高三理数一轮复习课件：《函数及其表示》(含答案)

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3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A.y＝( x＋1)2
3
B.y＝ x3＋1
C.y＝xx2＋1
D.y＝ x2＋1
解析 对于 A，函数 y＝( x＋1)2 的定义域为{x|x≥－1}，与函数 y＝x＋1 的定义域
不同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对 于 C，函数 y＝xx2＋1 的定义域为{x|x≠0}，与函数 y＝x＋1 的定义域 x∈R 不同，不
π4＝
2 2.
答案
2 2
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角度2 分段函数与方程、不等式问题
【例 3－2】
(1)设函数 f(x)＝32xx，－xb≥，1x.<1，若 f

f

56＝4，则 b＝(
)
7
3
1
A.1
B.8
C.4
D.2
(2)(2017·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)＝x2＋x，1x，>0x，≤0，则满足 f(x)＋f x－12>1 的 x 的取值 范围是________.
(2)当 x≤0 时，f(x)＋f x－12＝(x＋1)＋x－12＋1， 原不等式化为 2x＋32>1，解得－14<x≤0，
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当 0<x≤12时，f(x)＋f x－12＝2x＋x－12＋1， 原不等式化为 2x＋x＋12>1，该不等式恒成立， 当 x>12时，f(x)＋f x－12＝2x＋2x－12， 又 x>12时，2x＋2x－12>212＋20＝1＋ 2>1 恒成立，
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第1节 函数及其表示
最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映 射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列 表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不 超过三段).
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2.( 必 修 1P25B2 改 编 ) 若 函 数 y ＝ f(x) 的 定 义 域 为 M ＝ {x| － 2≤x≤2} ， 值 域 为 N ＝ {y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析 A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2]. 答案 B
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【训练2】 (1)(2018·成都检测)已知函数f(x)＝ax－b(a>0)，且f[f(x)]＝4x－3，则f(2)＝ ________. (2)若f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝________. 解析 (1)易知f[f(x)]＝a(ax－b)－b＝a2x－ab－b，∴a2x－ab－b＝4x－3(a>0)， 因此aab2＝＋4b，＝3，解得ab＝ ＝21， . 所以 f(x)＝2x－1，则 f(2)＝3. (2)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，① 所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 答案 (1)3 (2)3x
1 x·
x－1，则
f(x)＝________.
解析 (1)令 t＝2x＋1(t>1)，则 x＝t－2 1，∴f(t)＝lg t－2 1，即 f(x)＝lg x－2 1(x>1).
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，
f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1， 所以2aa＋＝b1＝，－1，即ab＝ ＝12－，32.∴f(x)＝12x2－32x＋2.
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解析 因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.
因为在区间(－2，2]上，f(x)＝cxo＋s 12π2x，，－0<2x<≤x≤2，0，所以 f(15)＝f(－1)＝12，
因此 f [f(15)]＝f
12＝cos
D.[－9，1)
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解析 (1)要使函数有意义，则－ ln xx2≠－0x，＋2≥0，解得－ x>20≤且xx≤≠11，. ∴函数的定义域是(0，1). (2)易知f[f(x)]＝f[lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]， 则11－ －xlg>（0，1－x）>0，解得－9<x<1. 故f[f(x)]的定义域为(－9，1). 答案 (1)C (2)B
知识梳理
1.函数与映射的概念
两个集合A，B
函数 设A，B是两个_非__空__数__集___
映射 设A，B是两个_非__空__集__合___
对应关系 f：A→B
名称 记法
如果按照某种确定的对应关系f，使对于 集合A中的___任__意____一个数x，在集合B 中都有_唯__一__确__定___的数f(x)和它对应
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解析 (1)f 56＝3×56－b＝52－b， 若52－b<1，即 b>32时，
则f

f

56＝f
52－b＝352－b－b＝4，
解得 b＝78，不合题意舍去.
若52－b≥1，即
b≤32，则
5
22－b＝4，解得
b＝12.
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5.(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数 f(x)＝ 4－4x＋ln(x＋4)的定义域为________. 解析 要使 f(x)有意义，则4x＋－44>x≥0，0，解得－4<x≤1. 答案 (－4，1]
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6.(2018·福州调研)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________. 解析 由题意知点(－1，4)在函数f(x)＝ax3－2x的图象上，所以4＝－a＋2，则a＝－2. 答案 －2
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考点一 求函数的定义域 【例 1】 (1)(2019·湘潭模拟)函数 y＝ 1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________.
(2)若函数 y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数 g(x)＝xf(－2x1)的定义域为________. 解析 (1)要使函数 y＝ 1－x2＋log2(tan x－1)有意义，则 1－x2≥0，tan x－1>0，且 x≠kπ＋π2(k∈Z). ∴－1≤x≤1 且π4＋kπ<x<kπ＋π2，k∈Z，可得π4<x≤1. 则函数的定义域为π4，1.
是相等函数；对于 D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数.
答案 B
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4.(2019·珠海期中)已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝( )
1 A.5lg 2
1 B.2lg 5
1 C.3lg 2
解析
令
x5＝2，则
1
x＝25，∴f(2)＝lg
215＝15lg
2.
答案 A
1 D.2lg 3
相等函数.
3.函数的表示法 表示函数的常用方法有___解__析__法____ 、图象法和___列__表__法____.
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4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因__对__应__关__系__不同而分别用几个不同的式子来 表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__并__集____，其值域等于各段函数的值 域的___并__集___ ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
[微点提醒]
1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射. 2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.
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பைடு நூலகம்
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基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( ) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ) (3)f(x)＝ x－3＋ 2－x是一个函数.( ) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
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考点三 分段函数
多维探究
角度1 分段函数求值
【例 3－1】 (2018·江苏卷)函数 f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)
cos ＝
π2x，0<x≤2，
则
x＋12，－2<x≤0，
f
[f(15)]的值为________.
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(2)因为y＝f(x)的定义域为[0，2]，
所以要使 g(x)有意义应满足0x－≤12≠x≤02，，解得 0≤x<1. 所以g(x)的定义域是[0，1). 答案 (1)π4，1 (2)[0，1)
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规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义 为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1) 若 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 复 合 函 数 f[g(x)] 的 定 义 域 可 由 不 等 式 a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
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解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同， 故不是同一函数. (2)错误.值域C⊆B，不一定有C＝B.
(3)错误.f(x)＝ x－3＋ 2－x中 x 不存在. (4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
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【训练 1】 (1)(2019·深圳模拟)函数 y＝ －xl2n－xx＋2的定义域为(
)
A.(－2，1)
B.[－2，1]
C.(0，1)
D.(0，1]
(2)设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为( )
A.(－9，＋∞)
B.(－9，1)
C.[－9，＋∞)
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的___任__意______一个元素x，在集合B中都有 __唯__一__确__定__的元素y与之对应
称___f:_A_→__B___为从集合A到集合B的一个 称___f:_A_→__B___为从集合A到集合B的一个映射 函数
函数y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
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规律方法 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范 围. (3)构造法：已知关于 f(x)与 f 1x或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外 一个等式，通过解方程组求出 f(x).
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(3)在 f(x)＝2f
1 x·
x－1
中，
将 x 换成1x，则1x换成 x，得 f 1x＝2f(x)· 1x－1，
f(x)＝2f 由
1 x·
f 1x＝2f(x)·
x－1， 解得
1x－1，
f(x)＝23
x＋13.
答案 (1)lgx－2 1(x>1) (2)12x2－32x＋2 (3)23 x＋13
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2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的___定__义__域____； 与 x 的 值 相 对 应 的 y 值 叫 做 函 数 值 ， 函 数 值 的 ___集__合__{_f(_x_)_|x_∈__A_}____ 叫 做 函 数 的 __值__域_____. (2)如果两个函数的__定__义__域_____相同，并且__对__应__关__系___完全一致，则这两个函数为
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考点二 求函数的解析式
【例 2】 (1)已知 f 2x＋1＝lg x，则 f(x)＝________；
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________；
(3)已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f