附表2 标准正态曲线下的面积表
标准正态分布
标准正态分布标准正态分布（英语：standard normal distribution，德语Standardnormalverteilung），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。
定义：标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。
标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。
统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。
正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数：标准差为1的正态分布特点：密度函数关于平均值对称平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。
函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。
99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。
99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。
函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。
标准偏差：深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。
在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；三个标准差之内的比率合起来为99%。
在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。
若其假设正确，则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。
最全标准正态分布表
最全标准正态分布表标准正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它在各个领域的应用非常广泛。
在实际的统计分析中，我们经常需要用到标准正态分布表来进行计算。
因此，掌握标准正态分布表的使用方法对于统计学学习者来说是至关重要的。
标准正态分布表是一种用来查找标准正态分布曲线下面积的表格。
在这个表格中，我们可以根据给定的Z值来查找对应的标准正态分布曲线下方的面积。
标准正态分布表通常包含了Z值和对应的面积值，通过查表我们可以快速得到标准正态分布曲线下方的面积。
在使用标准正态分布表时，我们首先需要确定给定Z值的正负性，然后在表格中找到对应的Z值和面积值。
需要注意的是，标准正态分布曲线是对称的，因此在查表时，我们只需要查找Z值为正的一侧，然后根据对称性得到Z值为负的一侧的面积值。
标准正态分布表的使用方法并不复杂，但需要一定的熟练程度才能快速准确地进行查表。
在实际应用中，我们经常需要用到标准正态分布表来计算概率、确定置信区间等统计量，因此熟练掌握标准正态分布表的使用方法对于统计学学习者来说是非常重要的。
除了查表外，我们还可以利用统计软件来进行标准正态分布的计算。
现在的统计软件通常都内置了标准正态分布的计算功能，可以方便快捷地得到标准正态分布曲线下方的面积。
但是，对于初学者来说，掌握标准正态分布表的使用方法仍然是非常重要的，因为这不仅可以帮助我们更好地理解标准正态分布的性质，也可以为后续的统计学习打下坚实的基础。
总之，标准正态分布表在统计学中具有非常重要的地位，它是统计学学习的基础之一。
掌握标准正态分布表的使用方法对于统计学学习者来说是至关重要的，希望大家能够认真学习和掌握标准正态分布表的使用方法，为后续的统计学习打下坚实的基础。
医学统计学 常用概率分布-正态分布
N (123.02，4.792)
（2）身高在120~128者占该地8岁男孩总数的百分比；
解析：
58.65%
58.65%
120cm 128cm N (123.02，4.792)
-0.63 1.46 N (0，1)
（3）该地80%男孩的身高集中在哪个范围？
解析：
80%
10%
10%
10% Z1
80%
10% Z2
任意正态分布曲线 X~N(μ,σ2)
标准正态分布曲线 X~N(0,1)
采用定积分的办法，对函数式 (1) 或 (2) 定积分， 算得从 -∞ 到 x累计面积，从而推算出该区间事件发 生的概率值。 .
j(Z )
1 2
Z
e
Z
2
/ 2
dZ
图 6 正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积
1.2 正态概率密度曲线下的面积 1.3 正态分布的应用
1.4 正态分布的判断
一、正态分布的概念
正态分布(normal distribution)
德莫佛最早发现了二项概率
的一个近似公式，这一公式被 认为是正态分布的首次露面。
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由
高斯加以推广，所以通常称为 高斯分布(Gauss distribution)。
单侧临界值：标准正态分布单侧尾部面积等于α 时所对应 的正侧变量值，记作Zα 。
若按左单侧算，则是 97.5% 参考值范围
按左单侧算，是 95% 参考值范围
举例2： 某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通 气量得均数 X =4.2(L), 标准差S =0.7(L)，试据此估 计其第一秒肺通气量的95%参考值范围。 解析： 分布近似正态 1. 2. 仅过低为异常 3. 求下界值
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 2.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
正态分布与二项分布解析
正态分布与二项分布主要内容正态分布的概念和特征标准正态分布正态分布曲线下的面积医学参考值范围二项分布的基本概念和性质二项分布的概率计算方法体重分布65.062.560.057.555.052.550.047.545.042.540.06050403020100Std. Dev = 5.76Mean = 51.5N = 300.00正态分布正态分布（normal distribution）又称高斯（Gauss）分布，是以均数为中心，左右两侧基本对称的钟型分布。
越接近均数，频数分布越多，离均数越远，频数分布越少。
正态分布是一种重要的连续型分布，是许多统计方法的理论基础。
正态分布的概率密度函数将正态分布曲线用函数形式表达，称为正态分布的概率密度函数，记为f(x)，即正态分布曲线的方程为：一般用N （μ，σ2）表示均数为μ，方差为σ2的正态分布。
222)(21)(σμσπ--=x e x f正态分布曲线3210-1-2-3μ-σμ+σμ正态分布曲线密度曲线图中，横轴表示测量指标x，纵轴表示密度函数值f(x)。
⏹观察值x附近个体值分布越密集，f(x)值越大；⏹x附近的个体值分布越稀疏，f(x)值就越小。
密度函数f(x)的大小，反映了x附近的测量值的密集程度。
正态分布的特征正态曲线为位于横轴上方的钟形曲线。
正态分布以μ为中心，左右两侧对称。
正态分布曲线以横轴为其渐近线，但两端与横轴永不相交。
正态分布有两个参数，即μ和σ。
可通过标准化变换将一般正态分布N（μ，σ2）转化为标准正态分布N（0，1）。
正态分布曲线下的面积具有一定的规律性。
正态分布的两个参数：μ和σμ是位置参数，用以描述正态分布的集中位置。
⏹当σ恒定，改变μ，则曲线沿x轴平移，但形状不变，⏹μ越大，则曲线沿横轴越向右移动；μ越小，则曲线沿横轴越向左移动。
σ是变异度参数或形状参数，用以描述曲线的离散程度。
⏹当μ恒定时，改变σ，则曲线的形状会发生变化，而曲线的中心位置不变，⏹σ越大，表示数据越分散，曲线越扁平，变异越大；σ越小，表示数据越集中，曲线越陡峭，变异越小。
附表二标准正态分布表
附 录附表一：随机数表_________________________________________________________________________2 附表二：标准正态分布表___________________________________________________________________3 附表三：t 分布临界值表____________________________________________________________________4附表四：分布临界值表__________________________________________________________________5 2χ附表五：F 分布临界值表（α=0.05）_________________________________________________________7 附表六：单样本K-S 检验统计量表____________________________________________________________9 附表七：符号检验界域表__________________________________________________________________10 附表八：游程检验临界值表_________________________________________________________________11 附表九：相关系数临界值表________________________________________________________________12 附表十：Spearman 等级相关系数临界值表___________________________________________________13 附表十一：Kendall τ等级相关系数临界值表__________________________________________________14 附表十二：控制图系数表__________________________________________________________________15 附表十三 威尔克逊秩和检验临界表（01.0＝α）____________________________________________16 附表十四 威尔克逊秩和检验临界表（025.0＝α）___________________________________________17 附表十五 威尔克逊秩和检验临界表（05.0＝α）____________________________________________18 附表十六 威尔克逊符号秩和检验临界表____________________________________________________19 附表十七 Durbin Watson 序列相关检验表(05.0=α)_________________________________________20附表一：随机数表（查表时注意：v是指自由度，并分单侧和双侧两种类型）（左侧的示意图是单侧检验的情形）附表四：分布临界值表 2χ附表五：F分布临界值表（α=0.05）F分布临界值表（α=0.01）附表六：单样本K-S 检验统计量表[])(1)()(sup 0d D P x F x F D n n x n ≤−=−=α附表七：符号检验界域表附表十：Spearman等级相关系数临界值表附表十一：Kendallτ等级相关系数临界值表附表十二：控制图系数表附表十三威尔克逊秩和检验临界表（01.0α）＝附表十四威尔克逊秩和检验临界表（025α）＝.0附表十五威尔克逊秩和检验临界表（05.0α）＝附表十六威尔克逊符号秩和检验临界表m α=0.05α=0.025α=0.01α=0.0055 0 156 2 19 0 217 3 25 2 26 0 288 5 31 3 33 1 35 0 369 8 37 5 40 3 42 1 4410 10 45 8 47 5 50 3 5211 13 53 10 56 7 59 5 6112 17 61 13 65 9 69 7 7113 21 70 17 74 12 79 9 8214 25 80 21 84 15 90 12 9315 30 90 25 95 19 101 15 10516 35 101 29 107 23 113 19 11717 41 112 34 119 28 125 23 13018 47 124 40 131 32 139 27 14419 53 137 46 144 37 153 32 15820 60 150 52 158 43 167 37 17321 67 164 58 173 49 182 42 18922 75 178 66 187 55 198 48 20523 83 193 73 203 62 214 54 22224 91 209 81 219 69 231 61 23925 100 225 89 236 76 249 68 257附表十七 Durbin Watson 序列相关检验表(05.0=α)检验正序列相关：如果，拒绝 如果，接受 如果L d d <0H U d d >0H U L d d d <<，没有结论 检验序列相关时，把上述的改为d d U − P=2P=3P=4P=5P=6n L d U d L d U d L d U d L d U d L dU d 15 1.08 1.36 0.95 1.54 0.82 1.75 0.69 1.97 0.56 2.21 16 1.10 1.37 0.98 1.54 0.86 1.73 0.74 1.93 0.62 2.15 17 1.13 1.38 1.02 1.54 0.90 1.71 0.78 1.90 0.67 2.10 18 1.16 1.39 1.05 1.53 0.93 1.69 0.82 1.87 0.71 2.06 19 1.18 1.40 1.08 1.53 0.97 1.68 0.86 1.85 0.75 2.0220 1.20 1.41 1.10 1.54 1.00 1.68 0.90 1.83 0.79 1.99 21 1.22 1.42 1.13 1.54 1.03 1.67 0.93 1 81 0.83 1.96 22 1.24 1.43 1.15 1.54 1.05 1.66 0.96 1.80 0.86 1.94 23 1.26 1.44 1.17 1.54 1.08 1.66 0.99 1.79 0.90 1.92 24 1.27 1.45 1.19 1.55 1.10 1.66 1.01 1.78 0.93 1.9025 1.29 1.45 1.21 1.55 1.12 1.66 1.04 1.77 0.95 1.89 26 1.30 1.46 1.22 1.55 1.14 1.65 1.06 1.76 0.98 1.88 27 1.32 1.47 1.24 1.56 1.16 1.65 1.08 1.76 1.01 1.86 28 1.33 1.48 1.26 1.56 1.18 1.65 1.10 1.75 1.03 1.85 29 1.34 1.48 1.27 1.56 1.20 1.65 1.12 1.74 1.05 1.8430 1.35 1.49 1.28 1.57 1.21 1.65 1.14 1.74 1 07 1.83 31 1.36 1.50 1.30 1.57 1.23 1.65 1.16 1.74 1.09 1.83 32 1.37 1.50 1.31 1.57 1.24 1.65 1.18 1.73 1.11 1.82 33 1.38 1.51 1.32 1.58 1.26 1.65 1.19 1 73 1.13 1.81 34 1.39 1.51 1.33 1.58 1.27 1.65 1.21 1.73 1.15 1.8135 1.40 1.52 1.34 1.58 1.28 1.65 1.22 1 73 1.16 1.80 36 1.41 1.52 1.35 1.59 1.29 1.65 1.24 1.73 1.18 1.80 37 1.42 1.53 1.36 1.59 1.31 1.66 1.25 1.72 1.19 1.80 38 1.43 1.54 1.37 1.59 1.32 1.66 1.26 1.72 1.21 1.7940 1.44 1.54 1.39 1.60 1.34 1.66 1.29 1.72 1.23 1.79 45 1.48 1.57 1.43 1.62 1.38 1.67 1.34 1.72 1.29 1.78 50 1.50 1.59 1.46 1.63 1.42 1.67 1.38 1.72 1.34 1.77 55 1.53 1.60 1.49 1.64 1.45 1.68 0.07 1.72 1.38 1.77 60 1.55 1.62 1.51 1.65 1.48 1.69 1.44 1.73 1.41 1.7765 1.57 1.63 1.54 1.66 1.50 1.70 1.47 1.73 1.44 1.77 70 1.58 1.64 1.55 1.67 1.52 1.70 1.49 1.74 1.46 1.77 75 1.60 1.64 1.57 1.68 1.54 1.71 1.51 1.74 149 1.77 80 1.61 1.66 1.59 1.69 1.56 1.72 1.53 1.74 1.51 1.77 85 1.62 1.67 1.60 1.70 1.57 1.72 1.55 1.75 1.52 1.7790 1.63 1.68 1.61 1.70 1.59 1.73 1.57 1.75 1.54 1.78 95 1.64 1.69 1.62 1.71 1.60 1.73 1.58 1.75 1.56 1.78 100 1.65 1.69 1.63 1.72 1.61 1.74 1.59 1.76 1.57 1.78。
标准正态分布表
标准正态分布表标准正态分布表是统计学中常用的一种表格，它记录了标准正态分布曲线下的面积值。
标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布曲线下某个数值范围内的面积，而标准正态分布表则提供了这些数值范围对应的面积值，方便我们进行统计推断和分析。
标准正态分布表的使用方法非常简单。
表格的左侧是小数部分，右侧是小数点后两位，而表格的顶部是个位数部分。
要查找某个数值范围对应的面积值，只需找到对应的个位数和小数部分，然后在交叉的位置就可以找到对应的面积值。
例如，如果要查找标准正态分布曲线下z介于0和1之间的面积值，只需找到0行和10列的交叉位置，即可找到对应的面积值为0.3413。
标准正态分布表的应用非常广泛，它可以帮助我们进行正态分布相关的统计计算和推断。
例如，在假设检验中，我们可以利用标准正态分布表来计算检验统计量的临界值，从而进行假设的推断；在质量控制中，我们可以利用标准正态分布表来计算过程能力指数，评估生产过程的稳定性和一致性；在风险管理中，我们可以利用标准正态分布表来计算风险值的概率，评估风险的可能性和影响程度。
除了查表法，我们还可以利用统计软件进行标准正态分布的计算和推断。
例如，在R语言和Python中，可以利用相关的函数和库来进行标准正态分布的计算和可视化。
这种方法不仅可以提高计算的效率，还可以减少人为失误，特别是在需要进行大量计算和复杂推断时，更加方便快捷。
总之，标准正态分布表是统计学中非常重要的工具，它为我们提供了便利的数值范围对应的面积值，帮助我们进行正态分布相关的统计计算和推断。
在实际应用中，我们既可以利用查表法来获取所需的面积值，也可以利用统计软件进行计算和可视化，以满足不同场景下的需求。
希望本文对标准正态分布表的理解和应用有所帮助，谢谢阅读！。
标准正态曲线下对应正负2个标准差的面积
标准正态曲线下对应正负2个标准差的面积标准正态曲线下对应正负2个标准差的面积引言在统计学和概率论中，标准正态曲线（又称为正态分布）是一种重要的概念。
它具有对称性、连续性和定义明确的特点，广泛应用于各个领域。
标准正态曲线下对应正负2个标准差的面积是一个重要的统计量。
本文将从深度和广度两方面，对标准正态曲线下对应正负2个标准差的面积进行全面的评估，并探讨其在实际应用中的重要性。
内容1. 什么是标准正态曲线？标准正态曲线是指均值为0，标准差为1的正态分布曲线。
它的概率密度函数是钟形曲线，以均值处为中心，标准差决定了曲线的形状和离散程度。
标准正态曲线被广泛应用于众多实际问题的建模和分析中，它的性质和特点使得许多统计学和概率论的方法得以应用。
标准正态分布的面积分布情况十分重要，而标准正态曲线下对应正负2个标准差的面积是其中一个关键指标。
2. 标准正态曲线下对应正负2个标准差的面积的计算方法标准正态曲线下对应正负2个标准差的面积通常表示为P(|Z| ≤ 2)，其中Z是标准正态分布随机变量。
为了计算这个面积，可以使用数表或统计软件，或者利用标准正态分布的性质进行计算。
一种常见的方法是通过计算标准正态曲线下对应单个标准差之间的面积，然后再根据对称性来计算对应正负2个标准差之间的面积。
根据标准正态分布曲线的特点，P(|Z| ≤ 2)约等于0.9545，即所求的面积约为0.9545。
3. 标准正态曲线下对应正负2个标准差的面积的重要性标准正态曲线下对应正负2个标准差的面积在统计学和概率论中有着重要的应用。
它可以用来计算正态分布中的百分位点。
对于一个服从正态分布的随机变量X，我们可以通过标准正态曲线下对应正负2个标准差的面积来计算X的95%百分位点，从而得到X在95%置信水平下的取值范围。
标准正态曲线下不同面积的计算也可以用于计算其他统计量，如均值、方差和置信区间等。
它还广泛应用于假设检验、回归分析、贝叶斯推断等领域。
医学统计学4 正态分布与参考值
X
f(X)
a
b
b
X
P(a X b) f ( x)dx F (b) F (a)
a
f(X)
f ( x) N (0,1)
a
a
0
-a
X
F (a) f ( x)dx
F (a) f ( x)dx 1 F (a)
a
三. 曲线下面积
u -3.0 -2.9 …… -2.5 …… -1.9 …… -0.1 0.0 0.00 0.0013 0.0019 …… 0.0062 …… 0.0287 …… 0.4602 0.5000 0.01 0.0013 0.0018 …… 0.0060 …… 0.0281 …… 0.4562 0.4960 0.02 0.0012 0.0018 …… 0.0059 …… 0.0274 …… 0.4522 0.4920 …… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
16
12
1000
3000 1000 5000
10
15
9.0 16.5 16.0
15-60 5.5‰ >60 16.0‰ 合计 8.2‰
35 63
15
40
7500
41.5
SMR=63/7 4.5=0.864 间接标化率 =8.2‰×0.864=6.9‰
SMR=40/41.5 =0.964 间接标化率 =8.2‰×0.964=7.9‰
（1012/L ）频数分布图
f(x) .3 .2
.1
.0 0 f(x) .3 .2 .1 2 4 6 8 10
x
.0
0 2 4 6 8 10
x
正态分布
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 2.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
正态曲线与x轴所围成区域的面积
正态曲线与x轴所围成区域的面积正态曲线与x轴所围成区域的面积正态曲线，也被称为高斯曲线或钟形曲线，是统计学中常见的一种曲线形状。
它具有对称性，呈现出一个峰值，并且两侧逐渐下降。
在统计学中，正态曲线被广泛应用于描述和分析各种现象，例如人口分布、测量误差和随机变量等。
本文将探讨正态曲线与x轴所围成区域的面积。
首先，我们需要了解正态曲线的方程。
正态曲线的方程可以表示为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，f(x)表示曲线在x处的纵坐标值，μ表示曲线的均值，σ表示曲线的标准差，e表示自然对数的底数。
要计算正态曲线与x轴所围成区域的面积，我们需要确定积分的上下限。
由于正态曲线是无穷延伸的，我们可以选择一个足够大的上下限，以保证计算的准确性。
通常情况下，我们选择上下限为负无穷和正无穷。
现在，我们可以使用积分来计算正态曲线与x轴所围成区域的面积。
积分的表达式如下：A = ∫[负无穷, 正无穷] f(x) dx其中，A表示所求的面积。
由于正态曲线的方程较为复杂，我们可以借助数值计算工具或统计软件来进行计算。
例如，使用Python编程语言中的SciPy库可以方便地计算正态曲线与x轴所围成区域的面积。
下面是一个使用Python代码计算正态曲线与x轴所围成区域面积的示例：```pythonimport scipy.stats as stats# 定义正态分布的均值和标准差mu = 0sigma = 1# 计算正态曲线与x轴所围成区域的面积area = stats.norm.cdf(float('inf'), loc=mu, scale=sigma) -stats.norm.cdf(float('-inf'), loc=mu, scale=sigma)print("正态曲线与x轴所围成区域的面积为:", area)```在上述代码中，我们使用了SciPy库中的norm模块来计算正态曲线与x轴所围成区域的面积。
正态分布曲线下的面积分布规律
正态分布曲线下的面积分布规律一、引言正态分布是概率论中最重要的分布之一，因其在自然界和社会现象中的广泛应用而备受关注。
正态分布曲线下的面积分布规律是研究正态分布的一个重要方面，具有重要的理论和实际意义。
二、正态分布1. 定义正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布。
其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$其中，$\mu$ 为均值，$\sigma$ 为标准差。
2. 性质正态分布具有以下性质：（1）对称性：曲线关于均值 $\mu$ 对称；（2）峰度：峰度越大，曲线越陡峭；（3）偏度：偏度为0时，曲线左右对称；偏度大于0时，曲线向右偏；偏度小于0时，曲线向左偏；（4）标准化：将随机变量 $X$ 标准化为 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ 后得到的随机变量服从标准正态分布。
三、正态分布曲线下的面积分布规律1. 标准正态分布曲线下的面积分布标准正态分布曲线下的面积分布规律如下：（1）$P(Z<0)=0.5$；（2）$P(Z>0)=0.5$；（3）$P(Z<-1)\approx 0.1587, P(Z>1)\approx 0.1587$；（4）$P(-2<Z<2)\approx 0.9545, P(Z<-2)\approx 0.0228,P(Z>2)\approx 0.0228$；（5）$P(-3<Z<3)\approx 0.9973, P(Z<-3)\approx 0.0013,P(Z>3)\approx 0.0013$。
2. 非标准正态分布曲线下的面积分布非标准正态分布曲线下的面积分布可以通过标准化后计算得到。
假设$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则有：$$P(a<X<b)=P(\frac{a-\mu}{\sigma}<Z<\frac{b-\mu}{\sigma})$$其中，$Z\sim N(0,1)$。
正态曲线下的面积规律
S(-, +)=3211)=0.969758772
-3 -2 - + +2 +3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
3
正态曲线下的面积规律
1-S(-32, ,++32)=0)=.301.7040256
-3 -2 - + +2 +3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
4
正态曲线下的面积规律
S(-3, -2)=0.0215 S(-2, -1)=0.1359 S(-1, )=0.3413
-3 -2 - + +2 +3
6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
正态曲线下的面积规律
S(-, -3)=0.0013 S(-, -2)=0.0228 S(-, -1)=0.1587 S(-, -0)=0.5
11
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
1
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
2正Leabharlann 曲线下的面积规律S(-, -)=3210.)5=0.01025128387
S(-, -)=3210.)5=0.01025128387
S(-, +)=3211)=0.969758772
-3 -2 - + +2 +3
5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
正态曲线下的面积规律
正态曲线下的面积表 -回复
正态曲线下的面积表 -回复
正态曲线下的面积表是一种统计学中常用的工具，用于计算正态分布曲线下特定区域的面积。
正态分布是一种常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特征。
在正态曲线下的面积表中，通常给出了标准正态分布的各个区域对应的面积值。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
由于正态分布具有对称性，只需给出一个方向（通常是右侧）的面积值即可。
面积表中的数值表示正态曲线下的面积比例，通常以z-score （标准差单位）为输入。
z-score表示一个随机变量与其均值之间的差异程度，可以通过将原始数据减去均值后除以标准差来计算。
使用正态曲线下的面积表时，可以根据需要的区域（例如左侧或右侧）和相应的z-score值，查找对应的面积值。
这样可以帮助我们计算出正态分布中特定区域的概率或者百分比。
需要注意的是，正态曲线下的面积表通常只给出了一些常见的z-score值对应的面积，而实际问题中可能需要计算其他z-score
值对应的面积。
在这种情况下，可以使用统计软件或者计算机程序进行插值计算。
总之，正态曲线下的面积表是一种方便计算正态分布曲线下特定区域面积的工具，可以帮助我们进行统计分析和推断。