专题2.9 双星与天体追及相遇问题(教师版)

专题2.9 双星与天体追及相遇问题

【专题诠释】 一、双星问题

(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．

(2)特点：

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2

L 2＝m 2ω22r 2

. ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1＝T 2，ω1＝ω2.

③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L . (3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2

r 1.

二、卫星中的“追及相遇”问题

某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上．由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻． 【高考领航】

【2018·高考全国卷Ⅰ】2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的 过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗 中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一 时刻两颗中子星

( )

A ．质量之积

B ．质量之和

C ．速率之和

D ．各自的自转角速度 【答案】 BC

【解析】 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示．

每秒转动12圈，角速度已知，

中子星运动时，由万有引力提供向心力得 Gm 1m 2

l 2＝m 1ω2r 1① Gm 1m 2

l 2＝m 2ω2r 2② l ＝r 1＋r 2③

由①②③式得G （m 1＋m 2）l 2＝ω2

l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3

G ，

质量之和可以估算．

由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得 v 1＝ωr 1④ v 2＝ωr 2⑤

由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算． 质量之积和各自自转的角速度无法求解． 【技巧方法】

1.双星问题求解思维引导

2.对于天体追及问题的处理思路

(1)根据GMm

r

2＝mrω2，可判断出谁的角速度大；

(2)根据天体相距最近或最远时，满足的角度差关系进行求解． 【最新考向解码】

【例1】(2019·山东恒台一中高三上学期诊断考试)2017年8月28日，中科院南极天文中心的巡天望远镜观测到一个由双中子星构成的孤立双星系统产生的引力波。该双星系统以引力波的形式向外辐射能量，使得

圆周运动的周期T 极其缓慢地减小，双星的质量m 1与m 2均不变，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，则下列关于该双星系统的说法正确的是( )

A ．两颗中子星的自转角速度相同，在合并前约100 s 时ω＝24π rad/s

B ．合并过程中，双星间的万有引力逐渐增大

C ．双星的线速度逐渐增大，在合并前约100 s 时两颗星速率之和为9.6π×106 m/s

D ．合并过程中，双星系统的引力势能逐渐增大 【答案】 BC

【解析】 由题可知，两颗中子星的公转角速度相同，在合并前约100 s 时，双星的转动频率为12 Hz ，则公转角速度ω0＝2πf ＝24π rad/s ，而自转角速度由题中条件不能求得，A 错误；设两颗星的轨道半径分别为r 1、r 2，相距为L ，根据万有引力提供向心力可知：Gm 1m 2L 2＝m 1r 1ω2公，Gm 1m 2L 2

＝m 2r 2ω2公，又r 1＋r 2＝L ，T ＝2π

ω公，整理可得G (m 1＋m 2)L 2＝4π2L

T

2，解得T ＝

4π2L 3

G (m 1＋m 2)

，由此可知，周期变小，双星间的距离变小，双星间的

万有引力F ＝Gm 1m 2L 2逐渐增大，B 正确；设两颗星的线速度分别为v 1、v 2，则G m 1m 2L 2＝m 1v 21r 1，G m 1m 2L 2＝m 2v 22

r 2，又r 1＋r 2＝L ，r 1r 2＝m 2

m 1

，解得v 1＝

Gm 22

(m 1＋m 2)L ，v 2

＝

Gm 21

(m 1＋m 2)L

，L 减小，双星的线速度逐渐增大，根据

v ＝rω可知：v 1＝r 1ω公，v 2＝r 2ω公，解得v 1＋v 2＝(r 1＋r 2)ω公＝Lω公，代入数据可知在合并前约100 s 时两颗星的速率之和为9.6π×106 m/s ，C 正确；合并过程中，双星间的引力做正功，所以引力势能逐渐减小，D 错误。

【例2 】(2019·河南洛阳尖子生一联)设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆 周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上， 这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日”， 假设地球公转轨道半径为R ，“金星凌日”每隔t 0年出现一次，则金星的公转轨道半径为

( )

A.t 01＋t 0R B ．R

（

t 0

1＋t 0

）3 C ．R

3

（1＋t 0t 0

）2

D ．R

3

（t 01＋t 0

）2