函数模型及其应用课件
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函数的概念与基本初等函数函数模型及其应用课件文ppt
函数的概念与基本初等函数函数 模型及其应用课件文ppt
xx年xx月xx日
目录
• 函数的概念与基本初等函数 • 函数模型的选择与建立 • 函数模型的应用领域 • 建立函数模型的实例分析 • 函数模型的进阶应用与挑战 • 总结与展望
01
函数的概念与基本初等函数
函数定义与性质
函数定义
设x和y是两个变量，D是一个数集，如果对于D中的每个x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么称y 是x的函数，记作y=f(x)。
06
总结与展望
函数模型的重要性和应用前景
函数模型在各个领域 的应用广泛
无论是自然科学、社会科学还是工程 技术，函数模型都扮演着重要的角色 。
函数模型在数据处理 和分析中的重要性
通过函数模型可以对数据进行拟合、 预测和推断，进而为决策提供科学依 据。
函数模型在算法设计 和优化中的关键作用
函数模型可以描述算法的性能、复杂 度和精度，为算法优化提供基础。
在工程设计中，利用已知的设计 参数，建立函数模型，优化设计 方案。
03
函数模型的应用领域
函数模型在物理中的应用
力学
利用函数模型描述物体的运动轨迹、受力情况等。
电磁学
函数模型可以描述电路、电磁波的传播等。
光学
用函数模型研究光的传播、折射、反射等。
函数模型在化学中的应用
物质结构
函数模型可以描述分子、原子等微观粒子的结构和 运动。
图解法
通过绘制变量之间的关系图，建立函数模型。
最小二乘法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误差 ，建立函数模型。
函数模型的应用实例
01
02
03
经济预测
科学计算
工程设计
xx年xx月xx日
目录
• 函数的概念与基本初等函数 • 函数模型的选择与建立 • 函数模型的应用领域 • 建立函数模型的实例分析 • 函数模型的进阶应用与挑战 • 总结与展望
01
函数的概念与基本初等函数
函数定义与性质
函数定义
设x和y是两个变量，D是一个数集，如果对于D中的每个x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么称y 是x的函数，记作y=f(x)。
06
总结与展望
函数模型的重要性和应用前景
函数模型在各个领域 的应用广泛
无论是自然科学、社会科学还是工程 技术，函数模型都扮演着重要的角色 。
函数模型在数据处理 和分析中的重要性
通过函数模型可以对数据进行拟合、 预测和推断，进而为决策提供科学依 据。
函数模型在算法设计 和优化中的关键作用
函数模型可以描述算法的性能、复杂 度和精度，为算法优化提供基础。
在工程设计中，利用已知的设计 参数，建立函数模型，优化设计 方案。
03
函数模型的应用领域
函数模型在物理中的应用
力学
利用函数模型描述物体的运动轨迹、受力情况等。
电磁学
函数模型可以描述电路、电磁波的传播等。
光学
用函数模型研究光的传播、折射、反射等。
函数模型在化学中的应用
物质结构
函数模型可以描述分子、原子等微观粒子的结构和 运动。
图解法
通过绘制变量之间的关系图，建立函数模型。
最小二乘法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误差 ，建立函数模型。
函数模型的应用实例
01
02
03
经济预测
科学计算
工程设计
函数模型及其应用-课件PPT
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且 a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
温馨提醒：解决实际应用问题的一般步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
【解】设可获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210 时， R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.
近_平__行_
随n值变化而 不同
1．下列函数中，随 x 的增大，y 的增大速度最快的是( A )A． y＝ 11ຫໍສະໝຸດ 0exB．y＝100 ln x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途 中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( C )
∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
分段函数模型 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格 均为销售时间 t(天)的函数，且销售量近似地满足 f(t)＝－2t ＋200(1≤t≤50，t∈N)．前 30 天价格为 g(t)＝12t＋30(1≤t≤30， t∈N)，后 20 天价格为 g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系；
高三数学一轮复习 2.9函数模型及其应用课件
f1 x , x D 1,
(6)分段函数模型:
y
f
2
x
,
x
D 2,
图象特点是每一段自变量
f
n
x
，
x
D
n
,
变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题,将各段的变
化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值
范围,特别是端点.
3.建立函数模型解决实际应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:阅读理解、弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 弄清数据的单位等. (2)建模:正确选择自变量,将自然语言转化为数学语言,将文字 语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学问题还原为实际问题.
5.某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,存期
是x,本利和(本金加利息)为y元,则本利和y随存期x变化的函数
关系式是
.
【解析】已知本金为a元,利率为r,则 1期后本利和为y=a+ar=a(1+r), 2期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2, 3期后本利和为y=a(1+r)3, … x期后本利和为y=a(1+r)x,x∈N. 答案:y=a(1+r)x,x∈N
③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变;
④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本.
其中所有正确说法的序号是( )A.①③Fra bibliotekB.①④
C.②③
D.②④
【解析】选C.对于图(2),当x=0时,函数值比图(1)中的大,表示 成本降低,两直线平行,表明票价不变,故②正确;对于图(3),当 x=0时,函数值不变表示成本不变,当x>0时,函数值增大表明票 价提高,故③正确.
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
121n0≥1232，1n0≤32，解得 n≤15.
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
人教版高中数学《函数模型的应用实例》ppt课件1
P64 【示例】如图所示，圆弧型声波 DFE 从坐标原点 O 向外传播. 若 D 是 DFE 与 x 轴的交点，设 OD＝t(0≤t≤a)，圆弧型声波 DFE 在 传播过程中扫过菱形 OABC 的面积为 S(图中阴影部分)，则函数 S＝f(t) 的图象大致是( )
【正解】从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到 A，C 点 之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快；当离开 A， C 点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢.所以函数图象刚开始应 是下凹的，然后是上凸的.故选 A． 【警示】函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是： 上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增 得越来越慢.下凹函数图象正好相反.
当 x 4 0 0 时 ， 有 y m a x 0 . 5 4 0 0 6 2 5 8 2 5 ( 元 ) 答 ： 每 天 进 4 0 0 份 报 纸 ， 可 使 得 每 月 利 润 最 大 为 8 2 5 元 .
➢分段函数模型 例3 一辆汽车在某段路程中 的行驶速率与时间关系如图 所示 (1)求图中阴影部分的面积， 说明所求面积的实际含义；
3kb3.6
5kb6
解
得
k 1.2 b0
O
3
5 t / 分钟
y1.2t (t3)
人教版高中数学《函数模型的应用实 例》ppt 课件1
➢二次函数模型 人教版高中数学《函数模型的应用实例》ppt课件1
例 2 将 进 货 单 价 为 8 元 的 商 品 按 1 0 元 一 个 出 售 ， 则 每 天 可 出 售 1 0 0 个 ， 若 每 个 涨 价 1 元 ， 则 日 销 售 量 减 少 1 0 个 ， 为 获 得 最 大 利 润 ， 应 将 单 价 定 为 _______元 。
【正解】从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到 A，C 点 之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快；当离开 A， C 点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢.所以函数图象刚开始应 是下凹的，然后是上凸的.故选 A． 【警示】函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是： 上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增 得越来越慢.下凹函数图象正好相反.
当 x 4 0 0 时 ， 有 y m a x 0 . 5 4 0 0 6 2 5 8 2 5 ( 元 ) 答 ： 每 天 进 4 0 0 份 报 纸 ， 可 使 得 每 月 利 润 最 大 为 8 2 5 元 .
➢分段函数模型 例3 一辆汽车在某段路程中 的行驶速率与时间关系如图 所示 (1)求图中阴影部分的面积， 说明所求面积的实际含义；
3kb3.6
5kb6
解
得
k 1.2 b0
O
3
5 t / 分钟
y1.2t (t3)
人教版高中数学《函数模型的应用实 例》ppt 课件1
➢二次函数模型 人教版高中数学《函数模型的应用实例》ppt课件1
例 2 将 进 货 单 价 为 8 元 的 商 品 按 1 0 元 一 个 出 售 ， 则 每 天 可 出 售 1 0 0 个 ， 若 每 个 涨 价 1 元 ， 则 日 销 售 量 减 少 1 0 个 ， 为 获 得 最 大 利 润 ， 应 将 单 价 定 为 _______元 。
2023版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用课件
70 ≈100r.
若 r＝3%，f(x)≥2a，则 x 的最小整数值为
()
A. 22
B. 25
C. 23
D. 24
解：依题意可得
a(1＋3%)x≥2a，即
ln2
0.693
x≥ln（1＋3%）≈ 3%
15≈1007×03%＝730≈23.
2. 三种函数模型性质比较
性质
在(0，＋∞) 上的单调性
增长速度
图象的 变化
y＝ax(a＞1)
增函数
越来越快 随 x 值增大，
图象与 y 轴 接近平行
函数 y＝logax(a＞1)
增函数
越来越慢 随 x 值增大，
图象与 x 轴 接近平行
y＝xn(n＞0) 增函数
相对平稳 随 n 值变 化而不同
3. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 (1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)； (2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题； (3)通过运算、推理求解函数模型； (4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期利息. 假设最开始本金f(x).
若
f(x)≥2a，则
a(1＋r)x≥2a，解得
ln2 x≥ln（1＋r）.
银行业中经常
使用“70 原则”，因为 ln2≈0. 693 15，而且当 r 比较小时，ln(1＋r)≈r，所以ln（l1n＋2 r）≈0.69r3 15
≈3α3，则 r 的近似值为
()
A.
MM21R
B.
2MM21R
C. 3 3MM12R
函数模型及其应用_PPT课件
设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，
而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利润为
W2＝
[－
1 160
(x－
40)2＋
100]×5＋
(－
159 160
x2＋
119 2
x)×5＝
－
5(x
－30)2＋4950.
当 x＝30 时，(W2)max＝4950(万元)．从而 10 年的总利润为27875
例 1 西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，
当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得 利润 P＝－1160(x－40)2＋100 万元．当地政府拟在新的十年发展
规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该 项目每年都投入 60 万元的销售投资，在未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成， 通车前该特产只能在当地销售；
【解】 设温室的左侧边长为 xm，则后侧边长为80x0m.
∴蔬菜种植面积
y
＝
(x
－
4)(
800 x
－
2)
＝
808
－
2(x
＋
16x00)(4<x<400)，
∵x＋16x00≥2 x·16x00＝80，∴y≤808－2×80＝648(m2)．
当且仅当 x＝16x00，即 x＝40，此时80x0＝20(m)，y 最大＝648m2.
∴当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧边长为 20m 时，蔬菜
的种植面积最大，为 648m2.
变式迁移 2 某工厂有一段旧墙长 14m，现准备利用这段旧 墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126m2 的厂房，工程条件 是：①建 1m 新墙的费用为 a 元；②修 1m 旧墙费用是a4元；③拆 去 1m 旧墙，用所得的材料建 1m 新墙的费用为a2元，经讨论有两 种方案：(1)利用旧墙的一段 xm(x<14)为矩形厂房一面的边长；
高中数学人教高必修一同课异构教学课件32函数模型及其应用课件
二
10 30 60 100 150 210
三
0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2
天数
回报/元
7 8 9 10 11
方案
一
280 320 360 400 400
二
280 360 450 550 660
三
50.8 102 204.4 409.2 818.8
因此，投资1~6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二； 投资8~10天，应选择方案二； 投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.
（2）根据图3.2-7，有
50t 2004,
s
9800((tt
1) 2)
画出这两个函数的图象（图2）
y
y=2x
1.13E+15
1.10E+12 y=x2
O 50 100 x
从表2和图2可以看出，当自变量x越来越大时， y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增 长，x2比起2x来，几乎有些微不足道.
2．探究y=x2，y=log2x两个函数的增长速度.
利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的 对应值表（表3）.
对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上递增， 而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55<5，所以它 符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利 润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有
成立.
y log7 x 1 0.25
（1）求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面 积的实际含义；
（2）假设这辆汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象.
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章第九节函数模型及其应用pptx课件北师大版
1 2
x -300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200
2
元.
(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最
低平均成本是多少?
(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收
入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
由已知得
所以
t=
=
1 80 000
x+
-300,x∈[300,600].
2
1 80 000
1
80 000
t=2x+ -300≥2 2 · -300=2
1 80 000
x=
,即
2
40 000-300=100,当且仅当
x=400 时,等号成立.
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100
益为282万元.
时,△AMN 的面积为
1
f(t)= ×2×[t-(2t-2)]=2-t;当
2
1
f(t)=2×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;当
1
f(t)=2·
2t·
t=t2;当
1<t≤2
2<t≤3 时,△AMN 的面积为
3<t≤4 时,△AMN 的面积为
2 ,0 ≤ ≤ 1,
2-,1 < ≤ 2,
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
)
答案
B
解析 由函图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1,故
x -300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200
2
元.
(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最
低平均成本是多少?
(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收
入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
由已知得
所以
t=
=
1 80 000
x+
-300,x∈[300,600].
2
1 80 000
1
80 000
t=2x+ -300≥2 2 · -300=2
1 80 000
x=
,即
2
40 000-300=100,当且仅当
x=400 时,等号成立.
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100
益为282万元.
时,△AMN 的面积为
1
f(t)= ×2×[t-(2t-2)]=2-t;当
2
1
f(t)=2×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;当
1
f(t)=2·
2t·
t=t2;当
1<t≤2
2<t≤3 时,△AMN 的面积为
3<t≤4 时,△AMN 的面积为
2 ,0 ≤ ≤ 1,
2-,1 < ≤ 2,
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
)
答案
B
解析 由函图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1,故
高考数学函数模型及其应用复习课件
单调
单调
单调
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
递增
递增
递增
2. 常见的函数模型
课前基础巩固
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型
f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
[总结反思]在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 为节约能源,倡导绿色环保,某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用,管理这些电动观光车的费用是每日120元,根据经验,每辆电动观光车的日租金不超过5元,则电动观光车可以全部租出;若超过5元,则每超出1元,租不出的电动观光车就增加2辆.为了方便结算,每辆电动观光车的日租金x(元)只取整数,且3≤x≤30,用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(一日出租电动观光车的总收入-管理费用).日净收入y(元)与日租金x(元)满足函数关系y=f(x).(1)求函数y=f(x)的解析式.
课前基础巩固
课堂考点探究
第14讲 函数模型及其应用
教师备用习题
作业手册
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
单调
单调
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
递增
递增
递增
2. 常见的函数模型
课前基础巩固
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型
f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
[总结反思]在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时,一定要注意自变量的取值范围,即函数的定义域,解决函数应用问题时,最后还要还原到实际问题中.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 为节约能源,倡导绿色环保,某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用,管理这些电动观光车的费用是每日120元,根据经验,每辆电动观光车的日租金不超过5元,则电动观光车可以全部租出;若超过5元,则每超出1元,租不出的电动观光车就增加2辆.为了方便结算,每辆电动观光车的日租金x(元)只取整数,且3≤x≤30,用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(一日出租电动观光车的总收入-管理费用).日净收入y(元)与日租金x(元)满足函数关系y=f(x).(1)求函数y=f(x)的解析式.
课前基础巩固
课堂考点探究
第14讲 函数模型及其应用
教师备用习题
作业手册
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
函数模型及其应用实例 课件
50 1.430 1210071 一下，第31天感染者总人数？第36天感染者总人数 50 1.435 6508052 呢？
例1、某公司2009年为了实现1000万元总利润的目标，他准备制定一
个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利
润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的
对数函数）差异的认识。
常数函数 没有增长 增长量为零
一次函数 直线增长 增长量相同
指数函数 指数爆炸 增长量迅速增加
对数函数 对数增长 增长量减少
2. 几类增长函数建模的步骤
具
列
不
确
体
解 画出图像（形） 同
定
问
析 列出表格（数） 增
模
题
式
长
型
预报和决策
控制和优化
数学家建立模型来预测未来感染者的人数。在这 个模型中，最重要的因素之一是流行病的传播能力， 也就是一个患者平均可以传染几个人，这个数值叫 做再生数(通俗理解即为增长率)。这一次甲型H1N1 流感，专家初步估计这个数值大约在0.4～1.5之间。
若截至今天杭州已确认感染者50个，假如杭州的 再生数是0.4，且不进行任何防控措施，请同学计算
列表法比较三种方案的累计回报
投资__1_~_7_天__，___ 应选择第一种投资方案； 投资__8_~_1_0_天__，___应选择第二种投资方案； 投资_1_1_天__（__含__1_1_天__）__以__上__，_应选择第三种投资方案。
累计回报表
天数
方案 一 二 三
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8
例1、某公司2009年为了实现1000万元总利润的目标，他准备制定一
个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利
润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的
对数函数）差异的认识。
常数函数 没有增长 增长量为零
一次函数 直线增长 增长量相同
指数函数 指数爆炸 增长量迅速增加
对数函数 对数增长 增长量减少
2. 几类增长函数建模的步骤
具
列
不
确
体
解 画出图像（形） 同
定
问
析 列出表格（数） 增
模
题
式
长
型
预报和决策
控制和优化
数学家建立模型来预测未来感染者的人数。在这 个模型中，最重要的因素之一是流行病的传播能力， 也就是一个患者平均可以传染几个人，这个数值叫 做再生数(通俗理解即为增长率)。这一次甲型H1N1 流感，专家初步估计这个数值大约在0.4～1.5之间。
若截至今天杭州已确认感染者50个，假如杭州的 再生数是0.4，且不进行任何防控措施，请同学计算
列表法比较三种方案的累计回报
投资__1_~_7_天__，___ 应选择第一种投资方案； 投资__8_~_1_0_天__，___应选择第二种投资方案； 投资_1_1_天__（__含__1_1_天__）__以__上__，_应选择第三种投资方案。
累计回报表
天数
方案 一 二 三
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 816.8
函数模型及其应用PPT教学课件
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价 恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元， 写出函数P＝f(x)的表达式．
分析 根据题意，每个零件的利润随订购量的多少而 变化，所以要按订购量的范围不同，分别确定总利润 的表达式，即分段表达，建立目标函数．依据函数解 析式，对各个问题分别求解．
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
100 (11.2%)2,
三年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)3, ... x年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)x , (2)十年后，人口数位 100 (11.2%)10 112.（7 万人）
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－ 115>0，解得x>2.3.∵x∈N*，∴x≥3， ∴3≤x≤6，x∈N*.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115>0，有
3x2 68x 115 0 ，上述不等式的整数解为
2≤x≤20(x∈N*)，
荤菜和二蔬、菜认搭识配平；衡即膳保食持宝营塔养的平 衡
1、食物的酸碱性分类
（1）酸性食物：
食物的组成成分在人体内代 谢后生成酸性物质，使体液呈弱 酸性。这类食物在生理上称为成 酸性食物，习惯上称为酸性食物。
（如含蛋白质丰富的食物，经过人体 内消化、吸收后，最后氧化成酸，所以多 属于酸性食物。）
（2）碱性食物：
∴6<x≤20(x∈N*)
故y
3x
50x 115(3 x 2 68x 115(6
6, x N ), x 20, x N
),
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元， 写出函数P＝f(x)的表达式．
分析 根据题意，每个零件的利润随订购量的多少而 变化，所以要按订购量的范围不同，分别确定总利润 的表达式，即分段表达，建立目标函数．依据函数解 析式，对各个问题分别求解．
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
100 (11.2%)2,
三年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)3, ... x年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)x , (2)十年后，人口数位 100 (11.2%)10 112.（7 万人）
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－ 115>0，解得x>2.3.∵x∈N*，∴x≥3， ∴3≤x≤6，x∈N*.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115>0，有
3x2 68x 115 0 ，上述不等式的整数解为
2≤x≤20(x∈N*)，
荤菜和二蔬、菜认搭识配平；衡即膳保食持宝营塔养的平 衡
1、食物的酸碱性分类
（1）酸性食物：
食物的组成成分在人体内代 谢后生成酸性物质，使体液呈弱 酸性。这类食物在生理上称为成 酸性食物，习惯上称为酸性食物。
（如含蛋白质丰富的食物，经过人体 内消化、吸收后，最后氧化成酸，所以多 属于酸性食物。）
（2）碱性食物：
∴6<x≤20(x∈N*)
故y
3x
50x 115(3 x 2 68x 115(6
6, x N ), x 20, x N
),
函数模型及其应用几种不同增长的函数模型课件
03
工程学
在工程学中，对数增长函数可以用来描述某些物理量的变化过程。例如，
材料的疲劳寿命与应力之间的关系往往呈现出对数增长的趋势。
05
幂次增长函数模型
幂次增长函数定义与性质
定义：幂次增长函数是指形如 y = ax^m (a > 0, m ≠ 0) 的函数，其中 a 是常数，m 是实数。
性质
当 m > 0 时，函数在整个定义域内单 调递增；
性质
线性增长函数具有比例性、可加 性和可减性。即当自变量x增加或 减少一个单位时，函数值y按一定 比例增加或减少。
线性增长函数图像及特点
图像
线性增长函数的图像是一条直线， 斜率为k，截距为b。
直线性
图像是一条直线，表示函数值 随自变量变化而均匀变化。
比例性
图像上任意两点的纵坐标之差 与横坐标之差的比值相等，即 斜率k。
函数性质
包括单调性、奇偶性、周期性、连续性等。这些性质反映了函数图像的变化规律 和函数值的分布特征。
常见函数类型及图像
一次函数
形如$y=kx+b(k neq 0)$的函数。图像是 一条直线，斜率为$k$，截距为$b$。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。它 们的图像分别是正弦曲线、余弦曲线和正 切曲线，具有周期性和对称性。
统计学
在统计学中，线性增长函数可用于进 行数据拟合和预测分析，如回归分析 中的线性回归模型。
03
指数增长函数模型
指数增长函数定义与性质
01
定义：指数增长函数是一种形如 y = a * b^x （其中 a ≠ 0， b > 1）的函数，表示自变量 x 的指数增长。
02
性质
函数函数模型及其应用课件
掌握函数模型的参数调整和优化方法
学生需要掌握如何调整和优化函数模型的参数，以提高模型的预测准确性和泛化能力。
学习函数模型的重要性
提高数据处理和分析能力
函数模型是数据处理和分析的重要工具，通过学习函数模 型，学生可以更好地理解和处理数据，提高数据处理和分 析能力。
解决实际问题
函数模型可以应用于各种实际问题，如预测股票价格、识 别垃圾邮件、推荐商品等。通过学习函数模型，学生可以 更好地解决实际问题，提高实际应用能力。
多项式拟合
多项式插值
利用多项式对数据进行插值，得到更 加平滑的曲线。
将数据拟合为多项式曲线，以便于分 析和可视化。
04
复杂函数模型及其应用
三角函数模型
总结词
利用正弦、余弦、正切等函数形式描述周期现象，解决实际 问题。
详细描述
三角函数模型是描述周期现象的重要工具，通过对正弦、余 弦、正切等函数形式的组合和变换，可以精确地描述许多自 然现象，如振动、波动等。在物理、工程、天文等领域中具 有广泛的应用。
对数函数模型
对数回归
通过最小二乘法等统计方 法，建立因变量与自变量 之间的对数关系模型。
对数变换
将非线性关系转换为线性 关系，以便于分析和建模 。
对数生长
描述变量随时间呈对数增 长的情况，如细菌繁殖等 。
多项式函数模型
多项式回归
通过最小二乘法等统计方法，建立因 变量与自变量之间的多项式关系模型 。
工程领域中的应用
建筑设计
函数模型可以用来进行建筑设计，通过建立建筑物的结构模型和荷 载模型，可以分析建筑物的稳定性和安全性。
机械设计
函数模型可以用来进行机械设计，通过建立机械系统的运动模型和 动力学模型，可以分析机械系统的性能和优化设计。
学生需要掌握如何调整和优化函数模型的参数，以提高模型的预测准确性和泛化能力。
学习函数模型的重要性
提高数据处理和分析能力
函数模型是数据处理和分析的重要工具，通过学习函数模 型，学生可以更好地理解和处理数据，提高数据处理和分 析能力。
解决实际问题
函数模型可以应用于各种实际问题，如预测股票价格、识 别垃圾邮件、推荐商品等。通过学习函数模型，学生可以 更好地解决实际问题，提高实际应用能力。
多项式拟合
多项式插值
利用多项式对数据进行插值，得到更 加平滑的曲线。
将数据拟合为多项式曲线，以便于分 析和可视化。
04
复杂函数模型及其应用
三角函数模型
总结词
利用正弦、余弦、正切等函数形式描述周期现象，解决实际 问题。
详细描述
三角函数模型是描述周期现象的重要工具，通过对正弦、余 弦、正切等函数形式的组合和变换，可以精确地描述许多自 然现象，如振动、波动等。在物理、工程、天文等领域中具 有广泛的应用。
对数函数模型
对数回归
通过最小二乘法等统计方 法，建立因变量与自变量 之间的对数关系模型。
对数变换
将非线性关系转换为线性 关系，以便于分析和建模 。
对数生长
描述变量随时间呈对数增 长的情况，如细菌繁殖等 。
多项式函数模型
多项式回归
通过最小二乘法等统计方法，建立因 变量与自变量之间的多项式关系模型 。
工程领域中的应用
建筑设计
函数模型可以用来进行建筑设计，通过建立建筑物的结构模型和荷 载模型，可以分析建筑物的稳定性和安全性。
机械设计
函数模型可以用来进行机械设计，通过建立机械系统的运动模型和 动力学模型，可以分析机械系统的性能和优化设计。
高中数学人教新课标A版：函数模型及其应用 课件
其中 S(单位：克)代表 t 分钟末未溶解糖块的质量，则 k＝
Байду номын сангаас()
A．ln 2
B．ln 3
C．ln52
D．ln53
解析：由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖
块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝ln52. 答案：C
2．(好题分享——新人教A版必修第一册P154T1改编)
答案：B
2．(函数与方程)某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数 据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5 元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大 利润，销售价应定为________元/瓶． 解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)·400＋40－.5x×40 ＝ 80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值．
品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了31.5－17＝14.5(万元)，故答案
为14.5.
答案：14.5
3．某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为 Q 件，则销售量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下 关系：Q＝8 300－170p－p2，求最大毛利润． 解：设毛利润为 L(p)元， 则由题意知 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以 L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令 L′(p)＝0， 解得 p＝30 或 p＝－130(舍去)． 当 p∈(0,30)时，L′(p)＞0； 当 p∈(30，＋∞)时，L′(p)＜0， 故 L(p)在 p＝30 时取得极大值，即最大值，且最大值为 L(30)＝23 000.
讲函数模型及其应用课件
在生物学中，一次函数模型可以用来描述 物种数量与时间的关系、生长曲线等。
一次函数模型在社会科学中的应 用
在社会科学中，一次函数模型可以用来描 述人口增长、城市化率等社会现象。
二次函数模型的应用
二次函数模型在经济学中的应用
通过建立二次函数模型，可以描述和分析经济现象，例如需求与价格 的关系、供给与价格的关系等。
总结词
生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，如种群动态、基因表 达等。
详细描述
在生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，例如种群动态、基 因表达等。通过建立函数模型，生物学家可以对生物数据进行数学分析和预测，从而更
好地理解生物系统的运行规律和演化趋势。
计算机科学中的函数模型应用
三角函数模型在社会科学 中的应用
在社会科学中，三角函数模型 可以用来描述社会现象的周期 性变化，例如人口普查、就业 率变化等。
指数函数与对数函数模型的应用
指数函数与对数函数在经济学中的应用
在经济学中，指数函数和对数函数被广泛应用于描述增长和衰减过程 ，例如复利计算、人口增长预测等。
指数函数与对数函数在物理学中的应用
总结词
计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。
VS
详细描述
在计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。通 过建立函数模型，计算机科学家可以对计 算机系统和算法进行数学分析和优化，从 而提高计算机系统的效率和性能。
THANKS
感谢观看
三角函数模型在物理学中 的应用
在物理学中，三角函数模型可 以用来描述周期性运动，例如 简谐振动、交流电等。
三角函数模型在工程学中 的应用
一次函数模型在社会科学中的应 用
在社会科学中，一次函数模型可以用来描 述人口增长、城市化率等社会现象。
二次函数模型的应用
二次函数模型在经济学中的应用
通过建立二次函数模型，可以描述和分析经济现象，例如需求与价格 的关系、供给与价格的关系等。
总结词
生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，如种群动态、基因表 达等。
详细描述
在生物学中，函数模型被用来描述和分析生物体的生理特征和行为，例如种群动态、基 因表达等。通过建立函数模型，生物学家可以对生物数据进行数学分析和预测，从而更
好地理解生物系统的运行规律和演化趋势。
计算机科学中的函数模型应用
三角函数模型在社会科学 中的应用
在社会科学中，三角函数模型 可以用来描述社会现象的周期 性变化，例如人口普查、就业 率变化等。
指数函数与对数函数模型的应用
指数函数与对数函数在经济学中的应用
在经济学中，指数函数和对数函数被广泛应用于描述增长和衰减过程 ，例如复利计算、人口增长预测等。
指数函数与对数函数在物理学中的应用
总结词
计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。
VS
详细描述
在计算机科学中，函数模型被用来描述和 分析计算机系统和算法的性能和行为。通 过建立函数模型，计算机科学家可以对计 算机系统和算法进行数学分析和优化，从 而提高计算机系统的效率和性能。
THANKS
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三角函数模型在物理学中 的应用
在物理学中，三角函数模型可 以用来描述周期性运动，例如 简谐振动、交流电等。
三角函数模型在工程学中 的应用
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解析
栏课前目·双索基引落实 课堂前·考双点基突落破实 课后堂·三考维点演突练破 板课块后命·三题维点演专练练
第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需
要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米 厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单
5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数
关系用图象表示为图中的
()
答案：B
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栏课前目·双索基引落实 课堂前·考双点基突落破实 课后堂·三考维点演突练破 板课块后命·三题维点演专练练
第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
2．已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝ alog3(x＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它 们发展到________只． 答案：200
第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
函数解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
f(x)＝bax＋c (a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
f(x)＝blogax＋c (a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数 学结果对实际问题的合理性．
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第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次， 其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元，普通车存车费是每辆 一次 0.2 元．若普通车存车量为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是__________．
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
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第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
函数 性质
在(0，＋∞) 上的增减性
增长速度
图象的变化
值的比较
y＝ax (a>1)
第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核 电站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距 离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与 供电量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度， B 城供电量为每月 10 亿度． (1)求 x 的取值范围； (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数； (3)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最少？
第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
第九节
函数模型及其应用
函数模型 一次函数模型
反比例函 数模型
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) f(x)＝kx＋b(k，b 为常数且 k≠0)
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栏课前目·双索基引落实 课堂前·考双点基突落破实 课后堂·三考维点演突练破 板课块后命·三题维点演专练练
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解析
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第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
栏目索引
栏课前目·双索基引落实 课堂前·考双点基突落破实 课后堂·三考维点演突练破 板课块后命·三题维点演专练练
位：万元)与隔热层厚度
x( 单 位 ： cm) 满 足 关 系
C(x)
＝
k 3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值． 解析
第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
栏目索引
栏课前目·双索基引落实 课堂前·考双点基突落破实 课后堂·三考维点演突练破 板课块后命·三题维点演专练练
第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
1．(教材习题改编)一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧
y＝logax (a>1)
y＝xn (n>0)
单调_递__增_
单调_递__增_
单调递增
越来越快
越来越慢
相对平稳
随x的增大 逐渐表现为 与_y__轴__平行
随x的增大 逐渐表现为 与_x__轴__平行
随n值变化 而各有不同
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax考双点基突落破实 课后堂·三考维点演突练破 板课块后命·三题维点演专练练
答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
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栏课前目·双索基引落实 课堂前·考双点基突落破实 课后堂·三考维点演突练破 板课块后命·三题维点演专练练
第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
经市场调查，某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t(天) 的函数，且日销售量近似地满足 g(t)＝－13t＋1132(1≤t≤100，t∈ N)．前 40 天价格为 f(t)＝14t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后 60 天价格为 f(t) ＝－12t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额 S(t)的最大 值和最小值．
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第三节 简单的逻辑联第结九词节、全函称数量模词型与及存其在应量用词 结 束
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确 理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定 函数的定义域．