《高职应用数学》(教案)

《高职应用数学》教案课程名称：高职应用数学总学时：64n a a aa 个(n 为正整数0a ≠)．1n a= (0a ≠，n 为正整数）整数指数幂的运算法则：(0a ≠，0b ≠，n m n a a +=； (n a ；)nnnb a b =； ．a (a ∈R ，n *∈N )p p pb a b =．p q p N a a a +==log ()p q a a p q +=+=时，对数的运算法则：已知直线l 经过点000()P x y ，，且斜率为k ．设点()P x y ，为直线l 上不同于点0P 的任意一点，由斜率公式可得00y y k x x -=-，整理得00()y y k x x -=-．点000()P x y ，也满足上述方程．由于上述方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以称为直线的点斜式方程．2）直线的斜截式方程设直线l 与x 轴交于点(0)A a ，，与y 轴交于点(0)B b ，，则a 称为直线l 在x 轴上的截距（或横截距）；b 称为直线l 在y 轴上的截距（或纵截距）．设直线l 与y 轴的交点为(0)B b ，，且直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(0)y b k x -=-，即y kx b =+．3）直线的一般式方程把形如0Ax By C ++=（A B ，不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程． 2、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，称为一元二次方程．一元二次方程的一般形式为20(0)ax bx c a ++=≠．1）公式法一般地，式子24b ac -称为一元二次方程20ax bx c ++=根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示，即24b ac ∆=-．当0∆时，方程20(0)ax bx c a ++=≠的实数根可写为0∆>，方242b aca-0∆=，方2b a-； 0<，方程，，，0，并且||0，，，x x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩的几何意义为：数轴上表示实数x 的点到原点由绝对值的几何意义可知，不等式|于3的所有点的集合；不等式||3x >表示的是数轴上到原点的距离大于3的所有点的集合．不等式||3x <的解集为(33)-，；不等式||3x >的解集为(3)(3)，，-∞-+∞．一般地，不等式||(0)x a a <>的解集为()a a -，；不等式||(0)x a a >>的解集是()()，，a a -∞-+∞．2）ax b c +<或ax b c +>型不等式对于||ax b c +<或||(0)ax b c c +>>型不等式，可以把ax b +看成一个整体，从而转化为||x a <或||(0)x a a >>型不等式来求解．例如，求解不等式|23|1x -<时，可先设23m x =-，则不等式|23|1x -<化为||1m <，其解集为11m -<<，即1231x -<-<．根据不等式的性质，可以求出12x <<，即原不等式|23|1x -<的解集为(12)，． 3、区间的概念1）有限区间实数与数轴上的点之间是一一对应的关系，例如，集合{}|32x x -<<可以用数轴上位于3-与2之间的一条线段（不包括端点）来表示．由数轴上两点之间的全部实数所组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间端点．不含端点的区间称为开区间，含有两个端点的区间称为闭区间．集合{}|32x x -<<表示的就是开区间，记作(32)-，．集合{}|32x x-表示的就是闭区间，记作[32]-，．只含左端点的区间称为右半开区间，例如，集合{}|32x x -<表示的区间就是右半开区间，记作[32)-，；只含右端点的区间称为左半开区间，例如，集合{}|32x x-<表示的区间就是左半开区间，记作(32]-，．综上所述，设a ，b 为任意实数，且a b <，则有①开区间：{}|()x a x b a b <<⇔，数集区间； ②闭区间：{}|[]x axb a b ⇔，数集区间；③右半开区间：{}|[)x a x b a b <⇔，数集区间； ④左半开区间：{}|(]x a x b a b <⇔，数集区间．以上的开区间、闭区间、右半开区间和左半开区间统称为有限区间． 2）无限区间集合{}|3x x >可以用数轴上位于3右侧的一条射线（不包括端点）来表示，如图1-6所示．由图可以看出，集合{}|3x x >所表示的区间的左端点为3，没有右端点，这时可以将其记作(3)，+∞，其中符号“+∞”读作“正无穷大”，表示右端点可以任意大，而并非某个具体的数．同理，集合{}|5x x <表示的区间可记作(5)，-∞，其中符号“-∞”读作“负无穷大”．类似地，集合{}|3x x表示的区间记作[3)，+∞，是右半开区间；集合{}|5x x 表示的区间记作(5]，-∞，是左半开区间．设a ，b 为任意实数，且a b <，则有（1）{}|()，数集区间x x a a >⇔+∞； （2）{}|()，数集区间x x b b <⇔-∞； （3）{}|[)≥，数集区间x x a a ⇔+∞； （4）{}|(]，数集区间x xb b ⇔-∞；（5）实数集R 如果用区间来表示，可以记作()，-∞+∞．以上这5种区间统称为无限区间． 4、邻域的概念设点a 与δ是两个实数，且0δ>，则称集合{||}x x a δ-<为点a 的δ邻域，记作()U a δ，，其中将a 称为邻域中心，将δ称为邻域半径．有时还要用到去掉中心的邻域，即集合{0||}x x a δ<-<，称为点a 的δ去心邻域，记作o()U a δ，．5、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为2()0ax bx c ++> 或 2()0ax bx c ++< (0)a ≠．①当240b ac ∆=->时，方程20(0)ax bx c a ++=>有两个不相等的实数解1x 和2x （12x x <），对应函数2(0)y ax bx c a =++>的图像与x 轴有两个交点，即1(0)x ，，2(0)x ，．此时不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集为12()()，，x x -∞+∞，不等式20(0)ax bx c a ++<>的解集为12()x x ，．②当240b ac ∆=-=时，方程20(0)ax bx c a ++=>有两个相等的实数解0x ，对应函数2(0)y ax bx c a =++>的图像与x 轴只有一个交点，即0(0)x ，．此时不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集为00()()，，x x -∞+∞，不等式20(0)ax bx c a ++<>的解集为∅．③当240b ac ∆=-<时，方程20(0)ax bx c a ++=>没有实数解，对应函数2(0)y ax bx c a =++>的图像与x 轴没有交点．此时不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集为R ，不等式20(0)ax bx c a ++<>的解集为∅．1.2 函数一、函数的概念与性质 1、函数的概念设有两个变量x 和y ，D 是一个非空数集，若当变量x 在集合D 内任取一个值，变量y 依照一定法则f ，总有确定的值与之对应，则称变量y 是x 的函数，记为()y f x =，x D ∈，其中，D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．对于确定的0x D ∈，与之对应的0y 称为函数()y f x =在0x 处的函数值，记作00()x x y y f x ===．当x 取遍D 中的一切数值时，对应的函数值y 的集合称为函数()y f x =的值域，记作M ，即{}()M y y f x x D ==∈，．定义域 函数的两要素对应法则解析法函数的表示方法 表格法图示法2、函数的性质1）单调性设函数()y f x =在区间I 内有定义，若对区间I 内的任意两点12x x ，，当12x x <时，有12()()f x f x <，则称()y f x =在区间I 内单调增加，区间I 称为单调增区间；当12x x <时，有12()()f x f x >，则称()y f x =在区间I 内单调减少，区间I 称为单调减区间．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．2）奇偶性设函数()y f x =的定义域关于原点对称（即若x D ∈，则x D -∈），若对于任意的x D ∈，都有()()f x f x -=，则称()y f x =为偶函数；若对于任意的x D ∈，都有()()f x f x -=-，则称()y f x =为奇函数．3）有界性设函数()f x 在区间I 上有定义，如果存在一个正数M ，使得与任一x I ∈所对应的函数值()f x 都满足不等式|()|f x M ，则称函数()f x 在I 内有界；如果这样的M 不存在，则称函数()f x 在I 内无界．4）周期性设函数()y f x =在区间D 上有定义，若存在常数0T ≠，对于任意的x D ∈，恒有()()f x T f x +=，则称()f x 是以T 为周期的周期函数．通常所说周期函数的周期是指它们的最小正周期，例如，sin y x =的周期是2π，tan y x =的周期是π．函数()y C C =为常数是周期函数，但不存在最小正周期． 二、基本初等函数 1、常数函数常数函数()y C C =为常数的定义域为(+)-∞∞，，对应法则是对于任何()x ∈-∞+∞，，x 所对应的函数值y 恒等于常数C ．其函数图像为平行于x 轴的直线．2、幂函数幂函数()a y x a =为任意常数的定义域和值域由a 而定，但在(0)+∞，内都有定义，且其图像都经过点(11)，．3、指数函数指数函数(01)x y a a a =>≠，的定义域为()-∞+∞，，值域为(0)+∞，，图像都经过点(01)，．当1a >时，x y a =单调增加；当01a <<时，x y a =单调减少．指数函数的图像均在x 轴上方.4、对数函数对数函数log (01)a y x a a =>≠，是指数函数x y a =的反函数．对数函数的定义域为(0)+∞，，值域为()-∞+∞，，图像都经过点(10)，．当1a >时，log a y x =单调增加；当01a <<时，log a y x =单调减少．对数函数的图像在y轴的右方．当e a =时，log a y x =简记为ln y x =，它是常见的对数函数，称为自然对数．其中，e 2.71828182845904523536=为无理数．5、三角函数三角函数有：正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =；正切函数tan y x =，余切函数cot y x =；正割函数sec y x =，余割函数csc y x =．（1）sin x 和cos x 的定义域为()-∞+∞，，值域为[11]-，，都以2π为周期．sin x 是奇函数，cos x 是偶函数．（2）tan x 的定义域是ππ()2x k k ≠+∈Z ，cot x 的定义域是π()x k k ≠∈Z ，它们都以π为周期，且都是奇函数．6、反三角函数反三角函数是各三角函数在其特定单调区间上的反函数．（1）反正弦函数arcsin y x =是正弦函数sin y x =在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的反函数，其定义域为[11]-，，值域为ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． （2）反余弦函数arccos y x =是余弦函数cos y x =在区间[0π]，上的反函数，其定义域为[11]-，，值域为[0π]，．（3）反正切函数arctan y x =是正切函数tan y x =在区间ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内的反函数，其定义域为()-∞+∞，，值域为ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （4）反余切函数arccot y x =是余切函数cot y x =在区间(0π)，内的反函数，其定义域为()-∞+∞，，值域为(0π)，．三、复合函数设y 是u 的函数()y f u =，u 是x 的函数()u x ϕ=．如果()u x ϕ=的值域与()y f u =的定义域的交集不是空集，则y 通过u 构成x 的函数[()]y f x ϕ=，称为x 的复合函数，其中u 称为中间变量．例如，2y u =，sin u x =，它们复合而成的复合函数为22(sin )sin y x x ==．利用复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成若干个简单函数． 分解的原则是：由外向里，逐层分解．分解的结果是：分解成的每个简单函数都是基本初等函数或由基本初等函数经过有限次四则运算后形成的函数．四、初等函数和分段函数1、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合构成，并且用一个式子表示的函数称为初等函数．2、分段函数引例 自2018年8月1日起，北京巡游出租车（不含电动车）白天的基本收费标准是：行驶里程如果不超过3公里，则收费13元；如果超过3公里，则超出的部分按每公里2.3元收费；另外每运次加收1元燃油附加费．那么每运次的行驶里程数x 公里与费用y 元之间的关系为131314313(3) 2.3137.1 2.33x x y x x x x +⎧⎧==⎨⎨+-⨯+>+>⎩⎩，，，，，．以上的函数关系不是用一个式子表示的，而是在自变量不同范围内用不同的表达式来表示的，这样的函数称为分段函数．常见的分段函数：① 绝对值函数0||0，，，x x y x x x ⎧==⎨-<⎩② 符号函数10sgn 0010，，，，，x y x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩1.3建立函数关系一、工程技术中函数的建立例 要造一个圆柱形油罐，其体积为定值V ，试求油罐的表面积与底圆半径的函数关系．解 设油罐的底圆半径为r ，油罐的高为h ，因2πV r h =，故2πV h r =． 油罐的表面积为 22π2πS rh r =+，将2πV h r =代入上式得所求函数为 222πV S r r=+，(0)r ∈+∞，．例 某工厂建造一个小型车间，要求车间借助现有的一面墙建成两块矩形，设平行于原有墙面的矩形边长为x ，现有材料只够砌50 m 长的墙壁，试求围成的车间面积S 与边长x 的函数关系．解 设矩形的宽为y ，根据题意有350y x +=，得503x y -=． 车间面积为 2(50)501333x x S xy x x -===-，(050)x ∈，． 例 弹簧在汽车悬吊系统中广泛应用，在弹性限度内，弹簧伸长量与受力大小成正比．现在有一弹簧受力4 N ，伸长了0.01 m ，求该弹簧的伸长量与受到的力之间的函数关系．解 设弹簧受力为F N 时，其伸长量为l m ，由题意可知F kl =（k 为比例常数）． 将已知条件4F =时，0.01l =，代入上式，得40.01k =，400k =．由此得该弹簧伸长量l 与受到的力F 之间的函数关系为1400l F =． 二、经济函数的建立1、需求函数 需求（量）是指在一定的价格条件下，消费者对某种商品有支付能力购买的商品量．人们对某一商品的需求受许多因素的影响，如商品的价格、质量，消费者的收入、偏好等．其中，商品的价格是影响需求量的主要因素，若把其他因素视为常量，则市场对某商品的需求量Q 是商品价格p 的函数，它是一《高职应用数学》教案课程名称：高职应用数学总学时：642.1 极限的概念一、数列的极限定义1 在某一法则下，当()n n +∈N 依次取123n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，时，对应的实数排成一列数123n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，这列数就称为数列，记作{}n x ．数列中的每一个数称为数列的项，第n 项n x 称为数列的一般项或通项． 数列{}n x 可看作自变量为整数n 的函数()n x f n =，它的定义域是全体正整数，当自变量n 依次取123⋅⋅⋅，，，等一切正整数时，对应的函数值就排列成数列{}n x ．定义2 对于数列{}n x ，当n 无限增大时，如果数列的一般项n x 无限地接近于某一确定的数值a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记作lim n x x a →∞=；如果数列没有极限，则称数列是发散的． 二、函数的极限数列是一种特殊的函数()n x f n =，它研究当自变量n →∞时，函数值()f n 的变化趋势．对于一般函数()y f x =，也可讨论自变量x 在某一变化过程中函数()f x 的变化趋势．函数自变量x 的变化过程可分为两种情况：x 的绝对值||x 无限增大，x 无限接近0x ．为了方便起见，我们规定：①x 的绝对值||x 无限增大用记号x →∞表示；x 小于0且绝对值||x 无限增大用记号x →-∞表示；x 大于0且绝对值||x 无限增大用记号x →+∞表示．②x 无限接近0x 用记号0x x →表示；x 从0x 的左侧（即0x x <）无限接近0x 用记号0x x -→表示；x 从0x 的右侧（即0x x >）无限接近0x 用记号0x x +→表示．1）当x →∞时，函数()y f x =的极限例 作出函数1y x=的图形，在0x >的前提下，讨论当x →+∞时，该函数的变化趋势，并说出它的极限．当x 沿x 轴的正方向无限增大时，曲线1y x=无限接近于x 轴，但始终不与x 轴相交，故当x →+∞时，函数1y x=以0为极限． 定义3 当x 的绝对值无限增大，即x →∞时，如果函数值()f x 无限趋近于某一个确定的常数A ，那么A 就称为函数()f x 当x →∞时的极限，记作lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞．例4 讨论πlimarctan 2x x →∞=是否存在． 解 有πlim arctan 2x x →+∞=及πlim arctan 2x x →-∞=-．由于当x →+∞和x →-∞时，函数arctan x 不是无限接近于同一个确定的常数，所以limarctan x x →∞不存在．图2-2由上面的例子可以看出，如果lim ()x f x →+∞和lim ()x f x →-∞都存在并且相等，那么lim ()x f x →∞也存在并且与它们相等．如果lim ()x f x →+∞和lim ()x f x →-∞都存在，但不相等，那么lim ()x f x →∞不存在． 定理1 lim ()x f x A →∞=的充分必要条件是lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==． 例 讨论函数e x y =及e x y -=当x →∞时的极限．解 如图2-3所示为这两个函数的图形．因为+lim e lim e 0x x x x →∞→-∞=+∞=，，所以lime x x →∞不存在． 又因为lim e 0lim e x x x x --→+∞→-∞==+∞，，所以lime x x -→∞不存在．2）当0x x →时，函数()f x 的极限对于函数()1f x x =+和21()1x g x x -=-，当1x →时，()f x 和()g x 的变化趋势如图所示．从图像容易看出，当1x →时，()f x 和()g x 都无限接近于2．定义4 设函数()y f x =在点0x 的附近有定义（在0x 处可以无定义），如果存在一个常数A ，当x 无限趋于00()x x x ≠时，函数()f x 的值无限趋近于A ，那么A 就称为函数()f x 当0x x →时的极限，记作0lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→．如果当x 从0x 的左边趋于0x （通常记作0x x -→）时，()f x 无限接近某常数A ，则常数A 称为函数()f x 当0x x →时的左极限，记作0lim ()x x f x A -→=或0()f x A -=．如果当x 从0x 的右边趋于0x （通常记作0x x +→）时，()f x 无限接近某常数A ，则常数A 称为函数()f x 当0x x →时的右极限，记作0lim ()x x f x A +→=或0()f x A +=．左极限与右极限统称为单侧极限．根据函数极限的定义并观察函数图像，我们可以确定一些常见函数的极限．例如，00lim x x x x →=，0limsin 0x x →=，0lim cos 1x x →=，0lim ()x x C C C →=为常数，01lim x x →不存在．11<，试判断0 0 <，．讨论极限在实际中，我们经常遇到一类变量，它们的绝对值变得越0（或0）且0（或0A ）． 二、极限的运算法则()lim ()x f x A g x B →==，0()]lim ()lim x x x g x f x →→±=±；()]lim ()lim x x x g x f x →→⋅=⋅∞n ma b ++++，此时分子、x 的最高次方，11n n m m x a b --++⎪=⎨++⎪⎪⎩此结论只与分子、分母的最高方次n m ，有关．6、∞-∞型它适用于lim[()()]f x g x -，其中lim ()f x =∞且lim ()g x =∞，记为“∞-∞”型．方法：先通分或先将分子有理化，就可以化成前面几种形式．例10 求3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭．2.3两个重要极限及无穷小的比较一、两个重要极限 1、0sin lim1x xx→=从图像可以观察出，当0x →时，函数sin xy x=的值无限趋近于1．此重要极限属于“0”型，常形象地表示为0sin lim1→=（□代表同一变量）． 例1 求0sin 3limx xx→．例2 求下列极限： （1）0sin3limsin5x x x →； （2）0tan lim x x x →； （3）201cos lim x xx →-．2、1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭当x →∞时，函数11xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的变化趋势β．例如，当0x →时，32x x +与x 都是无穷小量，因为32002lim lim(2)2x x x xx x→→+=+=．所以当0x →时，32x x +与x 是同阶无穷小量．等价无穷小在求极限时有重要的作用．对此，有如下定理： 定理 设，ααββ''，且limαβ''存在，则有lim lim ααββ'='． 这说明，在求两个无穷小之比的极限时，分子、分母可分别用它们的等价无穷小代替，这样可以简化某些极限的运算．因此，我们应该记住以下几个常用的等价无穷小．当0x →时，sin xx ，tan x x ，arcsin x x ，arctan x x ，211cos 2xx -，ln(1)x x +，e 1x x -． 例5 求30sin lim4x xx x→-．例6 求30tan sin limx x xx →-．2.4 函数的连续性一、连续函数的概念 1、函数的增量自变量从初值0x 变为终值x 时，终值与初值的差0x x -称为自变量x 的增量（通常也称为改变量），记作x ∆．增量x ∆可正可负．设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在该领域内由0x 变到0x x +∆时，函数y 相应地由0()f x 变到0()f x x +∆，称00()()f x x f x +∆-为函数的增量（或改变量），记作y ∆或()f x ∆，则有00()()y f x x f x ∆=+∆-．2、函数连续的定义定义1 设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在0x 处的改变量x ∆趋于零时，相应地函数的改变量y ∆也趋于零，即000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()y f x =在点0x 处连续．0 0 >，在x=根据连续函数的定义，通过上述例子，总结出的某邻域内有定义；存在；性质2（介值定理） 如果函数()y f x =在闭区间[]a b ，上连续，且()()f a f b ≠，C 为介于()f a 与()f b 之间的任意数，则在开区间()a b ，内至少存在一点ξ，使得()f ξC =．性质3（零点定理） 如果函数()y f x =在闭区间[]a b ，上连续，且()f a 与()f b 异号，即()()0f a f b ⋅<，那么在开区间()a b ，内至少存在一点ξ，使()0f ξ=．从几何意义上讲，如果函数()f x 在闭区间[]a b ，上的图形是一条连续曲线，其两个端点分别位于x 轴两侧，那么这条曲线与x 轴至少有一个交点．例7 证明方程326x x +=至少有一个根介于1和3之间．《高职应用数学》教案课程名称：高职应用数学总学时：643.1 导数的概念一、引例分析引例 自由落体的瞬时速度21()2s f t gt ==， 其中g 为常量．试求物体在0t 时刻的瞬时速度v ．给定时间变量t 在0t 时的一个增量t ∆，则在从时刻0t 到0t t +∆这段时间间隔内，物体运动路程的增量为00220020()()11()221()2s f t t f t g t t gt gt t g t ∆=+∆-=+∆-=∆+∆，从而求得物体在时间段t ∆内的平均速度为000()()12f t t f t s v gtg t t t +∆-∆===+∆∆∆．显然，当||t ∆无限变小时，平均速度v 无限接近于物体在0t 时刻的瞬时速度v ．因此，平均速度的极限值就是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即可定义00000()()lim lim limt t t f t t f t sv v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ 0001lim 2t gt g t gt ∆→⎡⎤=+∆=⎢⎥⎣⎦．二、定义定义1 设函数()y f x =在点0x 处及其左右近旁有定义，当自变量x 在点0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当0x ∆→时，y ∆与x ∆之比的极限0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在，则称函数()f x 在点0x 处可导，并称此极限值为()y f x =在点0x 处的导数，记作11(log )log e ln a a x x x a '==．特别地，1(ln )x x'=． 例5 求下列函数在指定点处的导数： （1）πcos 2y x x ==，； （2）21x y x ==，．四、用导数表示实际量——变化率模型案例1 切线的斜率设曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处有切线且斜率存在，求曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处的切线斜率．在曲线上另取一点N ，设它的坐标为00(())x x f x x +∆+∆，，如图3-3所示．当割线MN 上的N 点沿着曲线无限接近M 点时，割线MN 的极限位置称为曲线在M 点的切线．设割线MN 的倾角为ϕ，切线MT 倾角为α，则割线MN 斜率为00()()tan MN f x x f x y k x xϕ+∆-∆===∆∆． 显然当0x ∆→时，即点N 将沿着曲线趋近于M 点时，割线MN 趋近于极限位置MT （即切线MT ）．于是得到切线MT 的斜率为00000()()tan limlim ()MT x x f x x f x yk f x x xα∆→∆→+∆-∆'====∆∆．这就是说，函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点M 00(())x f x ，处切线的斜率． 由直线的点斜式方程可以得到：（1）曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处的切线方程为 000()()()y f x f x x x '-=-．（2）过切点00(())M x f x ，且与切线垂直的直线称为曲线()y f x =在点M 处的法线．如果0()0f x '≠，则法线斜率为01()f x -'，所以曲线()y f x =在点，，，，，，)．时刻的速度和加函数可以看成由函数()y t ψ=，1()t x ϕ-=复合成的函数1[()]y x ψϕ-=．所以，根据据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，有d d d d ()d d d d d ()d yy y t t t x x t x t tψϕ'=⋅=='． 反函数的求导法则：如果函数()x t ϕ=在区间t I 内单调、可导且()0t ϕ'≠，那么它的反函数1()t x ϕ-=在区间{}|()，x t I x x t t I ϕ==∈内也可导，且 11[()]()x t ϕϕ-'='或d 1d d d t xx t=．例6 求由参数方程cos sin ，x a t y b t =⎧⎨=⎩所确定的函数y 的导数d d yx ．例7 求摆线(sin )(1cos )，x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩在π2t =时相应点处的切线方程．三、对数求导法形如()[()]v x y u x = (()0u x >)的函数称为幂指函数，其中()u x ，()v x 是可导函数．幂指函数的求导方法可用对数求导法，即先将等式两边同时取对数，变成隐函数的形式，再利用隐函数求导法求其导数．例8 求x y x =(0)x >的导数． 例9 求函数(1)(2)(3)(4)x x y x x ++=++的导数．3.5 函数的微分及其应用一、微分的概念当函数()y f x =在点0x 处有微分时，称函数()y f x =在点0x 处可微． 一般地，函数()y f x =在区间()a b ，内任意点x 的微分称为函数的微分，记作d y ，即d ()d y f x x '=．由d ()d y f x x '=，得d ()d yf x x'=． 由此可见，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数．因此导数也称微商．例1 求函数3y x =在1x =，0.01x ∆=时的改变量y ∆及微分d y ． 例2 设ln(1)y x =+，求d y ． 二、微分的几何意义点00()P x y ，和00()Q x x y y +∆+∆，是曲线()y f x =上邻近的两点．PT 为曲线在点P 处的切线，其倾斜角为α．容易得到0tan ()d RT PR xf x y α'==∆=．这就是说函数()y f x =在点0x 处的微分，在几何上表示曲线()y f x =在点00()P x y ，处切线PT 的纵坐标的增量RT ． TQ RQ TR =-表示y ∆与d y 之差，当||x ∆很小时，TQ 与RT 相比是微不足道的，因此，可用RT 近似代替RQ ．这就是说，当||x ∆很小时，有d y y ∆≈．因此在点P 的附近，可以用切线段来近似代替曲线段，即22||(d )(d )PQ PT x y ≈=+．三、微分的运算 1、微分的基本公式（1）d()0C =；（2）1d()d x x x ααα-=； （3）d()ln d x x a a a x =；（4）d(e )e d x x x =；|A δ，则的绝对误差限（简称绝对误差）测得圆钢截面的直径．利用公式4A D π=《高职应用数学》教案课程名称：高职应用数学总学时：64例5 求5lim ex x x →+∞．例6 求11lim 1ln x xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭． 例7 求0lim ln (0)n x x x n +→>． 在使用洛必达法则时的注意事项：（1）每次使用法则前，必须检验是否属于“00”或“∞∞”型未定式，若不是这两种未定式，应先转化为这两种未定式，否则不能使用该法则．（2）如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤．（3）当()lim()f x g x ''不存在（不包括∞的情形）时，并不能断定()lim ()f xg x 也不存在，此时应使用其他方法求极限．4.2 函数的单调性与极值一、函数的单调性函数在区间[]a b ，上的增减性和它的导数值有密切关系．定理1 设函数()f x 在[]a b ，上连续，在()a b ，内可导，则有 （1）如果在()a b ，内()0f x '>，则函数()f x 在[]a b ，上单调增加； （2）如果在()a b ，内()0f x '<，则函数()f x 在[]a b ，上单调减少． 有时，函数在其整个定义域上并不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性．要确定可导函数()f x 的单调区间，首先要求出使()0f x '=的点（驻点）；然后，用这些驻点将()f x 的定义域分成若干个子区间；最后在每个子区间上用定理1判断函数的单调性．一般地，如果()f x '在某区间内的个别点处为0，而在其余各点处都为正（或负），那么()f x 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的．确定函数单调性的步骤： （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求出使函数()0f x '=和()f x '不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间；（3）确定()f x '在各个子区间的符号，从而确定()f x 的单调区间． 例1 讨论函数23()3f x x x =-的单调性． 二、函数的极值定义1 设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义，若对此邻域内任一点0()x x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值．同样，若对此邻域内任一点0()x x x ≠，均有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数()f x 的一个极小值．函数的极大值与极小值统称为函数的极值．使函数取得极值的点0x 称为极值点．定理2（极值存在的必要条件） 设()f x 在点0x 处具有导数，并且在点0x 处取得极值，那么0()0f x '=．由定理2可知，可导函数()f x 的极值点必是()f x 的驻点．反过来，驻点却不一定是()f x 的极值点．例如，0x =是函数3()f x x =的驻点，但不是其极值点．对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点，这种点称为尖点．例如，函数()||f x x =，(0)f '不存在，但0x =是它的极小值点．定理3（极值存在的第一充分条件） 设()f x 在点0x 处连续，且在点0x 的某一空心邻域内可导．当x 由小到大经过点0x 时，（1）如果()f x '由正变负，那么点0x 是极大值点； （2）如果()f x '由负变正，那么点0x 是极小值点； （3）如果()f x '不变号，那么点0x 不是极值点． 求函数极值的步骤：（1）确定函数()f x 的定义域； （2）求出()f x 的全部驻点及不可导点；（3）考察上述点两侧一阶导数的符号，确定极值点； （4）求出极值点处的函数值，得到极值． 例2 求函数21y x =-的极值．定理4（极值存在的第二充分条件） 设()f x 在点0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠．（1）如果0()0f x ''<，则()f x 在点0x 处取得极大值； （2）如果0()0f x ''>，则()f x 在点0x 处取得极小值． 例3 求函数32()69f x x x x =-+的极值．4.3 曲线的凹凸点与拐点定义1 设函数()f x 在区间I 上连续，如果函数的曲线位于其上任意一点处切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点处切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的.定理1 设()f x 在[]a b ，上连续，在()a b ，内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在()a b ，内()0f x ''>，则()f x 在[]a b ，上的图像是凹的； （2）若在()a b ，内()0f x ''<，则()f x 在[]a b ，上的图像是凸的．例1判断曲线ln y x =的凹凸性．例4 有一块边长为a 的正方形铁皮，从其四个角截去大小相同的四个小正方形，做成一个无盖的容器，问截去小正方形的边长为多少时，该容器的体积最大？4.5 曲率一、曲率及其计算公式设曲线是光滑的，在曲线上选定一点A 作为度量弧的基点，设在点A 处切线的倾斜角为α，曲线上另外一点B 处切线的倾斜角为αα+∆．我们用比值||||s α∆∆（即单位弧段上切线转过的角度大小）来表达弧段AB 的平均弯曲程度．记K sα∆=∆，称K 为弧段AB 的平均曲率． 记0lims K sα∆→∆=∆，称K 为曲线在点A 处的曲率． 于是，在0d limd s s sαα∆→∆=∆存在的条件下，有d d K s α=． 此式说明曲线在点A 处的曲率可表示为转角微分d α与弧微分d s 之商，其中弧微分222d (d )(d )1d s x y y x '=+=+．例如，设圆的半径为R ，如图4-12所示，则圆的平均曲率1K RABα∆==．因为K 与点的位置无关，所以A 点处的曲率为1lim limA B AB AK K RABα→→∆===， 即圆上任意一点处的曲率都是相等的，等于1R．可见，半径越小，弯曲程度越大，曲率越大，这与我们对圆的认识是一样的．设()y f x =且()f x 具有二阶导数（这时()f x '连续，从而曲线是光滑的）．因为()tan f x y α''==，所以，两边取微分，有2d sec d y x αα''=，于是 222d d d d sec 1tan 1y y y x x x y ααα''''''==='++． 又知2d 1d s y x '=+，从而得曲率的计算公式，即232d ||d (1)y K s y α''=='+． 例1 计算直线y a x b =+上任意一点的曲率．例2 计算双曲线1xy =在点(11)，处的曲率．例3 设有两个弧形工件A ，B ，工件A 满足曲线方程3y x =，工件B 满足曲线方程2y x =，试比较这两个工件在1x =处的弯曲程度． 二、曲率圆与曲率半径设曲线()y f x =在点()M x y ，处的曲率为K (0K ≠)．在点()M x y ，处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D ，使1DM K ρ-==．以D 为圆心，ρ为半径作圆，这个圆称为曲线在点M 处的曲率圆，曲率圆的圆心D 称为曲线在点M 处的曲率中心，曲率圆的半径ρ称为曲线在点M 处的曲率半径．曲线在点M 处的曲率K (0K ≠)与曲线在点M 处的曲率半径ρ有如下关系：11K K ρρ==，． 例4 如图4-14所示，设工件表面的截线为抛物线20.4y x =．现要用砂轮磨削其内表面，问直径为多大时砂轮才比较合适？。