直线与抛物线的位置关系课件
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3.3.3直线与抛物线的位置关系课件(人教版)
第 三 章 圆锥曲线的方程
3.3.3直线与抛物线的位置关系
学习目标
掌握抛物线的几何性质. 会判断直线与抛物线的位置关系.
准备好了吗？一起去探索吧！
抛物线的几何性质.
重点
难点
弦长公式的求解. 判断直线与抛物线的位置关系.
提问
探究一 抛物线的方程与性质
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F， 且与抛物线相交于 A,B 两点，求线段 AB 的长？
在前面椭圆，双曲线的学习中，我们也遇到过类似的直线与椭圆、 双曲线相交的问题，回忆一下是如何解决的？ 对于这道题你有什么解题思路？
解答方法一
将直线与抛物线联立为方程组，求出两个交点 A,B， 然后利用两点间的距离公式求 AB 的长.
解法一：可求得直线的方程为 y x 1，
yx1
联立直线的方程与抛物线的方程 y2 4 x ，整理得 x2 6x 1 0 ，
∵ M (2，y0 ) 在直线上，∴ y0 2 ，
AB
1 k 2 x2 x1
5
42
4
4 22
2
15 .
探究二 直线和抛物线的位置关系
（1） 设直线 l : y kx b ，抛物线 y2 2 p（x p 0），
ykxb
直线与抛物线交点的个数等价于方程组 y2 2 px 解的组数， 也等价于方程 ky2 2 py 2bp 0解的个数
a.当 k 0 时，若 0 ，则直线和抛物线相交，有两个公共点； 若 =0 ，则直线和抛物线相切，有一个公共点； 若 0 ，则直线和抛物线相离，无公共点.
b. 当 k=0 时，直线y=b与抛物线 y2 2 p（x p 0）相交， 有一个公共点.特别的，当直线l的斜率不存在时， 设 l : x m ，则当 m 0 时，l与抛物线相交，有两个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相切，有一个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相离，无公共点.
3.3.3直线与抛物线的位置关系
学习目标
掌握抛物线的几何性质. 会判断直线与抛物线的位置关系.
准备好了吗？一起去探索吧！
抛物线的几何性质.
重点
难点
弦长公式的求解. 判断直线与抛物线的位置关系.
提问
探究一 抛物线的方程与性质
斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F， 且与抛物线相交于 A,B 两点，求线段 AB 的长？
在前面椭圆，双曲线的学习中，我们也遇到过类似的直线与椭圆、 双曲线相交的问题，回忆一下是如何解决的？ 对于这道题你有什么解题思路？
解答方法一
将直线与抛物线联立为方程组，求出两个交点 A,B， 然后利用两点间的距离公式求 AB 的长.
解法一：可求得直线的方程为 y x 1，
yx1
联立直线的方程与抛物线的方程 y2 4 x ，整理得 x2 6x 1 0 ，
∵ M (2，y0 ) 在直线上，∴ y0 2 ，
AB
1 k 2 x2 x1
5
42
4
4 22
2
15 .
探究二 直线和抛物线的位置关系
（1） 设直线 l : y kx b ，抛物线 y2 2 p（x p 0），
ykxb
直线与抛物线交点的个数等价于方程组 y2 2 px 解的组数， 也等价于方程 ky2 2 py 2bp 0解的个数
a.当 k 0 时，若 0 ，则直线和抛物线相交，有两个公共点； 若 =0 ，则直线和抛物线相切，有一个公共点； 若 0 ，则直线和抛物线相离，无公共点.
b. 当 k=0 时，直线y=b与抛物线 y2 2 p（x p 0）相交， 有一个公共点.特别的，当直线l的斜率不存在时， 设 l : x m ，则当 m 0 时，l与抛物线相交，有两个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相切，有一个公共点. 则当 m 0 时，l与抛物线相离，无公共点.
人教版高中数学课件：直线与抛物线的位置关系
练习：判断下列命题是否正确
1.如果直线与抛物线只有一个公共点，
则它们相切. 错 2.如果直线与抛物线相切，则它们只有一个 公共点 . 正确
所以：直线与抛物线只有一个公共点是 它们相切的必要非充分条件.即
相切 有一个公共点
例1.过点P(0,2)且与抛物线y2=8x只有一个公共 点的直线有 3 条，
p 12 p 0
2
p 0或p 12(舍去)
设A(x1,y1), B (x2,y2),则 x1+x2=-(3+2p) x1x2=9/4
2
1 1 (3 2 p) 9 4 2 解得：p 1或p 4(舍去)
所以，所求抛物线的方程为y2=-2x.
解：设所求直线的方程为y-2=kx （k ≠0 ） 即y=kx +2. 将直线y=kx +2代入抛物线方程，得
即
(kx 2) 8x 2 2 k x (4k 8) x 4 0
2
(4k 8) 16k
2
2
64k 64 0 k 1
解：将直线y=x +b代入抛物线方程y2=8x ，得
练习：
已知顶点在原点，焦点在x轴负半轴的抛物
线截直线y=x+3/2所得的弦长 AB 4 2，求
此抛物线的方程.
解：设抛物线方程为y2=-2px (p>0)
将直线y=x +3/2代入抛物线方程y2=-2px ，得
则
3 2 ( x ) 2 px 2 9 2 即 x (3 2 p) x 0 4 2 (3 2 p ) 9
( x b) 8x
2
即
x (2b 8) x b 0
直线与抛物线的位置关系_课件1
课堂总结
1、直线与抛物线的位置关系，注意一个公 共点的特殊情形.
2、判断直线与抛物线的位置关系时使用的 方法叫“代数方法”，并且这种方法可以应用 到“直线与圆锥曲线的位置关系”的判断中.
作业：赢在课堂P50迁移训练4 抛物线的限时训练（3）
笛卡尔，17世纪哲学家,数
学家,物理学家,法国人.
任何问题
数学问题
代数问题
笛
X
卡
尔
位置关系：相交一个交点
代 数 法
y x ( 2)解方程组 2 y x 得：x 2 x 0
我们到底有没有必要求出方程的 解呢？
x 0 x 1 得 或 或 b2 4ac14*1*0 1 0 y 0 y 1
位置关系：相交两个交点
对于“几何图形观察法”，其优点 在于可以根据图形的几何直观直接判断， 但由于手工作图会有一定的误差，这对 于我们判断结果必定会产生影响.
展1 当b为何值时,直线y= -2x+b与抛物线
x 2 2y
(1)相交,(2)相切,(3)相离?
解：由方程组{
y 2x b 消去 y ，并整理得 2 x 2y
x 2 4x 2b 0
Δ 42 4 (2b) 8(2 b) (1)当 0 即b>-2时，直线与抛物线相交 (2)当 0 即b=-2时，直线与抛物线相切
方法总结：
第一步：求出直线l的方程； 第二步：联立直线与抛物线的方程，消元得到 2 x y 关于 或 的方程 ay by c 0 ； 2 第三步：讨论 y 的系数a 与 0 的关系. 若 a 0 ，则得到一元一次方程； 若 a 0 ，则讨论判别式 的符号.
第四步：下结论
第7节 第2课时 直线与抛物线--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
2025
高考总复习
第2课时
直线与抛物线
研考点
精准突破
考点一
直线与抛物线的位置关系
例1已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点?
有两个公共点?没有公共点?
= + 1,
解 联立 2
消去 y,得 k2x2+(2k-4)x+1=0,
= 4,
当 k=0 时,(*)式只有一个解
|AB|= 1 + 4|y1-y2|= 5 · 162 -8=4 15,
解得
3
p=- (舍)或
2
p=2.∴p=2.
(2)由(1)知抛物线 C 的方程为 y2=4x,F(1,0).
设 M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,
= + ,
由 2
得 y2-4my-4n=0,
例3已知直线l与抛物线C:y=2x2相交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为
(1,4),则直线l的方程为( A )
A.4x-y=0
B.2x-y=0
C.8x-y-6=0
D.x-2y+3=0
解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
1 = 212 ,
2
2
由
得
y
-y
=2(
−
1
2
1
2 )=2(x1+x2)(x1-x2),
联立 2
= 4,
得ky2-4y+4k+8=0,当k=0时,此时y=2,与抛物线有唯一公共点;
当k≠0时,由Δ=(-4)2-4k×(4k+8)=0,解得k=-1±
高考总复习
第2课时
直线与抛物线
研考点
精准突破
考点一
直线与抛物线的位置关系
例1已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C:只有一个公共点?
有两个公共点?没有公共点?
= + 1,
解 联立 2
消去 y,得 k2x2+(2k-4)x+1=0,
= 4,
当 k=0 时,(*)式只有一个解
|AB|= 1 + 4|y1-y2|= 5 · 162 -8=4 15,
解得
3
p=- (舍)或
2
p=2.∴p=2.
(2)由(1)知抛物线 C 的方程为 y2=4x,F(1,0).
设 M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,
= + ,
由 2
得 y2-4my-4n=0,
例3已知直线l与抛物线C:y=2x2相交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为
(1,4),则直线l的方程为( A )
A.4x-y=0
B.2x-y=0
C.8x-y-6=0
D.x-2y+3=0
解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),
1 = 212 ,
2
2
由
得
y
-y
=2(
−
1
2
1
2 )=2(x1+x2)(x1-x2),
联立 2
= 4,
得ky2-4y+4k+8=0,当k=0时,此时y=2,与抛物线有唯一公共点;
当k≠0时,由Δ=(-4)2-4k×(4k+8)=0,解得k=-1±
直线与抛物线的位置关系PPT课件
[二级结论] 1. P 为抛物线 y2＝2px 上任意一点，∠PFx＝θ，则 PF＝1－cpos θ. 2．抛物线 y2＝2px 中，斜率为 k 的弦的中点轨迹为 y＝pk.
[双基夯实]
1.[教材习题改编]过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有
一个公共点，这样的直线有( C )
A．1 条
[跟踪训练] 如图，已知抛物线 C1：y＝14x2，圆 C2：x2＋(y－1)2＝1，过点 P(t,0)(t＞0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切点．
(1)求点 A，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．
解：(1)由题意，知直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程
焦点弦的性质，相交弦中点的性质，需要熟练掌握 (1)过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2， y2)两点，如果 x1＋x2＝6，则|PQ|＝( B ) A．9 B．8 C．7 D．9 解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝ －1.根据抛物线定义，可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝ x1＋x2＋2＝8.故选 B.
故y20＝－x20t＋1， x0t－y0＝0，
解得xy00＝ ＝112＋＋2tt2tt22， ，
2x2－5x＋2＝0， ∴AB 的中点到准线的距离为 x1＋2 x2＋1＝94.
题型重点研讨
考点 1 直线与抛物线的位置关系 (师生共研)
[典题 1] 已知 A(8,0)，B，C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动， 并且满足A→B·B→P＝0，B→C＝C→P，
(1)求动点 P 的轨迹方程； (2)是否存在过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M，N 两点， 且满足Q→M·Q→N＝97，其中 Q(－1,0)，若存在，求出直线 l 的方程； 若不存在，请说明理由．
直线与抛物线的位置关系 课件
用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程______的问
题．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
直线与抛物线的位置关系 已知抛物线 C：y2＝－2x，过点 P(1,1)的直线 l 斜率为 k，当 k 取何值时，l 与 C 有且只有一个公共点，有两个 公共点，无公共点？ [分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛 物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．
综上知，k<1－2
3或
1＋ k> 2
3时，l 与 C 无公共点；
k＝1±2 3或 k＝0 时，l 与 C 只有一个公共点；
1－ 2
3 <k<0
或
1＋ 0<k< 2
3时，l 与 C 有两个公共点．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
弦长问题 顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线，截直线 2x － y ＋ 1 ＝ 0 所 得 弦 长 为 15 ， 则 抛 物 线 方 程 为 ________ __________________． [答案] y2＝12x或y2＝－4x
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[解析] 直线 l：y－1＝k(x－1)，将 x＝－y22代入整理得， ky2＋2y＋2k－2＝0．
(1)k＝0 时，把 y＝1 代入 y2＝－2x 得，x＝－12，直线 l 与
抛物线 C 只有一个公共点(－12，1)． (2)k≠0 时，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4．
解得 a＝12，或 a＝－4，∴所求抛物线方程为 y2＝12x，或
直线与抛物线的位置关系 课件
题型三 弦长问题
例 3 已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线被直线
y＝2x＋1 截得的弦长为 15，求抛物线的方程．
解析：设抛物线的方程为 y2＝2px，则
y2＝2px， y＝2x＋1，
消去 y 得：4x2－(2p－4)x＋1＝0，
∴x1＋x2＝p－2 2，x1x2＝14.
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
直线与抛物线的位置关系
设直线l: y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直 线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋ c＝0.
(1)若 a≠0，当Δ__>__0时，直线与抛物线相交，有
两个交点；
当Δ_＝___ 0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ_<___0时，直线与抛物线相离，无公共点．
∵P1P2 的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k＝3，
∴所求直线方程为 y－1＝3(x－4)，
即 3x－y－11＝0.
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝
1
1＋k2
（y1＋y2）2－4y1y2＝
3 .
点评：处理中点问题的基本方法是点差法和联立方程的方
∵P1，P2 在抛物线上， ∴y21＝6x1，y22＝6x2. 两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)． ∵y1＋y2＝2，∴k＝yx11－－yx22＝y1＋6 y2＝3，
∴直线的方程为 y－1＝3(x－4)． 即 3x－y－11＝0.
由yy2＝＝36xx－，11， 得 y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝ 1＋19 22－
（－22） ＝2 3230.
直线与抛物线的位置关系课件(苏教版选修2-1)
综合题二解析
题目
过点$P(4,3)$作抛物线$y^{2} = 8x$ 的两条切线$PA、PB$，切点分别为 $A,B$，则以线段AB为直径的圆方程 为____．
答案
$(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$
解析
设 $A(x_{1},frac{y_{1}^{2}}{8}),B(x_{2},fr ac{y_{2}^{2}}{8})$，由抛物线定义可 知$|AB| = x_{1} + frac{y_{1}^{2}}{8} + x_{2} + frac{y_{2}^{2}}{8} = 4 + frac{y_{1}^{2} + y_{2}^{2}}{8}$，又 $y_{1}^{2} = 8x_{1},y_{2}^{2} = 8x_{2}$，所以$|AB| = 4 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2} = 16$，所以圆心为 $(4,3)$，半径为$frac{16}{2} = 8$， 所以所求圆的方程为$(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 64$．
综合题三解析
题目：过点$P(4,3)$作抛物线$y^{2} = - 10x$的两条切线$PA、PB$，切点 分别为$A,B$，则以线段AB为直径的 圆方程为____．
答案：$(x - frac{7}{4})^{2} + (y frac{9}{4})^{2} = frac{5}{8}$
解析：设$A(x_{1}, - sqrt{x_{1}}),B(x_{2}, - sqrt{- x_{2}})$，由 抛物线定义可知$|AB| = x_{1} - sqrt{x_{1}} + x_{2} - sqrt{- x_{2}} = 4 (sqrt{- x_{1}} + sqrt{- x_{2}})$，又$x_{1} = - 10x_{2}$，所以$sqrt{x_{1}} + sqrt{- x_{2}} = sqrt{- x_{1}} - sqrt{- 10x_{1}} = sqrt{x_{1}}(sqrt{10} - 1)$，所以$|AB| = 4 + (sqrt{10} - 1)(sqrt{- x_{1}} + sqrt{x_{2}}) = 4sqrt{10}$，所以圆心为 $(4,3)$，半径为$frac{4sqrt{10}}{2} = 2sqrt{10}$，所以所求圆的方程为$(x
2025版新教材高中数学第3章第2课时直线与抛物线的位置关系课件新人教A版选择性必修第一册
题型二
中点弦问题
2．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在
直线的方程． [解析] 方法一：(点差法)设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，
y1)，B(x2，y2)，则有 y21＝8x1，y22＝8x2， ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)． 又 y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)， 即yx11－ －yx22＝4，∴kAB＝4. ∴AB 所在直线的方程为 y－1＝4(x－4)，即 4x－y－15＝0.
∴x1＋x2＝2k2k＋2 8，x1－x2＝－k82 k＝－k8. ∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2] ＝k(x1＋x2)－2k＝k·2k2k＋2 8－2k＝8k. ∴kAB＝yx11－ －yx22＝－1. ∴直线 AB 的斜率为定值－1.
课堂检测•固双基
1．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心
(2)由题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立yx＝2＝k2xy＋，1， 消去 y 化简得 x2－2kx－2＝0， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∵|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2· 4k2＋8＝2 6， ∴k4＋3k2－4＝0， 又 k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
[解析] 据题意知，△PMF 为等边三角形时，|PF| ＝|PM|，所以 PM 垂直抛物线的准线，设 Pm42，m，则 M(－1，m)，则等边三角形边长为 1＋m42，
因为 F(1,0)，所以由|PM|＝|FM|，得 1＋m42＝ －1－12＋m2，解得 m2＝12，所以等边三角形边长为 4，其面积为 4 3.
所以 p＝2.
直线与抛物线的位置关系ppt课件
k
例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y2 2 px( p 0)于 A，B两点，设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p2 .
解：因为直线AB过定点F且不与x轴平 y
p
行,设直线AB的方程为 x my
y2 2 px
2
x
my
p 2
y2
2 p(my
1
k
1 2
.
①只有两个解
,
从而方程组 只有两个解 .这时,直线 l 与抛物线
有两个公共点 .
30 由 于是,当k
0,
即2k 2 1, 或
k k
1
2
1 0, 解得k 1,或k 时,方程 ①没有实数解
1 2. , 从而
方程组 没有解.这时,直线 l 与抛物线没有公共点 .
综上, 我们可得
变题1: 过抛物线y2 2 px( p 0)焦点O
F的直线， 交抛物线于点A(x1, y1)、
B(x2 , y2 ), 则有x1x2
p2 4
.
A
Fx B
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点
y
为F(1,0),所以直线AB的方程为 A’
A
y=x-1
代入方程y2 4x,得( x 1)2 4x,
化简得x2 6x 1 0.
x1 x1
x2 x2
6 1
OF
x
B’ B
AB 2 (x1 x2 )2 4x1x2 8
所以，线段AB的长是8。
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y2 2 px( p 0)于 A，B两点，设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p2 .
解：因为直线AB过定点F且不与x轴平 y
p
行,设直线AB的方程为 x my
y2 2 px
2
x
my
p 2
y2
2 p(my
1
k
1 2
.
①只有两个解
,
从而方程组 只有两个解 .这时,直线 l 与抛物线
有两个公共点 .
30 由 于是,当k
0,
即2k 2 1, 或
k k
1
2
1 0, 解得k 1,或k 时,方程 ①没有实数解
1 2. , 从而
方程组 没有解.这时,直线 l 与抛物线没有公共点 .
综上, 我们可得
变题1: 过抛物线y2 2 px( p 0)焦点O
F的直线， 交抛物线于点A(x1, y1)、
B(x2 , y2 ), 则有x1x2
p2 4
.
A
Fx B
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点
y
为F(1,0),所以直线AB的方程为 A’
A
y=x-1
代入方程y2 4x,得( x 1)2 4x,
化简得x2 6x 1 0.
x1 x1
x2 x2
6 1
OF
x
B’ B
AB 2 (x1 x2 )2 4x1x2 8
所以，线段AB的长是8。
例3.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
高中数学选择性必修一(人教版)《3.3.2第二课时 直线与抛物线的位置关系及应用》课件
(1)若 k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于 抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若 k2≠0，当 Δ>0 时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当 Δ＝0 时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当 Δ<0 时，直线与抛物线相离，无公共点．
[对点练清] 1．已知直线 y＝kx－k 及抛物线 y2＝2px(p>0)，则 ( )
(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线 AB： x＝my＋1(m≠0)，
联立yx2＝＝m4xy＋，1， 消去 x，得 y2－4my－4＝0. 于是，有 yM＝y1＋2 y2＝2m，xM＝m·yM＋1＝2m2＋1， 即 M(2m2＋1,2m)．同理，Nm22＋1，－m2 . 因此，直线 MN 的斜率 kMN＝2m2＋21m－＋mm222＋1＝m2m－1，
(2) 设 直 线 l 的 方 程 为 x ＝ my ＋ 1 ， 与 抛 物 线 方 程 联 立 得
x＝my＋1， y2＝4x，
消去 x，得 y2－4my－4＝0，
所以 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0.
|AB|＝ m2＋1|y1－y2|
＝ m2＋1· y1＋y22－4y1y2
解：(1)因为抛物 C：y2＝4x 的焦点 F(1,0)在 x 轴上，所以条件 ①适合，条件②不适合． 又因为抛物线 C：y2＝4x 的准线方程为 x＝－1，所以条件④ 不适合题意． 当选择条件③时，|MF|＝xM＋1＝1＋1＝2，此时适合题意， 故选择条件①③时，可得抛物线 C 的方程是 y2＝4x.
解：(1)由已知，得抛物线的焦点为 F(1，0)． 因为线段 AB 的中点在直线 y＝2 上， 所以直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0， y0)，由yy1222＝ ＝44xx12， ， 得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以 2y0k＝4. 又 y0＝2，所以 k＝1，故直线 l 的方程是 y＝x－1.
(2)若 k2≠0，当 Δ>0 时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当 Δ＝0 时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当 Δ<0 时，直线与抛物线相离，无公共点．
[对点练清] 1．已知直线 y＝kx－k 及抛物线 y2＝2px(p>0)，则 ( )
(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线 AB： x＝my＋1(m≠0)，
联立yx2＝＝m4xy＋，1， 消去 x，得 y2－4my－4＝0. 于是，有 yM＝y1＋2 y2＝2m，xM＝m·yM＋1＝2m2＋1， 即 M(2m2＋1,2m)．同理，Nm22＋1，－m2 . 因此，直线 MN 的斜率 kMN＝2m2＋21m－＋mm222＋1＝m2m－1，
(2) 设 直 线 l 的 方 程 为 x ＝ my ＋ 1 ， 与 抛 物 线 方 程 联 立 得
x＝my＋1， y2＝4x，
消去 x，得 y2－4my－4＝0，
所以 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0.
|AB|＝ m2＋1|y1－y2|
＝ m2＋1· y1＋y22－4y1y2
解：(1)因为抛物 C：y2＝4x 的焦点 F(1,0)在 x 轴上，所以条件 ①适合，条件②不适合． 又因为抛物线 C：y2＝4x 的准线方程为 x＝－1，所以条件④ 不适合题意． 当选择条件③时，|MF|＝xM＋1＝1＋1＝2，此时适合题意， 故选择条件①③时，可得抛物线 C 的方程是 y2＝4x.
解：(1)由已知，得抛物线的焦点为 F(1，0)． 因为线段 AB 的中点在直线 y＝2 上， 所以直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0， y0)，由yy1222＝ ＝44xx12， ， 得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以 2y0k＝4. 又 y0＝2，所以 k＝1，故直线 l 的方程是 y＝x－1.
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x2
代
（2）
（4）
解方程组
y x
y
x2
得
x 1
y
1
只有一个公共点
数 法
得
x y
0或 0
x 1
y
1
有两个公共点
方法的推广
如何判断“直线与椭圆”、“直线与双曲 线”的位置关系？
直观：几何法 严谨：代数法
探究
过点 p(0,且 2)与抛y物 2 线 4x只有一个公 的直线有几条？
你有什么发现？ 变式1：过（1,2）呢？ 你的结论可推广？
变式2：过（2,2）呢？
课堂总结
1、直线与抛物线的位置关系，注意一个公 共点的特殊情形.
2、数形结合，代数法与几何法
3、判断直线与抛物线的位置关系时使用的 “代数方法”，并且这种方法可以应用到“直 线与圆锥曲线的位置关系”的判断中.
思考题：
已知抛物线 y2 6x，过点 P(4,1)引一条弦
P1P2，使它恰好被点 P平分，求这条弦所
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
变式训练
已知抛物线的方程为 y2 4x ，动直线l 过定点 P(0,1) ，斜率为 k .当 k为何值 时，直线 l与抛物线 y2 4x：只有一个
公共点；有两个公共点；没有公共点？
代数法
当k 0或1时，有一个公共点；
当k 1且k 0时，有两个公共点；
当k 1时，没有公共点 .
随堂检测
判断下列直线与抛物线的公共点个数
（1）y 1 与 y x2 ;
（2） y 1 与 y 2 x ;
（3）y2x1与 y x2 ;
（4） yx 与 y x2 .
y
y
几
x何
x
（3）
解方程组
法
（1）
y 2 x 1
y
y1k(x2)
方法探究——代数法
联立方程得y 1 k(x 2) y2 4x
（*）
消元 方法 整理得 k2y4y4(2k1)0①
如何求方程①的解呢？
我们到底有没有必要求出方程的解呢？
公共点的个数
方程组解的个数
方程①的解的个数
解：由题意，设直线 l的方程为 y1k(x2)
由方程组
y 1 k(x 2) y2 4x ,
线 y2 4x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
•
直线与抛物线的位置关系
相离
相切
相交 相交
无公共点
一个公共点
两个公共点
注意：有一个公共点不一定是相切
对于“几何图形观察法”，其优点 在于可以根据图形的几何直观直接判 断，但由于手工作图会有一定的误差 ，这对于我们判断结果必定会产生影 响.
直线与抛物线的 位置关系
回顾
1.直线和椭圆的位置关系
y
F1 0
F2
相交:两个交点 相切:一个交点 相离:0个交点
x
2.双曲线与直线的位置关系
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
试一试 探究 已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过定 点 P(2,1) ,试画出这样的直线 l ,使直线 l 与抛物
,
（*）
可得 k2 y4y4(2k1)0. ①
（1）当 把
k y
0时，由方程①得 1代入y2 4x 得
y x
1. 1.
这时，直线l与抛物线只有一个公4 共点 ( 1 ,1 )
（2）当k 0时，方程①的判别式为
4
1(62k2k1)
（Ⅰ）由 0,即2k2k10,
解得 k 1,或k 1.
于是，当
综上，我们可得
当只有k 一个1,公或共k 点 12；,或k 0时，直线 l与抛物线
当
1
k
1 2
，且
k
0时，直线 l与抛物线有两个
Байду номын сангаас
公共点；
当 k1，或 k 1 时，直线 l与抛物线没有
公共点；
2
归纳
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行
k
1,或k
12 2时，方程①只有一个解，从而方
程组（*）只有一个解，这时，直线与抛物线只有一个
公共点. （Ⅱ）由
0,即
2k2k10,
解得 1 k 1 .
于是，当 1k12且k2 0时，方程①有两个解，从而方
程组（*）有两个解.这时，直线与抛物线有两个公共点.
（Ⅲ）由0, 即2k2k10,
解得 k 1,或k 1 方程组无解，此时直线与2 抛物线没有交点
在的直线方程.
作业：教材73页 A组6、8
还有没有其他方法解决“直线与抛 物线公共点个数”的问题呢?
新知探究
已知抛物线的方程为 y2 4x ，动直线l 过定点P(2,1)，斜率为 k .当 k为何值 时，直线 l与抛物线 y2 4x：只有一个
公共点；有两个公共点；没有公共点？
方法：代数法
由于直线l过定点 P(2,1)且斜率为k，
根据直线的点斜式方程得：