谓词逻辑永真公式
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概率论-第六讲 谓词演算的永真公式
将y代以w，得∀xP( x, w ) ∨ Q( w, w )
如果原式是永真公式, 则代入后仍得永真公式。若原 式是非永真式, 则代入后可能变化。
15
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a)
13
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
14
三、变换规则
1.代入规则 1）在一公式中, 任一自由个体变元可代以另一个体变 元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代 入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 如 ∀xP( x , y) ∨ Q( w , y)，将y代以z，得∀xP( x , z) ∨ Q( w , z)
说明否定词可通 过量词深入到辖 域且两个量词可 相互表达
① 从语义上理解 例如P(x):x今天来上课了； ¬P(x):x今天没来上课。 “不是所有的人都来上课了”等价于“有些人今天没 来上课”。 ②证明：（在有限个体域上证） 设个体域中个体变元为a1,a2,…,an 则 ¬(∀xA(x)) ⇔ ¬(A(a1 ) ∧ A(a 2 ) ∧ ... ∧ A(a n ))
含义：如果对某一确定的x，P(x)为真，则“存在一 个x,使P(x)为真”成立。
由∀xP(x) ⇒ P(x)和P(x) ⇒ ∃xP(x)根据前提三段论得 ∀xP(x) ⇒ ∃xP(x)
如果原式是永真公式, 则代入后仍得永真公式。若原 式是非永真式, 则代入后可能变化。
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三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a)
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表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
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三、变换规则
1.代入规则 1）在一公式中, 任一自由个体变元可代以另一个体变 元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代 入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 如 ∀xP( x , y) ∨ Q( w , y)，将y代以z，得∀xP( x , z) ∨ Q( w , z)
说明否定词可通 过量词深入到辖 域且两个量词可 相互表达
① 从语义上理解 例如P(x):x今天来上课了； ¬P(x):x今天没来上课。 “不是所有的人都来上课了”等价于“有些人今天没 来上课”。 ②证明：（在有限个体域上证） 设个体域中个体变元为a1,a2,…,an 则 ¬(∀xA(x)) ⇔ ¬(A(a1 ) ∧ A(a 2 ) ∧ ... ∧ A(a n ))
含义：如果对某一确定的x，P(x)为真，则“存在一 个x,使P(x)为真”成立。
由∀xP(x) ⇒ P(x)和P(x) ⇒ ∃xP(x)根据前提三段论得 ∀xP(x) ⇒ ∃xP(x)
谓词逻辑 有效式证明
谓词逻辑有效式证明什么是谓词逻辑谓词逻辑（Predicate Logic），也称为一阶谓词演算（First-order Predicate Calculus）或一阶逻辑（First-order Logic），是数理逻辑中的一个重要分支。
它是一种用于研究自然语言和数学推理的形式系统，能够精确地描述和分析复杂的命题、关系和推理。
在谓词逻辑中，我们使用谓词来描述对象之间的关系，使用量词来表示命题的范围。
谓词是一个描述性质或关系的函数，它接受一些参数并返回真或假。
量词则用于限定谓词的范围，包括全称量词∀（for all）和存在量词∃（exists）。
通过合理地运用这些符号和规则，我们可以进行有效式证明，即证明某个命题在给定公理系统下是可证明的。
有效式证明的基本概念在进行有效式证明之前，我们首先需要了解一些基本概念。
命题命题是一个陈述句，它要么为真（True），要么为假（False）。
在谓词逻辑中，我们使用符号P、Q、R等来表示命题。
公理公理是谓词逻辑中的基本假设或前提，它是一个被认为是真的命题。
在进行有效式证明时，我们需要基于一组公理来推导出新的命题。
推理规则推理规则是用于从已知命题推导出新的命题的规则。
常见的推理规则包括：假言推理、析取三段论、合取三段论、全称推广、全称特指等。
有效式证明有效式证明是指使用一组公理和推理规则，通过一系列合法的推导步骤，从已知命题推导出目标命题。
如果我们能够按照一定的规则进行推导，并最终得到目标命题，则称该证明是有效式的。
谓词逻辑有效式证明的步骤进行谓词逻辑有效式证明时，通常需要按照以下步骤进行：1.确定目标：首先需要确定要证明的目标命题。
2.建立前提：根据已知信息和所给公理，建立起一组前提命题。
3.运用推理规则：根据前提和已有信息，运用合适的推理规则来进行推导。
4.反复应用：根据需要反复应用不同的推理规则，直到最终得到目标命题。
5.证明结束：当我们成功地从已知信息推导出目标命题时，证明结束。
谓词逻辑永真公式
T
所以
T
xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
F
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
此处取T亦可
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))是否是永真式，并说明理由。
总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式为假的解释。 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下逐步推演。 在推演过程中，首先考虑以下事实： 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素的对称性避免讨论。
例
取解释I如下：
D={1,2}, 定义D上的二元谓词P真值为 P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分别为?
T
F
T
T
关于x的一元函数
xyP(x,y)
P(x,y)
T
yP(x,y)
T
xyP(x,y)
F
T
F
F
F
F
F
T
2
1
2
2
1
1
yx P(x,y)
xP(x,y)
P(x,y)
x
y
关于y的一元函数
yxP(x,y)
取解释I如下： D={1,2}, 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 定义D上的谓词P和Q为 P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值
8
单击此处添加大标题内容
量词对及→的处理 x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x) xA(x)→xB(x)x(A(x)→B(x)) 证明1. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x)) 证明2. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
所以
T
xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
F
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
此处取T亦可
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))是否是永真式，并说明理由。
总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式为假的解释。 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下逐步推演。 在推演过程中，首先考虑以下事实： 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素的对称性避免讨论。
例
取解释I如下：
D={1,2}, 定义D上的二元谓词P真值为 P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分别为?
T
F
T
T
关于x的一元函数
xyP(x,y)
P(x,y)
T
yP(x,y)
T
xyP(x,y)
F
T
F
F
F
F
F
T
2
1
2
2
1
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yx P(x,y)
xP(x,y)
P(x,y)
x
y
关于y的一元函数
yxP(x,y)
取解释I如下： D={1,2}, 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 定义D上的谓词P和Q为 P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值
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单击此处添加大标题内容
量词对及→的处理 x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x) xA(x)→xB(x)x(A(x)→B(x)) 证明1. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x)) 证明2. xA(x)→xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)→B(x))
第六讲谓词演算的永真公式
二、谓词演算的基本永真公式
5 量词的分配形式 ① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ② x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ③ x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ④ xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) 证： ①因为对一切x，A(x) B(x)为真，等价于对一切x， A(x)为真且B(x)为真。 ② 对① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
二、谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式。 因为谓词演算是命题演算的扩充，所以列于表 1.2 -1 , 表1.2 -2 的恒等式和永真蕴含式同样适用于 谓词演算。 2.量词的增加与删除 1）
xA A xA A
A中不含自由变元x
因为A不含自由变元x，所以A的真值与x无关，故恒等 式成立。
谢谢同学们的主动配合！ 愿大家天天快乐！
一、谓词演算基本概念
4. 两个任意谓词公式A和B,
1) A与B等价， A B iffA B 永真； E 2)在E上A与B等价，A B iffA B 在E上永真.
5. 两个任意谓词公式A和B, 1) A永真蕴含B ， A B iff A → B 永真； E 2)在E上A永真蕴含B， A B iff A → B 在E上永真.
将y代以w，得xP(x, w) Q(w, w)
注意： 换名规则的对象：只用于约束变元，换名后所得公式与原式等价；
代入规则的对象：只用于自由变元，换名后所得公式与原式一般
不等价，除非是永真式。
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a) P Q P Q，
离散数学---谓词逻辑推理
得到(3)不能使用存在量词消除规则 由(2)得到 不能使用存在量词消除规则， 得到 不能使用存在量词消除规则， 因为(2)中含有除 以外的自由变元z。 中含有除y以外的自由变元 因为 中含有除 以外的自由变元 。
推理举例1 推理举例
每一个大学生不是文科生就是理科生； 每一个大学生不是文科生就是理科生；有的大学生是优 西 等生；小张不是文科生但他是优等生。因此， 等生；小张不是文科生但他是优等生。因此，如果小张是 华 大 大学生，他就是理科生。 大学生，他就是理科生。
∃y (P(x)→Q(y)) // 存在量词引入规则 →
一阶逻辑中特有的推理规则( 一阶逻辑中特有的推理规则(续)
西 华 大 学
[4]. 存在量词消除规则（EI规则） 存在量词消除规则（ 规则 规则） ∃x A(x) ⇒ A(c) 成立的条件是： 成立的条件是： (1). c是特定的个体常项，是使得 是特定的个体常项， 是特定的个体常项 是使得A(c)为 为 真的个体常项， 不能在前面的公式序列中出 真的个体常项 ， c不能在前面的公式序列中出 现； (2). c不在 不在A(x)中出现； 中出现； 不在 中出现 (3). A(x)中自由出现的个体变元只有 ； 中自由出现的个体变元只有x； 中自由出现的个体变元只有
举例： 举例：存在量词消除规则
西 华 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： 指出下列推导中的错误，并加以改正： A (1). ∃x P(x) // 前提 (2). P(c) // 存在量词消除规则 (3). ∃x Q(x) // 前提 (4). Q(c) // 存在量词消除规则 A解 ： 第二次使用存在量词消除规则时 ， 所指定的特 解 第二次使用存在量词消除规则时， 定个体应该在证明序列以前的公式中不出现， 定个体应该在证明序列以前的公式中不出现，正确的推 理是： 理是： (1). ∃x P(x) // 前提 (2). P(c) // 存在量词消除规则 (3). ∃x Q(x) // 前提 (4). Q(d) // 存在量词消除规则
第1章2谓词逻辑
在谓词公式中，形如 xA(x) 或
xA(x) 的
那一部分称为公式的x约束部分。而A（x）称为量词
x或 x的辖域。x在公式的x约束部分的任一出现都称为x
的约束出现。
公式中约束出现的变元是约束变元 当x 的出现不是约束出现时，称x 的出现是自由出现 。 自由出现的变元是自由变元。
26
例
指出下列各公式中的量词辖域及自由变元和约束变元。
6
二、个体变元 个体常元 表示具体或特定的个体的个体词称为个体常元。 个体变元 表示抽象的，或泛指的（或者说取值不确定的）
个体称为个体变元。
例2 L（x,y,z）表示“x+y=z”,其中x,y,z为个体变元。
L（3，2，5）表示真命题“3+2=5”， （3，2，5）为个体常元 而L（1，2，4）表示假命题“1+2=4” ， （1，2，4）为个体常元。
14
例5
(1) “所有的人都是要死的。”
(2) “有的人活百岁以上。” 当x的个体域E为全体人组成的集合时，符号化上述命题。
令D（x）：x是要死的。则（1）可表示为 x D（x）。 令G（x）：x活百岁以上。则（2）可表示为 x G（x）。
15
当取x的个体域为全总个体域时，必须引入一个特性谓词将人 从全宇宙的一切事物中分离出来。 P60 （1）对所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 ( 2）存在着个体，它是人并且它活百岁以上。 于是令M（x）：x是人。 （1） x（M（x） D（x）） （2） x（M（x）∧G（x））
令P（x）：x是x+1=0的整数解。
则命题可表示为 !x P（x），
其中x的个体域为整数集。
12
个体变元的取值范围称为个体域（论域）。
xA(x) 的
那一部分称为公式的x约束部分。而A（x）称为量词
x或 x的辖域。x在公式的x约束部分的任一出现都称为x
的约束出现。
公式中约束出现的变元是约束变元 当x 的出现不是约束出现时，称x 的出现是自由出现 。 自由出现的变元是自由变元。
26
例
指出下列各公式中的量词辖域及自由变元和约束变元。
6
二、个体变元 个体常元 表示具体或特定的个体的个体词称为个体常元。 个体变元 表示抽象的，或泛指的（或者说取值不确定的）
个体称为个体变元。
例2 L（x,y,z）表示“x+y=z”,其中x,y,z为个体变元。
L（3，2，5）表示真命题“3+2=5”， （3，2，5）为个体常元 而L（1，2，4）表示假命题“1+2=4” ， （1，2，4）为个体常元。
14
例5
(1) “所有的人都是要死的。”
(2) “有的人活百岁以上。” 当x的个体域E为全体人组成的集合时，符号化上述命题。
令D（x）：x是要死的。则（1）可表示为 x D（x）。 令G（x）：x活百岁以上。则（2）可表示为 x G（x）。
15
当取x的个体域为全总个体域时，必须引入一个特性谓词将人 从全宇宙的一切事物中分离出来。 P60 （1）对所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 ( 2）存在着个体，它是人并且它活百岁以上。 于是令M（x）：x是人。 （1） x（M（x） D（x）） （2） x（M（x）∧G（x））
令P（x）：x是x+1=0的整数解。
则命题可表示为 !x P（x），
其中x的个体域为整数集。
12
个体变元的取值范围称为个体域（论域）。
离散数学的谓词逻辑详解
两种量词: 全称量词和存在量词.
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
1.7谓词演算的永真公式
（15） （16） （17）
例如：设个体域D为联欢会上所有的人组成的集合， A(x)：x唱歌。 B(x)：x跳舞。
1 x(A(x)∧B(x))： 联欢会上所有的人既唱歌又跳舞。 与 xA(x)∧xB(x)： 联欢会上所有的人唱歌且所有的人
跳舞。（含义相同） 2 x(A(x)∨B(x))： 联欢会上有人唱歌或跳舞。 与 xA(x)∨xB(x)： 联欢会上有人唱歌，或联欢会上有
人跳舞。（含义相同）
14
NUIST
证明：设D为任意一个个体域，I为任意一个指派。 x(A(x)∧B(x))：对于D中所有的ｘ，A(x)和B(x)都是真的。 xA(x)∧xB(x)：对于D中所有的ｘ，A(x)是真的；同时对
于D中所有的ｘ，B(x)也是真的。---两个命题是等价的。
x(A(x)∨B(x))：D中存在ｘ，能使Ａ(ｘ)或者Ｂ(ｘ)为真。 xA(x)∨xB(x)：D中存在ｘ能使Ａ(ｘ)为真，或者D中存在
指定：1.个体域D为全总个体域
2.Ｐ(x)：x是人；Ｑ(x)：x是黄种人。
则x(P(x)→Q(x))：所有的人都是黄种人。 F
思考：若 个体域D为实数集
Ｐ(x)：x是自然数；Ｑ(x)：x是有理数。
2
NUIST
例1-7-1 给定一个解释I： D={2，3}； D中的特定元素 a=2 D上的特定谓词 F(x)为：F(2)=0，F(3)=1 L(x,y)为：L(2,2)= L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0.
等价（永真蕴含） 1 若A和B在任意个体域上都是等价的，则称谓词公式A和B
等价，记作：AB。 2 若A和B在任意个体域上都有A永真蕴含B，则称谓词公式A
永真蕴含B，记作：AB。
8
离散数学ch2[2]谓词逻辑的等值
![离散数学ch2[2]谓词逻辑的等值](https://img.taocdn.com/s3/m/00b94d445f0e7cd1842536fe.png)
本节主要内容
把命题演算中的等价、永真性、可满足性等 概念加以推广，扩展到谓词演算中;
并给出获得谓词公式永真式的两个途径。
本节三个主要部分
1.基本定义 2.谓词演算的基本永真公式 3.谓词公式中的范式
2-2.1 基本定义:谓词公式的等价
定义：遍及客体域E等价
给定任何两个谓词公式A和B,E是它们共同的客体域。 在公式A和B中，若用确定的命题取代各个命题变元， 并给谓词公式的每个客体变元指派E中的每一个客体名称 由公式A和B所得到的命题都具有同样的真值， 则称谓词公式A和B遍及E是等价的，并记作遍及E有 A B。
2-2.1 基本定义
例：判断下列公式的种类
(1) xF(x)→xF(x) (2) xF(x)→(xyG(x,y)→xF(x)) (3) xF(x)→(xF(x)yG(y)) (4) ┐(F(x,y)→R(x,y))R(x,y)
用什么方法判断公式的种类？
解释、代换实例
2-2.1 基本定义
(1) xF(x)→xF(x)
2-2.3含有量词的等价式和蕴涵式
二、由已知永真公式通过转换公式获得 • 1.客体域有限时,去掉量词公式
当客体域有限时，如客体域D={a1,…，an}, 由量词意义可知，对任意A(x),都有:
xA(x) A(a1) …A(an)
xA(x) A(a1)… A(an)
2-2.3含有量词的等价式和蕴涵式
2-2.3含有量词的等价式和蕴涵式
3.量词辖域的扩展和收缩
a.xA(x)P x(A(x)P) b.xA(x)P x(A(x)P) c.xA(x)P x(A(x)P) d.xA(x)P x(A(x)P) 这里P是不含自由变元x的谓词公式。
证明1：因P的值与x无关。所以P由辖域内到辖域外，或 由辖域外进入到辖域内，不改变析取式和合取式的值。
把命题演算中的等价、永真性、可满足性等 概念加以推广，扩展到谓词演算中;
并给出获得谓词公式永真式的两个途径。
本节三个主要部分
1.基本定义 2.谓词演算的基本永真公式 3.谓词公式中的范式
2-2.1 基本定义:谓词公式的等价
定义：遍及客体域E等价
给定任何两个谓词公式A和B,E是它们共同的客体域。 在公式A和B中，若用确定的命题取代各个命题变元， 并给谓词公式的每个客体变元指派E中的每一个客体名称 由公式A和B所得到的命题都具有同样的真值， 则称谓词公式A和B遍及E是等价的，并记作遍及E有 A B。
2-2.1 基本定义
例：判断下列公式的种类
(1) xF(x)→xF(x) (2) xF(x)→(xyG(x,y)→xF(x)) (3) xF(x)→(xF(x)yG(y)) (4) ┐(F(x,y)→R(x,y))R(x,y)
用什么方法判断公式的种类？
解释、代换实例
2-2.1 基本定义
(1) xF(x)→xF(x)
2-2.3含有量词的等价式和蕴涵式
二、由已知永真公式通过转换公式获得 • 1.客体域有限时,去掉量词公式
当客体域有限时，如客体域D={a1,…，an}, 由量词意义可知，对任意A(x),都有:
xA(x) A(a1) …A(an)
xA(x) A(a1)… A(an)
2-2.3含有量词的等价式和蕴涵式
2-2.3含有量词的等价式和蕴涵式
3.量词辖域的扩展和收缩
a.xA(x)P x(A(x)P) b.xA(x)P x(A(x)P) c.xA(x)P x(A(x)P) d.xA(x)P x(A(x)P) 这里P是不含自由变元x的谓词公式。
证明1：因P的值与x无关。所以P由辖域内到辖域外，或 由辖域外进入到辖域内，不改变析取式和合取式的值。
离散-3-2-谓词逻辑(1)
主要内容：
第二章 一阶谓词逻辑
命题符号化
基本概念:个体、谓词、量词 项、原子公式、合式谓词公式 公式中量词的辖域、自由变元、约束变元 公式的分类 公式间的关系
合式谓词公式
永真公式
1
第二章 一阶谓词逻辑
»
苏格拉底(Socrates)论证：
所有的人都是要死的，苏格拉底是人， 所以，苏格拉底是要死的。
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))
(对∧可分配）
(对∨可分配）
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧x B(x)
合式公式»
令论述域为实数域， E(x,y): x=y; G(x,y):x>y,f(x,y): xy, 则
(1) ‘除非y0 x2=y不存在解’ 可符号化为 . (2) ‘存在一个x,对每一对y和z,使xy=xz’可符号化为 解： (1) xy(¬(G(y,0)∨E(y,0))¬ E(f(x,x),y)) 或 xy(E(f(x,x),y)G(y,0)∨E(y,0)).
把原子命题分解成 个体、谓词和量词, 并分别用符号表示
命题逻辑:
谓词逻辑:
用联接词联接 命题符号 用联接词联接 3 原子命题符号串
分析找出 简单命题
§2.1 命题符号化(2)
例1：将下列命题符号化： （1）存在小于 0 的实数；（2）任意实数的平方都不小于 0. 解：设个体域为实数集，L(x,y): x小于y, f(x): x的平方 (1) x L(x,0) (2) x ┐L(f(x),0) 如果个体域为全总个体域，设 R(x): x是实数 (1) x（R(x)∧L(x,0)） 特性谓词
第二章 一阶谓词逻辑
命题符号化
基本概念:个体、谓词、量词 项、原子公式、合式谓词公式 公式中量词的辖域、自由变元、约束变元 公式的分类 公式间的关系
合式谓词公式
永真公式
1
第二章 一阶谓词逻辑
»
苏格拉底(Socrates)论证：
所有的人都是要死的，苏格拉底是人， 所以，苏格拉底是要死的。
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B)xA(x)∧B
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)
x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))
(对∧可分配）
(对∨可分配）
x(A(x)∧B(x))xA(x)∧x B(x)
合式公式»
令论述域为实数域， E(x,y): x=y; G(x,y):x>y,f(x,y): xy, 则
(1) ‘除非y0 x2=y不存在解’ 可符号化为 . (2) ‘存在一个x,对每一对y和z,使xy=xz’可符号化为 解： (1) xy(¬(G(y,0)∨E(y,0))¬ E(f(x,x),y)) 或 xy(E(f(x,x),y)G(y,0)∨E(y,0)).
把原子命题分解成 个体、谓词和量词, 并分别用符号表示
命题逻辑:
谓词逻辑:
用联接词联接 命题符号 用联接词联接 3 原子命题符号串
分析找出 简单命题
§2.1 命题符号化(2)
例1：将下列命题符号化： （1）存在小于 0 的实数；（2）任意实数的平方都不小于 0. 解：设个体域为实数集，L(x,y): x小于y, f(x): x的平方 (1) x L(x,0) (2) x ┐L(f(x),0) 如果个体域为全总个体域，设 R(x): x是实数 (1) x（R(x)∧L(x,0)） 特性谓词
《离散数学》谓词逻辑
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
7
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
3.1 自然语言的谓词符号化
第 3章 谓词逻辑
8
命题是具有真假意义的陈述句，从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。
学习要求
重点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词公式的解释 3 特性谓词识别与翻译 4 基本等价规律 5 量词去掉/添加规则 6 谓词逻辑的推理
第 3章 谓词逻辑
6
难点
1 自然语言的谓词符号化 2 谓词逻辑与命题逻辑的联系与区别 3 谓词翻译的两条原则 4 合式公式的解释 5 量词去掉/添加规则的正确使用
历史人物
第 3章 谓词逻辑
4
1848-1923，德国数学家、 逻辑学家和哲学家
1906-1978，美籍奥地利数学家、逻 辑学家和哲学家，二十世纪最伟大的 逻辑学家之一
内容导航
CONTENTS
第 3章 谓词逻辑
5
1 历史人物 学习要求
3.1 自然语言的谓词符号化 3.2 谓词公式与解释 3.3 谓词公式的标准型——前束范式 3.4 谓词逻辑的推理理论 3.5 谓词逻辑的应用 3.6 作业
(x)(P(x)∧C(x))
谓词符号
变量符号
提出问题
第 3章 谓词逻辑
22
符号化“李兰的母亲是高级工程师”
设M(x,y)：x是y的母亲，
设g(x)：x的母亲；
P(x)：x是高级工程师；
P(x)：x是高级工程师；
概率论-第七讲 谓词演算的推理规则
(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
11
二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人，所以有的成员是青年专家。” 证： 设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。 前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。 例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P
2-2 谓词公式
⇔ (∀y)P(y)
⇔ P(y)∨Q(y) /
P(x)∨Q(y) ⇔ P(y)∨Q(x)
§2.2.3 变元的换名
变元换名的原则： （1）不改变变元的性质。
西安电子科技大学 软件学院
变元在换名前后，它是自由变元还是约束变元，这个性质不能发生变化。 约束变元受约束的量词不变。约束变换换名后，应该将量词的作用变 元，以及该量词辖域下所有受该量词约束的同名变元一同换名。
}
都是谓词公式
§2.2.1
谓词公式的定义
西安电子科技大学 软件学院
§2.2.2 量词的辖域
作用变元
西安电子科技大学 软件学院
约束变元
自由变元
量词的辖域
§2.2.2 量词的辖域
（1）(∀x)(P(x) → Q(x))
西安电子科技大学 软件学院
【例题】说明以下谓词公式中变元的性质及受约束的量词。
∀量词的辖域 x是约束变元
§2.2.3
变元的换名
西安电子科技大学 软件学院
？为什么需要且能够对变元进行换名 （1）为避免同一变元符号在谓词公式中既有自由出现，又有 约束出现或者出现同一约束变元符号受不同的量词约束的情 况，需要对变元进行换名。 变元换名的目标是使得同一个变元符号在一个谓 词公式中均表示的是相同的个体变元，避免混 淆。 （2）在一个谓词公式中有时候使用的变元符号是无关紧要的： 例如： (∀x)P(x)
离散数学 第一篇
第2章 谓词逻辑 第7课时 第8课时 第9课时 第10课时 第11课时 第12课时 1.1 谓词和量词 1.2 谓词公式 1.3 谓词公式的翻译
西安电5 谓词演算的四个推理规则 1.6 谓词逻辑推理及应用
§2.2.1
谓词演算的 原子公式
116谓词逻辑永真公式
– 联词与量词的关系 – 问题与否问题的关系 – 构造证法的一种典型情形 – 公式形成规则、联词、量词、变元约束等知识点 – 逐步推演思想 – 完整地自顶向下逐步求精思想
问题与否问题
• 问题：所给公式是永真式吗？ • 否问题：所给公式不是永真式吗？ • 这两个问题有不同的难度
– 是永真式：在任何论域的任何解释下皆为真 – 不是永真式：存在一个使该公式为假的特定
考虑D={1,2}上的解释I：
A(1) A(2) B(1) B(2)
FFFT
在I下： xB(x) A(1)∨B(1)
T
F
此处取T亦可
所以 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
T
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
F
总结
• 总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式 为假的解释。
P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T – 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
问题与否问题
• 问题：所给公式是永真式吗？ • 否问题：所给公式不是永真式吗？ • 这两个问题有不同的难度
– 是永真式：在任何论域的任何解释下皆为真 – 不是永真式：存在一个使该公式为假的特定
考虑D={1,2}上的解释I：
A(1) A(2) B(1) B(2)
FFFT
在I下： xB(x) A(1)∨B(1)
T
F
此处取T亦可
所以 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
T
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
F
总结
• 总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式 为假的解释。
P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T – 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
命题逻辑与谓词逻辑
如 D2 = {1，2，3}
根据上面的分析，在D2上的解释应有29个。
下面是其中的一个解释：
I: P(1, 1) P(1, 2) P(1, 3) P(2, 1) P(2, 2) P(2, 3) P(3, 1) P(3, 2) P(3,3)
T
T
T
F
F
T
FF
F
由于x = 3时，不存在一个y使P(x, y) = T。所以在这个解释下公式B为假，
要考察在这个解释下公式A的真假，根据量词(x)要对所有x 进行考察。由于：对x = 0时，
P(x)→Q( f (x), a) = P(0)→Q( f (0), 0) = P(0)→Q(1, 0) = F→F = T
对x = 1时
P(x)→Q( f (x), a) = P(1)→Q( f (1), 0) = P(1)→Q(0,0) = T→T = T
定义2-5 永真蕴涵：命题公式A永真蕴 涵命题公式B，当且仅当A→B是一个永真 式，记作AB，读作“A永真蕴涵B”，简 称“A蕴涵B”。
2.2 谓 词 逻 辑
• 1．谓词与个体 原子命题被分解为谓词和个体两部分。
• 个体是指可以单独存在的事物，它可以是 一个抽象的概念，也可以是一个具体的东 西。
定理2-2是反证法的理论依据。
6．谓词公式中的等价和蕴涵式 定义2-13 设P与Q是两个谓词公式，D是它们
共同的个体域。若对D上的任何一个解释，P与Q 的真值都相同，则称公式P和Q在域D上是等价的。 如果在任何个体域上P和Q都等价，则称P和Q是 等价的，记做：P Q。
下面是一些常用的等价式：
• 交换律 P∨QQ∨P
（证毕）
定理2-2 G为B1, B2, …, Bn的逻辑结论，当且仅当 (B1 ∧ B2 ∧ … ∧ Bn) ∧ ～ G
(第6讲)谓词逻辑
在谓词公式中一个变元可能既是约束出现同时又有自由出现则该变元既是自由变元又是约束变元本质上这两种出现用的是一个符号实质上是不同的含义
C S | S W U S T
量词
对于全称量词， 1. 对于全称量词，刻划其对应个体域的特性谓词 作为蕴涵的前件加入。 作为蕴涵的前件加入。 对于存在量词， 2. 对于存在量词，刻划其对应个体域的特性谓词 作为合取式之合取项加入。 作为合取式之合取项加入。 3.量词的辖域：∀x(p(x)→∃yQ(x,y)) 3.量词的辖域： x(p(x)→∃yQ(x,y)) 量词的辖域 →∃
C S | S W U S T
1.7
谓词演算的公式
例如： 例如：G⇔P→Q∧R P→Q∧ 例如： P(a)→( x)P(f(x)) 例如：A⇔P(a)→(∃x)P(f(x)) 一、谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 指对以下一些符号进行指定 1.谓词公式 的论述域为D 谓词公式A的论述域为 谓词公式 的论述域为 2.每一个个体常元指定 中的一个元素 每一个个体常元指定D中的一个元素 每一个个体常元指定 3.每一个 元函数为 n到D的一个映射 每一个n元函数为 每一个 元函数为D 的一个映射 4.每一个 元谓词为 n 到{0,1}的一个映射 每一个n元谓词为 每一个 元谓词为D 的一个映射 称以上一组指定为谓词公式A的一个解释或 称以上一组指定为谓词公式 的一个解释或赋值 的一个解释
XDC
C S | S W U S T (2).对不含指导变元 的谓词公式 对不含指导变元x的谓词公式 对不含指导变元 ①. ∀xA⇔A ⇔ ②. ∃xA⇔ A ⇔ 注意，这里 是不含约束变元 的谓词公式， 是不含约束变元x的谓词公式 注意，这里A是不含约束变元 的谓词公式，因 A的真值与 无关，所以上述等价式成立。 的真值与x无关 为A的真值与x无关，所以上述等价式成立。 (3).量词转换的重言蕴涵式 量词转换的重言蕴涵式 ①. ∀xA(x) ⇒ A(y) 或 ∀xA(x) ⇒ A(x) A(y) ⇒ ∃xA(x) 或 A(x) ⇒ ∃xA(x) 即有： 即有：∀xA(x) ⇒ ∃xA(x)
C S | S W U S T
量词
对于全称量词， 1. 对于全称量词，刻划其对应个体域的特性谓词 作为蕴涵的前件加入。 作为蕴涵的前件加入。 对于存在量词， 2. 对于存在量词，刻划其对应个体域的特性谓词 作为合取式之合取项加入。 作为合取式之合取项加入。 3.量词的辖域：∀x(p(x)→∃yQ(x,y)) 3.量词的辖域： x(p(x)→∃yQ(x,y)) 量词的辖域 →∃
C S | S W U S T
1.7
谓词演算的公式
例如： 例如：G⇔P→Q∧R P→Q∧ 例如： P(a)→( x)P(f(x)) 例如：A⇔P(a)→(∃x)P(f(x)) 一、谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 指对以下一些符号进行指定 1.谓词公式 的论述域为D 谓词公式A的论述域为 谓词公式 的论述域为 2.每一个个体常元指定 中的一个元素 每一个个体常元指定D中的一个元素 每一个个体常元指定 3.每一个 元函数为 n到D的一个映射 每一个n元函数为 每一个 元函数为D 的一个映射 4.每一个 元谓词为 n 到{0,1}的一个映射 每一个n元谓词为 每一个 元谓词为D 的一个映射 称以上一组指定为谓词公式A的一个解释或 称以上一组指定为谓词公式 的一个解释或赋值 的一个解释
XDC
C S | S W U S T (2).对不含指导变元 的谓词公式 对不含指导变元x的谓词公式 对不含指导变元 ①. ∀xA⇔A ⇔ ②. ∃xA⇔ A ⇔ 注意，这里 是不含约束变元 的谓词公式， 是不含约束变元x的谓词公式 注意，这里A是不含约束变元 的谓词公式，因 A的真值与 无关，所以上述等价式成立。 的真值与x无关 为A的真值与x无关，所以上述等价式成立。 (3).量词转换的重言蕴涵式 量词转换的重言蕴涵式 ①. ∀xA(x) ⇒ A(y) 或 ∀xA(x) ⇒ A(x) A(y) ⇒ ∃xA(x) 或 A(x) ⇒ ∃xA(x) 即有： 即有：∀xA(x) ⇒ ∃xA(x)
谓词演算的等价式和蕴含式
（9） x(H ( x ) S ( x )) （10）H (a ) S (a )
B xA( x ) x( B A( x ))
xP( x ) xQ( x ) x( P ( x ) Q( x ))
x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x )
xA( x ) xB( x ) x( A( x ) B( x ))
x( A( x ) B) xA( x ) B
x( A( x ) B) xA( x ) B
xA( x ) B x( A( x ) B)
xA( x ) B x( A( x ) B)
B xA( x ) x( B A( x ))
x (H ( x ) S ( x )) x ( H ( x ) C ( x )) x (C ( x ) E ( x )) xE ( x )
xS( x )
证明： （1）xE ( x ) （2） E (a ) （3）x(C ( x ) E ( x )) （4） C (a ) E (a ) （5） C (a ) （6）x( H ( x ) C ( x )) （7） H (a ) C (a )
I15
I16
例2-15用谓词演算的等价式和蕴含式证明 （1）x( P ( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) （2） xy( P( x ) Q( y )) xP( x ) yQ( y ) （3） x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) 证明(1)： x( P( x ) Q( x ))
如果论域D中的任意一个个体c，都能使A(c)成立， 则由该规则可得结论成立。注意，此时的个体c不是论域 中某一特定的个体，而是泛指论域中所有的个体。
B xA( x ) x( B A( x ))
xP( x ) xQ( x ) x( P ( x ) Q( x ))
x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x )
xA( x ) xB( x ) x( A( x ) B( x ))
x( A( x ) B) xA( x ) B
x( A( x ) B) xA( x ) B
xA( x ) B x( A( x ) B)
xA( x ) B x( A( x ) B)
B xA( x ) x( B A( x ))
x (H ( x ) S ( x )) x ( H ( x ) C ( x )) x (C ( x ) E ( x )) xE ( x )
xS( x )
证明： （1）xE ( x ) （2） E (a ) （3）x(C ( x ) E ( x )) （4） C (a ) E (a ) （5） C (a ) （6）x( H ( x ) C ( x )) （7） H (a ) C (a )
I15
I16
例2-15用谓词演算的等价式和蕴含式证明 （1）x( P ( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) （2） xy( P( x ) Q( y )) xP( x ) yQ( y ) （3） x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) 证明(1)： x( P( x ) Q( x ))
如果论域D中的任意一个个体c，都能使A(c)成立， 则由该规则可得结论成立。注意，此时的个体c不是论域 中某一特定的个体，而是泛指论域中所有的个体。
17 谓词演算的永真公式
南京信息工程大学数理学院
谓词公式类型的判断
方法一：真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的，谓词变元的解释也 是有限的时，原则上可以用真值表来判断。 方法二：指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的，或谓词变元的解释 是无限的时，谓词公式A的指派就是无限多个，无法实 现用真值表来判断，一般根据联结词、量词的意义，直 接用自然语言来叙述进行证明。
南京信息工程大学数理学院
二、谓词演算中的逻辑等价式和永真蕴含式
遍及个体域E等价（永真蕴含） 给定个体域E上的两个谓词公式A和B，若对E中的任意指派I， 1 A、B 都具有相同的真值（即谓词公式A↔B为永真式）， 则称谓词公式A和B在E上等价，记作：在E上AB。 2 当A为真时，B也为真（即谓词公式A→B为永真式）， 则称谓词公式A在E上永真蕴含B，记作：在E上AB。
P(x)∧xP(x)在E上可满足， xP(x)在E上永真。
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2 ∀xP(x)→∃xP(x) 解： 未指明个体域与谓词P(x)的含义 ---任意多组解释 设D为任意一个个体域，I为任意一个指派。 若∀xP(x)为真， 即对于D中任意x，P(x)均为真。 此时在D中当然至少有一个x，使P(x)为真。 则∃xP(x)为真。 所以在指派I下，∀xP(x)→∃xP(x)取值为真。 由I的任意性，∀xP(x) →∃xP(x)为永真式。
例如：对 x(P(x)→Q(x)) 指定：1.个体域D为全总个体域 2.Ｐ(x)：x是人；Ｑ(x)：x是黄种人。 则x(P(x)→Q(x))：所有的人都是黄种人。 F 思考：若 个体域D为实数集 Ｐ(x)：x是自然数；Ｑ (x)：x是有理数。 南京信息工程大学数理学院
例1-7-1 给定一个解释I： D={2，3}； D中的特定元素 a=2 D上的特定谓词 F(x)为：F(2)=0，F(3)=1 L(x,y)为：L(2,2)= L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0. 在这个解释下，求下列各式的值。 1 ∀x(F(x)∧L(x,a)) (F(2)∧L(2,2))∧(F(3)∧L(3,2)) (0∧1)∧(1∧1) 0 2 ∀x∃y L(x,y) ∀x(L(x,2)∨L(x,3)) (L(2,2)∨L(2,3))∧(L(3,2)∨L(3,3)) (1∨0)∧(0∨1) 1
2-4 谓词演算的永真公式
§2.4.2 含量词的基本永真式
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§2.4.2 含量词的基本永真式
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§2.4.2 含量词的基本永真式
三、量词的分配式 （3） (∀x)A(x)∨(∀x)B(x)
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⇒
(∀x)(A(x)∨B(x))
例如：“中秋节晚会上, 每个同学都吃了月饼或每个同学 都跳了舞” “中秋节晚会上每个同学都吃了月饼或跳了舞” 这两个命题是不等价的。 全称量词∀对∨不可分配。
⇔ ⇔ ⇔
(∃x)¬¬A(x) (∃x)A(x)
¬(∃x)A(x)
§2.4.2 含量词的基本永真式
三、量词的分配式 （1） (∀x)(A(x)∧B(x))
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⇔
(∀x)A(x)∧(∀x)B(x)
例如：“中秋节晚会上, 每个同学都吃了月饼且跳了舞” “中秋节晚会上, 每个同学都吃了月饼且每个同学都跳了舞” 这两个命题是等价的。
谓词公式A和B 在E上等价
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谓词公式间的等价关系与变元的个体域相关 给定任意两个谓词公式A和B，设其中的变元 有相同的个体域E，若A和B的任一赋值，它 包括以下两方面： （1）对公式A和B中的相同谓词符号，指派 同一个在个体域E上有确定含义的谓词； （2）对公式A和B中的相同的个体变元指派 论域E中同一确定的个体。 若A和B的真值均相同，则称谓词公式A和B 在个体域E上等价。
§2.4.3 多个量词的使用
例如：
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设x的个体域为：全班的男生，y的个体域为：全班的女生。 A(x,y):x与y跳过舞 (∀x)(∃y)A(x,y)：“班上的每个男生都和某些女生跳过舞” (∃y)(∀x)A(x,y)：“班上的某些女生与每个男生都和跳过舞” (∃y)(∀x)A(x,y) ⇔ (∀x)(∃y)A(x,y) / (∃y)(∀x)A(x,y)
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P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T – 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
3. A(x) (A(x) ：x+6=5) 可满足式
x(A(x)∨B(x)) F
B(1) B(2) F
因此
xA(x) F
所以 xB(x) T
从而 A(1) A(2) B(1) B(2)
F
FT
结论：所给公式不是永真式
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) 是否是永真式，并说明理由。
解：所给公式不是永真式，理由如下。
体函数常量
3. 对A中出现的每一个n元谓词，指定一个D上的n元谓词 常量
4. 对A中出现的每一个个体常量及自由变元，指定D中的 一个个体常量
5. 对A中出现的每一个命题变元P，指派一个真值T或F
由此得到一个命题AI，称AI的真值为公式A在 解释I 下的真值
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 定义D上的二元谓词P真值为
– 联词与量词的关系 – 问题与否问题的关系 – 构造证法的一种典型情形 – 公式形成规则、联词、量词、变元约束等知识点 – 逐步推演思想 – 完整地自顶向下逐步求精思想
问题与否问题
• 问题：所给公式是永真式吗？ • 否问题：所给公式不是永真式吗？ • 这两个问题有不同的难度
– 是永真式：在任何论域的任何解释下皆为真 – 不是永真式：存在一个使该公式为假的特定
• 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外 逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下 逐步推演。
• 在推演过程中，首先考虑以下事实：
A→B F
AB TF
A∨B F
A B A∧B FF T
AB TT
xA(x) A(1) A(2)
xA(x) A(1) A(2)
T
TT
F
FF
• 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素 的对称性避免讨论。
P(1)→Q(f(1),1)
P(2)→Q(f(2),1)
T
T
x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值为T
谓词公式的永真式
• 定义
– 给定谓词公式A，E是其论域，如果在任何解释 下公式A的真值都为真，则称公式A在论域E上 是永真式。如果不论对什么论域E，都使得公 式A为永真式，则称A为永真式。
考虑D={1,2}上的解释I：
A(1) A(2) B(1) B(2)
FFFT
在I下： xB(x) A(1)∨B(1)
T
F
此处取T亦可
所以 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
T
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
F
总结
• 总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式 为假的解释。
11.6 谓词逻辑的永真公式
• 在谓词逻辑中，公式是一个符号串，必须 给以具体的解释后才能分辨其真假的可能。
• 解释：给公式中的个体变元指定一个具体 的个体域D
• 一个公式经解释后才具有具体的意义。
• 谓词公式的解释I包括：
1. 指定一个论域D(称I为D上的解释) 2. 对A中出现的每一个n元函数，指定一个D上的 n元个
y x P(x,y) xP(x,y) yx P(x,y)
1
T
1
F
2
F
F
1
F
2
F
2
T
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 – 定义D上的谓词P和Q为
P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值
• I(x)与N(x)在E上是等价的 • N(x)→I(x) N(x)∨I(x)
4. x( A(x) ∧ ¬A(x)) 永假式
5. 6.
x (A(x)∨B(x)) → x (A(x)∧B(x))
xA(x)∨xB(x) xA(x) ∧ xB(x)
永真吗?
永真式的判定
• 命题逻辑的永真式问题是可判定的。
– 至少可用真值表
• 谓词逻辑的永真式问题是不可判定的。 • 研究谓词逻辑永真式判定问题非常有意义：
谓词公式的等价
• 定义
– 两个任意谓词公式A和B, E是它们共有的论域, 若在任何解释下，A与B作的真值都相同(或者 说AB是永真式)，则称公式A与B在论域E上是 等价的。如果不论对什么论域E，都使得公式A 与B等价，则称A与B等价，记作AB。
– 例：I(x)：x是整数，N(x)：x是自然数，论域E 是自然数集合
目的(约束条件)是 xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) F
所以
xA(x)∨xB(x) T
x(A(x)∨B(x)) F
xA(x)为T或xB(x)为T
A(1)∨B(1)为F或A(2)∨B(2)为F
xA(x)∨xB(x)
T
不妨取
A(1)∨B(1) F
这样 A(1) A(2) F
解释
问题证明的一般方法
直接证明法 反证法 数学归纳法
Px(Q(x)→R(x)) What描述方式决定
(两种方式)
找出实例
2.转换形式结构 3.引用已知条件P
x：Q(x)
(问题具体描述)
PxA(x)
构造证法 给出算法
(问题抽象描述)
Q1(x)
P R1(x)
R(x)
递归或递推的 形式给出算法
例：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))是否是 永真式，并说明理由。
分析：试图找到一个使该公式为假的解释，首先考虑论域。 论域大了，过程会复杂，论域小了，无法区分全称与存在，
所以取D={1,2}。
现在要确定 A(1) A(2) B(1) B(2) ?? ??
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
3. A(x) (A(x) ：x+6=5) 可满足式
x(A(x)∨B(x)) F
B(1) B(2) F
因此
xA(x) F
所以 xB(x) T
从而 A(1) A(2) B(1) B(2)
F
FT
结论：所给公式不是永真式
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) 是否是永真式，并说明理由。
解：所给公式不是永真式，理由如下。
体函数常量
3. 对A中出现的每一个n元谓词，指定一个D上的n元谓词 常量
4. 对A中出现的每一个个体常量及自由变元，指定D中的 一个个体常量
5. 对A中出现的每一个命题变元P，指派一个真值T或F
由此得到一个命题AI，称AI的真值为公式A在 解释I 下的真值
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 定义D上的二元谓词P真值为
– 联词与量词的关系 – 问题与否问题的关系 – 构造证法的一种典型情形 – 公式形成规则、联词、量词、变元约束等知识点 – 逐步推演思想 – 完整地自顶向下逐步求精思想
问题与否问题
• 问题：所给公式是永真式吗？ • 否问题：所给公式不是永真式吗？ • 这两个问题有不同的难度
– 是永真式：在任何论域的任何解释下皆为真 – 不是永真式：存在一个使该公式为假的特定
• 注意：以前进行运算都是根据形成过程由里往外 逐次进行的，但这里的过程正好相反：自顶向下 逐步推演。
• 在推演过程中，首先考虑以下事实：
A→B F
AB TF
A∨B F
A B A∧B FF T
AB TT
xA(x) A(1) A(2)
xA(x) A(1) A(2)
T
TT
F
FF
• 若是上述五种情况之外的情况，则利用D中元素 的对称性避免讨论。
P(1)→Q(f(1),1)
P(2)→Q(f(2),1)
T
T
x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值为T
谓词公式的永真式
• 定义
– 给定谓词公式A，E是其论域，如果在任何解释 下公式A的真值都为真，则称公式A在论域E上 是永真式。如果不论对什么论域E，都使得公 式A为永真式，则称A为永真式。
考虑D={1,2}上的解释I：
A(1) A(2) B(1) B(2)
FFFT
在I下： xB(x) A(1)∨B(1)
T
F
此处取T亦可
所以 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
T
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
F
总结
• 总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式 为假的解释。
11.6 谓词逻辑的永真公式
• 在谓词逻辑中，公式是一个符号串，必须 给以具体的解释后才能分辨其真假的可能。
• 解释：给公式中的个体变元指定一个具体 的个体域D
• 一个公式经解释后才具有具体的意义。
• 谓词公式的解释I包括：
1. 指定一个论域D(称I为D上的解释) 2. 对A中出现的每一个n元函数，指定一个D上的 n元个
y x P(x,y) xP(x,y) yx P(x,y)
1
T
1
F
2
F
F
1
F
2
F
2
T
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 令 a:1, f(1)=2, f(2)=1 – 定义D上的谓词P和Q为
P(1): F； P(2): T； Q(1,1):T； Q(1,2):T； Q(2,1):F； Q(2,2): F 求谓词公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解释I下的真值
• I(x)与N(x)在E上是等价的 • N(x)→I(x) N(x)∨I(x)
4. x( A(x) ∧ ¬A(x)) 永假式
5. 6.
x (A(x)∨B(x)) → x (A(x)∧B(x))
xA(x)∨xB(x) xA(x) ∧ xB(x)
永真吗?
永真式的判定
• 命题逻辑的永真式问题是可判定的。
– 至少可用真值表
• 谓词逻辑的永真式问题是不可判定的。 • 研究谓词逻辑永真式判定问题非常有意义：
谓词公式的等价
• 定义
– 两个任意谓词公式A和B, E是它们共有的论域, 若在任何解释下，A与B作的真值都相同(或者 说AB是永真式)，则称公式A与B在论域E上是 等价的。如果不论对什么论域E，都使得公式A 与B等价，则称A与B等价，记作AB。
– 例：I(x)：x是整数，N(x)：x是自然数，论域E 是自然数集合
目的(约束条件)是 xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) F
所以
xA(x)∨xB(x) T
x(A(x)∨B(x)) F
xA(x)为T或xB(x)为T
A(1)∨B(1)为F或A(2)∨B(2)为F
xA(x)∨xB(x)
T
不妨取
A(1)∨B(1) F
这样 A(1) A(2) F
解释
问题证明的一般方法
直接证明法 反证法 数学归纳法
Px(Q(x)→R(x)) What描述方式决定
(两种方式)
找出实例
2.转换形式结构 3.引用已知条件P
x：Q(x)
(问题具体描述)
PxA(x)
构造证法 给出算法
(问题抽象描述)
Q1(x)
P R1(x)
R(x)
递归或递推的 形式给出算法
例：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))是否是 永真式，并说明理由。
分析：试图找到一个使该公式为假的解释，首先考虑论域。 论域大了，过程会复杂，论域小了，无法区分全称与存在，
所以取D={1,2}。
现在要确定 A(1) A(2) B(1) B(2) ?? ??