知识讲解_直线与抛物线的位置关系(理)_基础

直线与抛物线的位置关系
【学习目标】
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求抛物线的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、准线）解决相关问题；
3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】
【要点梳理】 要点一、抛物线的定义
定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．
要点诠释：上述定义可归结为“一动三定”：一个动点，一定点F （即焦点），一定直线（即准线），一定值1（即动点M 到定点F 的距离与定直线l 的距离之比）.
要点二、抛物线的标准方程 抛物线标准方程的四种形式：
22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >
抛物线
抛物线的定义与标准方程 抛物线的几何
性质 直线与抛物线的位
置关系 抛物线的综合
问题
抛物线的弦问题
抛物线的准线
要点诠释：求抛物线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设抛物线方程的具体形式；“定值”是指用定义法或待定系数法确定p 的值.
要点三、抛物线的几何性质 范围：{0}x x ≥，{}y y R ∈，
抛物线y 2=2px （p ＞0）在y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标（x ，y ）的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

抛物线是无界曲线。

对称性：关于x 轴对称
抛物线y 2=2px （p ＞0）关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

抛物线只有一条对称轴。

顶点：坐标原点
抛物线y 2=2px （p ＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。

抛物线的顶点坐标是（0，0）。

离心率：1e =.
抛物线y 2=2px （p ＞0）上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。

用e 表示，e=1。

抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。

要点三、直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系
将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.
2220ky py pm -+=
若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若0k ≠
①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． 直线与抛物线的相交弦
设直线y kx m =+交抛物线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则
12||PP
12|x x -
同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
12||x x -
12||y y -抛物线的焦点弦问题
已知过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。

设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则：
①焦点弦长122
2||||()sin p
AB x x p AB AB αα
=++=
或为的倾斜角 ②2
21212-4
p x x y y p ==， ③
112||||FA FB p +=，其中|AF|叫做焦半径，1||2
p FA x =+ ④焦点弦长最小值为2p 。

根据22||sin 2
p AB π
αα=可见，当为时，即AB 垂直于x 轴时，弦AB 的长最短，最短值为2p 。

要点诠释：直线与圆锥曲线的位置关系和其他圆锥曲线与直线一样，注意其中方程思想的应用和解析几何的通性通法.
【典型例题】
类型一：抛物线的方程与性质
例1． 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(4，8)的抛物线有几条?求出它们的标准方程. 【解析】因为抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在原点，并且经过点(4,8)M ，所以可设它的标准方程为2222(0)y px x py p ==>或因为点M 在抛物线上，所以6481616p p ==或即81p p ==或，因此，所求抛物线有两条，它们的标准方程是22162y x x y ==或，
【总结升华】抛物线的焦点轴有四种情况，因此在讨论抛物线方程时要注意它的不同位置，恰当的设出方程是解决问题的关键.
举一反三：
【变式1】若抛物线通过直线1
2
y x =与圆x 2＋y 2＋6x ＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．
【答案】由2212
60y x x y x ⎧=⎪⎨⎪++=⎩得00x y =⎧⎨=⎩，或245
125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
， 根据题意可设抛物线的方程为x 2＝－2my (m >0)或y 2＝－2px (p >0)，
则2412(,)55-
-在抛物线上，∴m ＝
24
5
，p ＝35， ∴方程为248
5
x y =-或265y x =-
【变式2】已知定点F (0,2)，若动点M (x ，y )满足|MF |＝y ＋2，则点M 的轨迹方程为________．
【答案】由已知得点M 到点F 的距离等于点M 到直线y ＝－2的距离，故点M 的轨迹方程为x 2＝8y . 类型二：直线与抛物线的位置关系
例2．过定点P (0,2)作直线l ，使l 与抛物线y 2＝4x 有且只有一个公共点，这样的直线l 共有________条．
【答案】3
【解析】如图，过点P 与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点的直线有三条：二条切线、一条与x 轴平行的直线．
【总结升华】直线与抛物线只有一个公共点时要考虑相交于一点的情况，不要漏掉. 举一反三：
【变式】已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．
【答案】∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋1
2
＝3， ∴x A ＋x B ＝
52
. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为5
24
A B x x +=. 类型三：抛物线的弦
例3.斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长． 【解析】如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．
由⎩⎨⎧+==1
42x y x
y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则
()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A
【总结升华】抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。

举一反三：
【变式】顶点在原点，焦点在x 轴的抛物线截直线y ＝－2x －1所得的弦长|AB |＝程．
【答案】y 2＝20x 或y 2＝－12x .
例4.若直线l ：y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，且AB 的中点为M (2，y 0)，求y 0及弦AB 的长． 【解析】把y ＝kx －2代入y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵AB 中点M (2，y 0)，
∴x 1＋x 2＝4，即
2
48
k k +＝4， 解得k ＝2或k ＝－1.
又Δ＝16k 2＋64k ＋64－16k 2>0， ∴k >－1，∴k ＝2， 此时直线方程为y ＝2x －2， ∵M (2，y 0)在直线上，
∴y 0＝2，|AB |21|x x -==【总结升华】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.
举一反三：
【变式】过抛物线y 2
＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |等于________．
【答案】8
【解析】抛物线的准线方程为x ＝－1，则AB 中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB |＝8.
类型四：抛物线的综合问题
例5.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)两点，求证：
212y y p =-；
【解析】证明：由抛物线的方程可得焦点的坐标为(
,0)2
p
F 。

（1）当直线PQ 斜率存在时，过焦点的直线方程可设为()2
p y k x =-
， 由2()22p y k x y px
⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
消去x 得：ky 2―2py―kp 2=0 （※） 当k=0时，方程（※）只有一解，∴k≠0， 由韦达定理得：y 1·y 2=－p 2。

当直线PQ 斜率不存在时，得两交点坐标为(,)2p p ，(,)2
p
p -， ∴y 1·y 2=―p 2。

综上两种情况：总有y 1y 2=―p 2。

【总结升华】韦达定理在解决抛物线综合问题中有着非常重要的作用，注意它的合理应用. 举一反三：
【变式1】 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标
【答案】如图，设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),M(x,y), 则x=
2
2
1x x +, y=221y y +,
又设点A ，B ，M 在准线l :x=─1/4上的射影分别为A /,B /,M /, MM /与y 轴的交点为N ， 则|AF|=|AA /|=x 1+
41,|BF|=|BB /|=x 2+4
1
, ∴x=21(x 1+x 2)=21(|AF|+|BF|─21)≥21(|AB|─21)=4
5
等号在直线AB 过焦点时成立，此时直线AB 的方程为y=k(x─
4
1
) 由⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=x y x k y 2)41(得16k 2x 2─8(k 2+2)x+k 2=0 依题意|AB|=2
1k +|x 1─x 2|=2
1k +×2
16k ∆=22
1k
k +=3,
∴k 2
=1/2, 此时x=21
(x 1+x 2)=22162)2(8k k ⨯+=4
5
∴y= ±
22即M(45,22), N(4
5,─22) 【变式2】已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，
点A (7
2
，4)，则|P A |＋|PM |的最小值是( )
A.
72 B ．4 C. 9
2 D ．5 【答案】 C
【解析】 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)，又点A (7
2
，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－
1
2
， 则|PM |＝d －12，又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|P A |＋|PM |≥9
2
.故选C.。