第23讲梯形(含答案)

第三节 梯形

【回顾与思考】

【例题经典】

与梯形有关的计算 例1．（2005年海南省）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=60°，AD=10，AB=18，求BC 的长．

【分析】在梯形中常通过作腰的平行线，构造平行四边形、三角形，从而把分散的条件集中到三角形中去，从而为解题创造必要的条件．

等腰梯形的判定 例2．（2005年南通市）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC=90°，AB=2DC ，•对角线AC ⊥BD 于F ，过点F 作EF ∥AB ，交AD 于点E ，CF=4cm ． （1）求证：四边形ABFE 为等腰梯形；

（2）求AE 的长．

【分析】采用“阶梯”方法解决（1），先说明四边形ABFE 为梯形，再说明AE=BF ，•作DG ⊥AB 于G ，利用CD=

1

2

AB 解决AE=BF ．（2）问要利用Rt △BCF ∽Rt △ABF ，求出AF 长，再用BF 2=C F ·AF ，即可求出BF 长，进而得到AE 长．

梯形性质的综合应用 例3．（2006年河南省）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC ，E 为底边BC 的中点，且DE ∥AB ，试判断△ADE 的形状，并给出证明．

【解析】△ADE 是等边三角形．

理由如下：∵AB=CD ，∴梯形ABCD 为等腰梯形， ∵∠B=∠C ．

∴E 为BC 的中点，

∵BE=CE．

在△ABE和△DCE中，

∵

,

, AB DC

B C BE CE

=

⎧

⎪

∠=∠⎨

⎪=

⎩

∴△ABE≌△DCE．

∵AE=DE．

∴AD∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABCD为平行四边形．

∴AB=DE

∵AB=AD，

∴AD=AE=DE．

∴△ADE为等边三角形．

【考点精练】

一、基础训练

1．等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，•则等腰梯形的下底角为________度．

2．如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24．将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕，那么AD的长度为________．

(第2题) (第3题)

3．如图所示，图1中梯形符合_________条件时，可以经过旋转和翻折形成图2．

4．如图所示，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B 与点D重合，折痕为AE，则CE=________．

(第4题) (第5题) (第7题) 5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠AD，对角线AC，BD相交于点O，•如下四个结论：

①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC=∠DCA；③△AOB≌△DOC；④△AOD∽△BOC．

请把其中正确结论的序号填在横线上：________．

6．（2006年攀枝花市）若等腰梯形两底之差等于一腰的长，•那么这个梯形一内角是（） A．90° B．60° C．45° D．30°

7．（2006年温州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（）

A．6 B．5 C．4 D．3

8．（2006年潍坊市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BC，点E是AB的中点，EC ∥AD，则∠ABC等于（）

A．75° B．70° C．60° D．30°

(第8题) (第9题) (第10题) 9．（2006年长沙市）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为（）

A．19 B．20 C．21 D．22

10．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是（）

A．1 B．2 C．3 D．不能确定

11．（2006年随州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=3，BC=6，沿AE•翻折梯形ABCD，使点B落在AD的延长线上，记为B′，连结B′E交CD于F，则

DF

FC

的值为（）

A．

1

3

B．

1

4

C．

1

5

D．

1

6

12．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，下面四个结论：

①△AOB∽△COD; ②△AOD∽△BOC; ③DOC

BOA

S DC

S AB

∆

∆

=; ④S△AOD=S△BOC,其中结论始终正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(第11题) (第12题) (第13题) 二、能力提升

13．（2006年广安市）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是底边BC的中点，连接AF、DE．求证：△ADE是等腰三角形．

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠ADC=120°．

求证：（1）BD⊥DC；（2）若AB=4，求梯形ABCD的面积．

三、应用与探究

15．（2006年湖州市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，DE∥AB．求证：（1）DE=DC；（2）△DEC是等边三角形．