正弦定理练习 含答案
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课时作业1 正弦定理
时间:45分钟 满分:100分
课堂训练
1.(2013·湖南理,3)在锐角△ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b .若2a sin B =3b ,则角A 等于( )
A.π
12 B.π
6 C.π4 D.π3
【答案】 D
【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A =b sin B ,得sin A =3
2, ∴∠A =π
3.
2.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知∠A =π
3,a =3,b =1,则c 等于( )
A .1
B .2 C.3-1 D. 3 【答案】 B
【解析】 由正弦定理a sin A =b
sin B , 可得3sin π3=1sin B ,sin B =12,
故∠B =30°或150°,
由a >b ,得∠A >∠B . ∴∠B =30°,故∠C =90°, 由勾股定理得c =2,故选B.
3.在△ABC 中,若tan A =13,C =5
6π,BC =1,则AB =________. 【答案】
102
【解析】 ∵tan A =13,且A 为△ABC 的内角,∴sin A =10
10.由正弦定理得AB =BC sin C sin A =1×sin 56π
1010
=10
2.
4.在△ABC 中,若∠B =30°,AB =23,AC =2,求△ABC 的周长.
【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角,要求其周长,自然要考虑去寻求第三边BC ,但BC 的对角∠A 未知,只知道∠B ,可结合条件由正弦定理先求出∠C ,再由三角形内角和定理求出∠A .
【解析】 由正弦定理,得sin C =AB sin B AC =32. ∵AB >AC ,∴∠C >∠B ,
又∵0°<∠C <180°,∴∠C =60°或120°.
(1)如图(1),当∠C =60°时,∠A =90°,BC =4,△ABC 的周长为6+23;
(2)如图(2),当∠C=120°时,∠A=30°,∠A=∠B,BC=AC=2,△ABC的周长为4+2 3.
综上,△ABC的周长为6+23或4+2 3.
【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时,应先由正弦定理求出正弦值,再判定这个角是否最大,若最大,则有两角,分别为一个锐角、一个钝角,且两角互补,否则只有一解,且为锐角.
课后作业
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.在△ABC中,sin A=sin C,则△ABC是()
A.直角三角形B.等腰三角形
C.锐角三角形D.钝角三角形
【答案】 B
【解析】∵sin A=sin C,∴由正弦定理得a=c,∴△ABC为等腰三角形,故选B.
2.已知△ABC的三个内角之比为A:B:C=1:2:3,那么a b c=()
A.1:2:3 B.1:2: 3
C.1: 2 : 3 D.1: 3 :2
【答案】 D
【解析】 设∠A =k ,∠B =2k ,∠C =3k ,由∠A +∠B +∠C =180°得,k +2k +3k =180°,∴k =30°,故∠A =30°,∠B =60°,∠C =90°.
由正弦定理得a :b :c =sin A :sin B :sin C =sin30°:sin60°:sin90°=1: 3 :2.
3.在△ABC 中,已知a =8,∠B =60°,∠C =75°,则( ) A .b =4 2 B .b =4 3 C .b =4 6 D .b =32
3
【答案】 C
【解析】 ∠A =180°-60°-75°=45°,由a sin A =b sin B 可得b =a sin B
sin A =8sin60°
sin45°=4 6.
4.已知△ABC 中,a =1,b =3,A =π
6,则B =( ) A.π3 B.2
3π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C
【解析】 由a sin A =b sin B 得sin B =b sin A
a , ∴sin B =
3·sin30°1=32,∴B =π3或2
3π.
5.在△ABC 中,已知∠A =30°,a =8,b =83,则△ABC 的面积S 等于( )
A .32 3
B .16
C .326或16
D .323或16 3
【答案】 D
【解析】 由正弦定理,知 sin B =b sin A a =83sin30°8=32, 又b >a ,∴∠B >∠A ,∴∠B =60°或120°. ∴∠C =90°或30°.
∴S =1
2ab sin C 的值有两个,即323或16 3.
6.在△ABC 中,cos A cos B =b a =8
5,则△ABC 的形状为( ) A .钝角三角形 B .锐角三角形 C .等腰三角形 D .直角三角形
【答案】 D
【解析】 ∵cos A cos B =b a =sin B
sin A ,即sin2A =sin2B ,∴∠A =∠B 或∠A +∠B =π2,又cos A ≠cos B ,∴∠A ≠∠B ,∴∠A +∠B =π
2,∴△ABC 为直角三角形.
7.已知△ABC 中,2sin B -3sin A =0,∠C =π
6,S △ABC =6,则a =( )
A .2
B .4
C .6
D .8
【答案】 B
【解析】 由正弦定理得a sin A =b
sin B ,故由2sin B -3sin A =0,