正态分布及参考值范围
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03-医学统计学正态分布与医学参考值范围
1
ze
z2 2
dz
( X
)
2
标准正态分布的应用
实际应用中，经z变换可把求解任意一个正态分布曲线 下面积的问题，转化成标准正态分布曲线下相应面积的 问题。
欲求服从标准正态分布的随机变量在区间(-∞, z)(z≤0) 上曲线下的面积，可直接查表；对(z＞0) 可根据对称性 算得，计算公式为：
正态分布的应用
• 制定医学参考值范围 • 质量控制 • 正态分布是很多统计方法的理论基础
医学参考值范围
概述
医学参考值范围（reference value range），指正常人 的解剖、生理、生化、免疫及组织代谢产物的含量等 各种数据的波动范围。
医学参考值范围，习惯上是包含95%的参照总体的 范围。
卫生部“十二五”规划教材
医学统计学
正态分布与医学参考值范围
正态分布
概述
正态分布（normal distribution），是 一种连续型随机变量常见而重要的分 布。
它首先由莫阿弗尔于1733年提出。 之后高斯对其进一步研究，使正态分 布广为人知。
A. de Moivre
Gauss
正态曲线 正态曲线（normal curve），是一条高峰位于中央，两侧逐 渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线。
Φ(z) =1－Φ( -z ) z在区间( z1, z2 )取值概率的计算公式为：
P(z1＜z＜z2 ) = Φ(z2)－ Φ(z1)
【例】由160名7岁男孩身高测量的数据算得样本均数为 122.6cm、样本标准差为4.8cm。已知身高数据服从正态分布， 试估计该地当年7岁男孩身高介于119cm到125cm范围所占的 比例。
正态分布与医学参考值范围
确定医学参考值范围的意义
1. 基于临床实践，从个体角度， 作为临床上判定正常与异常的 参考标准，即用于划分界限或 分类。
2. 基于预防医学实践，从人群角 度，可用来评价儿童的发育水 平，如制订不同年龄、性别儿 童某项发育指标的等级标准。
确定95%参考值范围示意图
二、制订医学参考值范围的注意事项
1. 确定同质的参照总体 一般选择“正常”人，主要是排除了对研究指标
例3-1 若X～
，试计算X 取值在区间
上的概率。
Standard normal distribution
例3-2 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似 服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L。 ①该地正常成年男子红细胞计数在4.0×1012/L以下 者占该地正常成年男子总数的百分比；
服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L， 估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
查附表1
，表明该地成年男子红
细胞计数低于 4×102/L 者约占该地正常成年男子总
数的2.02%
Standard normal distribution ② 红细胞计数在4.0×1012/L～5.5×1012/L者占该地
正常成年男子总数的百分比
=
表明红细胞计数在 4.0×1012/L ～ 5.5×1012/L者约占 该地正常成年男子总数的95.04%。
正态分布法要求资料服从或近似服从正态分布，优 点是结果比较稳定，在样本含量不是很大的情况下 仍然能够进行处理；若偏态分布资料经变量变换能 转换为正态分布或近似正态分布，仍可用正态分布 法。
1. 基于临床实践，从个体角度， 作为临床上判定正常与异常的 参考标准，即用于划分界限或 分类。
2. 基于预防医学实践，从人群角 度，可用来评价儿童的发育水 平，如制订不同年龄、性别儿 童某项发育指标的等级标准。
确定95%参考值范围示意图
二、制订医学参考值范围的注意事项
1. 确定同质的参照总体 一般选择“正常”人，主要是排除了对研究指标
例3-1 若X～
，试计算X 取值在区间
上的概率。
Standard normal distribution
例3-2 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似 服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L。 ①该地正常成年男子红细胞计数在4.0×1012/L以下 者占该地正常成年男子总数的百分比；
服从正态分布， =4.78×1012/L， =0.38×1012/L， 估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
查附表1
，表明该地成年男子红
细胞计数低于 4×102/L 者约占该地正常成年男子总
数的2.02%
Standard normal distribution ② 红细胞计数在4.0×1012/L～5.5×1012/L者占该地
正常成年男子总数的百分比
=
表明红细胞计数在 4.0×1012/L ～ 5.5×1012/L者约占 该地正常成年男子总数的95.04%。
正态分布法要求资料服从或近似服从正态分布，优 点是结果比较稳定，在样本含量不是很大的情况下 仍然能够进行处理；若偏态分布资料经变量变换能 转换为正态分布或近似正态分布，仍可用正态分布 法。
7正态分布与参考值
Normal P-P Plot of BLOOD
1.00
.75
.50
.25
0.00
0.00
.25
.50
Observed Cum Prob
.75
1.00
正态分布的应用
1. 估计医学参考值范围：利用正态曲线面积分布 规律； 2. 质量控制：如控制实验中的随机误差；
3. 正态分布是许多统计方法的理论基础：如t分
曲线下面积分布规律
N(0,1)
68.27%
-2.58 -1.96 -1
95.00%
99.00% 0
1 1.96 2.58
N ( , )
68.27%
95.00% 99.00%
.58 1.96 1.96 .58
标准正态分布
-1～1 -1.96～1.96 -2.58～2.58
四. 正态性检验(normality test)
正态分布的两个特征：1. 正态对称性 2. 正态峰：偏度、峰度
方法： 1. 图示法 Q-Q图，P-P图 2. 计算法
f (x)
x
Normal Q-Q Plot of BLOOD
90
80
70
60
60
70
80
90
Observed Value
图 108个原始数据的Q-Q图
1
u2
f (u)
2
exp
2
,
X
一般正态分布
N ( , )
u X
x
标准正态分布
N(0,1)
1
0
u
正态曲线下的面积分布有一定的规律。 求其一区间的面积，可通过下面积分公式得到。
正态分布及参考值范围估
双侧 P/2×100~P(1- /2) ×100 单侧 < P(1-)×100 或 > P×100 • 双侧95%参考值范围: P2.5~P97.5 • 单侧95%参考值范围：<P95 或 >P5
整理课件
23
3.对数正态分布法(适于对数正态分布资料) (1-)的参考值范围： 双侧 :lg-1(xlgx±uslgx) 单侧 :< lg-1(xlgx+uslgx)
整理课件
25
• 例2：某市1974年为了解该地居民发汞的 基础水平，调查了留住该市一年以上，
无汞作业接触史的健康居民238人的发汞 含量如下表，试估计该市居民发汞值的
95%参考值范围。
• 发汞值的分布为偏态分布，过高为不正
常，故求单侧95%的上限，用百分位数
法，即求P95
整理课件
26
某市238名健康人发汞含量
整理课件
11
如：区间(2.58，∞)的面积=(-2.58)=0.005 区间(- ∞，2.58)的面积= (2.58)=1- (-2.58) P(︱u︱>1.96)=2 (-1.96)=0.05 P(︱u︱﹤2.58)=(+2.58)- (-2.58)=0.99 P(u<-1.645 或 u>1.645)= (-1.645)=0.05 P(u<-1 或 u>1)= (-1)=0.1587
整理课件
17
/2
/2
-u 0
u
+u
常用的u值 单侧
-u 0
双侧
u0.1
1.282
1.645
u0.05
1.645
1.96
u0.01
2.33
整理课件
23
3.对数正态分布法(适于对数正态分布资料) (1-)的参考值范围： 双侧 :lg-1(xlgx±uslgx) 单侧 :< lg-1(xlgx+uslgx)
整理课件
25
• 例2：某市1974年为了解该地居民发汞的 基础水平，调查了留住该市一年以上，
无汞作业接触史的健康居民238人的发汞 含量如下表，试估计该市居民发汞值的
95%参考值范围。
• 发汞值的分布为偏态分布，过高为不正
常，故求单侧95%的上限，用百分位数
法，即求P95
整理课件
26
某市238名健康人发汞含量
整理课件
11
如：区间(2.58，∞)的面积=(-2.58)=0.005 区间(- ∞，2.58)的面积= (2.58)=1- (-2.58) P(︱u︱>1.96)=2 (-1.96)=0.05 P(︱u︱﹤2.58)=(+2.58)- (-2.58)=0.99 P(u<-1.645 或 u>1.645)= (-1.645)=0.05 P(u<-1 或 u>1)= (-1)=0.1587
整理课件
17
/2
/2
-u 0
u
+u
常用的u值 单侧
-u 0
双侧
u0.1
1.282
1.645
u0.05
1.645
1.96
u0.01
2.33
正态分布和医学参考值范围1
4、制定正常值范围时，应根据指标的实际用途和特征来决定 取单或双侧正常值范围。 5.百分位数法应用广泛，计算较简单，故制定正常值范围时应 首选百分位数法。 6.近似正态分布资料以 X uS 法估计正常值范围，较百 分位数法稳定,受两端数据影响较小。
医学统计方法（试题分析）
二、选择题：
1、某资料的观察值呈正态分布，理论上有________的观察值落 在 x 1.96s 范围内。 a．68.27% b．90% c．95% d．99% e．45% 2、正态曲线下，从均数μ到μ+1.645σ的面积为 ________。 a．45% b．90% c．95% d．47.5% e．99% 3、标准正态分布是指_________正态分布。 a．μ=0 σ=1 b．μ=1 σ=0 c．μ=0 σ任意 d．μ任意 σ=1 e．以上都不对 X 1.960S X 1.645S 4、资料呈偏态分布，90%双侧正常值范围为_________。 a． x 1.96s b． x 1.64s c．P2.5～P97.5 d．P5～P95 e．0～P90
4）统一测量方法与条件，控制测量误差
测量方法与条件统一，是控制系统误差，测量误差，保证参 考值的可靠性与代表性的重要措施，如检验人员操作方法，熟 练程度相近，实验室条件一致，测试仪器型号相同这些要求应 该满足。
5）确定观察例数（样本含量）
在一般的情况下观察例数越多（抽取样本含量是够大）结果 越接近总体，如白细胞分类计数时，数的白细胞越多，分类计 数就越正确，变异程度较大指标，多一些观察例数是恰当的， 一般样本含量最好将在100例以上。
6、在正态分布资料中，95%的双侧正常值范围常用________ 表示。 a． X 1.960S b．P25～P97.5 X 2.58S d．P5～∞ c． e．P5～P95 7.用百分位数法确定正常值范围，适用于_________资料。 a．分布不对称或不知分布 b．正态分布 c．大样本资料 d．小样本资料 e．以上都对 8、标准正态分布曲线下中间 90%的面积所对应的横轴尺度 u 的范围是________。 a．－1.645到+1.645 b．－∞到+1.645 c．－∞到+2.282 d．－1.282到+1.282 X 1.96S e．－1.96到+1.96
正态分布及参考值范围
u x
0.8531
0.0655
78.0
u 78.0 73.9 3.9
0.1469
-1.51
0 1.05
Φ（-1.51）=0.0655，故P（X<68.0）=0.0655 Φ（-1.05）=0.1469，故P（X<78.0）=1-0.1469=0.8531
P（X≥78.0）=0.1468
（4）下结论。该地正常女子血清总蛋白含量 <68.0g/L者占总人数的6.55%， <78.0g/L者占总人 数的85.31%，≥78.0g/L者占总人数的14.69%。
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
人数
解： （1）计算均数、标准差。
X 7982.0 73.（9 g / L） 108
S 591524.0 7982.02 /108 3.（ 9 g / L） 108 1
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u 68.0 73.9 3.9
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
应用
➢估计医学参考值范围 ➢质量控制：临床检验、生物鉴定、食品卫生 监督 ➢其他许多统计方法的基础
03正态分布与医学参考值范围(医学统计学)
σ 是形状参数，决定着正态曲线的分布形状
正态曲线下的面积分布有一定的规律
图3-3
图3-4
方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3 1 2
正态方程的积分式(分布函数)：
F(X)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线 下，横轴尺度自－∞到X的面积，即下侧累积面积 。
Normal distribution
图3-5
图3-6
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ，即均 数位置，理论上：
µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的95% µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的99% 实际应用中：
±1 S范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的95% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的99%
属异常，采用双侧界值；有些指标仅过大或者过 小为异常，采用单侧界值。
肺活量参考值范围
白细胞数参考值范围
血铅参考值范围
5. 选择适当的百分数范围 结合专业知识，根据研究目的、研究指标的性质、
数据分布特征等情况综合考虑。百分数范围的不同 将导致不同的假阳性率和假阴性率。
6. 选择计算参考值范围的方法
异常
正常
异常
异常
正常
双侧下限
双侧上限
单侧下限
正常
异常
单侧上限
例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服 从正态分布， X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L， 估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。
X z0.05 2S 4.78 1.960.38 4.04 , 5.52
正态曲线下的面积分布有一定的规律
图3-3
图3-4
方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3 1 2
正态方程的积分式(分布函数)：
F(X)为正态变量X的累计分布函数，反映正态曲线 下，横轴尺度自－∞到X的面积，即下侧累积面积 。
Normal distribution
图3-5
图3-6
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ，即均 数位置，理论上：
µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的95% µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的99% 实际应用中：
±1 S范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的95% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的99%
属异常，采用双侧界值；有些指标仅过大或者过 小为异常，采用单侧界值。
肺活量参考值范围
白细胞数参考值范围
血铅参考值范围
5. 选择适当的百分数范围 结合专业知识，根据研究目的、研究指标的性质、
数据分布特征等情况综合考虑。百分数范围的不同 将导致不同的假阳性率和假阴性率。
6. 选择计算参考值范围的方法
异常
正常
异常
异常
正常
双侧下限
双侧上限
单侧下限
正常
异常
单侧上限
例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服 从正态分布， X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L， 估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。
X z0.05 2S 4.78 1.960.38 4.04 , 5.52
正态分布及参考值范围.
3.7
4.1
4.5
4.9
5.3
5.7
红细胞数（1012/L）
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
1.2 1
概率密度
0.8 0.6 0.4 0.2 0 3.5
人数
5.7
4
4.5
5
5.5
6
红细胞数（1012/L）
红细胞数（1012/L）
正态分布曲线
中间高
正态分布曲线X 的取值是连续的
两边低
左右对称 呈钟形
两边低
临床检验生物鉴定食品卫生监督监督其他许多统计方法的基础其他许多统计方法的基础bg16bg17绝大多数一般绝大多数一般9595或或9999正常人的各正常人的各种生理生化组织或排泄物中各种成种生理生化组织或排泄物中各种成分的含量分的含量bg18考虑问题考虑问题确定目标总体确定目标总体选择选择正常人正常人选择一批病人作为制订参考值之参考选择一批病人作为制订参考值之参考统一测量方法和条件统一测量方法和条件确定观察对象例数确定观察对象例数确定单双侧位界确定单双侧位界确定参考值组数确定参考值组数选定百分位界选定百分位界bg19正态分布法正态分布法百分位数法百分位数法bg20正态分布法正态分布法应用条件应用条件
②区间μ±σ的面 积为68.27%， 区间μ±1.96σ的 面积为95%，区 间μ±2.58σ的面 积为99%。
标准正态分布
标化过程 u变换 ①平移过程： 使均数µ变为0 —— “x–μ” x~N（µ ， σ 2）
x
x- u
μ–2.58 μ–1.96σμ–σ μ μ+σ μ+1.96 μ+2.58σ
70.7 68.9 73.3 72.3 76.5 74.3 75.9 75.4 67.2 71.8 76.2 70.6 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
新版正态分布与医学参考值范围
普通正态分布为一个分布族:N(m,s2) ；标准正态分布只有一个 N(0,1) ；这么简化了应用
新版正态分布与医学参考值范围
第9页
四、曲线下面积
u
-∞
附表1（p225）就是依据此公式和图形制订
新版正态分布与医学参考值范围
第10页
曲线下面积分布规律
查附表1（p322）
例6-3（P94)
新版正态分布与医学参考值范围
第17页
2.百分位数法
双侧95%参考值范围: P2.5～P97.5 单侧95%参考值范围: < P95（上限） 或 > P5（下限）适合用于偏态分布资料 例6-4(P95)
新版正态分布与医学参考值范围
第2页
新版正态分布与医学参考值范围
第3页
一、数学形式
新版正态分布与医参考值范围
第4页
二、正态曲线（ normal curve ）
图形特点: 钟型中间高两头低左右对称最高处对应于X轴值就是均数曲线下面积为1标准差决定曲线形状
新版正态分布与医学参考值范围
第5页
g/L ,
新版正态分布与医学参考值范围
第14页
二、正态分布应用
1、预计医学参考值范围2、质量控制3.正态分布是许多统计方法理论基础
新版正态分布与医学参考值范围
第15页
第二节 医学参考值范围
临床上常见参考值是指包含绝大多数正常人人体形态、机能和代谢产物等各种生理及生化指标，过去称正常值。 步骤: 1. 从“正常人”总体中抽样: 明确研究总体 2. 统一测定方法以控制系统误差。 3. 判断是否需要分组（如性别、年纪）确定。 4. 依据专业知识决定单侧还是双侧。
新版正态分布与医学参考值范围
新版正态分布与医学参考值范围
第9页
四、曲线下面积
u
-∞
附表1（p225）就是依据此公式和图形制订
新版正态分布与医学参考值范围
第10页
曲线下面积分布规律
查附表1（p322）
例6-3（P94)
新版正态分布与医学参考值范围
第17页
2.百分位数法
双侧95%参考值范围: P2.5～P97.5 单侧95%参考值范围: < P95（上限） 或 > P5（下限）适合用于偏态分布资料 例6-4(P95)
新版正态分布与医学参考值范围
第2页
新版正态分布与医学参考值范围
第3页
一、数学形式
新版正态分布与医参考值范围
第4页
二、正态曲线（ normal curve ）
图形特点: 钟型中间高两头低左右对称最高处对应于X轴值就是均数曲线下面积为1标准差决定曲线形状
新版正态分布与医学参考值范围
第5页
g/L ,
新版正态分布与医学参考值范围
第14页
二、正态分布应用
1、预计医学参考值范围2、质量控制3.正态分布是许多统计方法理论基础
新版正态分布与医学参考值范围
第15页
第二节 医学参考值范围
临床上常见参考值是指包含绝大多数正常人人体形态、机能和代谢产物等各种生理及生化指标，过去称正常值。 步骤: 1. 从“正常人”总体中抽样: 明确研究总体 2. 统一测定方法以控制系统误差。 3. 判断是否需要分组（如性别、年纪）确定。 4. 依据专业知识决定单侧还是双侧。
新版正态分布与医学参考值范围
《医学统计学》医统-第三章正态分布与医学参考值范围
估计该地正常成年男子红细胞计数95%参考值范围。
• 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
X z 0 . 0 5 2 S 4 . 7 8 1 . 9 6 0 . 3 8 4 . 0 4 , 5 . 5 2
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
表3-2 某年某地100名正常成年人血铅含量（μg/dl）对数值频数表
对数组段
频数
累计频数
0.6～
4
4
0.7～
2
6
0.8～
5
11
0.9～
9
20
1.0～
12பைடு நூலகம்
32
1.1～
15
47
1.2～
18
65
1.3～
14
79
1.4～
12
91
1.5～
5
96
1.6～
3
99
1.7～1.8
1
100
合计
100
—
A
36
Medical reference range
P2.5～P97.5 P5
P95
99 X 2.58S X 2.33S X 2.33S P0.5～P99.5 P1 P99
A
33
Medical reference range 例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服
从正态分布，X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L，
，求单侧95%上限值： l g 1 ( X 1 . 6 4 S ) l g 1 ( 1 . 2 1 . 6 4 0 . 2 4 0 6 ) 3 9 . 3 1 7 3 （μg/dl）
• 近似正态分布资料可按正态分布法处理，因红细胞 计数值过大或过小均为异常，故应估计双侧95%参 考值范围：
X z 0 . 0 5 2 S 4 . 7 8 1 . 9 6 0 . 3 8 4 . 0 4 , 5 . 5 2
即该地正常成年男子红细胞计数的95%参考值范围 为4.04×1012/L～5.52×1012/L。
表3-2 某年某地100名正常成年人血铅含量（μg/dl）对数值频数表
对数组段
频数
累计频数
0.6～
4
4
0.7～
2
6
0.8～
5
11
0.9～
9
20
1.0～
12பைடு நூலகம்
32
1.1～
15
47
1.2～
18
65
1.3～
14
79
1.4～
12
91
1.5～
5
96
1.6～
3
99
1.7～1.8
1
100
合计
100
—
A
36
Medical reference range
P2.5～P97.5 P5
P95
99 X 2.58S X 2.33S X 2.33S P0.5～P99.5 P1 P99
A
33
Medical reference range 例3-3 已知某地140名正常成年男子红细胞计数近似服
从正态分布，X =4.78×1012/L，S =0.38×1012/L，
，求单侧95%上限值： l g 1 ( X 1 . 6 4 S ) l g 1 ( 1 . 2 1 . 6 4 0 . 2 4 0 6 ) 3 9 . 3 1 7 3 （μg/dl）
正态分布及参考值范围
ห้องสมุดไป่ตู้
11
BG
解： （1）计算均数、标准差。
X798 .0273 .（ 9g/L） 108
S 591.05 7294 .0 8 2/1 208 3.（ 9g/L ） 10 1 8
12
BG
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u68.073.9 3.9
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
1
BG
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
（2）在x=μ处，f(x)有最大值 x越远离μ，
f(x)值越小。在 处有拐点。
（3）正态分布有两个参数：位置参数——均数μ 和形态参数（又叫变异度参数）——标准差σ。 正态分布曲线只与这两个参数有关。
5
BG
正态分布的特征
位置参数——均数μ
决定正态分布曲线在横轴上 的集中位置。固定形态参数σ ，改变μ的值，曲线沿 x轴平 行移动，曲线形状不变。
3
BG
正态分布的数学函数表达式
如果随机变量X的概率密度函数满足
X
f(x) 1
-(-x)2
11
BG
解： （1）计算均数、标准差。
X798 .0273 .（ 9g/L） 108
S 591.05 7294 .0 8 2/1 208 3.（ 9g/L ） 10 1 8
12
BG
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u68.073.9 3.9
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
1
BG
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
（2）在x=μ处，f(x)有最大值 x越远离μ，
f(x)值越小。在 处有拐点。
（3）正态分布有两个参数：位置参数——均数μ 和形态参数（又叫变异度参数）——标准差σ。 正态分布曲线只与这两个参数有关。
5
BG
正态分布的特征
位置参数——均数μ
决定正态分布曲线在横轴上 的集中位置。固定形态参数σ ，改变μ的值，曲线沿 x轴平 行移动，曲线形状不变。
3
BG
正态分布的数学函数表达式
如果随机变量X的概率密度函数满足
X
f(x) 1
-(-x)2
《医学统计学》正态分布与医学参考值范围课件
《医学统计学》正态分布与医学参考值范围课件•正态分布概述•正态分布与医学参考值范围•正态分布的图形展示目录•医学参考值范围的计算实例•总结与展望CHAPTER正态分布概述正态分布的定义正态分布的基本性质钟形曲线正态分布的均数（期望值）和标准差（波动程度）是两个关键参数。
均数与标准差概率密度函数正态分布的应用CHAPTER正态分布与医学参考值范围定义计算医学参考值范围的定义与计算正态分布是统计学中常用的概率分布，它描述了许多医学指标的分布特征。
正态分布的曲线呈钟形，中间高，两侧低，左右对称。
在医学参考值范围的制定中，正态分布被用来确定正常范围。
一般来说，如果一个指标的分布接近正态分布，则认为其医学参考值范围是合理的。
正态分布在医学参考值范围中的应用医学参考值范围的解读与使用解读医学参考值范围是一个重要的临床工具，它可以帮助医生判断患者的某一指标是否正常。
同时，它也提供了对临床实验结果的解读和比较的基础。
使用在使用医学参考值范围时，医生应注意其局限性，并结合患者的具体情况进行综合考虑。
例如，不同年龄、性别、种族等人群的医学参考值范围可能存在差异。
因此，医生应根据患者的具体情况选择适用的参考值范围。
CHAPTER正态分布的图形展示正态分布的直方图直方图显示了正态分布的概率密度函数，可以直观地观察到正态分布的形状和特征。
直方图中的横轴表示变量值，纵轴表示在该变量值下的概率密度。
正态分布的直方图呈现出钟形曲线，左右对称，最高点出现在均值处，且在均值附近概率密度较大。
箱线图由箱子、中线、耳朵等组成，其中箱子代表四分位数范围，中线代表均值，耳朵代表标准差。
箱子的高度表示数据的相对波动程度，箱子越窄表示数据越集中。
箱线图展示了正态分布的四分位数和异常值，可以直观地判断数据的集中趋势和离散程度。
合正态分布。
QQ图中的横轴和纵轴分别表示数据的累计概率和标准化的变量值。
如果数据符合正态分布，那么QQ图上的点应该大致沿着参考线（45度直线）分布。
3章 正态分布与医学参考值范围
u
19
标准正态分布（累积）分布函 数为：
(u )
u
-
1 e 2
u2 2
du
20
对于任何参数μ和σ的正态分布，都可以通过一个简单 的变量变换化成标准正态分布，即：
u
X
标准化
21
X1
u
X
u1
为了方便，统计学家编制了标准正态分布曲线下面
积分布表，通过查表可以得到u值左侧的面积。
（C.F.Gauss，1777-1855）
2
值广为人知。
高斯的肖像已经被印在从1989年至 2001年流通的10德国马克的纸币上。
3
一、正态曲线
图2-1
图3-1
图3-2
某地正常成年男子红细胞数的分布情况
4
正态曲线：是一条高峰位于中央，两侧逐渐下降并
完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟型曲线。
-3
-2 -
+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
10
正态曲线下的面积规律
1-S(- , +)=0.3174 1-S(-2 , +2)=0.0456 1-S(-3 , +3)=0.0026
-3
-2 -
+ +2 +3
-4
-3
28
第二节 医学参考值范围
一、医学参考值范围的概念
医学参考值范围(reference value range)：指
正常人体的解剖、生理、生化、免疫及组织代谢产物 的含量等各种数据的波动范围。
正态分布与参考值(1)
…… 0.06 0.07 0.08 0.09 …… 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 …… 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 …… …… …… …… …… …… 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 …… …… …… …… …… …… 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 …… …… …… …… …… …… 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 …… 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
表2 108名正常成年女子血清总蛋白(g/L)频数分布
组段 ⑴
64.0～ 66.0～ 68.0～ 70.0～ 72.0～ 74.0～ 76.0～ 78.0～ 80.0～ 82.0～84.0 合计
频数,f ⑵
2 6 8 15 25 23 14 7 6 2 108
组中数,X ⑶
65.0 67.0 69.0 71.0 73.0 75.0 77.0 79.0 81.0 83.0 －
25 20 15 10
5 0
64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84
图* 某地108名正常成年女子血清 总蛋白（g/L）含量直方图
血清总蛋白
35 30 25 20 15 10
5 0
3.7 4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数/(1012/L) 图 某地150名正常成年男子红细胞数
5. 下结论。
四. 正态性检验(normality test)
正态分布的两个特征：1. 正态对称性 2. 正态峰：偏度、峰度
方法： 1. 图示法 Q-Q图，P-P图 2. 计算法
f (x)
正态分布与医学参考值范围
正态分布与医学参考值范围
何平平 北京大学医学部流行病与卫生统计学系 Tel：82801619
一、正态分布
正态分布曲线是一个以均数为中心，左右两侧对 称的钟型曲线，简称正态曲线。 （一）正态分布曲线的特征：
1.曲线高峰位于中央（均数所在处）。 2.围绕均数两侧完全对称。曲线两侧逐渐下降， 两尾端逐渐靠近横轴，但永远不与之相交。 3.正态分布有两个参数，即均数和标准差。一 般用N（，2）表示均态分布进行如下标准化转换
Z X
变换后的分布称为标准正态分布，就是总体均数为 0，标准差为1的正态分布，常用N（0，1）表示。
标准正态分布曲线下面积分布规律是： 1.在区间（-1，1）占总面积的68.27%； 2.在区间（-1.96，1.96）占总面积的95%； 3.在区间（-2.58，2.58）占总面积的99%。
（二）正态分布曲线下面积分布规律
1.在（ - ， + ）范围内，占正态分布曲线下 面积的68.27%； 2.在（ -1.96 ， +1.96 ）范围内，占正态分布 曲线下面积的95%； 3.在（ -2.58 ， +2.58 ）范围内，占正态分布 曲线下面积的99%。
2.百分位数法 对于某些生理指标，如果呈 偏态分布的，可用百分位数法制定参考值范围。 （1）如果指标值过高和过低都不正常，可定 双侧95%参考值范围P2.5 ～P97.5 ; （2）若指标值过高为不正常，可定单侧95%参 考值范围，其上限为P95； （3）若指标值过低为不正常，其下限为P5 。
三、医学参考值范围 （一）概念
医学参考值范围是指大多数正常人的解剖、 生理、生化等各种数据的波动范围。根据抽 样调查正常人的结果，可以确定一个大多数 正常人的某项指标的参考值范围。最常用的 是95%参考值范围。
何平平 北京大学医学部流行病与卫生统计学系 Tel：82801619
一、正态分布
正态分布曲线是一个以均数为中心，左右两侧对 称的钟型曲线，简称正态曲线。 （一）正态分布曲线的特征：
1.曲线高峰位于中央（均数所在处）。 2.围绕均数两侧完全对称。曲线两侧逐渐下降， 两尾端逐渐靠近横轴，但永远不与之相交。 3.正态分布有两个参数，即均数和标准差。一 般用N（，2）表示均态分布进行如下标准化转换
Z X
变换后的分布称为标准正态分布，就是总体均数为 0，标准差为1的正态分布，常用N（0，1）表示。
标准正态分布曲线下面积分布规律是： 1.在区间（-1，1）占总面积的68.27%； 2.在区间（-1.96，1.96）占总面积的95%； 3.在区间（-2.58，2.58）占总面积的99%。
（二）正态分布曲线下面积分布规律
1.在（ - ， + ）范围内，占正态分布曲线下 面积的68.27%； 2.在（ -1.96 ， +1.96 ）范围内，占正态分布 曲线下面积的95%； 3.在（ -2.58 ， +2.58 ）范围内，占正态分布 曲线下面积的99%。
2.百分位数法 对于某些生理指标，如果呈 偏态分布的，可用百分位数法制定参考值范围。 （1）如果指标值过高和过低都不正常，可定 双侧95%参考值范围P2.5 ～P97.5 ; （2）若指标值过高为不正常，可定单侧95%参 考值范围，其上限为P95； （3）若指标值过低为不正常，其下限为P5 。
三、医学参考值范围 （一）概念
医学参考值范围是指大多数正常人的解剖、 生理、生化等各种数据的波动范围。根据抽 样调查正常人的结果，可以确定一个大多数 正常人的某项指标的参考值范围。最常用的 是95%参考值范围。
第三章 正态分布与医学参考值范围
第三章 正态分布 与 医学参考值范围
第一节 正 态 分 布
一、正态分布的概念（normal distribution）
组 段 110～ 112～ 114～ 116～ 118～ 120～ 122～ 124～ 126～ 128～ 130～ 132～ 134～136 合 计 频 数 （ f） 1 3 9 9 15 18 21 14 10 4 3 2 1 110 组中值 （ X） 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 —
③μ±2.58σ范围内，曲线下面积占总面积的
99.00％。即有99.00%的变量值分布在此范围 内。
三、标准正态分布
为了应用方便，利用下面的公式进行变量 变换，使μ=０，σ=1，将坐标原点移到μ 的位置，横轴尺度以σ为单位。即设
X z
则将正态分布变换为标准正态分布。
标准正态分布 曲线下面积规律：
计算通式
X z / 2 s
如，某地调查正常成年男子144人的红细 胞数，近似正态分布，均数为5.38×1012/L， 标准差s=0.44×1012/L，其95％参考值范围：
下限： X － 1.96s=5.38-1.96× 0.44=4.52(1012/L) 上限： X +1.96s=5.38+1.96× 0.44=6.24(1012/L)
20 频数 15
10
5
0
110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136
组段
二、正态分布的特征
1、 正态曲线是 单峰分布，以均 数为中心左右对 称。
2、正态曲 线在均数处 最高
第一节 正 态 分 布
一、正态分布的概念（normal distribution）
组 段 110～ 112～ 114～ 116～ 118～ 120～ 122～ 124～ 126～ 128～ 130～ 132～ 134～136 合 计 频 数 （ f） 1 3 9 9 15 18 21 14 10 4 3 2 1 110 组中值 （ X） 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133 135 —
③μ±2.58σ范围内，曲线下面积占总面积的
99.00％。即有99.00%的变量值分布在此范围 内。
三、标准正态分布
为了应用方便，利用下面的公式进行变量 变换，使μ=０，σ=1，将坐标原点移到μ 的位置，横轴尺度以σ为单位。即设
X z
则将正态分布变换为标准正态分布。
标准正态分布 曲线下面积规律：
计算通式
X z / 2 s
如，某地调查正常成年男子144人的红细 胞数，近似正态分布，均数为5.38×1012/L， 标准差s=0.44×1012/L，其95％参考值范围：
下限： X － 1.96s=5.38-1.96× 0.44=4.52(1012/L) 上限： X +1.96s=5.38+1.96× 0.44=6.24(1012/L)
20 频数 15
10
5
0
110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132 134 136
组段
二、正态分布的特征
1、 正态曲线是 单峰分布，以均 数为中心左右对 称。
2、正态曲 线在均数处 最高
正态分布及参考值范围讲述
估计方法
正态分布法 百分位数法
正态分布法 应用条件 :正态分布或近似正态分布资料
正态分布法制定医学参考值
参考值范围 （%） 双侧 只有下限 90 95 99 μ±1.64σ μ±1.96σ μ±2.58σ μ－1.28σ μ－1.64σ μ－2.33σ 单侧 只有上限 μ+1.28σ μ+1.64σ μ+2.33σ
实际应用中,常用样本均数X 及样本标准差S来代替μ和σ 。
百分位数法
应用条件 : 偏态分布资料
参考值范围 （%） 90 双侧 只有下限 P5~P95 P10 单侧 只有上限 P90
95
P2.5~P97.5
P5
P95
99
P0.5~P99.5
P1
P99
内容
1
正态分布的特点
标准正态分布 正态分布的应用
2
3
35 30 25
某地140名正常 成年男子红细 胞数（1012/L ） 频数分布图 观察人数不断 增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
350 300 250 200 150 100 50 0 3.7 4.1 4.5 4.9 5.3
人数
20 15 10 5 0
P(1 u 1) (1) (1) 0.6827
P(1.96 u 1.96) (1.96) (1.96) 0.95
P(2.58 u 2.58) (2.58) (2.58) 0.99
68.27% 95% 99% -2.58 -1.96 -1 0 1 1.96 2.58
u~N（0，1）
（ ） （ ） ②改变形状： （ 1.96） 使标准差由σ变为 1——“x–μ/ σ” 68.27%
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（2）在x=μ处，f(x)有最大值 x越远离μ，
f(x)值越小。在 处有拐点。
（3）正态分布有两个参数：位置参数——均数 μ和形态参数（又叫变异度参数）——标准差σ 。正态分布曲线只与这两个参数有关。
正态分布的特征
位置参数——均数μ
决定正态分布曲线在横轴上 的集中位置。固定形态参数σ ，改变μ的值，曲线沿 x轴平 行移动，曲线形状不变。
68.27% 95% 99% -2.58 -1.96 -1 0 1 1.96 2.58
某地108名正常成年女子的血清总蛋白（g/L）含量如 下表，试估计该地正常女子血清总蛋白<68.0g/L、 <78.0g/L、和 ≥78.0g/L所占正常女子总人数的百 分比。
表 某地108名正常成年女子的血清总蛋白（g/L）含量 67.3 75.4 73.1 70.9 75.1 72.6 78.2 68.8 73.8 71.5 66.5 75.1 70.7 68.9 73.3 72.3 76.5 74.3 75.9 75.4 67.2 71.8 76.2 70.6 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 64.1 75.1 76.3 77.8 65.2 75.0 72.7 78.8 71.1 71.8 72.9 76.1 71.2 75.2 72.9 79.5 73.9 75.2 73.1 79.5 81.8 74.5 81.6 74.5
百分位数法 应用条件 : 偏态分布资料
参考值范围 （%）
90
双侧 P5~P95
只有下限
单侧
只有上限
P10
P90
95
P2.5~P97.5
P5
P95
99
P0.5~P99.5
P1
P99
e dx x
2 2
2 Βιβλιοθήκη ②区间μ±σ的面由上式可得出：
积为68.27%， 区间μ±1.96σ的
面积为95%，区
间μ±2.58σ的面
积为99%。
正①态x轴分与布正是一
为了更方便用
个态分布簇曲。线曲
统一的统计量
线所与夹μ面和积σ恒两个
表，将其转化
参等数于有1或关，对
为标准正6态8.2分7%
应10于0%不同的参 数μ和σ会产生
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 3.5
μ=4.75 μ=5.95
4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 正态分布位置变换示意图
形态参数——标准差σ
决定正态分布曲线的形状。 固定位置参数μ ，σ值变小 ，曲线变“瘦高”（陡峭）， σ值变大，曲线变“矮胖”（ 平坦），曲线位置不变 。
0.8
σ=0.5
350 300 250 200 150 100
50 0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
概率密度
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
3.5
4
4.5
5
5.5
6
红细胞数（1012/L）
正态分布曲线
中间高
正态分布曲线X 的取值是连续的
两边低
左右对称
两边低
呈钟形
X
中间高，两边低，左右对称，呈钟形
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
人数
布（stand95a%rd norm1a909l0%%
不同位置不同
distribution)
形状的正态分 μ–2.58σ μ–σ μ μ+σ μ+2.58σ
布曲线。
μ–1.96σ
μ+1.96σ
标准正态分布
标化过程 u变换
x~N（µ，σ2）
①平移过程：
使均数µ变为0 —— “x–μ” x
μ–2.58 μ–1.96σμ–σ μ μ+σ μ+1.96 μ+2.58σ
医学参考值估计
含义
绝大多数（一般95%或99%）正常人的各 种生理、生化、组织或排泄物中各种成 分的含量
考虑问题
➢确定目标总体 ➢选择“正常人” ➢选择一批病人作为制订参考值之参考 ➢统一测量方法和条件 ➢确定观察对象例数 ➢确定单双侧位界 ➢确定参考值组数 ➢选定百分位界
估计方法
正态分布法 百分位数法
u x-
u~N（0，1）
（ ）
（ ）
②使1—改标—变准“形差（x状由–：σ变μ/16为8σ..92”76%）
95%
19090%
u
-2.58 -1.96 -1 0 1 1.96 2.58
标准正态分布表
标准正态分布曲线下的面积可以通过查标准正 态分布表得到 P(1 u 1) (1) (1) 0.6827 P(1.96 u 1.96) (1.96) (1.96) 0.95 P(2.58 u 2.58) (2.58) (2.58) 0.99
正态分布的数学函数表达式 如果随机变量X的概率密度函数满足
X
f(x)
1
-(x- )2
e 22 ,- x
2
µ为总 体均数
σ2 为总
则称X服从正态分布，记作X~N（µ，σ2）体。方差
正态分布的特征
（1）正态分布曲线位于直角坐标系上方，呈钟 形，中间高，两边低，以x=μ为中心，左右完全 对称，两端以x轴为渐近线。
P（X≥78.0）=0.1468
（4）下结论。该地正常女子血清总蛋白含量 <68.0g/L者占总人数的6.55%， <78.0g/L者占总人 数的85.31%，≥78.0g/L者占总人数的14.69%。
应用
➢估计医学参考值范围 ➢质量控制：临床检验、生物鉴定、食品卫生 监督 ➢其他许多统计方法的基础
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
u x
0.8531
0.0655
78.0
u 78.0 73.9 3.9
0.1469
-1.51
0 1.05
Φ（-1.51）=0.0655，故P（X<68.0）=0.0655 Φ（-1.05）=0.1469，故P（X<78.0）=1-0.1469=0.8531
正态分布法 应用条件 :正态分布或近似正态分布资料
正态分布法制定医学参考值
参考值范围 （%）
90 95 99
双侧
μ±1.64σ μ±1.96σ μ±2.58σ
单侧
只有下限
只有上限
μ－1.28σ
μ+1.28σ
μ－1.64σ
μ+1.64σ
μ－2.33σ
μ+2.33σ
实际应用中,常用样本均数X 及样本标准差S来代替μ和σ 。
0.6
0.4
σ=1
0.2
σ=2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
正态分布形态变换示意图
正态分布的特征
（4）正态分布曲线下的面积规律： 服从正态分布的随机变量在一区间上曲线下 的面积与该随机变量在同一区间内取值的概 率相等。
概率分布函数：
F (x) 1
(x- )2
解： （1）计算均数、标准差。
X 7982.0 73.（9 g / L） 108
S 591524.0 7982.02 /108 3.（ 9 g / L） 108 1
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u 68.0 73.9 3.9
f(x)值越小。在 处有拐点。
（3）正态分布有两个参数：位置参数——均数 μ和形态参数（又叫变异度参数）——标准差σ 。正态分布曲线只与这两个参数有关。
正态分布的特征
位置参数——均数μ
决定正态分布曲线在横轴上 的集中位置。固定形态参数σ ，改变μ的值，曲线沿 x轴平 行移动，曲线形状不变。
68.27% 95% 99% -2.58 -1.96 -1 0 1 1.96 2.58
某地108名正常成年女子的血清总蛋白（g/L）含量如 下表，试估计该地正常女子血清总蛋白<68.0g/L、 <78.0g/L、和 ≥78.0g/L所占正常女子总人数的百 分比。
表 某地108名正常成年女子的血清总蛋白（g/L）含量 67.3 75.4 73.1 70.9 75.1 72.6 78.2 68.8 73.8 71.5 66.5 75.1 70.7 68.9 73.3 72.3 76.5 74.3 75.9 75.4 67.2 71.8 76.2 70.6 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 64.1 75.1 76.3 77.8 65.2 75.0 72.7 78.8 71.1 71.8 72.9 76.1 71.2 75.2 72.9 79.5 73.9 75.2 73.1 79.5 81.8 74.5 81.6 74.5
百分位数法 应用条件 : 偏态分布资料
参考值范围 （%）
90
双侧 P5~P95
只有下限
单侧
只有上限
P10
P90
95
P2.5~P97.5
P5
P95
99
P0.5~P99.5
P1
P99
e dx x
2 2
2 Βιβλιοθήκη ②区间μ±σ的面由上式可得出：
积为68.27%， 区间μ±1.96σ的
面积为95%，区
间μ±2.58σ的面
积为99%。
正①态x轴分与布正是一
为了更方便用
个态分布簇曲。线曲
统一的统计量
线所与夹μ面和积σ恒两个
表，将其转化
参等数于有1或关，对
为标准正6态8.2分7%
应10于0%不同的参 数μ和σ会产生
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 3.5
μ=4.75 μ=5.95
4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 正态分布位置变换示意图
形态参数——标准差σ
决定正态分布曲线的形状。 固定位置参数μ ，σ值变小 ，曲线变“瘦高”（陡峭）， σ值变大，曲线变“矮胖”（ 平坦），曲线位置不变 。
0.8
σ=0.5
350 300 250 200 150 100
50 0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
概率密度
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
3.5
4
4.5
5
5.5
6
红细胞数（1012/L）
正态分布曲线
中间高
正态分布曲线X 的取值是连续的
两边低
左右对称
两边低
呈钟形
X
中间高，两边低，左右对称，呈钟形
内容
1 正态分布的特点
2 标准正态分布 正态分布的应用
3
35
30
25
人数
某地140名正常
20
成年男子红细
15 10
胞数（1012/L
5
） 频数分布图 观察人数不断
0
3.7
4.1 4.5 4.9 5.3 5.7
红细胞数（1012/L）
增加，组段不 断细分，直条 不断变窄
顶端逐渐接近一 条光滑的曲线
人数
布（stand95a%rd norm1a909l0%%
不同位置不同
distribution)
形状的正态分 μ–2.58σ μ–σ μ μ+σ μ+2.58σ
布曲线。
μ–1.96σ
μ+1.96σ
标准正态分布
标化过程 u变换
x~N（µ，σ2）
①平移过程：
使均数µ变为0 —— “x–μ” x
μ–2.58 μ–1.96σμ–σ μ μ+σ μ+1.96 μ+2.58σ
医学参考值估计
含义
绝大多数（一般95%或99%）正常人的各 种生理、生化、组织或排泄物中各种成 分的含量
考虑问题
➢确定目标总体 ➢选择“正常人” ➢选择一批病人作为制订参考值之参考 ➢统一测量方法和条件 ➢确定观察对象例数 ➢确定单双侧位界 ➢确定参考值组数 ➢选定百分位界
估计方法
正态分布法 百分位数法
u x-
u~N（0，1）
（ ）
（ ）
②使1—改标—变准“形差（x状由–：σ变μ/16为8σ..92”76%）
95%
19090%
u
-2.58 -1.96 -1 0 1 1.96 2.58
标准正态分布表
标准正态分布曲线下的面积可以通过查标准正 态分布表得到 P(1 u 1) (1) (1) 0.6827 P(1.96 u 1.96) (1.96) (1.96) 0.95 P(2.58 u 2.58) (2.58) (2.58) 0.99
正态分布的数学函数表达式 如果随机变量X的概率密度函数满足
X
f(x)
1
-(x- )2
e 22 ,- x
2
µ为总 体均数
σ2 为总
则称X服从正态分布，记作X~N（µ，σ2）体。方差
正态分布的特征
（1）正态分布曲线位于直角坐标系上方，呈钟 形，中间高，两边低，以x=μ为中心，左右完全 对称，两端以x轴为渐近线。
P（X≥78.0）=0.1468
（4）下结论。该地正常女子血清总蛋白含量 <68.0g/L者占总人数的6.55%， <78.0g/L者占总人 数的85.31%，≥78.0g/L者占总人数的14.69%。
应用
➢估计医学参考值范围 ➢质量控制：临床检验、生物鉴定、食品卫生 监督 ➢其他许多统计方法的基础
（3）查附表1 标准正态分布表 ，（Φ（u）值 ，u≤0)，计算 曲线下面积。
u x
0.8531
0.0655
78.0
u 78.0 73.9 3.9
0.1469
-1.51
0 1.05
Φ（-1.51）=0.0655，故P（X<68.0）=0.0655 Φ（-1.05）=0.1469，故P（X<78.0）=1-0.1469=0.8531
正态分布法 应用条件 :正态分布或近似正态分布资料
正态分布法制定医学参考值
参考值范围 （%）
90 95 99
双侧
μ±1.64σ μ±1.96σ μ±2.58σ
单侧
只有下限
只有上限
μ－1.28σ
μ+1.28σ
μ－1.64σ
μ+1.64σ
μ－2.33σ
μ+2.33σ
实际应用中,常用样本均数X 及样本标准差S来代替μ和σ 。
0.6
0.4
σ=1
0.2
σ=2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
正态分布形态变换示意图
正态分布的特征
（4）正态分布曲线下的面积规律： 服从正态分布的随机变量在一区间上曲线下 的面积与该随机变量在同一区间内取值的概 率相等。
概率分布函数：
F (x) 1
(x- )2
解： （1）计算均数、标准差。
X 7982.0 73.（9 g / L） 108
S 591524.0 7982.02 /108 3.（ 9 g / L） 108 1
（2）进行u转换
。此例样本量较
大，可用 X 代替
μ，S代替σ计算
。
68.0
73.9
u 68.0 73.9 3.9