线性子空间的和与直和
子空间的直和的充要条件
子空间的直和的充要条件一、引言在线性代数中，子空间是向量空间的一个重要概念。
直和则是子空间的一个重要性质。
本文将介绍子空间的直和以及充要条件。
二、子空间2.1 定义向量空间V中的非空子集U称为V的子空间，如果U对于向量加法和数乘运算也构成一个向量空间。
2.2 子空间的性质•零向量属于任意子空间•对于任意u，v属于U，u+v也属于U•对于任意k，u属于U，ku也属于U三、直和3.1 定义设V是线性空间，W1和W2是V的两个子空间。
如果满足以下两个条件，则称W1与W2的直和为V：•V = W1 + W2：即任意v属于V都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
•W1 ∩ W2 = {0}：即W1与W2只有零向量交集。
3.2 直和的几何理解直和可以理解为两个子空间在几何上没有交集，并且它们的所有组合可以覆盖整个向量空间V。
四、充要条件子空间的直和有以下充要条件：4.1 直和的充要条件一设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当对于任意v属于V，存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2。
4.2 直和的充要条件二设W1和W2是向量空间V的两个子空间，则V是它们的直和当且仅当维数公式成立：dim(V) = dim(W1) + dim(W2)。
4.3 证明充分性证明：如果存在唯一的v1属于W1和v2属于W2，使得v = v1 + v2，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = v1 + v2。
这说明V = W1 + W2。
另外，假设存在一个非零向量w同时属于W1与W2，则w既属于W1又属于W2，那么存在唯一的w’属于W1和w’‘属于W2，使得w = w’ + w’’。
由此可知w也可以表示为其他两个不同向量之和，与唯一性矛盾。
因此，W1与W2的交集只有零向量。
必要性证明：如果V是两个子空间W1和W2的直和，那么对于任意v属于V，都可以表示为v = w1 + w2，其中w1属于W1，w2属于W2。
高等代数 第6章线性空间 6.6 子空间的直和与线性空间的同构
多个子空间的直和
设W1，W2，…，Wr都是线性空间V的子空间。如果 则称 W1+ W2+…+ Wr 为子空间 W1 ， W2 ， … ， Wr 的直和，记为 W1+ W2+…+ Wr。
说明：一定要注意这里的条件是 ，不是Wi Wj ={0}，初学者
很容易出错。 多个子空间的和构成直和的条件 设 W1，W2 ，…，Wr是线性空间V的子空间，则 W1+ W2+…+ Wr 构成直和的充要条件是下列之一成立：
n维线性空间
Vn
R
n
x1 1 x2 2 xn n
x ( x1 , x2 , , xn )
T
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x2 ,, xn ) ( y1 , y2 ,, yn )
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
T
结论 １．数域 P上任意两个n 维线性空间都同 构． ２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间 U2 xn n x1 , x2 ,, xn R
与 n 维数组向量空间 R n 同构. 因为 T (1) Vn中的元素与R n中的元素( x1 , x2 ,, xn ) 形成一一对应关系；
6[1].7 子空间的直和
![6[1].7 子空间的直和](https://img.taocdn.com/s3/m/4f06861652d380eb62946d74.png)
1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
这就是说，向量 的分解式是唯一的.
证毕
推论 和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证明 先证充分性. 假设有等式
1 + 2 = 0，
那么
1 V1 , 2 V2 ,
是唯一的，这个和就称为直和. 记为 V1 V2 … Vs .
和两个子空间的直和一样，我们有
定理 4 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间，则下面这些条件是等价的：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一； 3) Vi
V
j i
j
{0}
(i 1,2,, s) ;
则 R 3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
例 3 设 V = P 3，U = L(1 )， 1 = (1, 1, 1)，
求 U 的补空间 W .
解 要求补空间 W，即要求 W 的一组基. 只需
把 U 的基扩充为 P 3 的基. 取
e1 = (1, 0, 0), e2 = ( 0, 1, 0),
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 )
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和 V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性.
设 V1 + V2 1 + 2 ， 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2.
51-子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1V1，α2V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αiVi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。
必要性：显然成立；充分性：设αV1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βiVi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βiVi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。
2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αiVi （i=1,2）那么α1=-α2 V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。
必要性：任取向量αV1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），αV1，—αV2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。
必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。
子空间的直和
等价的，也就与维(W) = 维(V1) + 维(V2) 等价. 这就
证明了定理.
证毕
三、直和的性质
定理 11 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，
那么一定存在一个子空间 W 使 V = U W .
这时 U 叫做 W 的补空间，W 叫做 U 的补空间，
或者 U 与 W 是互补子空间.
证明 取 U 的一组基 1 , … , m . 把它扩充
为 V 的一组基 1 , … , m , m + 1 , … , n . 令 W = L(m + 1 , … , n ) .
则 W 即满足要求.
证毕
例 1 在 3 维空间 P3 中，过原点的两条相交直
线的直和就是由这两条直线所确定的平面. 如图6-9 所示.
L2
例 2 设 V = P 3 ，L 是过原点的直线， 是过
原点的平面. 令 L 上的点构成的空间为 U， 上的
点构成的空间为 W，如果 U ∩ W = { 0 } ， 即 L 不
上，则 V = U W . 如图 6-10 所示.
z
L
o
y
x
图 6-10
例例 33 设设VV==PP33，，UU==LL((11))，，11==(1(1, ,11, ,11)，)，
面( 直线不在平面上 ) 上的全体向量构成的
二、直和的充分必要条件
定理 9 和 V1 + V2 是直和的充分必要条件是
等式
1 + 2 = 0， 1 V1 , 2 V2 ,
只有在1, 2全为零时才成立.
证明 定理的条件实际上就是：零向量的分
解式是唯一的. 因而这个条件显然是必要的. 下面 来证这个条件的充分性.
子空间的和与直和
5.5 子空间的和与直和授课题目：子空间的和与直和.教学目标：1．理解并掌握子空间的概念.2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.授课时数：3学时教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程： 一 子空间的的和回忆:令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。
V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。
1. 定义：设12,W W V ⊆，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间.证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈ 12W W +故12W W +≠φ对121212,,,,a b F W W αβαααβββ∀∈∉+=+=+有，111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间.∴111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈于是()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+∴12W W +是V 的子空间。
推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则{}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈仍然是V 的子空间.补充：若W =L ()ααα,,, ，(),,,W L βββ=证明：∈γ12W W +，有βαγ+=，12,W W αβ∈∈ 设r r k k k αααα+++= 2211t t l l l ββββ+++= 2211∴ =+=βαγr r k k k ααα+++ 2211+βββt l l l +++ 2211 ∴12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121定理5.5.2 维数定理。
高等代数 6-7子空间的直和
在和V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如 (2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2) 所以和 V1 V2不是直和.
V1 V2 是直和 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关. 证：由题设，V1 L(1,2 , ,r ), dimV1 r V2 L(1,2, ,s ), dimV2 s V1 V2 L(1,2 , ,r ,1,2, ,s ). 若 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关，
分解式唯一，即若 1 2 0,1 V1,2 V2 则必有 1 2 0.
证：必要性. V1 V2 是直和,
V1 V2, 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1,2 V2
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性. 设 V1 V2 ，它有两个分解式 1 2 1 2 , 1, 1 V1 , 2 , 2 V2 于是 (1 1) (2 2 ) 0 其中 1 1 V1, 2 2 V2
则它是 V1 V2 的一组基. 从而有
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和. 反之,若 V1 V2 直和，则 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1,2, ,r ,1,2, ,s 的秩为r＋s . 所以 1,2, ,r ,1,2, ,s 线性无关.
dim(V1 V2 ) 0
V1 V2 0
V1 V2 是直和. （由2、得之）
总之，设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价:
1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一
线性代数中的子空间与直和
线性代数中的子空间与直和在线性代数中，子空间是指由向量空间中的一部分向量所组成的空间。
子空间在线性代数中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解向量空间的结构以及解决许多实际问题。
本文将介绍子空间的概念、性质以及与之相关的直和运算。
一、子空间的定义与性质子空间是指一个向量空间中的一个非空子集合，且满足以下三个条件：（1）零向量属于该子集合；（2）对于该子集合中的任意两个向量，它们的线性组合仍然属于该子集合；（3）该子集合对于向量的加法和标量的乘法封闭。
简而言之，子空间就是一个满足向量空间的定义的向量集合。
对于子空间，有一些重要的性质需要注意。
首先，子空间的交集仍然是一个子空间，即两个子空间的交集是一个子空间。
其次，子空间的和也是一个子空间，即两个子空间的和是一个子空间。
最后，子空间的维数不超过父空间的维数，即子空间的维数小于等于父空间的维数。
二、直和的定义与性质在了解了子空间的基本概念后，我们可以介绍直和的概念。
直和是指将多个子空间进行合并得到的新的子空间。
具体来说，给定两个子空间U和V，它们的直和表示为U⊕V，定义为所有可以写成u+v的形式的向量的集合，其中u属于U，v属于V。
直和有一些重要的性质。
首先，直和的维数等于所有子空间维数的和，即dim(U⊕V) = dim(U) + dim(V)。
其次，子空间U和V的直和U⊕V是直和的充要条件是U和V的交集只包含零向量。
三、子空间与直和的应用子空间与直和的概念在线性代数中具有广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要将一个向量空间分解成几个子空间的直和，以便更好地理解向量空间的结构。
例如，在图像处理中，我们可以将一幅图像分解为由亮度和色彩组成的子空间的直和。
通过对每个子空间独立地处理，我们可以对图像进行降噪、增强等操作，从而得到更好的视觉效果。
此外，子空间与直和也在最小二乘法等问题的求解中起着重要作用。
通过将问题的解空间分解为多个子空间的直和，我们可以更方便地求解问题的最优解。
高等代数§6.7子空间的直和
由 V1 , 必有 P , 使A .
n
由 V2 , 有A 0.
从而
A A A( A ) A 0.
2
V1 V2 0
所以 P n V1 V2 .
练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组① 与②的
解空间： x1 x2 xn 0 ① ②
(2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2)
所以和 V1 V2不是直和.
而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的，
(2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1 , a2 , a3 ) V1 V3 ,
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
一、直和的定义
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，若和 V1 V2 中每个向量 的分解式
n
V1 V2
又 dimV dimV ( n 1) 1 n dim P n 1 2
P n V1 V2
练习： 2、和 V1 V2 Vs 是直和
Vi V j 0 ,
j 1 i 1
i 1,2,, s
证: " " 若V1 V2 Vs 是直和,
§6.7 子空间的直和
一、直和的定义
二、直和的判定 三、多个子空间的直和
引入
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式
子空间的直和与直和分解
子空间的直和与直和分解在线性代数中，我们学习了向量空间的概念和性质。
而向量空间可以由子空间构成，子空间是向量空间中的一个非空集合，满足加法和标量乘法封闭性的子集。
本文将探讨子空间之间的直和和直和分解。
一、子空间的直和在向量空间V中，如果存在子空间U和W，满足两个条件：1.U∩W={0}；2. V是U和W的和集，即任意向量v∈V可以表示为u+w 的形式，其中u∈U，w∈W；那么我们称子空间U和W的直和为子空间V的直和。
直和的概念可以类比于数字的加法。
例如，我们将数字3表示为1+2，其中1和2是3的因子。
同样地，如果向量v可以表示为u+w，其中u和w是v的因子，那么我们可以将向量v看作是子空间U和W 的直和。
二、子空间的直和分解在向量空间V中，如果存在子空间U和W，满足两个条件：1.U∩W={0}；2. 任意向量v∈V，都可以唯一地表示为u+w的形式，其中u∈U，w∈W；那么我们称v关于子空间U和W的直和分解。
直和分解是一种将向量分解为两个子空间的方法。
这种分解在很多算法和数学问题中都有广泛的应用。
例如，对于矩阵的特征值分解和奇异值分解等问题，都可以采用直和分解的方式来求解。
三、子空间的例子与应用1. 平面的直和分解：考虑平面上的向量空间R^2，其中存在两个子空间U和W，分别表示x轴和y轴上的向量。
显然，两个子空间的交集为零向量{0}，任意向量v可以唯一地表示为x轴和y轴上的分量之和。
因此，平面的直和分解是R^2的一种典型示例。
2. 空间的直和分解：类似地，在三维空间R^3中，我们可以将空间分为三个子空间：XY平面、YZ平面和ZX平面。
这三个平面两两相交于一条直线，即它们的交集为零向量{0}。
因此，任意向量v可以唯一地表示为这三个平面上的分量之和。
子空间的直和和直和分解在线性代数的理论和实践中具有重要作用。
它们不仅可以帮助我们理解向量空间的性质和结构，还可以应用于各种数学和工程问题中，例如线性方程组的求解、矩阵分解和数据压缩等。
子空间的和与直和的区别
直和的数学定义
直和的定义是指两个或多个向量或子空间合并成一个新的向量或子空间，其中每个原始向量或子空间都是该新向量或子空间 的一个子集。
直和可以通过向量的加法运算或子空间的直积来定义。
直和的物理意义
直和在物理中有广泛的应用 ，例如在量子力学、电磁学
和机械力学等领域中。
1
在量子力学中，直和可以用 于描述两个或多个量子态的
THANKS
感谢观看
应用上的区别
子空间和的应用
子空间和在信号处理、图像处理等领域中有 着广泛的应用。例如，可以将一个信号分解 为多个子空间的叠加，从而对信号进行更好 的分析和处理。
直和的应用
直和在数学、物理等领域中有着广泛的应用 。例如，在数学中，可以将多个向量空间中 的元素进行直和，从而得到一个新的向量空 间；在物理中，可以将多个物理量进行直和 ，从而得到一个新的物理量。
子空间和可以描述物理系统的组合，例如两个粒子的状态可以表示为两个子空间的 和。
子空间和可以描述量子叠加态，即多个量子态的组合。
02 直和的定义
直和的基本概念
直和是一种数学概念，用于描述两个或多个向量或子空间的合并方式。
直和是一种特殊的向量或子空间合并方式，其中两个或多个向量或子空间合并成一个新的向量或子空 间。
构成。
子空间和的物理应用例子
要点一
量子力学
在量子力学中，波函数是一种重要的物理量，它描述了粒 子的状态。波函数可以定义在一个无限维的函数空间中， 而这个空间的子空间可以用来描述不同的物理状态。
要点二
信号处理
在信号处理中，常常需要将信号投影到一个低维子空间中 以实现信号的压缩和降噪。例如，在主成分分析中，原始 数据可以被投影到一个由数据的主要成分构成的子空间中 。
子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明子空间的直和是指两个或多个子空间的并等于它们的直和。
在线性代数中，我们经常需要判断两个子空间的直和关系，并且需要给出证明。
下面将详细介绍子空间直和的判定和证明方法。
首先，我们先回顾子空间的定义。
设V是一个线性空间，U和W是V 的两个非空子集。
如果U和W都是V的子空间，并且U和W的和空间等于V，即U+W=V，则称U和W是V的一个直和，记作V=U⊕W。
接下来我们来讨论子空间直和的判定方法。
设V是一个线性空间，U 和W是V的两个子空间。
要判断U和W是否是V的直和，我们需要验证以下三个条件：1.U+W=V：也就是说，对于V中的任意一个向量v，都可以表示为v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。
2.U∩W={0}：也就是说，U和W的交集只包含零向量。
3.U和W的交集只有零向量时，任意向量u+w=0的表示方式唯一、也就是说，如果u1+w1=u2+w2，其中u1和u2属于U，w1和w2属于W，则u1=u2，w1=w2当满足上述三个条件时，我们可以得出结论，U和W是V的直和。
接下来我们来看一个具体的例子，并给出证明。
例子：设V=R^3，U和W是V的两个子空间，其中U={(x,y,z)，x+y+z=0}W={(x,y,z)，x=y=z}我们需要判断U和W是否是V的直和。
首先，我们验证条件1：对于V中的任意一个向量(x,y,z)，是否都可以表示为v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。
可以取一个任意向量(x,y,z)，我们需要找到u和w，使得x=u+w满足。
观察U的定义可以得到，当x+y+z=0时，向量(x,y,z)属于U。
同理，当x=y=z时，向量(x,y,z)属于W。
当我们取u=(x,y,z)和w=(0,0,0)时，显然u属于U，w属于W，并且u+w=(x,y,z)。
所以，条件1满足，即U+W=V。
其次，我们验证条件2：是否有U∩W={0}。
显然，U和W的交集就是满足x+y+z=0且x=y=z的向量。
线性代数上18线性子空间
(3, 5, 1)T 为 W1∩W2 的一组基, 所以 dim(W1∩W2) = 1,
dim(W1+W2) = 3, α1,α2 , β1 为 W1+W2 的一组基.
8
二、子空间的直和
定义5 设 W1 和 W2 是 V 的子空间, 如果 W1∩W2 = {0}, 则 称 W1+W2 为W1 与 W2 的直和, 记为 W1 ⊕W2.
例7 设 W1 是 V 的一个子空间, 存在一个子空间 W2 使得 W1∩W2 = {0}, 且 W1+W2 = V, W2 称为W1 的补空间.
例8 设 α1, α2 为两个线性无关的空间向量, 它们生成的过
原点的平面记为 W1 = L(α1, α2), 设 α3∉W1, 则 W2 = L(α3)
W1 = R(A), W2 = R(B), 求 W1+W2 和 W1∩W2 的维数与基.
⎡1 1 1⎤
⎡ 2 1 −1⎤
解 记 ⎢⎢2
1
3⎥⎥
=
(α1,α2
,α3
)
,
⎢ ⎢
3
2 −1⎥⎥ = ( β1, β2, β3 ) ,
⎢⎣1 −1 3⎥⎦
⎢⎣−1 2 3 ⎥⎦
⎡1 1 1⎤ ⎡1 1 1⎤ ⎡1 1 1 ⎤
∀α , β ∈W1 ∩W2，有α + β ∈W1 ∩W2. ∀k ∈ F，有 kα ∈W1 ∩W2.
所以 W1∩W2 是 V 的一个子空间.
3
定义2 设 W1, W2 是线性空间 V 的两个子空间, 则 W1+W2 = {α⏐α = α1+ α2, α1∈W1, α2∈W2} 称为 W1 与 W2 的和.
§5子空间的交与和直和
1 = ( 0 , b2 , b 3 , … , bn ) W ,
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9
k R 为任意实数. 因为
1 + 1 = ( 0 , a2 + b2, a3 + b3, … , an + bn) W ,
k1 = ( 0 , ka2 , ka3 , … , kan ) W , 即 W 对加法和数量乘法都是封闭的，所以W 是 Rn 的子空间. 取 e2 = (0 , 1 , 0 , … , 0 ) , e3 = (0 , 0 , 1 , … , 0 ) , ………….. en = (0 , 0 , 0 , … , 1 ) .
( A B) A B A B
所以A B W1 . 又设k P , 于是
( kA) kA kA
所以kA W1 . 故W1是P nn的子空间.
设A, B W2 , 则A A, B B, 于是
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8
( A B) A B A B ( A B)
首页上页下页返回结束的解空间那么v就是齐次方程组33在一个线性空间中有首页上页下页返回结束34四维数公式如果是线性空间首页上页下页返回结束如果这个基是空集下面的讨论中不出现但讨论同样能进行35首页上页下页返回结束36首页上页下页返回结束37由第一个等式而由第二个等式因而从而有首页上页下页返回结束38由于线性无关又得线性无关因而它是的一组基首页上页下页返回结束39从维数公式可以看到和的维数往往要比维数的和来得小
是 m + 1 维的. 因为 n - ( m + 1 ) = ( n - m ) -1 = k ,
由归纳法假设， L(1 , 2 , … , m , m +1 ) 的基 1 , 2 , … , m , m +1 可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理, 定理得证.
子空间的直和
1 0 0 1 0 0
1 1
知1 ,2 ,
,n1 , 线性无关, 从而构成P n的一组基.
于是 P n V1 V2 . 又因
维(V1 ) 维(V2 ) (n 1) 1 n 维( P n )
故 P n V1 V2 .
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三、直和补
定理10 设 U 是线性空间 V 的一个子空间， 那么一定存在一个子空间 W 使 V = U W .
这说明任意一个n级矩阵都可以表成一个对 称矩阵和一个反对称矩阵的和, 且表法是唯一的.
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结束
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定理9 设 V1 , V2是V 的子空间,令 W = V1 + V2,
则
W = V1 V2 的充要条件为 维(W ) = 维(V1 ) + 维(V2 ) . 证 因为 维(W) + 维(V1∩V2 )= 维(V1) + 维(V2) ,
这时W 叫做 U 的直和补空间(简称直和补) ,显 然U 也是W 的直和补.
证 设1 ,2， ,m 是U的一组基, 将它扩充为
V的一组基: 1 ,2， ,m ,m1 ,m 2， ,n . 令
W L(m1 , m 2， , n ),
则W 即满足要求.
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例如 在R3中, 用V1 表示过原点的直线, V2 表示 一个过原点且与V1垂直的平面, 则V1 ,V2的和V1 V2 是直和.
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二、直和的充分必要条件
定理8 和 V1 + V2 是直和的充要条件是等式 1 + 2 = 0, 1 V1 , 2 V2 , 只有在1 , 2 全为零向量时才成立. 证 定理的条件实际上就是：零向量的分解 式是唯一的. 因而这个条件显然是必要的. 下面来 证这个条件的充分性. 设 V1 + V2 ，它有两个分解式 = 1+2 = 1+2 ，1 , 1 V1 , 2 , 2 V2. 于是
51-子空间直和的判定与证明
51-⼦空间直和的判定与证明⼦空间直和的判定与证明⼀、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的⼦空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1?V1，α2?V2，是惟⼀的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.⼆、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αi?Vi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成⽴.证明：要证明零向量的分解式是唯⼀的即可。
必要性：显然成⽴；充分性：设α?V1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βi?Vi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βi?Vi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯⼀的。
2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αi?Vi （i=1,2）那么α1=-α2? V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。
必要性：任取向量α?V1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），α?V1，—α?V2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的⼦空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则 V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。
必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的⼀个⼦空间，那么⼀定存在⼀个⼦空间W，使V=U⊕W.证明：取U得⼀组基α1，……，αm，把它扩充为V的⼀组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满⾜条件。
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有
线性空间与欧几里得空间
所以
有
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定理 2.6 的证明
证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。 下面证明(1)与(2)的等价性。
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线性空间与欧几里得空间
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定理 2.7 的证明
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由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时， 它的补子空间是不唯一的。
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proof
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命题2.1的证明
证明：
所以 W 是线性子空间。
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命题 2.2 的证明
证明: 由定义, 有
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线性空间与欧几里得空间
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引理２.３的证明
引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向量组可以 被扩充成该子空间的一组基。 证明:
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线性子空间的直和: 定义
下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.
必要性是显然的, 下证充分性.
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线性空间与欧几里得空间
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线性子空间的直和，补子空间
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线性空间与欧几里得空间
proof
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多个线性子空间的直和
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线性空间与欧几里得空间
proof
量组可以被扩充成该子空间的一组基。
proof
proof
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线性空间与欧几里得空间
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线性子空间的和的求法：例子
主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组
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线性空间与欧几里得空间
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线性子空间的和的求法：例子
基础解系:
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线性空间与欧几里得空间
如果这个向量组不是W的基, 则用同样的方法扩充 线性无关的向量组, 直到不能扩充为止．
最后得到W的一组基.
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定理2.4的证明
证明:
注意到
只要证明 线性无关
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定理 2.4 的证明(2)
设
即
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则集合
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线性子空间的和(2)
从线性子空间的和的定义很容易看出：
(3) 多个子空间的和：
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线性子空间的和的维数
以上 4 个线性子空间都是 2 维的
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线性子空间的和的维数(理论结果)
引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向
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命题 2.8 的证明
证明:
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命题 2.8 的证明(2)
所以
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=0
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命题 2.8 的证明(3)
其中 于是
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则有 ={0} 所以
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§2 线性子空间的和与直和
线性子空间的和 线性子空间的和的维数公式 线性子空间的和的基的求法 线性子空间的直和
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线性子空间的和
两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间 的并集一般不是线性子空间。
也是一个线性子空间，
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