专题2.9 双星与天体追及相遇问题(教师版)

专题2.9 双星与天体追及相遇问题【专题诠释】 一、双星问题(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2. ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1＝T 2，ω1＝ω2.③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L . (3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1.二、卫星中的“追及相遇”问题某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上．由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻． 【高考领航】【2018·高考全国卷Ⅰ】2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的 过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗 中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一 时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度 【答案】 BC【解析】 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示．每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得 Gm 1m 2l 2＝m 1ω2r 1① Gm 1m 2l 2＝m 2ω2r 2② l ＝r 1＋r 2③由①②③式得G （m 1＋m 2）l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G ，质量之和可以估算．由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得 v 1＝ωr 1④ v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算． 质量之积和各自自转的角速度无法求解． 【技巧方法】1.双星问题求解思维引导2.对于天体追及问题的处理思路(1)根据GMmr2＝mrω2，可判断出谁的角速度大；(2)根据天体相距最近或最远时，满足的角度差关系进行求解． 【最新考向解码】【例1】(2019·山东恒台一中高三上学期诊断考试)2017年8月28日，中科院南极天文中心的巡天望远镜观测到一个由双中子星构成的孤立双星系统产生的引力波。

该双星系统以引力波的形式向外辐射能量，使得圆周运动的周期T 极其缓慢地减小，双星的质量m 1与m 2均不变，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，则下列关于该双星系统的说法正确的是( )A ．两颗中子星的自转角速度相同，在合并前约100 s 时ω＝24π rad/sB ．合并过程中，双星间的万有引力逐渐增大C ．双星的线速度逐渐增大，在合并前约100 s 时两颗星速率之和为9.6π×106 m/sD ．合并过程中，双星系统的引力势能逐渐增大 【答案】 BC【解析】 由题可知，两颗中子星的公转角速度相同，在合并前约100 s 时，双星的转动频率为12 Hz ，则公转角速度ω0＝2πf ＝24π rad/s ，而自转角速度由题中条件不能求得，A 错误；设两颗星的轨道半径分别为r 1、r 2，相距为L ，根据万有引力提供向心力可知：Gm 1m 2L 2＝m 1r 1ω2公，Gm 1m 2L 2＝m 2r 2ω2公，又r 1＋r 2＝L ，T ＝2πω公，整理可得G (m 1＋m 2)L 2＝4π2LT2，解得T ＝4π2L 3G (m 1＋m 2)，由此可知，周期变小，双星间的距离变小，双星间的万有引力F ＝Gm 1m 2L 2逐渐增大，B 正确；设两颗星的线速度分别为v 1、v 2，则G m 1m 2L 2＝m 1v 21r 1，G m 1m 2L 2＝m 2v 22r 2，又r 1＋r 2＝L ，r 1r 2＝m 2m 1，解得v 1＝Gm 22(m 1＋m 2)L ，v 2＝Gm 21(m 1＋m 2)L，L 减小，双星的线速度逐渐增大，根据v ＝rω可知：v 1＝r 1ω公，v 2＝r 2ω公，解得v 1＋v 2＝(r 1＋r 2)ω公＝Lω公，代入数据可知在合并前约100 s 时两颗星的速率之和为9.6π×106 m/s ，C 正确；合并过程中，双星间的引力做正功，所以引力势能逐渐减小，D 错误。

【例2 】(2019·河南洛阳尖子生一联)设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆 周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上， 这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”， 假设地球公转轨道半径为R ，“金星凌日”每隔t 0年出现一次，则金星的公转轨道半径为( )A.t 01＋t 0R B ．R（t 01＋t 0）3 C ．R3（1＋t 0t 0）2D ．R3（t 01＋t 0）2【答案】D【解析】根据开普勒第三定律有R 3金R 3＝T 2金T 2地，“金星凌日”每隔t 0年出现一次，故(2πT 金－2πT 地)t 0＝2π，已知T 地＝1年，联立解得R 金R ＝3（t 01＋t 0）2，因此金星的公转轨道半径R 金＝R 3（t 01＋t 0）2，故D 正确．【微专题精练】1.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A ．n 3k 2T B ．n 3kT C.n 2kT D ．n kT 【答案】B.【解析】设两恒星中一个恒星的质量为m ，围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动的半径为r ，两星总质量为M ，两星之间的距离为R ，由G m （M －m ）R 2＝mr 4π2T 2，G m （M －m ）R 2＝(M －m )(R －r )4π2T 2，联立解得：T ＝2πR 3GM.经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为T ′＝2π（nR ）3G （kM ）＝n 3kT .选项B 正确． 2.双星系统由两颗绕着它们中心连线上的某点旋转的恒星组成．假设两颗恒星质量相等，理论计算它们绕连 线中点做圆周运动，理论周期与实际观测周期有出入，且T 理论T 观测＝n1(n >1)，科学家推测，在以两星球中心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，设两星球中心连线长度为L ，两星球质量均为m ，据此推测，暗 物质的质量为( ) A ．(n －1)m B ．(2n －1)m C.n －14mD.n －28m【答案】C【解析】双星运动过程中万有引力提供向心力：G m 2L 2＝m L 2(2πT 理论)2，解得T 理论＝2π2L 3Gm；设暗物质的质量为M ′，对星球由万有引力提供向心力G m 2L 2＋G M ′m （L 2）2＝m L 2(2πT 观测)2，解得T 观测＝2π2L 3G （m ＋4M ′）.根据T 理论T 观测＝n 1，联立以上可得：M ′＝n －14m ，选项C 正确．3.(2019·广州执信中学期中)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常 可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位 于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形 的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M ，并设两种系统的运 动周期相同，则( )A ．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B ．直线三星系统的运动周期T ＝4πR R 5GMC ．三角形三星系统中星体间的距离L ＝ 3125RD ．三角形三星系统的线速度大小为125GMR【答案】 BC【解析】 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A 错误；三星系统中，对直线三星系统有G M 2R 2＋G M 2（2R ）2＝M 4π2T 2R ，解得T ＝4πRR5GM，选项B 正确；对三角形三星系统根据万有引力和牛顿第二定律可得2G M 2L 2cos 30°＝M 4π2T 2·L2cos 30°，联立解得L ＝3125R ，选项C 正确；三角形三星系统的线速度大小为v ＝2πr T ＝2πL 2cos 30°T ，代入解得v ＝36·3125·5GMR，选项D 错误． 4．(2019·聊城模拟)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙 在半径为R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M ，万有引力常量为G ，则( )A ．甲星所受合外力为5GM 24R 2B ．乙星所受合外力为5GM 24R 2C ．甲星和丙星的线速度相同D ．甲星和丙星的角速度相同 【答案】AD【解析】甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F 甲＝GM 2R 2＋GM 2（2R ）2＝5GM 24R 2，选项A 正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为零，选项B 错误；由于甲、丙位于同一轨道上，甲、丙的角速度相同，由v ＝ωR 可知，甲、丙两星的线速度大小相同，但方向相反，故选项C 错误，D 正确．5.在赤道平面内有三颗在同一轨道上运行的卫星，三颗卫星在此轨道均匀分布，其轨道距地心的距离为地球 半径的3.3倍，三颗卫星自西向东环绕地球转动．某时刻其中一颗人造卫星处于A 城市的正上方，已知地球 的自转周期为T ，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，则A 城市正上方出现下一颗人造卫星至 少间隔的时间约为( ) A ．0.18T B ．0.24T C ．0.32T D ．0.48T【答案】 A【解析】 地球的自转周期为T ，即地球同步卫星的周期为T ，根据开普勒第三定律得： （6.6r ）3T 2＝（3.3r ）3T 21 解得：T 1＝18T 下一颗人造卫星出现在A 城市的正上方，相对A 城市转过的角度为2π3，则有(2πT 1－2πT )t ＝2π3解得：t ≈0.18T ，故应选A.6.如图所示，甲、乙两卫星在某行星的球心的同一平面内做圆周运动，某时刻恰好处于行星上A 点的正上方， 从该时刻算起，在同一段时间内，甲卫星恰好又有5次经过A 点的正上方，乙卫星恰好又有3次经过A 点 的正上方，不计行星自转的影响，下列关于这两颗卫星的说法正确的是( )A ．甲、乙两卫星的周期之比为2∶3B ．甲、乙两卫星的角速度之比为3∶5C ．甲、乙两卫星的轨道半径之比为 3925D ．若甲、乙两卫星质量相同，则甲的机械能大于乙的机械能【答案】C【解析】设所用时间为t ，则甲卫星的周期为T 甲＝t 5，T 乙＝t 3，则T 甲T 乙＝35，故A 错误；由ω＝2πT ，可知ω甲ω乙＝T 乙T 甲＝53，故B 错误；由万有引力提供向心力可知，GMm r 2＝m 4π2T 2r ，可知r ＝3GMT 24π2，则r 甲r 乙＝3T 2甲T 2乙＝3925，故C 正确；要将卫星发射较高的轨道，发射时需要更多的能量，故卫星高度越大，机械能越大，甲的机械能小于乙的机械能，故D 错误．7.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示．则下列判断正确的是( )A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B ．在2015年内一定会出现木星冲日C ．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D ．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 【答案】BD【解析】.由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知T 行＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 行r 地3·T 地＝r 3行年，根据相遇时转过的角度之差Δθ＝2n π及ω＝Δθt 可知相邻冲日时间间隔为t ，则⎝⎛⎭⎫2πT 地－2πT 行t ＝2π，即t ＝T 行T 地T 行－T 地＝T 行T 行－1，又T 火＝ 1.53年，T 木＝ 5.23年，T 土＝9.53年，T 天＝193年，T 海＝303年，代入上式得t >1年，故选项A 错误；木星冲日时间间隔t木＝5.235.23－1年<2年，所以选项B 正确；由以上公式计算t 土≠2t 天，t 海最小，选项C 错误，选项D 正确． 8.2017年三名美国科学家获本年度诺贝尔物理学奖，用以表彰他们在引力波研究方面的贡献．人类首次发 现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并 的过程．设两个黑洞A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示．黑洞A 的轨道半径大于黑洞B 的轨道半径，两个黑洞的总质量为M ，两个黑洞间的距离为L ，其运动周期为T ，则( )A ．黑洞A 的质量一定大于黑洞B 的质量 B ．黑洞A 的线速度一定大于黑洞B 的线速度C ．两个黑洞间的距离L 一定，M 越大，T 越大D ．两个黑洞的总质量M 一定，L 越大，T 越大 【答案】BD【解析】设两个黑洞质量分别为m A 、m B ，轨道半径分别为R A 、R B ，角速度为ω，由万有引力定律可知：Gm A m BL 2＝m A ω2R A ，Gm A m B L 2＝m B ω2R B ，R A ＋R B ＝L ，得m A m B ＝R BR A ，而AO >OB ，黑洞A 的质量小于黑洞B 的质量，选项A 错误；v A ＝ωR A ，v B ＝ωR B ，选项B 正确；GM ＝ω2L 3，又因为T ＝2πω，故T ＝2πL 3GM，选项C 错误，D 正确．9.2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角， 这是一个划时代的发现．在如图所示的双星系统中，A 、B 两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运 动，已知恒星A 的质量为太阳质量的29倍，恒星B 的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L ＝2×105 m ， 太阳质量M ＝2×1030 kg ，万有引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级 是( )A ．102 HzB ．104 HzC ．106 HzD ．108 Hz【答案】A【解析】A 、B 的周期相同，角速度相等，靠相互的引力提供向心力，由牛顿第二定律得，对A 有G m A m BL 2＝m A 4π2r A T 2，对B 有G m A m B L 2＝m B 4π2r BT 2，又有r A ＋r B ＝L ，解得T ＝4π2L 3G （m A ＋m B ），则f ＝1T ＝G （m A ＋m B ）4π2L 3≈1.66×102 Hz ，故选项A 正确．10.(2019·衡水调研卷)军用卫星指的是用于各种军事目的的人造地球卫星，在现代战争中大显身手，作用越 来越重要，一颗军事卫星在距离地面高度为地球半径的圆形轨道上运行，卫星轨道平面与赤道平面重合， 侦察信息通过无线电传输方式发送到位于赤道上的地面接收站，已知人造地球卫星的最小周期约为85 min ， 则下列判断正确的是( )A ．该军事卫星的周期约480 minB ．该军事卫星的运行速度约为7 km/sC ．该军事卫星连续两次通过接收站正上方的时间间隔约为576 minD ．地面接收站能连续接收的信息的时间约为96 min【答案】D【解析】对于该军事卫星和近地卫星，由开普勒第三定律可知(2R 0R 0)3＝(T T min )2，解得T ＝22T min ≈240 min ，A错误；军事卫星运行的速度v ＝GM2R 0＝12×GM R 0＝7.9 km/s2≈5.6 km/s ，B 错误；该军事卫星连续2次通过接收站正上方，由几何关系可知2πT t 1－2πT 0t 1＝2π，解得t 1＝288 min ，C 错误；卫星与接收站的关系如图所示．设卫星在A 1、A 2位置接收站恰好能接收到信息，由几何关系可知∠A 1OB 1＝∠A 2OB 2＝π3，2π3＋t 2T 0·2π＝t 2T ·2π，解得t 2＝TT 03（T 0－T ）＝96 min ，D 正确．。