幂函数模型及其应用.ppt
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《幂函数》PPT课件
❖ ★当α为奇数时,幂函数为奇函数,
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
高一数学《幂函数》PPT课件
根据n, m, p的取值不同，图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公 式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公 式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半 径，利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正 方形边长，利用幂函数表 示面积与边长关系。
《数学幂函数》课件
《数学幂函数》PPT课件
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
幂函数(共2课时)课件(共35张PPT)
3.3 幂函数
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
3
4
5
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-1
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1
2
3
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25
-27
-8
-1
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00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
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第5讲二次函数与幂函数PPT课件
或1a≥4， f4＝16a－8＋2≥0，
∴aa≥≥10， 或14a＜＞a12＜1，
或aa≤≥1438，.
∴a≥1 或12＜a＜1 或∅，即 a＞12；
（2）当 a＜0 时， f1＝a－2＋2≥0， f4＝16a－8＋2≥0， 解得 a∈∅； （3）当 a＝0 时， f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意．
，
增
[0，＋∞)增
(0,0)，(1,1)
[0，＋∞) 非奇非偶
增
y＝x－1
{x|x∈R且 x≠0}
{y|y∈R 且y≠0}
奇 (－∞，0)减
， (0，＋∞)减
(1,1)
2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
答案 f(x)＝ x
5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1， x2，则x1＋x2＝________.
解析 由 f(3＋x)＝f(3－x)，知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝3 对称，
应有x1＋2 x2＝3⇒x1＋x2＝6.
答案 6
考点一 幂函数的图象与性质
【训练3】 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．
(1)求g(t)的解析式； 请先暂停，完成题目后继续观看！
(2)求g(t)的最大值． 解 (1)f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.对称轴x＝2. ①当t＋1＜2，即t＜1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
幂函数模型及其应用.ppt
7.在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富， 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万 元的优惠价格装让给了尚有5万元无息贷款没有偿还 的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中， 首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3600元后，逐步偿还转让费（不计息）。在甲提供 的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该 店月销量Q(百件)与销售量价格P（元）的关系如图 所示；③每月需各种开支2000元。 （1）当商品的价格为每件 多少元时，月利润扣除职工 最低生活费的余额最大？并 求最大余额 （2）企业乙只依靠该店，最 早可望在几年后脱贫
2.分贝是计量声音强度相对大小的单位。物理学家引 入了声压级（spl）来描述声音的大小：把一个很小 的声压 帕作为参考声压，把所有要测量 的声压P与参考声压 的比值取常用对数后乘20得 到的数值称为声压级，声压级是听力学中最重要的 参数之一，单位是分贝（dB）。分贝值在60以下为 无害区，60—100为过渡区，100以上为有害区。 （1）根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式） （2）某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什 么区，声音环境是否优良？ （3）2012年春节晚会中，黄宏表演小品时，现场上想 起多次响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮 的一次因量达到了90分贝，是求此时中央电视台演 播大厅的声压是多少？
三、分段函数
5.某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾 馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时， 床位可以全部租出，当床价高于10元时，每提高1元， 将有3张床位空闲，为了获得较好的效益，该宾馆要 给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账， 床价为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为 575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得 越多越好，若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出 租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入） （1）把y表示成x的函数，并求出其定义域； （2）试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面 的两个条件，又能使净收入最多？
【例题讲解】幂函数型模型的应用实例例完整版课件
(2)处理带根号问题时，常用“Байду номын сангаас体换元”，将原函数变形为常规函数来处理.
谢谢观看
Thanks
幂函数型模型的应用实例
例题讲解
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资 股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，
该家庭有20万元资金，全部用于理财投资. 问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
稳健型：投资额m万元 收益：
风险型: 投资额n万元 收益：
解: 设投资风险型产品 x 万元， 所以 总收益 y
即投资风险型产品4万元，稳健型产品16万元，收益最大，为3万元.
幂函数型模型的应用实例
归纳总结
(1)处理幂函数模型的步骤： ①阅读理解、认真审题； ②用数学符号表示相关量，列出函数关系式 ；③根据函数的性质推导运算，求得结果； ④转化成具体问题，给出解答．
谢谢观看
Thanks
幂函数型模型的应用实例
例题讲解
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资 股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，
该家庭有20万元资金，全部用于理财投资. 问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
稳健型：投资额m万元 收益：
风险型: 投资额n万元 收益：
解: 设投资风险型产品 x 万元， 所以 总收益 y
即投资风险型产品4万元，稳健型产品16万元，收益最大，为3万元.
幂函数型模型的应用实例
归纳总结
(1)处理幂函数模型的步骤： ①阅读理解、认真审题； ②用数学符号表示相关量，列出函数关系式 ；③根据函数的性质推导运算，求得结果； ④转化成具体问题，给出解答．
幂函数教学讲解ppt课件
03
幂函数的运算性质及应用
幂函数的加法、减法、乘法运算性质
总结词：掌握幂函数的基本运算性质是 理解幂函数应用的基础。
3. 幂函数的乘法运算性质： $(a^m)(a^n)=a^{m+n}$
2. 幂函数的减法运算性质：$(a^m)(a^n)=a^m-a^n$
详细描述
1. 幂函数的加法运算性质： $(a^m)+(a^n)=a^m+a^n$
课堂练习题
练习1：求解下列函数的奇 偶性
$y=x^2,x \in (-1,1)$；
$y=x^3,x \in (-1,1)$。
解析：对于$y=x^2,x \in (1,1)$，因为$-1<x<1$，所 以$-x<-1<1$，因此有$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，即 该函数为偶函数；对于 $y=x^3,x \in (-1,1)$，因为 $-1<x<1$，所以$-x<1<1$，因此有$f(-x)=(x)^3=-x^3=-f(x)$，即该函 数为奇函数。
02
在日常生活中，我们经常遇到幂 函数的实例，例如人口增长、金 融投资、计算机科技等。
幂函数的概念及重要性
定义
形如y=x^n的函数称为幂函数， 其中x是自变量，n是实常数。
幂函数的重要性
掌握幂函数的性质和变化规律， 有助于解决各种实际问题，培养 数学思维和解决问题的能力。
学习目标与学习方法
学习目标
详细描述
介绍幂函数的阶乘定义，通过实例阐述排列组合的基本概念，例如，组合公式、 排列公式等。
幂函数的对数运算
总结词
掌握幂函数的对数运算性质
详细描述
说明幂函数与对数函数之间的关系，推导基于幂函数的对数运算法则，例如，log(a^b)=b*log(a)。
第三章3.3幂函数PPT课件(人教版)
1.幂函数的概念 一般地，函数 y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论： (1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单 调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从 上到下，相应的幂指数由大变小.
已知 n 取±2，±12四个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－12，－2
C.－12，－2，2，12
D.2，12，－2，－12
解析 根据幂函数 y＝xn 的性质，在第一象限内的图象当 n>0 时，n 越大，y＝xn
递增速度越快，故 C1 的 n＝2，C2 的 n＝12；当 n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所
奇偶性 _奇___
_偶___
_奇___ __非__奇__非__偶__
__奇__
x∈[0，＋∞)， 单调性 _增___ __增__
x∈(－∞，0]， __减__
_增___
__增__
x∈(0，＋∞)，_减___ x∈(－∞，0)，_减___
公共点
都经过点（__1_，__1_）___
教材拓展补遗
[微判断] 1.函数y＝－x2是幂函数.( × )
【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________. 解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 答案 16
题型二 幂函数的图象及其应用 关键取决于α>0，α<0
幂函数ppt
05
幂函数的计算机实现
幂函数在编程中的表示
数学表达式
使用数学表达式表示幂函数，如 `a^b = a * a * ... * a`（b个 a相乘）。
算法实现
介绍常用的幂函数计算算法，如快速幂、迭代乘法、多项式 乘法等。
幂函数计算的性能优化
缓存优化
使用缓存来避免重复计算，提 高计算效率。
数据类型优化
思路2
通过图像观察幂函数的奇偶性和单调性， 并利用性质解决一些问题。
思路4
结合实际生活，分析幂函数的应用场景和 作用，并解决一些实际问题。
THANKS
感谢观看
幂函数在电磁学中的应用
总结词
描述电荷分布
详细描述
在电磁学中，幂函数可以描述电荷分布，如电荷密度、电场强度等物理量。 电荷分布的幂函数形式可以反映电荷分布随位置变化的规律，从而有助于理 解电磁现象的本质。
幂函数在热学中的应用
总结词
描述热辐射
详细描述
热辐射是热力学中一个重要的现象，其辐射强度和辐射温度之间的关系可以用幂 函数表示。幂函数的热辐射公式可以定量地描述物体在不同温度下的辐射特性， 从而在研究物体加热和热交换过程中具有重要应用。
幂函数ppt
xx年xx月xx日
contents
目录
• 幂函数概述 • 幂函数的运算性质 • 幂函数的数学应用 • 幂函数的物理应用 • 幂函数的计算机实现 • 幂函数的相关习题及解答
01
幂函数概述
定义与性质
定义
形如$y=x^a$的函数，其中$a$为常数。
基本性质
幂函数在$(0,0)$点处的导数为0；当$a>0$时，在$(0,+\infty)$区间内单调递 增；当$a<0$时，在$(0,+\infty)$区间内单调递减。
幂函数(课件)
04
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
《幂函数》函数的概念与性质PPT教学课件
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因 为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
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【例3】 比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.
[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解． [解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9－12＝19012， 1.1＝1.112. ∵1.2>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
x∈(－∞，0)
时，减函数
时，减函数
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6
C [只有y＝3x不符合幂函数y 1．下列函数中不是幂函数的是 ＝xα的形式，故选C.] () A．y＝ x B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1
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7
2．已知 f(x)＝(m＋1)xm2＋2 是幂函
D [由题意可知m＋1＝1，即m
数，则 m＝( )
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
2
学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、 1.结合幂函数的图
易混点)
象，培养直观想象
2．结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
的数学素养． 2．借助幂函数的性
象，掌握它们的性质．(重点、难点)
质，培养逻辑推理
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 的数学素养.
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【例3】 比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.
[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解． [解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9－12＝19012， 1.1＝1.112. ∵1.2>190>1.1，且y＝x12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>19012>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.
x∈(－∞，0)
时，减函数
时，减函数
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6
C [只有y＝3x不符合幂函数y 1．下列函数中不是幂函数的是 ＝xα的形式，故选C.] () A．y＝ x B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x－1
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7
2．已知 f(x)＝(m＋1)xm2＋2 是幂函
D [由题意可知m＋1＝1，即m
数，则 m＝( )
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
2
学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、 1.结合幂函数的图
易混点)
象，培养直观想象
2．结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
的数学素养． 2．借助幂函数的性
象，掌握它们的性质．(重点、难点)
质，培养逻辑推理
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 的数学素养.
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一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例 课件
x2
300x
20
000 0
x
400，
60 000 100x x 400.
(2)当0≤x≤400时，f(x)=- 1(x-300)2+25 000,
【典例训练】
1.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.6万元，
但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元，
市场对该机器的需求量为1 000台，销售收入(单位：万元)函 数为：R(x)=5x- 1 x2(0≤x≤10)，其中x是产品的数量(单位：
2
百台),则利润f(x)表示为产量的函数为________.
【解析】1.由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万
元，代入y=xα中，即3α=27，解得α=3，故函数关系式为
y=x3.所以当x=5时，y=125.
答案：125
2.(1)由题意可得R=kr4(k>0)；
(2)由r=3，R=400，可得krR=4
400，则流量速率R的表达式为
81R=400ຫໍສະໝຸດ .r42.某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电 脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台.现A地某单位向该公 司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的 电脑8台.已知甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和 30元，乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元. (1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A地和B地两地的总运费 为y元，求y关于x的函数关系式; (2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？ (3)求总运费最低的调运方案及最低运费.
(2)若使y≤1 000，即20x+960≤1 000，得x≤2. 又0≤x≤6，x∈N，∴0≤x≤2，x∈N. ∴x=0,1,2，即有3种调运方案. (3)∵y=20x+960是R上的增函数，又0≤x≤6且x∈N， ∴当x=0时，y有最小值，为960. ∴总运费最低的调运方案为从甲地调运6台到A地，从乙地调运 8台至B地，调运4台到A地，运费最低为960元.
幂函数优质课件PPT课件
小结：
1.学习了幂函数的概念； 2.利用“还原根式”求幂函数定义
域的方法； 3.利用幂函数在第一象限内的图象 特征，并会根据奇偶性完成整个 函数的图象。 4.利用函数的单调性比较几个“同 指数不同底数”的幂的大小.
课后再探究
整数m, n的奇偶性与幂函数 y x (m, n Z , 且m, n互质)的定 义域以及奇偶性有什么 关系？
一 幂函数的定义：
我们把形如：
yx
的函数称为幂函数，其中 是实常数。 ------为了研究方便，我们只对 是 有理数的情况进行一些讨论
研究几个具体的幂函数
例1 求下列函数的定义域，判断 它们的奇偶性：
(1) y x （3） yx
1 2
(2) y x
2
3 5
例２ 判定函数y=x0.5在定义域上 的单调性.
2 1 0 0 1 2
知识理解、运用
图象性质应用（奇偶性和单调性）
例3、试解下列各题 1
1.画出幂函数 y x 3的图象，并指出它
的单调性
2.比较下列各组数的大小.
(1) 1.5 ,1.7 ,1 (2) ( 2) ,( 3) ,( 5)
3 7 3 7 3 7
1 3
1 3
课堂探究
（1）若(a+1)-2>(3-2a)-2，求实数a 的取值范围。 2-2m-3 m （2）已知幂函数y=x （m∈N) 的图像与x轴、y轴都没有公共点， 且关于y轴对称，求m的值。
重点研究 幂函数在第一象限的图象
• 因为函数的奇偶性能够帮助我们 完成左半平面内的图象，所以只需 要研究它们在第一象限内的图象
二 幂函数在第一象限的图象
利用Excel作出下列幂函数在第一象限的图
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四、对勾函数
5.某村计划建造一个室ห้องสมุดไป่ตู้面积为800 的矩形蔬菜温 室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前沿内墙保留3m宽的空地，当矩形温 室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大 面积是多少？
x
800/x
五、二次函数与二次不等式
5.某人要做一批地砖，每块地转（如图1所示）是边长 为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上， 且CE=CF， CFE、 ABE和四边形AEFD均由单一材料 制成，制成 CEF , ABE和四边形AEFD的三种材 料的每平方米价格之比依次为3:2:1,。若将此地砖 按图2所示的形式铺设，能是中间的深色阴影部分成 四边形EFGH （1）求证：四边形EFGH是正 方形 （2）E、F在什么位置时，做这 批地砖所需的材料费用 最省
2.分贝是计量声音强度相对大小的单位。物理学家引 入了声压级（spl）来描述声音的大小：把一个很小 的声压 帕作为参考声压，把所有要测量 的声压P与参考声压 的比值取常用对数后乘20得 到的数值称为声压级，声压级是听力学中最重要的 参数之一，单位是分贝（dB）。分贝值在60以下为 无害区，60—100为过渡区，100以上为有害区。 （1）根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式） （2）某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什 么区，声音环境是否优良？ （3）2012年春节晚会中，黄宏表演小品时，现场上想 起多次响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮 的一次因量达到了90分贝，是求此时中央电视台演 播大厅的声压是多少？
六、指数函数
4、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长 率为1.2%，试解答一下问题： （1）写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数 关系式 （2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人） （3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万 人（精确到1年） （4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，自 然增长率应该控制在多少？ （参考数据： ）
实际应 用问题 解答数 学问题 分析、联想、 抽象、转化 构建数 学模型
三、分段函数
5.某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾 馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时， 床位可以全部租出，当床价高于10元时，每提高1元， 将有3张床位空闲，为了获得较好的效益，该宾馆要 给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账， 床价为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为 575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得 越多越好，若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出 租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入） （1）把y表示成x的函数，并求出其定义域； （2）试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面 的两个条件，又能使净收入最多？
7.在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富， 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万 元的优惠价格装让给了尚有5万元无息贷款没有偿还 的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中， 首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3600元后，逐步偿还转让费（不计息）。在甲提供 的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该 店月销量Q(百件)与销售量价格P（元）的关系如图 所示；③每月需各种开支2000元。 （1）当商品的价格为每件 多少元时，月利润扣除职工 最低生活费的余额最大？并 求最大余额 （2）企业乙只依靠该店，最 早可望在几年后脱贫
3.2函数模型及其应用
一、一次函数与一次不等式
3、某电信公司提出两种手机收费方式：A种方式是月租 20元，B种方式是月租0元，一个月的本地网内打出电 话时间t (分钟)与打出电话费s（元）的函数关系如图， 当打出电话150分钟时，这两种电话费相差（） A 10元 B 20元 C 30元 D 元
二、对数函数