伯努利概型与全概公式

(2) P( AB ) P( A)P(B ) P( A)1 P(B) ;
(3) P( A B ) P( A)P(B ) 1 P( A)1 P(B). 返回
概率论与数理统计
2
若事件 A 与 B 相互独立 P( A B) ?
P(A B) 1 P(A B) 1 P(AB) 1 P( A)P(B ).
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21
根据乘法定理：
PA1 PB | A1 — 抽样恰好是“A1厂生产的
合格品”的可能性概率.
PA2 PB | A2 — 抽样恰好是“A2厂生产的
合格品”的可能性概率.
PA3 PB | A3 — 抽样恰好是“A3厂生产的
合格品”的可能性概率.
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根据加法定理：一件抽样不可能既是某厂生产的， 同时又是另一个厂生产的，即三个事件属互不相容 事件（互斥）；不管这件抽样属于哪一个厂生产的 合格品，都认定为“抽到合格品”，故三个事件的 概率相加就是题目所求。即
P{k 7} P{k 7} P{k 8} P{k 9} P{k 10}
C170(0.9)7 (1 0.9)3 C180(0.9)8(1 0.9)2 C190(0.9)9(1 0.9)1 C1100(0.9)10
0.0574 0.1937 0.3874 0.3487
0.9872 98.72%
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解 : 设A1, A2 , A3分别表示抽到的产品是甲,乙,丙 厂的产品, B表示抽到的1个产品是合格品.由题意 可知A1, A2 , A3互不相容, 且A1 A2 A3 ,并有
PA1
500 1000
0.5,
PA2
300 1000
0.3
PA3
200 1000
0.2
PB | A1 0.95, PB | A2 0.92, PB | A3 0.90
n
PB PAi PB | Ai i 1
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24
例2 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机 床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分 别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在 一起，求任取一个是次品的概率。
解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品 来自乙台机床”，A3表示“产品来自丙台机床”， B表 示“取到次品”。
解 ：设 一 次 实 验 中 ， 事A件发 生 的 概 率 为 0,
独 立 重 复 该 实 验n次, 本 题 考 虑 的 是n，次 实 验 中 事 件A至 少 发 生 一 次 的 概 率 。 这 属 于 伯 努 利 概 型设。B {n次 实 验 中A至 少 发 生 一 次}， 则
P(B) 1 P(B) 1 Cn0 0 (1 )n 1 (1 )n
若应聘者在10次辩别中至少有7次能准确判别出两种 不同的酒,则给予录用,否则,就拒绝录用.
问题:(1)上述测试方法使公司被冒牌者蒙到岗位的概率有多大?
(2)上述测试方法使公司将真正的行家拒之门外的概率有多大?
(3)能否设计出测试方法使被冒牌者蒙到岗位的概率及将真正的 行家拒之门外的概率都变小?
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事件A发生了k次
Pn
(k)
C
k n
pk
qnk
共作n次试验
其中, p q 1, k 0,1,2,, n.
A发生的概率 A不发生的概率
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9
一枚硬币掷３次，恰有一次正面向上的概率为？
A 正面向上
C1
解 法 一 ：P
3
23
A 正面向下
解法二： P P( AAA AAA AAA) 3 1 (1)2 22
P( A B) 1 P( A)P(B ).
A B AB
P(AB) P(A)P(B)
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3
以上两个公式还可以推广到有限个事件的情 形:
如 果 事 件A1 , A2 , A3 相 互 独 立, 则 P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ). P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ).
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1
事件的独立性
定义: 若两个事件 A、B 中, 任一事件的发生与否
不影响另一事件的概率, 则称事件 A 与 B 是相互独
立的， 且P( AB) P( A)P(B) .
定理 若事件A 与B 相互独立, 则下列三对事件
A与B; A 与B ; A与B 也都相互独立.即
(1) P( AB) P( A)P(B) 1 P( A)P(B) ;
C 1 (1 )1 (1 )2
32 2
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10
例1 已知一批产品的废品率为0.05,设有放回 地抽取5件产品,求恰好抽到1件废品的概率.
解: 由于用有放回抽样的方式,故每次抽得的结 果是相互独立的,且产品只有合格与废品两种结 果,故可以按5重伯努利概型计算事件的概率.已 知
p 0.05, q 0.95,则
(1)若应聘者并非行家而是冒牌者,则其在每次品尝测试中的 判断正确(蒙对)的概率为0.5,即 P(A)=0.5,根据公式有:
P{k 7} P{k 7} P{k 8} P{k 9} P{k 10}
C170(0.5)7 (1 0.5)3 C180(0.5)8(1 0.5)2 C190(0.5)9(1 0.5)1 C1100(0.5)10
P( A) 1 , P( A | B) 2 1 ,
13
26 13
从而P( A) P( A | B)，故A, B相互独立。
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定义
5
则 事 件( )
一 枚 硬 币 独 立 掷 两 次设， A1 {第 一 次 出 现 正 面} A2 {第 二 次 出 现 正 面} A3 {正 、 反 面 各 一 次} A4 {正面出现两次}
7
伯努利概型
设随机试验满足 (1)在相同条件下进行n次重复试验; (2)每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生; (3)在每次试验中,A发生的概率均一样,即P(A)=P; (4)各次试验是相互独立的.
则称这种试验为n重伯努利（Bernoulli）试验。
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8
定理 在伯努利概型中,若一次试验时事件A发生 的概率为P(0<P<1),则n重独立试验中事件A恰好 发生K次的概率为
例如将判断正确的最少次数从7提高到8,则(1)中冒 牌者通过测试的概率就从17.19%下降为5.47%,而 (2)中将真正行家被拒之门外的概率就从1.28%上升 为7.02%.
因此,使被冒牌者蒙到岗位的概率及将真正的行家 拒之门外的概率都变小测试方法是不存的.因而,只 能在两者中取其一.
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3
P(B) p( Ai )P(B | Ai ) i 1
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02
0.0345
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25
例3 人们为了了解一支股票未来一定时期内价 格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素， 比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利 率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下， 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不 变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该 支股票将上涨的概率。
由此可知,当应聘者为真正行家时,则其在品尝测 试中通过测试的概率为98.72%,即被拒绝的概率仅 为1-98.72%=1.28%,也就是说测试方法使公司将真 正的行家拒之门外的概率仅为1.28%.
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(3) 测试方法要使被冒牌者蒙到岗位的概率变小,则 测试通过的条件就必定更苛刻,但苛刻条件自然令真 正的行家能通过测试的机会变小,即将真正的行家拒 之门外的概率变大.
0.64
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练习、用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的 概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的 概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.
lim[1 (1 )n ] 1 n
由 此 可 见 ， 一 件 微 不道足的 小 事 ， 只 要 坚 持 ， 就 会 产 生 不 可 思 议 的果结。
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重 条件概率 点
回 定义 设两个事件A、B ，且 P(B)>0,
顾
则称 PA | B 为在事件B发生的
前提下，事件A发生的条件概率。
p C (1) 1 (0.05)1(0.95)4 0.0407
5
5
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11
引例求解
解:用A表示应聘者在品尝测试中的判断正确, A 表示应聘者 在品尝测试中的判断不正确.则测试问题符合n=10的伯努利概 型.用 k 表示10次品尝测试中应聘者判断正确的次数(即A发生 的次数),用伯努利概型的公式我们可以分别解决所提的问题.
计算公式：
PA
|
B
PAB PB
同理,若PA 0有
PB
|
A
PAB PA
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乘法公式
定理 设A、B是随机试验E的两个随机事件， 若P(B)>0,则
PAB PBPA| B
或若P(A)>0,有
PAB PAPB | A
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全概率公式
例1 某商店仓库中的某种小家电来自甲、乙、 丙三家工厂。这三家工厂生产的产品数分别为 500件、300件、200件，且它们的产品合格率 分别为95%、92%、90%。现从该种小家电产 品中随机抽取1件，求恰抽到合格品的概率。
3
PB PAi PB | Ai i 1 0.50.95 0.30.92 0.20.90
0.931
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23
定理(全概率公式)
完备事件组
若A1, A2 , , An是互不相容互斥的事件
即Ai Aj i j, 且A1 A2 An , PAi 0i 1,2, , n.则对任一事件B有
n
P(B)
C
k n
0.6
k
0.4n
k
百度文库
0.99
k 1
P(B) 1 P(B) 1 0.4n 0.99 0.4n 0.01
n log 0.4 0.01 5.03
所以至少要配置6枚导弹才能达到要求。
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例 ：在 平 常 的 生 活 中 ， 人常们常 用 “ 水 滴 石 穿 ”“、只 要 功 夫 深 ， 铁 杵 磨 成 针来”形 容 有 志 者 事 竟 成但。是 ， 也 有 人 认 为 这 些 是 不 可 能。的试 从 概 率 的 角 度 分这析是 否 合 理 。
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4
思考：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，A={抽 到K}，B={抽到的是红色的}，问事件A,B是否独立？
分析1： 分析2：
P( A) 4 1 , P(B) 26 1 , P( AB) 2 1 ,
52 13
52 2
52 26
从而P( A)P(B) P( AB)，故A, B相互独立。
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例2 某射手每次击中目标的概率是0.6,如果 射击5次，求至少击中两次的概率.
解: 由于每次射击是相互独立的,且只有击中与 未击中两种结果,故可以按5重伯努利概型计算
事件的概率.已知 p 0.6,q 0.4,则
5
P(至少击中两次) P(击中k次) k2
1 P(击中0次) P(击中1次)
(120 45 10 1)(0.5)10 0.1719 17.19%
即冒牌者在品尝测试中能通过测试(蒙对7次以上) 的概率仅为17.19%, 所以机会是很小的.
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(2)若应聘者真是行家,则其在每次品尝测试中的判断 正确的概率为0.9,即 P(A)=0.9,根据公式有:
1
C50
(0.6)0
(0.4)5
C
1 5
(0.6)1
(0.4)4
0.913
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15
练习、某导弹的命中率是0.6，问欲以99%的把握 命中目标至少需要配置几枚导弹？
解：设需配置n枚导弹，因为导弹各自独立发射，所以
可以看作n重伯努利试验。设A={导弹命中目标}，
B={命中目标}，则P(A)=0.6，从而有
( A) A1、A2、A3相 互 独 立 (B) A2、A3、A4相 互 独 立 (C ) A1、A2、A3两 两 独 立 (D) A2、A3、A4 两 两 独 立
概率论与数理统计
6
某人应聘甲公司品酒师职位,该应聘者声 称能以90%的准确性判别出两种不同的酒,并 可以依此提出相应的推销建议.
为了检验应聘者的辨酒能力以决定是否录用,甲公司 对该应聘者进行测试.让他连续分别品尝两种酒10次, 二次间的间隔为3分钟.