2，x2)，…， (7，x7)．
第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示． 第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点． 第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整．
2.建立函数模型解决问题的框图表示
一次函数、二次函数模型的应用
商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标 价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效 价格为每件 300 元．现在这种羊毛衫的成本价是 100 元/件，商场以高于成本价的 价格(标价)出售．问：
分段函数模型的应用
经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与 价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满足 g(t)＝80－2t(件)，价格近似满
足于 f(t)＝2155－＋2121tt，，100≤<tt≤≤1200
(元)．
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式；
函数模型的应用实例
教材整理 函数模型的应用 1．常见的函数模型
函数模型 (1)正比例函数模型 (2)反比例函数模型 (3)一次函数模型 (4)二次函数模型
函数解析式 f(x)＝kx(k为常数，k≠0) f(x)＝(k为常数，k≠0) f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
[探究共研型] 拟合数据构建函数模型
探究1 画函数图象的一般步骤有哪些？ 【提示】 列表、描点、连线．
探究2 学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学 知识给予指导性说明吗？
【提示】 第一步：收集样本一周的数据，制成样本点．如(1，x1)，(2，x2)，…， (7，x7)．
第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示． 第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点． 第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整．
第4章4.5.3函数模型的应用(课件)
课堂练习
B
课堂练习
C
课堂练习
1 024
2ln 2
课堂总结
通过集合、函数等高中数学知识的学习,结合本节课构建函数 模型解决实际问题的探究,我们应该有意识地用数学语言表达现实 世界,学会从数学的角度发现和提出问题,会用数学模型解决实际问 题,积累数学实践的经验,体会数学在各个领域的应用价值,提升发现 问题、提出问题和解决问题的能力,培养数学学科核心素养.
布置作业 教材习题4.5第11,12题.
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2.实际应用
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3.总结提升 构建函数模型解决实际问题的步骤主要有什么? (1)理解题意; (2)提炼信息; (3)构建函数模型; (4)求解模型; (5)检验模型; (6)应用模型.
因为人口基数较大,人口增长过快,与我国经济发展水平产生了 较大矛盾,所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策.因此 这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件, 自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况.
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【总结】 数学建模主要表现为发现和提出问题,建立和求解模型,检验和 完善模型,分析和解决问题. 在用已知的函数模型刻画实际问题时,应注意模型的适用条件.
4.5.3 函数模型的应用
导入新课
函数是描述客观世界变化规律的数学模型,不同的变化规律需 要用不同的函数模型来刻画.
面临一个实际问题,该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?
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1.例题探究1990年的人口数为11.43亿,直到2005年才突破13亿. 对由函数模型所得的结果与实际情况不符,你有何看法?
函数模型及其应用实例 课件
50 1.430 1210071 一下，第31天感染者总人数？第36天感染者总人数 50 1.435 6508052 呢？
例1、某公司2009年为了实现1000万元总利润的目标，他准备制定一
个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利
润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的
对数函数）差异的认识。
常数函数 没有增长 增长量为零
一次函数 直线增长 增长量相同
指数函数 指数爆炸 增长量迅速增加
对数函数 对数增长 增长量减少
2. 几类增长函数建模的步骤
具
列
不
确
体
解 画出图像（形） 同
定
问
析 列出表格（数） 增
模
题
式
长
型
预报和决策
控制和优化
数学家建立模型来预测未来感染者的人数。在这 个模型中，最重要的因素之一是流行病的传播能力， 也就是一个患者平均可以传染几个人，这个数值叫 做再生数(通俗理解即为增长率)。这一次甲型H1N1 流感，专家初步估计这个数值大约在0.4～1.5之间。
若截至今天杭州已确认感染者50个，假如杭州的 再生数是0.4，且不进行任何防控措施，请同学计算
列表法比较三种方案的累计回报
投资__1_~_7_天__，___ 应选择第一种投资方案； 投资__8_~_1_0_天__，___应选择第二种投资方案； 投资_1_1_天__（__含__1_1_天__）__以__上__，_应选择第三种投资方案。
累计回报表
天数
方案 一 二 三
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8
例1、某公司2009年为了实现1000万元总利润的目标，他准备制定一
个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利
润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的
对数函数）差异的认识。
常数函数 没有增长 增长量为零
一次函数 直线增长 增长量相同
指数函数 指数爆炸 增长量迅速增加
对数函数 对数增长 增长量减少
2. 几类增长函数建模的步骤
具
列
不
确
体
解 画出图像（形） 同
定
问
析 列出表格（数） 增
模
题
式
长
型
预报和决策
控制和优化
数学家建立模型来预测未来感染者的人数。在这 个模型中，最重要的因素之一是流行病的传播能力， 也就是一个患者平均可以传染几个人，这个数值叫 做再生数(通俗理解即为增长率)。这一次甲型H1N1 流感，专家初步估计这个数值大约在0.4～1.5之间。
若截至今天杭州已确认感染者50个，假如杭州的 再生数是0.4，且不进行任何防控措施，请同学计算
列表法比较三种方案的累计回报
投资__1_~_7_天__，___ 应选择第一种投资方案； 投资__8_~_1_0_天__，___应选择第二种投资方案； 投资_1_1_天__（__含__1_1_天__）__以__上__，_应选择第三种投资方案。
累计回报表
天数
方案 一 二 三
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8
4.5.3函数模型的应用课件(人教版)
因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为：
y=55196e0.021876t，t∈[0,9].
（2）分别取t=1,2，…，8，由：y=55196e0.021876t 可得我国在
1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，
得到我国在1951～1958年各年末人口总数，如表所示：
关系？
思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？
体重（kg）
o
身 高 （ cm ）
思考2:根据这些点的散布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，
使它能比较近似地反应这个地区未成年男性体重与身高的函数
关系？
体 重 （ kg ）
指数型函数模型y=a·bx，因为它的
图象与散点的变化趋势最类似.
o
思考3:如何求出函数关系式中参数a,b？
A．70元
B．65元
C．60元
D．55元
解析：设该商品每件单价提高x元，销售该商品的月利润为y元，
则y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5 000
＝－10(x－20)2＋9 000
∴当x＝20时，ymax＝9 000，此时每件定价为50＋20＝70元.
2．以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹，t秒后的高度x米
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数
到达13亿？
设置探究问题：
(1)本例中所涉及的数量有哪些?
答：经过t年后的人口数y,y0；人口年平均增长率r；经过的
时间t以及1950～1959年我国的人口数据.
(2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的?确定
这种函数模型需要几个因素?
下表是1951～1958年我国的人口数据资料：
y=55196e0.021876t，t∈[0,9].
（2）分别取t=1,2，…，8，由：y=55196e0.021876t 可得我国在
1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，
得到我国在1951～1958年各年末人口总数，如表所示：
关系？
思考1:上表提供的数据对应的散点图大致如何？
体重（kg）
o
身 高 （ cm ）
思考2:根据这些点的散布情况，可以选用那个函数模型进行拟合，
使它能比较近似地反应这个地区未成年男性体重与身高的函数
关系？
体 重 （ kg ）
指数型函数模型y=a·bx，因为它的
图象与散点的变化趋势最类似.
o
思考3:如何求出函数关系式中参数a,b？
A．70元
B．65元
C．60元
D．55元
解析：设该商品每件单价提高x元，销售该商品的月利润为y元，
则y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5 000
＝－10(x－20)2＋9 000
∴当x＝20时，ymax＝9 000，此时每件定价为50＋20＝70元.
2．以每秒a米的速度从地面垂直向上发射子弹，t秒后的高度x米
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数
到达13亿？
设置探究问题：
(1)本例中所涉及的数量有哪些?
答：经过t年后的人口数y,y0；人口年平均增长率r；经过的
时间t以及1950～1959年我国的人口数据.
(2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的?确定
这种函数模型需要几个因素?
下表是1951～1958年我国的人口数据资料：
函数模型及其应用PPT教学课件
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价 恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元， 写出函数P＝f(x)的表达式．
分析 根据题意，每个零件的利润随订购量的多少而 变化，所以要按订购量的范围不同，分别确定总利润 的表达式，即分段表达，建立目标函数．依据函数解 析式，对各个问题分别求解．
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
100 (11.2%)2,
三年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)3, ... x年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)x , (2)十年后，人口数位 100 (11.2%)10 112.（7 万人）
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－ 115>0，解得x>2.3.∵x∈N*，∴x≥3， ∴3≤x≤6，x∈N*.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115>0，有
3x2 68x 115 0 ，上述不等式的整数解为
2≤x≤20(x∈N*)，
荤菜和二蔬、菜认搭识配平；衡即膳保食持宝营塔养的平 衡
1、食物的酸碱性分类
（1）酸性食物：
食物的组成成分在人体内代 谢后生成酸性物质，使体液呈弱 酸性。这类食物在生理上称为成 酸性食物，习惯上称为酸性食物。
（如含蛋白质丰富的食物，经过人体 内消化、吸收后，最后氧化成酸，所以多 属于酸性食物。）
（2）碱性食物：
∴6<x≤20(x∈N*)
故y
3x
50x 115(3 x 2 68x 115(6
6, x N ), x 20, x N
),
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元， 写出函数P＝f(x)的表达式．
分析 根据题意，每个零件的利润随订购量的多少而 变化，所以要按订购量的范围不同，分别确定总利润 的表达式，即分段表达，建立目标函数．依据函数解 析式，对各个问题分别求解．
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
100 (11.2%)2,
三年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)3, ... x年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)x , (2)十年后，人口数位 100 (11.2%)10 112.（7 万人）
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－ 115>0，解得x>2.3.∵x∈N*，∴x≥3， ∴3≤x≤6，x∈N*.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115>0，有
3x2 68x 115 0 ，上述不等式的整数解为
2≤x≤20(x∈N*)，
荤菜和二蔬、菜认搭识配平；衡即膳保食持宝营塔养的平 衡
1、食物的酸碱性分类
（1）酸性食物：
食物的组成成分在人体内代 谢后生成酸性物质，使体液呈弱 酸性。这类食物在生理上称为成 酸性食物，习惯上称为酸性食物。
（如含蛋白质丰富的食物，经过人体 内消化、吸收后，最后氧化成酸，所以多 属于酸性食物。）
（2）碱性食物：
∴6<x≤20(x∈N*)
故y
3x
50x 115(3 x 2 68x 115(6
6, x N ), x 20, x N
),
函数模型及其应用几种不同增长的函数模型课件
03
工程学
在工程学中，对数增长函数可以用来描述某些物理量的变化过程。例如，
材料的疲劳寿命与应力之间的关系往往呈现出对数增长的趋势。
05
幂次增长函数模型
幂次增长函数定义与性质
定义：幂次增长函数是指形如 y = ax^m (a > 0, m ≠ 0) 的函数，其中 a 是常数，m 是实数。
性质
当 m > 0 时，函数在整个定义域内单 调递增；
性质
线性增长函数具有比例性、可加 性和可减性。即当自变量x增加或 减少一个单位时，函数值y按一定 比例增加或减少。
线性增长函数图像及特点
图像
线性增长函数的图像是一条直线， 斜率为k，截距为b。
直线性
图像是一条直线，表示函数值 随自变量变化而均匀变化。
比例性
图像上任意两点的纵坐标之差 与横坐标之差的比值相等，即 斜率k。
函数性质
包括单调性、奇偶性、周期性、连续性等。这些性质反映了函数图像的变化规律 和函数值的分布特征。
常见函数类型及图像
一次函数
形如$y=kx+b(k neq 0)$的函数。图像是 一条直线，斜率为$k$，截距为$b$。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。它 们的图像分别是正弦曲线、余弦曲线和正 切曲线，具有周期性和对称性。
统计学
在统计学中，线性增长函数可用于进 行数据拟合和预测分析，如回归分析 中的线性回归模型。
03
指数增长函数模型
指数增长函数定义与性质
01
定义：指数增长函数是一种形如 y = a * b^x （其中 a ≠ 0， b > 1）的函数，表示自变量 x 的指数增长。
02
性质
函数模型及其应用+课件-2025届高三数学一轮复习
A
a
b
c
A.① B.①② C.①③ D.①②③
[解析] 由题图a,得进水的速度为1,出水的速度为2.在题图c中， 时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2, 只进水不出水（即两个进水口都进水）,故①一定正确;若不进水只出水1小时后,则蓄水量减少2,故②一定错误;若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量也可以保持不变,故③不一定正确.故选A.
［思路点拨］（1）根据与 的关系图可得正确的选项.
（2） 水池有两个相同的进水口和一个出水口,其进水量和出水量随时间的变化如图a, 所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图c所示,给出以下3个说法:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.则说法一定正确的是( )
，，为常数，且，
对数函数模型
，，为常数，且，
幂函数模型
，， 为常数，，
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知函数，，，则随着 的增大，增长速度的大小关系是_______________.（填关于，， 的关系式）
[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得 .
2.［教材改编］ 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的矩形花园（阴影部分），则其中 的取值范围是_________.
［思路点拨］（2）蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速度大于进水速度,再结合具体数据进行分析即可.
[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.
a
b
c
A.① B.①② C.①③ D.①②③
[解析] 由题图a,得进水的速度为1,出水的速度为2.在题图c中， 时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2, 只进水不出水（即两个进水口都进水）,故①一定正确;若不进水只出水1小时后,则蓄水量减少2,故②一定错误;若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量也可以保持不变,故③不一定正确.故选A.
［思路点拨］（1）根据与 的关系图可得正确的选项.
（2） 水池有两个相同的进水口和一个出水口,其进水量和出水量随时间的变化如图a, 所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图c所示,给出以下3个说法:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.则说法一定正确的是( )
，，为常数，且，
对数函数模型
，，为常数，且，
幂函数模型
，， 为常数，，
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知函数，，，则随着 的增大，增长速度的大小关系是_______________.（填关于，， 的关系式）
[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得 .
2.［教材改编］ 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的矩形花园（阴影部分），则其中 的取值范围是_________.
［思路点拨］（2）蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速度大于进水速度,再结合具体数据进行分析即可.
[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.
函数函数模型及其应用课件
掌握函数模型的参数调整和优化方法
学生需要掌握如何调整和优化函数模型的参数，以提高模型的预测准确性和泛化能力。
学习函数模型的重要性
提高数据处理和分析能力
函数模型是数据处理和分析的重要工具，通过学习函数模 型，学生可以更好地理解和处理数据，提高数据处理和分 析能力。
解决实际问题
函数模型可以应用于各种实际问题，如预测股票价格、识 别垃圾邮件、推荐商品等。通过学习函数模型，学生可以 更好地解决实际问题，提高实际应用能力。
多项式拟合
多项式插值
利用多项式对数据进行插值，得到更 加平滑的曲线。
将数据拟合为多项式曲线，以便于分 析和可视化。
04
复杂函数模型及其应用
三角函数模型
总结词
利用正弦、余弦、正切等函数形式描述周期现象，解决实际 问题。
详细描述
三角函数模型是描述周期现象的重要工具，通过对正弦、余 弦、正切等函数形式的组合和变换，可以精确地描述许多自 然现象，如振动、波动等。在物理、工程、天文等领域中具 有广泛的应用。
对数函数模型
对数回归
通过最小二乘法等统计方 法，建立因变量与自变量 之间的对数关系模型。
对数变换
将非线性关系转换为线性 关系，以便于分析和建模 。
对数生长
描述变量随时间呈对数增 长的情况，如细菌繁殖等 。
多项式函数模型
多项式回归
通过最小二乘法等统计方法，建立因 变量与自变量之间的多项式关系模型 。
工程领域中的应用
建筑设计
函数模型可以用来进行建筑设计，通过建立建筑物的结构模型和荷 载模型，可以分析建筑物的稳定性和安全性。
机械设计
函数模型可以用来进行机械设计，通过建立机械系统的运动模型和 动力学模型，可以分析机械系统的性能和优化设计。
学生需要掌握如何调整和优化函数模型的参数，以提高模型的预测准确性和泛化能力。
学习函数模型的重要性
提高数据处理和分析能力
函数模型是数据处理和分析的重要工具，通过学习函数模 型，学生可以更好地理解和处理数据，提高数据处理和分 析能力。
解决实际问题
函数模型可以应用于各种实际问题，如预测股票价格、识 别垃圾邮件、推荐商品等。通过学习函数模型，学生可以 更好地解决实际问题，提高实际应用能力。
多项式拟合
多项式插值
利用多项式对数据进行插值，得到更 加平滑的曲线。
将数据拟合为多项式曲线，以便于分 析和可视化。
04
复杂函数模型及其应用
三角函数模型
总结词
利用正弦、余弦、正切等函数形式描述周期现象，解决实际 问题。
详细描述
三角函数模型是描述周期现象的重要工具，通过对正弦、余 弦、正切等函数形式的组合和变换，可以精确地描述许多自 然现象，如振动、波动等。在物理、工程、天文等领域中具 有广泛的应用。
对数函数模型
对数回归
通过最小二乘法等统计方 法，建立因变量与自变量 之间的对数关系模型。
对数变换
将非线性关系转换为线性 关系，以便于分析和建模 。
对数生长
描述变量随时间呈对数增 长的情况，如细菌繁殖等 。
多项式函数模型
多项式回归
通过最小二乘法等统计方法，建立因 变量与自变量之间的多项式关系模型 。
工程领域中的应用
建筑设计
函数模型可以用来进行建筑设计，通过建立建筑物的结构模型和荷 载模型，可以分析建筑物的稳定性和安全性。
机械设计
函数模型可以用来进行机械设计，通过建立机械系统的运动模型和 动力学模型，可以分析机械系统的性能和优化设计。
讲函数模型及其应用课件
在生物学中，一次函数模型可以用来描述 物种数量与时间的关系、生长曲线等。
一次函数模型在社会科学中的应 用
在社会科学中，一次函数模型可以用来描 述人口增长、城市化率等社会现象。
二次函数模型的应用
二次函数模型在经济学中的应用
通过建立二次函数模型，可以描述和分析经济现象，例如需求与价格 的关系、供给与价格的关系等。
总结词
生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，如种群动态、基因表 达等。
详细描述
在生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，例如种群动态、基 因表达等。通过建立函数模型，生物学家可以对生物数据进行数学分析和预测，从而更
好地理解生物系统的运行规律和演化趋势。
计算机科学中的函数模型应用
三角函数模型在社会科学 中的应用
在社会科学中，三角函数模型 可以用来描述社会现象的周期 性变化，例如人口普查、就业 率变化等。
指数函数与对数函数模型的应用
指数函数与对数函数在经济学中的应用
在经济学中，指数函数和对数函数被广泛应用于描述增长和衰减过程 ，例如复利计算、人口增长预测等。
指数函数与对数函数在物理学中的应用
总结词
计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。
VS
详细描述
在计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。通 过建立函数模型，计算机科学家可以对计 算机系统和算法进行数学分析和优化，从 而提高计算机系统的效率和性能。
THANKS
感谢观看
三角函数模型在物理学中 的应用
在物理学中，三角函数模型可 以用来描述周期性运动，例如 简谐振动、交流电等。
三角函数模型在工程学中 的应用
一次函数模型在社会科学中的应 用
在社会科学中，一次函数模型可以用来描 述人口增长、城市化率等社会现象。
二次函数模型的应用
二次函数模型在经济学中的应用
通过建立二次函数模型，可以描述和分析经济现象，例如需求与价格 的关系、供给与价格的关系等。
总结词
生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，如种群动态、基因表 达等。
详细描述
在生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，例如种群动态、基 因表达等。通过建立函数模型，生物学家可以对生物数据进行数学分析和预测，从而更
好地理解生物系统的运行规律和演化趋势。
计算机科学中的函数模型应用
三角函数模型在社会科学 中的应用
在社会科学中，三角函数模型 可以用来描述社会现象的周期 性变化，例如人口普查、就业 率变化等。
指数函数与对数函数模型的应用
指数函数与对数函数在经济学中的应用
在经济学中，指数函数和对数函数被广泛应用于描述增长和衰减过程 ，例如复利计算、人口增长预测等。
指数函数与对数函数在物理学中的应用
总结词
计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。
VS
详细描述
在计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。通 过建立函数模型，计算机科学家可以对计 算机系统和算法进行数学分析和优化，从 而提高计算机系统的效率和性能。
THANKS
感谢观看
三角函数模型在物理学中 的应用
在物理学中，三角函数模型可 以用来描述周期性运动，例如 简谐振动、交流电等。
三角函数模型在工程学中 的应用
高一数函数模型的应用实例【共44张PPT】
分段函数模型
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不 超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为 3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y元，已知甲、乙两用户该 月用水量分别为5x,3x吨．
(1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、 乙两用户该月的用水量和水费．
(5) 指 数 函 数 模 型 ： f(x) ＝ __a__·_b_x_＋__c__(a ， b ， c 为 常 数 ， a≠0，b>0，b≠1)；
(6)对数函数模型：f(x)＝____m__lo_g_a_x_＋__n_____(m，n，a为常 数，m≠0，a>0，a≠1)；
(7)幂函数模型：f(x)＝_____a_x_n＋__b_(a，b，n为常数，a≠0， n≠1)．
3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)．
2．借助已知对数值求解实际问题的关键是什么？
5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
付费 y ＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)． (3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)． 1
1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多
造林20%，则第四年造林( )
A．14 400亩
B．172 800亩
C．20 736亩
D．17 280亩
解析： 设年份为x，造林亩数为y，则y＝10 000×(1＋
20%)x－1，
∴x＝4时，y＝17 280.故选D.
答案： D
2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000 辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每 辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元， 则y关于x的函数关系式是( )
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再分析一月份的用气量是否超过最低限度. 不妨设A<4,将x=4代入y=3+B(x-A)+C, 得3+0. 5×+C=3. 5, 由此推出3. 5=4,矛盾. ∴A≥4,一月份付款额为3+C, ∴3+C=4,即C=1, 将C=1代入A=2C+3,得A=5, ∴A=5,B=0. 5,C=1.
函数模型及应用
设PO＝x，则S＝－（x－ 190）2＋×1902，0＜x＜ 200，即x＝190时，最大 函数模型面及积应为用24067m2．
例3.某家庭今年一月份到三月份煤气用 量以及所支付的费用如下表表示：
月份
用气量
煤气费
一月份
4立方米
4元
二月份
25立方米
14元
三月份
35立方米
19元
该家庭所在地制定的收费办法是:煤气费=基本 费+超额费+保险费.若每月用气量不超过最低 限度A立方米,只支付基本费3元和每户每月的 定额保险费C元,若用气量超过A立方米,则超出 部分每立方米支付B元,又已知保险费C不超过5 元,试根据上面的表格求A、B函、数C模的型及值应用.
实际问题
答
实际问题 的解
抽象概括 还原说明
数学模型
推理 演算
数学模型 的解
函数模型及应用
数学运用
2、课内练习 （1）今有一组实验数据如下：
Vt 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个表示这些数
据满足的规律，其中最接近的一个是
＝t3 .其中正确的是
（）
y(m2)
16
8
4
P
2
O 1 234
t(月)
A. ①②③
B. ①②③④
C. ②③④⑤
D. ①②⑤
函数模型及应用
数学运用
（4）据报道，1992年底世界人口达到54.8亿，若 世界人口的年平均增长率为x%，到2008年底全世 界人口数为y亿，则y与x的函数关系是 _________________________.
函数模型及应用
函数模型及应用
例1 国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算： (1)信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分， 即信函质量不超过20g,付邮资80分,信函质量超 过20g,且不超过40g付邮资160分,依此类推； (2)信函质量超过100g且不超过2000g时,每100g 付邮资200分,即信函质量超过100g,但不超过 200g付邮资(A+200)分,A为质量为100g的信函的 邮资,信函质量超过200g,但不超过300g付邮资 (A+400)分,依此类推. 设一封xg(0≤x≤200)的信函应付的邮资为y(单位: 分),试写出y与x之间的函数关系式,并画出这个
（2）若总运费不超过9000元，问一共有几 种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案及最低的 运费.
函数模型及应用
2．为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司
要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一 块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边 分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角 形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面 积最大？并求出最大面积．已知AB＝200m，BC＝ 160m，AE＝60m，AF＝40m．
函数模型及应用
因此，解决应用题的一般程序是： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺
数量 关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言，利用
数学知识，建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论； ④作答：将用数学知识和方法得出的结论，
还原为实际问题的意义．
函数模型及应用
解应用题的一般思路：
进水量 1
出水量 2
蓄水量
6 5
O
1
时间
甲
O
1
时间
乙
O
34 6
时间
V
V0
O
Hh
C.
V
V0Oຫໍສະໝຸດ HhD.函数模型及应用
（3）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积
y(m2)与时间t(月)的关系： y=at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2； ②第5个月时，浮萍面积就会30m2； ③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过 1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等； ⑤若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所 经过的时间分别为t1、t2、t3 ，则t1＋t2
[解]设每月用气量x米3,支付费用为y元,
则得
3C,
0≤ x≤ A,
Y 3BxAC, xA.
由0<C≤5,有3<3+C≤8,
由于第二､第三月份的费用都大于8元,即用气量25米3,35米3
都大于最低限度A米3,
则 3B25AC14, 3B35AC19,
两式相减,得B=0. 5,∴A=2C+3.
函数模型及应用
（5）某种放射性元素的原子数N随时间t的变化
规律是N=N0e-λt ，其中N0、λ是正常数.
（I）说明该函数是增函数还是减函数； （II）把t表示成原子数N的函数； （III）求当 N= N0/2 时，t的值.
函数模型及应用
课后作业
. 一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口或 出水口的进出水速度 如图甲、乙所示. 某天0点 到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一 个水口）
函数的图像. (这是一个分段函数问题) 函数模型及应用
例1:某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产 某种机器12台与6台，现在要销售给A地10 台，B地8台.又已知从甲地调运一台到A地、 B地的运费分别为400元与800元；从乙地 调运一台到A地、B地的运费分别为300元 与500元.
（1）设从乙地调运x台到A地，求总运费y元 关于x的函数关系式；
（）
A．vlog2t B.v log1 t
2
C.
v t 2 1 D. 2
v2t2
函数模型及应用
（2）一个高为H、盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示， 现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深
h时水的体积为V，则函数V=f(h)的图像大致是
（）
V V0
V V0
O
Hh
A.
O B. H h
¡ 例4:某工厂生产某种零件，每个零件的成本为40 元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购， 决定当一次订购量过100个时，每多订购一个， 订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实 际出厂单价不能低于51元.
¡ 当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价 恰好降为51元？
¡ 设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为y元， 写出y关于X的函数解析式；