八年级数学下：几何计算题、证明题

1 / 5八年级数学下：几何计算题、证明题一、题型特点：四边形（五种常见的）、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中，……二、常见新型题型：动点、折纸、开放（条件、结论开放）、探索性（数量关系、位置关系），……三、图形搭建：三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形，…… 下面我根据图形搭建结构特征进行分类，列举一部分和本期几何部分（主要是平行四边形）的计算题、证明题，让我们共同来探究、解析. 一、以平行四边形搭建起来的图形例1.ABCD Y中，AB=4cm ，AD=7cm, ∠ABC 的平分线交AD 于E,交CO 的延长线于F,求DF 的长？ 分析： 本题要求的DF 长的途径有两条：其一.DF CF CD =-；其二. DF DE AD AE ==-.采取第一途径可以少一些环节，根据平行四边形的性质和角的平分线的定义可以 比较容易得出BCF V是等腰三角形，即CF CB =；由于平行四边形的对边相等可以得出:,CD AB 4cm CB AD 7cm ====.故DF 743cm =-=例2.△ABC 、△ADE 都是正三角形，CD=BF.（1）、求证：△ACD ≌△CBF（2）、当D 运动至BC 边上的何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF=30°,并证明你的结论.分析： ⑴.证明△ACD ≌△CBF 已经有了CD=BF ，而△ABC 、△ADE 都是正三角形又可以给我们提供,CA CB ACD CBF 60=∠=∠=o 条件，根据“SAS ”判定方法可以证得△ACD ≌△CBF.⑵.根据⑴问的△ACD ≌△CBF 得出AD CF =,又△ADE 是正三角形的DE CF =,所以CF DE =;要使四边形CDEF 为平行四边形可以证CF DE P .若四边形CDEF 为平行四边形，则FCD DEF 30∠=∠=o ；当EDB 30∠=o 时，就有FCD EDB ∠=∠,此时就能证得CF DE P .由正△ADE 可以得出ADE 60∠=o ，则ADB 603090∠=+=o o o ,AD BC ⊥;由于等腰三角形具有“三线合一”的特征，所以当D 运动至BC 边上中点时，四边形CDEF 为平行四边形.练习： 1.如图,在□ABCD 中，AE ⊥BC,AF ⊥CD,∠EAF=60°，则∠B=（ ）；2.□ABCD 的周长为60ｃｍ，对角线AC 、BD 交于点O,△AOB 的周 长比△BOC 的周长多10ｃｍ，则AD=（ ），DC=( )；3.□ABCD 中，∠ABC 的平分线BE 交AD 于E 点，若∠ABE=25°CD=5cm,BC=7cm,那么∠ABE=（ ），∠BED=（ ），AE=（ ）.4. 已知□ABCD ，BE=AB,BF =BD. 求证：CD=CM5. △ABC 是正三角形，AE=BD,DF ∥CE,EF ∥CD. 求证: △AGF ≌△EAC6.以△ABC 的三边在BC 的同侧做等边△EBC 、等边△FBA 、等边△DAC. ⑴.判断四边形FADE 的形状？ ⑵.当∠BAC 为多少度时，四边形FADE 为矩形？ ⑶.当∠BAC 为多少度时，四边形FADE 不存在？7. 有一块如图的玻璃，不小心把DEF 部分打碎，现在只测得AB=60cm,BC=80cm ，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能根据测得的数据计算AD 的长？ 二、以矩形搭建起来的图形 例1.D 为□ABCD 外一点，∠APC=∠BPD=90°.求证: □ABCD 为矩形分析：判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形ABCD 是平行 四边形的情况下，要判定ABCD Y是矩形的途径有两条：其一、找 一内角是直角；其二、找出对角线相等，即找出AC BD =. 由于本题的另一主要条件是∠APC=∠BPD=90°，要根据题中条件和图形位置转换成四边形的M C D F B A E G FE A B C DF DB C A DF E B C A O C BD PAF A B FED A C2 / 5内角为90°比较困难，所以本题我们先想办法找出对角线相等，即找出AC BD =.我们发现本题在APC Rt V 和BPD Rt V的两斜边的交点O 恰好是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形对角线互相平分可知：O 同时是AC BD 、的中点；所以自然联想到连结PO 这条两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条件，在APC Rt V和BPD Rt V 中就有：AC 2PO = BD 2PO =,故AC BD =,由对角线相等的平行四边形是矩形，可判定ABCD Y是矩形. 例2. 矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，PE ⊥AC ，PF ⊥BD ， ⑴.求PE+PF 的值？⑵.若点P 是AD 上的一动点（不与A D 、重合），还是作PE ⊥AC ，PF ⊥BD ，则PE+PF 的值是否会发生变化？为什么？分析：求线段的和或差我们会联想到证明中的“截长补短”法，但本题不具备这方面的条件. 本题从面积入手可以破题：如图连结PO ,只要我们能求出APO V 和DPO V的面积之和问题便可以获得解决.略解：⑴.∵四边形ABCD 是矩形∴BAD 90∠=o ,,11OA AC OD BD 22==, AC BD =∴1OA OD BD 2==在ABD Rt V中，AB=3，AD=4；并且根据勾股定理有：222BD AB AD =+，即222BD 34=+，又BD 0> ，所以.=BD 5∴.==11OA OD BD 52522==⨯∵,11AOP OA PE DOP OD PF 22S S =⋅=⋅V V ，且ABCD 11AOD 34344S S==⨯⨯=V 矩形(过程略)∴++=11AOP DOP OA PE OD PF AOD 22S S S =⋅⋅V V V,即..1125PE 25PF 322⨯⨯+⨯⨯=∴12PE PF 5+=.⑵.不会发生变化.这是因为AOD AOP POD V V V、、的面积以及作为底边的OA OD 、不会发生变化.练习：1. 矩形ABCD 中，AF=DE.求证：BE=CF2. 矩形ABCD 中，BE ⊥AC ，CF ⊥BD.求证：BE=CF3. 矩形ABCD 中，DF 平分∠ADC, ∠BDF=15°. 求∠DOC 与∠COF 的度数？4、矩形ABCD 中，CE ∥BD ，则△ACE 为等腰三角形吗？为什么？5.如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为多少？三、以菱形搭建起来的图形例1. △ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AH ⊥BC 于H 交BD 于E,DF ⊥BC 于F,求证：四边形AEFD 是菱形ABC D P E F OE FOD BC AE F DB CAO D CBA E ABDE C'B'E A3 / 5分析：判定菱形方法主要有三种，三种方法都可以使本题获得解决. 下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析. 可以先根据角平分线的性质得出AD FD =,进而容易证明 ABD V ≌AFD V ,所以BA BF =;再证明ABE V ≌AFE V可以得到EA EF =（也可以利用等腰三角形的“三线合一”）；利用等角的余角相等可以推出 ADE AED ∠=∠,所以EA DA =,于是AE EF FD DA ===,故四边形AEFD 是菱形.例2.（2012中考·自贡） 如图所示，在菱形ABCD 中，,AB 4BAD 120=∠=o ，AEF V为正三角形，点E F 、分别在菱形的边BC CD 、上滑动，且E F 、不与B C D 、、重合． ⑴.证明不论E F 、在BC CD 、D 上如何滑动，总有BE CF =?⑵.当点E F 、在BC CD 、上滑动时，探讨四边形AECF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值. 分析：⑴.先求证AB AC =，进而求证ABC ACD V V、为等边三角形，得=BAC 60AC AB ∠=o ，进而求证ABE V≌ACF V，即可求得BE CF =⑵.根据ABE V ≌ACF V 可得ABE ACF S S =V V ;根据S四边形AECF=AEC S +V ACF S V =AEC S +V BAE S V =ABC S V 即可解得.⑴.证明：连接AC ，如下图所示. ∵四边形ABCD 为菱形，BAD 120∠=o∴,1EAC 602EAC 60∠+∠=∠+∠=o o ∴12∠=∠ ∵BAD 120∠=o∴ABC 60∠=o∴ABC V 和ACD V都为等边三角形∴=460AC AB ∠=o， ∴在ABE V 和ACF V中，12AB AC ABC 3∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABE V ≌ACF V ()ASA∴BE CF =⑵.解：四边形AECF 的面积不变. 理由：由⑴得ABE V ≌ACF V ，则ABE ACF S S =V V .故S 四边形AECF =AEC S +VACF S V=AEC S +VBAE S V =ABC S V是定值. 作AH BC ⊥于H 点，则BH 2=S四边形ABCD ＝S ABC V=2211BC AH BC AB BH 4322⋅=-练习：1. 已知ABCD Y ，添加下列一个条件：①.AC ⊥BD ；②.∠BAD=90°；③.AB=BC ；④.AC=BD.其中能使ABCD Y是菱形的为（ ） A ．①③ B ．②③ C ．④ D.①②③2.菱形ABCD 中，E 为AB 上的一点，CE 交BD 于F.求证：⑴.△ABF ≌△CBF ；⑵.∠BEC=∠DAF.3. 菱形的对角线的比是2：3，周长为1304cm ，求菱形的面积？4. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD AC BC 、、分别交于点E O F 、、求证：四边形AFCE 是菱形 .5. 如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2，点E 、F 分别是AB 、AD 上 的动点，且满足BE=AF ，接连EF 、EC 、CF ．求证：△EFC 是等边三角形6. 9、Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分 BC ，且AF=CE.求证：四边形ACEF 为菱形四、以正方形搭建起来的图形例1.正方形ABCD 中，△DCE 是等边三角形.⑴.求∠AED 的度数？⑵.若OF=1，求AB 的长？BADCFE E ODC A ED A BCF FOED A B A FE D 321E HABF4 / 5分析：⑴.根据正方形和等边三角形的性质综合可以得出,DA DE ADE 9060150=∠=+=o o o ,所以得出：DAE DEA ∠=∠,所以()11AED DAE 180150301522∠=∠=-=⨯=o o o o . ⑵.根据正方形的性质综合可以得出AC BD ⊥,在AOF RtV 中，,FAO 451530OF 1∠=-==oo o所以AF 2OF 2==,根据勾股定理可以求出22OA 213=-=,所以AC BD 23==.根据勾股定理或者面积公式可以得出：211AB AC BD 2323622=⋅=⨯⨯=.又.AB 0AB 6>∴=.例2、正方形ABCD 的面积为64，DE=2,P 为AC 上的一动点；求PD+PE 的最小值？分析:在一条直线同侧的两点，到直线某点的距离之和最小，按如图所示作E 的对称点'E （根据正方形的对称性，对称点'E 恰好落在边BC 上） 连结'DE 交AC 于点'P ,根据轴对称的性质''''''DE DP E P DP EP =+=+ ,此时和是最小的.根据正方形ABCD 的面积为64可求得边长DC 8=,所以CE CD DE 826=-=-=。