正弦定理练习 含答案

课时作业1 正弦定理

时间：45分钟 满分：100分

课堂训练

1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )

A.π

12 B.π

6 C.π4 D.π3

【答案】 D

【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝3

2， ∴∠A ＝π

3.

2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π

3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )

A ．1

B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B

【解析】 由正弦定理a sin A ＝b

sin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，

故∠B ＝30°或150°，

由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.

3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝5

6π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】

102

【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝10

10.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π

1010

＝10

2.

4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．

【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .

【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，

又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.

(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；

(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.

综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.

【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()

A．直角三角形B．等腰三角形

C．锐角三角形D．钝角三角形

【答案】 B

【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.

2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝()

A．1:2:3 B．1:2: 3

C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2

【答案】 D

【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.

由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.

3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝32

3

【答案】 C

【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin B

sin A ＝8sin60°

sin45°＝4 6.

4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π

6，则B ＝( ) A.π3 B.2

3π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C

【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A

a ， ∴sin B ＝

3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或2

3π.

5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )

A ．32 3

B ．16

C ．326或16

D ．323或16 3

【答案】 D

【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.

∴S ＝1

2ab sin C 的值有两个，即323或16 3.

6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝8

5，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形

【答案】 D

【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin B

sin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π

2，∴△ABC 为直角三角形．

7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π

6，S △ABC ＝6，则a ＝( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【答案】 B

【解析】 由正弦定理得a sin A ＝b

sin B ，故由2sin B －3sin A ＝0，