直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系 教案
2.4.2直线与抛物线的位置关系教学目标1、知识与技能 掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；2、过程与方法 联立方程组的解析法与坐标法3、情感态度价值观 让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神 教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法教学难点： 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用教学方法：多媒体教学、学案式教学教学过程一、课题引入师：之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系，请位同学说说如何判断直线与椭圆和双曲线的位置关系.提问的目的：1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系；2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”类似，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.）师：在学案给出的抛物线图中，画直线，观察直线与抛物线的位置关系，从交点个数入手，有几种情况？（培养学生动手和归纳总结的能力）在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时，除了从几何图形入手研究位置关系外，我们还可以用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系？（引出代数法）二、新课讲授例1：已知抛物线的方程为24y x =动直线l 过定点P(-2,1),斜率为k.。
当k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =。
（1）只有一个公共点。
（2）有两个公共点；（3）没有公共点例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k 的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k 的具体取值范围无法确定。
另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断∆及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想.那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x 或y ）得到关于y 或x 的方程，同时注意消元方法的选择（板书过程中，引导学生消元，消去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些，通过比较得出最好的一种消元方法）.消元后的方程0)12(442=++-k y ky ①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生，该方程一定是关于y 的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同.若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号.当判别式0>∆时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式0=∆时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0<∆时，方程没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点.该环节体现了转化的思想与分类讨论的思想.根据上述分析过程，教师在黑板上示范整个书写过程，同时让学生总结出“直线与抛物线的位置关系”及“相应的判断方法”：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等（根的判别式0=∆）,所利用的方法叫代数方法.教师在学生总结的基础上归纳出整个解题的基本步骤.课堂练习1 变式训练已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点)1,0(P ，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？在例题的基础上做相应的变式训练，强化解题的过程及解题要点，叫一名同学到板前解题，解题结束后做相应的点评.要点一：求直线的方程要点二：消元的基本方法（简单）要点三：对系数进行分类讨论要点四：解一元二次不等式，注意取“交集”2、（1）过点（3,1）与抛物线24y x = 只有一个公共点的直线有 ____条（2）过点（1,2）与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有 ____条（3）过点（0,2）与抛物线24y x = 只有一个公共点的直线 有____条（4）已知直线k kx y -=及抛物线22(0)y px p =>，则（ ）A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点3、思维拓展在抛物线24y x =上是否存在一点，使它到直线l :3y x =+的距离最短，并求此距离.课堂总结本节课我们学习了1、直线与抛物线的位置关系，以及用代数的方法来判断其位置关系要注意直线与抛物线位置关系的特殊性.2、数学思想：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想.作业：。
3.3.2第2课时 直线与抛物线的位置关系 导学案正文
第2课时直线与抛物线的位置关系【学习目标】1.由直线与抛物线的方程,利用代数方法解决与直线和抛物线位置关系有关的问题.2.能初步运用抛物线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题.◆知识点一直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,则有判别式位置关系交点情况Δ>0直线与抛物线Δ=0直线与抛物线Δ<0直线与抛物线(2)若k=0,则直线与抛物线有交点,此时直线与抛物线的对称轴.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.( )(2)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.( )◆知识点二弦长公式若直线(斜率为k且k≠0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|==.(1)若直线AB过抛物线的焦点F,则|AB|=,x1x2=,y1y2=.(2)若直线AB过抛物线的焦点F且垂直于x轴,则|AB|=.(3)若直线AB过抛物线的焦点F且直线的倾斜角为α,则|AB|=.◆探究点一直线与抛物线的位置关系例1已知抛物线C:y2=-2x,过点P(1,1)的直线l的斜率为k,当k取何值时,l与C有一个公共点,有两个公共点,无公共点?变式 已知点A (0,2)和抛物线C :y 2=6x ,求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程.[素养小结]当直线与抛物线有两个交点时,设直线方程的方法如下:若抛物线的方程为y 2=±2px (p>0),则设直线l 的方程为x=my+n ;若抛物线的方程为x 2=±2py (p>0),则设直线l 的方程为y=kx+m.◆ 探究点二 与抛物线有关的弦长、中点弦问题例2 已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线l 与C 交于A ,B 两点.(1)若l 的倾斜角为π6且l 过点F ,求|AB|;(2)若线段AB 的中点坐标为(3,-2),求l 的方程.变式 (1)设点P (x ,y )(y ≥0)为平面直角坐标系内的一个动点,O 为坐标原点,点P 到定点M (0,12)的距离比到x 轴的距离大12. ①求点P 的轨迹方程;②若直线l :y=kx+1与点P 的轨迹交于A ,B 两点,且|AB|=2√6,求实数k 的值.(2)已知抛物线y 2=2x ,过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A ,B 两点,试求弦AB 中点的轨迹方程.[素养小结]“中点弦”问题的两种解题策略(1)点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=y 1-y 2x 1-x 2求斜率,再由点斜式求解. (2)传统法:设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x (或y )得关于y (或x )的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,进而求解.◆探究点三抛物线的综合问题例3设点F(1,0),动圆P经过点F且和直线x=-1相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)已知点D(2,0),过F的直线交C于M,N两点,直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线为定值.MN,AB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2变式 [2024·辽宁六校高二期中] 已知P(4,y0)是抛物线C:y2=2px(p>0)上位于第一象限的一点,且P到C的焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程;(2)设A,B为C上异于P的两点,且直线PA与PB的斜率之积为-4,证明:直线AB过定点.[素养小结]与抛物线有关的综合问题,体现在最值、定点和定值方面,解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等,解决这些问题的关键是代换和转化.。
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案教学目标：知识与能力：掌握直线与抛物线的位置关系，弦长问题、中点弦问题、最值问题。
注意数与形的结合与转化。
过程与方法：运用联系的观点解决问题，提高学生的数学素质。
情感态度与价值观：培养学生观察、推理的思维能力，使学生树立创新意识。
教学重点：直线与抛物线的位置关系，弦长、中点弦问题。
教学难点：直线与抛物线的位置关系。
学情分析：学生已经学习了“直线与圆的位置关系”，但考虑到学习时间间隔比较长，文科班的学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节先让学生课前先自己观看微课视频，课上再重点学习并灵活应用。
学生学法：自主探究。
教学过程：一、直线与抛物线的位置关系种类1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）二、判断方法探讨（1）判断直线y = x +2与抛物线y2 =4x 的位置关系（2）判断直线y = x +1与抛物线y2 =4x 的位置关系（3）判断直线y = 6与抛物线y2 =4x 的位置关系（4）判断直线y = x -1与抛物线y2 =4x 的位置关系三、判断位置关系的方法总结学生总结教师补充1、把直线方程代入抛物线方程{得到一元一次方程→直线与抛物线相交（一个交点）得到一元二次方程→计算判别式{判别式大于0，相交（2个交点）判别式等于0，相切判别式小于0，相离2、判断直线是否与抛物线的对称轴平行{平行→直线与抛物线相交（一个交点）不平行→计算判别式{判别式大于0，相交（2个交点）判别式等于0，相切判别式小于0，相离四、典例分析例1 过抛物线y2=2x的焦点做倾斜角为450的弦AB,则AB的长度是多少?变式1 已知抛物线y2=2x 截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值.变式2 已知抛物线y2=2x 截直线y=kx+1所得弦长为4,求k的值.例2 求过定点P（0，1）且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线的方程.解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是x=0(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是y=kx+1由方程组{y=kx+1y2=2x 消去y 得K2x2+2(k-1)x+1=0当k=0时，x=12, y=1故直线y=1与抛物线只有一个交点当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则∆=4(k-1)2-4k2=0∴K=12此时直线方程为y=12x+1综上所述，所求直线方程为x=0或y=1或y=12x+1点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会造成漏解。
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 让学生掌握直线与抛物线的位置关系，能够判断直线与抛物线的位置；2. 学会利用数学知识解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，直观地展示直线与抛物线的交点情况。
情感态度价值观：1. 培养学生的团队协作精神，让学生在合作中学习，提高学习兴趣；2. 培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点：重点：1. 直线与抛物线的位置关系的判断；2. 利用数形结合方法分析直线与抛物线的位置关系。
难点：1. 对直线与抛物线位置关系的理解；2. 如何在实际问题中应用直线与抛物线的位置关系。
三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT；2. 相关例题及练习题；3. 数学软件或板书。
学生准备：1. 课本；2. 笔记本；3. 草稿纸。
四、教学过程：1. 导入新课：利用PPT展示直线与抛物线的图像，引导学生观察并思考它们之间的位置关系。
2. 知识讲解：讲解直线与抛物线的位置关系，包括相交、相切、平行等情况，并通过实例进行解释。
3. 例题解析：利用数学软件或板书，展示典型例题，引导学生分析解题思路，总结规律。
4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
5. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线位置关系的判断方法及应用。
五、课后作业：1. 完成课后练习题；2. 结合生活实际，寻找直线与抛物线的位置关系应用实例，下节课分享。
注意事项：1. 注重学生个体差异，因材施教；2. 鼓励学生提问，充分调动学生的积极性；3. 课堂练习环节，关注学生的解题过程，培养学生的思维能力。
六、教学拓展：1. 分析其他类型的曲线（如圆、双曲线等）与直线的position relationship；2. 探讨直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如物理中的运动轨迹问题，工程中的优化问题等；3. 利用数学软件，让学生自己尝试绘制不同位置关系的直线与抛物线，加深对知识的理解。
高中数学 专题2.4.3 直线与抛物线的位置关系教案 1数学教案
直线与抛物线的位置关系【教学目标】1．知识与技能目标：掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法2．过程与方法目标：（1）让学生学会联立方程组的解析法与坐标法（2）在推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3．情感态度与价值观目标：（1）让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神.（2）培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.【重点难点】1.教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法．2.教学难点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法的应用．【教学过程】☆情境引入☆上节课我们学习了抛物线的几何性质，熟练掌握抛物线的几何性质是解答抛物线基本问题的法宝，这节课我们继续运用抛物线的几何性质研究抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系.☆探索新知☆新知导学1．直线与抛物线公共点的个数可以有_______________． 将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线_______，若Δ>0，则直线与抛物线_______，若Δ<0，则直线与抛物线____________．特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有_____个公共点．2．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程______的问题． 答案：0个、1个或2个，相切，相交，没有公共点，一，根 考点一：直线与抛物线的位置关系已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．[解析] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0．(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C 只有一个公共点(－12，1)． (2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4．由Δ＝0得，k ＝1±32， ∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点． 当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点． 综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点； k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点； 1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点． [方法规律总结] 判断直线与抛物线的位置关系主要用代数法，要特别注意，平行于抛物线轴的直线与抛物线有且仅有一个公共点． 考点二：弦长问题顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15，则抛物线方程为________ __________________．[方法规律总结] 直线与抛物线相交弦长问题，一般将直线与抛物线方程联立，消元化为一元二次方程，用根与系数的关系求解．若斜率为k 的直线与抛物线两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|． 考点三：对称问题已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎪⎨⎪⎧ k ·y 1－y 2y 21－y 22＝－1，y 1＋y 22＝k f(y 21＋y 222－1＋1.)得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k ，y 1y 2＝k 22＋1k －12. ∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0． 故实数k 的取值范围是－2<k <0．针对训练：1.已知点A (0,2)和抛物线C ：y 2＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．[解析] 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知，直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝6x .得y 2＝0．因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)．如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2．这个方程与抛物线C 的方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y 2＝6x .由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0 ①当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2． 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k ．由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y ＋8＝0． 因此，直线l 的方程为x ＝0，或3x －4y ＋8＝0，或y ＝2．2.已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标(0,2)，则1y 1＋1y 2＝________． 3.已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，求A 、B 两点间的距离．[分析] 本题考查抛物线上的对称问题，可利用A 、B 两点在抛物线上，又在直线上，设出直线方程利用条件求解． ☆课堂小结☆ ☆课后作业☆练习5 A 组 6,7题 ☆课后作业☆练习 A 组 1-3题。
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
一．教学目标
1. 掌握抛物线的定义
2. 了解抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法
3. 掌握抛物线与直线位置关系，间接联系条件概率
二．教学准备
1. 白板，粉笔
2. 激励故事/简答题
3. 图片和例题
三．教学步骤
（一）引入
1. 播放激励性故事，引起学生对直线与抛物线的兴趣。
2. 设置简答问题，让学生思考直线与抛物线的关系，启发学生思维。
（二）快速拓展
1. 定义抛物线，并介绍抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法等。
2. 出示图片，解释抛物线与直线的位置关系：直线交抛物线两次，有两个不同的焦点；抛物线有唯一的轴对称性，其实现此轴为中轴线；两个焦点到中轴线的距离相等，为直线的焦点距。
（三）深度应用
1. 针对存在的问题，出示例题，通过研究解答，进一步深入探讨抛物线与直线位置关系的内容。
2. 邀请学生回答问题，让学生认识到解决问题的过程，加深对位置关系的理解。
（四）归纳总结
1. 回顾本节课学习内容，并总结抛物线与直线之间位置关系。
2. 介绍抛物线与条件概率的间接联系，强化对本节内容的理解加深认识。
四．教学反思
本节课学习内容比较复杂，时间较紧张，未能充分挖掘学生的潜力，希望能给学生更多的思考空间，让学生能更好的理解抛物线与条件概率的联系。
抛物线的简单几何性质2 教案
抛物线的简单几何性质教学目标1、掌握直线和抛物线的几种位置关系及判断方法2、掌握抛物线的弦，特别是焦点弦的有关问题的处理3、提高学生分析问题解决问题的能力教学重点直线与抛物线的位置关系教学难点教学过程教学内容1、 直线和抛物线的位置关系由方程组的解的情况判断，注意到平行于对称轴的直线与抛物线只有一个交点，但此时直线与抛物线相交。
2、典型例题例1、 已知直线L 过点A （123，-）且与抛物线x y 22=只有一个公共点，求直线L 的方程。
例2、 以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线，截直线12+=x y 所得的弦长为15，求抛物线的方程。
例3、 在抛物线24x y =上求一点P ，使得P 点到直线y=4x-5的距离最短，并求出最短距离。
例4、 已知抛物线)022>=p px y （的一条焦点弦被焦点分成长为m ，n 的两段，求证：pn m 211=+ 例5、 已知正方形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线y 2=x 上，C 、D 在直线y=x+4上，求正方形的边长。
1、若直线y=kx+1与抛物线y 2=x 仅有一个公共点，则k 的值为 ( ) A.41 B. 0或41C.0或-43D. 41或-43 2、在抛物线y=x 2上，到直线y=3x-1的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B （3，3）C （4323，）D （4121，）3、抛物线y 2=4x 关于直线x+y=0对称的抛物线方程是 （ ）A ．x 2=4yB ．y 2=-4xC ．y=4x 2D ．x 2=-4y4、动点M 以每秒2长度单位的速度沿直线l ：y=x-2移动，则M 穿过抛物线y 2=4x 的内部需要的时间是 （ ）5、抛物线y 2=2x 中被点A （1，1）平分的弦所在的直线的方程是6、已知抛物线y 2=4x 的一条过焦点的弦，被焦点分为长度是m ，n 的两部分，则nm 11 =例6、 7、若直线l ：y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，且AB 的中点为M （2，y 0），求y 0和弦AB 的长。
高二数学学案直线与抛物线的位置关系及其应用
3.3.2直线与抛物线的位置关系及其应用课前案【问题引领】回顾直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，我们如何研究直线与抛物线的位置关系呢？课中案一、【目标导航】（1）理解焦点弦的各种性质（2）会解决直线与抛物线的各种题型二、路径导航例1、已知AB 是抛物线()220y p xp =>的焦点弦，F 为抛物线的焦点， ()1122(x ,y ),A B x y ,求证：（1）2212124py y p x x =-= (2)1222sin pAB x x p θ=++=(θ为直线AB 与x 轴的夹角)（3）22sin AOB p S θ∆= （4）112AF BF p += （5）以弦AB 为直径的圆与准线相切课后案 A 组1. 等腰直角三角形AOB 内接于抛物线)0(22>=p px y ，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则AOB∆的面积是（ ）A. 28p B. 24p C. 22p D. 2p2、已知AB 是抛物线y 2＝2px 的任意一条焦点弦，以AB 为直径的圆与准线（ ）。
A 、相离B 、相切C 、相交D 、以上都不正确3. 过抛物线2ax y =（0>a ）的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q p 11+的值为（ ）A. a 2B. a 21C. a 4D. a 44.过抛物线24y x =的焦点F 做斜率为3的直线，交抛物线于A 、B 两点，若(1)AF FB λλ=> ,则λ=（ ）A.3B.4C.5D.65.已知直线(x 2)(k 0)y k =+> 与抛物线C ：28y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则实数k 的值为（ ）A.13B.23C.23D.2236.过抛物线22(0)y p x p =>的焦点F 作倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A,B 两点，若线段AB 的长为8，则p = _ __7.过抛物线22y x=的焦点F 作直线交抛物线于,A B两点，若25,,12AB AF BF =<则A F = .8.已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是________． 9．如图，直线y ＝x －2与抛物线y 2＝2x 相交于不同的两点A ，B ，求证OA ⊥OB10.过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程11如图，吊车梁的鱼腹部分AOB 是抛物线的一段，宽为7m ，高为0.7m 。
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解直线与抛物线的概念及其性质；2. 掌握直线与抛物线的交点求法；3. 能够判断直线与抛物线的位置关系。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，求解直线与抛物线的交点；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
情感态度价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心；2. 培养学生的团队合作精神；3. 让学生感受数学在生活中的应用。
二、教学重难点：重点：直线与抛物线的概念及其性质，直线与抛物线的交点求法。
难点：判断直线与抛物线的位置关系，解决实际问题。
三、教学准备：教师准备：教学课件、例题、练习题、黑板。
学生准备：笔记本、笔、数学书。
四、教学过程：1. 导入：引导学生回顾直线和抛物线的基本概念和性质。
2. 新课讲解：讲解直线与抛物线的交点求法，举例说明。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用直线与抛物线的位置关系解决问题。
4. 课堂练习：学生独立完成练习题，教师解答疑问。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用。
五、课后作业：1. 完成练习题：要求学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 研究性问题：鼓励学生探索直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如：优化路线、最大/最小值问题等。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和思路，培养团队合作精神。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生课后练习的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括思考问题的深度、团队合作能力等。
七、教学反思：教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，分析学生的反馈，调整教学方法和策略，以提高教学效果。
关注学生的学习进度和需求，针对性地进行辅导。
直线与抛物线的位置关系(附学生使用讲义)
直线与抛物线的位置关系一、 知识点1）直线与抛物线的位置关系的判断2）中点问题3）弦长问题4）韦达定理应用二、 教学过程1、 直线与抛物线位置关系例1 已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？解：设直线方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x -=+⎧⎨=⎩可得 244(21)0ky y k -++=当0k =，一个公共点，当0k ≠，0∆=即11,,2k or k =-=时一个公共点， 当0k ≠，0∆>即11,02k k -<<≠时两个公共点 当0k ≠，0∆<即1-1,2k k <>时无公共点 说明：1）联立方程后，消元时，可以选择将抛物线方程代入直线方程2）判断位置关系用∆方法，当需注意二次项的系数的讨论，其中二次项系数为零对应的直线与抛物线的对称轴平行3）直线与抛物线的位置关系仍分相交、相切、相离三种情形，但当相交时有可能为一个或两个公共点，也即一个公共点不一定相切配套练习：求过点(1,2)P 且与抛物线24y x =只有一个交点的直线方程参考答案：2,,10y or x y =+-=2、中点问题例2 已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 为,A B 的中点，求证：1202AB p p k y y y ==+ 配套练习：过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，求弦AB 所在直线的方程．参考答案：4x －y －15＝0.3、弦长公式例3 已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．解：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y ，得2x 2－ax ＋a ＝0. ∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8.∴|AB |＝＝145（a 2－8a ）a ＝－4或a ＝12， ∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .4、韦达定理应用例4 若点 P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线y 2=2px （p ＞0）上的不同的三个点，直线AP ，BP 的斜率分别是k 1，k 2，若k 1+k 2=0，求直线AB 的斜率k ．分析1：设直线AP ：12(1)y k x -=-，联立抛物线方程24y x =可知，1142y k =-，同理2142y k =--，则1221p k y y ==-+ 分析2：设AB ：y kx m =+，联立抛物线方程24y x =可知，2440ky y m --= 又121244022k k y y +=+=++，则1244y y k +=-=，所以1k =- 配套练习：已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的动弦，且90AOB ∠=，求证直线AB 过定点参考：过定点(2,0)p直线与抛物线的位置关系讲义一、知识点1）直线与抛物线的位置关系的判断2）中点问题3）弦长公式4） 韦达定理应用二、教学过程2、 直线与抛物线位置关系例1 已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点；两个公共点；没有公共点？练习：求过点(1,2)P 且与抛物线24y x =只有一个交点的直线方程2、中点问题例2 已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y 为,A B 的中点，求证：1202AB p p k y y y ==+练习：过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，求弦AB 所在直线的方程．3、弦长公式例3 已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．4、韦达定理应用例4 若点 P （1，2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线y 2=2px （p ＞0）上的不同的三个点，直线AP ，BP 的斜率分别是k 1，k 2，若k 1+k 2=0，求直线AB 的斜率k ．练习：已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的动弦，且90AOB ∠=，求证：直线AB 过定点。
直线与抛物线的位置关系教案
直线与抛物线的位置关系教案第一章：直线与抛物线的定义及性质一、教学目标：1. 了解直线的定义及其性质。
2. 了解抛物线的定义及其性质。
3. 掌握直线和抛物线的图形特点。
二、教学内容：1. 直线的定义及性质。
2. 抛物线的定义及性质。
3. 直线和抛物线的图形特点。
三、教学步骤：1. 引入直线的定义及性质，引导学生理解直线的特点。
2. 引入抛物线的定义及性质，引导学生理解抛物线的特点。
四、教学评价：1. 学生能准确描述直线的定义及其性质。
2. 学生能准确描述抛物线的定义及其性质。
3. 学生能识别直线和抛物线的图形特点。
第二章：直线与抛物线的交点一、教学目标：1. 了解直线与抛物线的位置关系。
2. 学会求直线与抛物线的交点。
3. 掌握交点的性质和应用。
二、教学内容：1. 直线与抛物线的位置关系。
2. 求直线与抛物线的交点的方法。
3. 交点的性质和应用。
三、教学步骤：1. 引入直线与抛物线的位置关系，引导学生理解它们之间的关系。
2. 讲解求直线与抛物线交点的方法，并通过例题进行演示。
3. 让学生分组讨论并练习求直线与抛物线的交点。
四、教学评价：1. 学生能理解直线与抛物线的位置关系。
2. 学生能运用求交点的方法解决实际问题。
3. 学生能分析交点的性质和应用。
第三章：直线与抛物线的切点一、教学目标：1. 了解直线与抛物线的切点概念。
2. 学会求直线与抛物线的切点。
3. 掌握切点的性质和应用。
二、教学内容：1. 直线与抛物线的切点概念。
2. 求直线与抛物线的切点的方法。
3. 切点的性质和应用。
三、教学步骤：1. 引入直线与抛物线的切点概念，引导学生理解切点的含义。
2. 讲解求直线与抛物线切点的方法，并通过例题进行演示。
3. 让学生分组讨论并练习求直线与抛物线的切点。
四、教学评价：1. 学生能理解直线与抛物线的切点概念。
2. 学生能运用求切点的方法解决实际问题。
3. 学生能分析切点的性质和应用。
第四章：直线与抛物线的交点个数一、教学目标：1. 了解直线与抛物线交点个数与参数的关系。
直线与抛物线的位置关系教案
课题：直线与抛物线的位置关系教学目地培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。
教学重点运用解析几何的基本方法建立数形联系。
媒体运用电脑powerpoint 课件，几何画板动态演示，实物投影教学课型新授课教学过程（一）复习引入通过问题复习方程和曲线的关系。
1、怎样判断直线L 与抛物线C 的位置关系？为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L ：1(1)2y x =+，抛物线C ：24y x =，怎样判断它们是否有公共点？若有公共点，怎样求公共点？估计学生都能回答：由方程组21(1)24y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的解判断L 与C 的关系，紧接着提出问题： 2、问为什么说方程组21(1)24y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩有解，L 与C 就有公共点，为什么该方程组的解对应的点就是L 与C 的交点？通过这一问题，复习一下的对应关系：直线L 上的点⇔方程1(1)2y x =+的解；抛物线C 上的点⇔方程24y x =的解；L 与C 的公共点⇔方程组21(1)24y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的解。
既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决；同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共点来解决。
这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。
（二）分析讨论例题讨论直线L ：(1)y m x =+与抛物线C ：24y x =公共点的个数。
请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2(1)4y m x y x=+⎧⎨=⎩的解，然后让学生尝试自己解决。
提出下列几个问题：1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论？如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L 有什么特点？m 表示什么？抛物线C 有什么特点？在解决这些问题的同时画出图形。
2、m 为何值时，L 与C 相切？3、当m 很接近于零但不等于零时（在提问同时用图形表示），L 与C 是否仅有一个公共点？后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。
直线与抛物线的位置关系教案
2.4.2直线与抛物线的位置关系一、教材分析及教学对象分析从教材角度分析，本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1. “直线与圆锥曲线的位置关系” 一直是教学的一个重点内容，并且该内容涉及到了很多重要的数学思想，“转化思想”、“分类讨论思想”、“数形结合思想”，这些数学思想在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时起着至关重要的作用•鉴于教材并未专门设立“直线与圆锥曲线的位置关系”这一内容，因此本节课通过研究“直线与抛物线的位置关系”，探讨出相应的解决方法，并把相应的研究方法运用到讨论“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”中，从而提高教材知识的系统性和全面性.从学生的角度分析，学生在之前已学习了“直线与圆的位置关系”，对判断“直线与圆的位置关系”已掌握了基本的方法，但是考虑到学习间断的时间较长，平行班的部分学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节课采用类比的方法研究“直线与抛物线的位置关系”，在知识的衔接上起到了“承上启下”的作用二、教学目标1知识与技能掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；2、过程与方法联立方程组的解析法与坐标法3、情感态度价值观让学生体验研究解析几何的基本思想，感受数学发展史的源远流长三、教学重点直线与抛物线的位置关系及其判断方法四、教学难点直线与抛物线的位置关系的判断方法五、教学方法多媒体教学、学案式教学教学过程一、课题引入师：之前我们学习了直线与圆的位置关系，根据直线与圆公共点个数进行分类则分别为没有公共点、一个公共点、两个公共点，对应的位置关系我们分别叫做相离、相切、相交•类比直线与圆的位置关系，你能说出直线与抛物线的位置关系吗？提问的目的：1、类比直线与圆的位置关系得出直线抛物线的三种位置关系；2、“直线与圆只有一个交点叫做相切”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.）二、新课推进2.我们先来判断下列直线与抛物线的位置关系，体会我们所使用的方法（1）y 一-1 与y = x2；（2）x=0 与y2= x；（3）y =1与y2 = x ；（4）y = x 与y = x .提问的目的：由于给定的直线方程与抛物线方程都比较简单，有一部分同学会利用“几何图形判断法”，一部分同学会利用“代数方法”（在这里体现为“解方程组”），通过这两种方法都可以判断出直线与抛物线的位置关系.有了这样一个简单的题组训练，我们来看下面这样一个问题即例6.本环节的疑问：可否通过以上几个例子总结直线与抛物线的三种位置关系：相离（无交点）；相切（只有一个交点且直线不平行于抛物线的对称轴）；相交（两个交点或直线平行于抛物线的对称轴），同时强调位置关系中“抛物线”与“圆”的区别三、新课讲授2例6已知抛物线的方程为y2 =4x，直线l过定点P（-2,1），斜率为k. k为何值时，直线l2与抛物线y2=4x :只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？例题设计思路及目的：在本例中，学生会沿用上述四个例子的方法即几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k的具体取值范围无法确定（几何画板演示）；若利用解方程组的方法，也行不通.这必然会导致学生在认知上的冲突，面对这样一个新的问题，我们该如何去解决呢？此处引导学生分析：判断公共点个数的问题我们还有必要去解出方程组吗？那么直线与抛物线的公共点个数情况与对应的方程组有什么关系呢？（根据曲线与方程的关系，点既在直线上又在抛物线上，那么点的坐标就是方程组的解；直线与抛物线有几个公共点，对应的直线方程与抛物线方程组成的方程组就有几个解），这样我们就把公共点个数的问题转化为方程组解的个数的问题，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想•那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x或y ）得到关于y或x的方程，同时注意消元方法的选择（利用预设幻灯片展示各种可能的消元方法，通过比较得出最好的一种消元方法）•消元后的方程ky2 -4y • 4（2k 1） = 0①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数提问学生，该方程一定是关于y的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同•若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点•若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号•当判别式厶• 0时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式抡-0 时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当•> ：：：0时，方程没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点•该环节体现了转化的思想与分类讨论的思想•根据上述分析过程，教师在黑板上示范整个书写过程，并且利用几何画板从图形上解释k的各种取值情况所对应的直线与抛物线的位置关系，同时让学生总结出“直线与抛物线的位置关系”及“相应的判断方法”：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切•后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等（根的判别式人-0）,所利用的方法叫代数方法•教师在学生总结的基础上归纳出整个解题的基本步骤• 课堂练习1变式训练在例题的基础上做相应的变式训练，强化解题的过程及解题要点，叫两个同学共同解题，解题结束后做相应的点评• 要点一：求直线的方程要点二：消元的基本方法（简单）要点三：对系数进行分类讨论要点四：解一元二次不等式，注意取“交集”已知抛物线的方程为y2=4x，直线丨过定点p（0,i），斜率为k • k为何值时，直线丨与抛物2线y2 =4x :只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？2思考题：关于弦长和中点弦的问题课堂总结本节课我们学习了1直线与抛物线的位置关系，以及用代数的方法来判断其位置关系要注意直线与抛物线位置关系的特殊性•2、数学思想：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想3、对于“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”，我们也可以利用代数方法来研究•（PPT 展示）4、关于利用代数方法来解决问题早在17世纪就由法国数学家笛卡尔提出，他的人生格言是我思故我在，并提出：任何问题都可以转化为数学问题，而所有的数学问题都可以转化为代数问题•。
直线与抛物线的位置关系说课稿
直线与抛物线的位置关系说课稿标题：直线与抛物线的位置关系一、教学目标1.理解直线与抛物线的基本概念和性质。
2.掌握判断直线与抛物线位置关系的方法。
3.能够运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。
二、教学内容1.直线与抛物线的定义和性质。
2.判断直线与抛物线位置关系的方法。
3.实际应用案例。
三、教学方法1.讲解法：通过讲解直线与抛物线的定义和性质，让学生对基础知识有清晰的认识。
2.讨论法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，提高学生的思维能力和解题技巧。
3.案例分析法：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用。
四、教学过程1.导入新课：通过展示一些与直线和抛物线相关的图片或问题，引导学生思考直线与抛物线的位置关系。
2.讲解基础知识：介绍直线与抛物线的定义和性质，包括直线的方程、抛物线的方程、直线与抛物线的交点等。
3.讨论判断方法：组织学生进行小组讨论，探讨判断直线与抛物线位置关系的方法，包括利用直线和抛物线的方程求解交点、利用图像观察等方法。
4.案例分析：通过实际应用案例的分析，让学生了解直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用，包括求最值、解方程等问题。
5.课堂练习：布置一些与直线与抛物线位置关系相关的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
6.总结归纳：对本节课所学内容进行总结归纳，强调重点和难点，帮助学生加深对知识的理解和记忆。
五、教学评价1.对学生的课堂表现进行评价，包括参与度、思维活跃度等方面。
2.对学生的作业完成情况进行检查，了解学生对知识的掌握情况。
3.通过考试或测验的方式，对学生的学习成果进行评估。
直线与抛物线的位置关系 详案
2.4.2直线与抛物线的位置关系一、教材分析及教学对象分析从教材角度分析，本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1.“直线与圆锥曲线的位置关系”一直是教学的一个重点内容，并且该内容涉及到了很多重要的数学思想，“转化思想”、“分类讨论思想”、“数形结合思想”，这些数学思想在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时起着至关重要的作用.鉴于教材并未专门设立“直线与圆锥曲线的位置关系”这一内容，因此本节课通过研究“直线与抛物线的位置关系”，探讨出相应的解决方法，并把相应的研究方法运用到讨论“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”中，从而提高教材知识的系统性和全面性.从学生的角度分析，学生在之前已学习了“直线与圆的位置关系”，对判断“直线与圆的位置关系”已掌握了基本的方法，但是考虑到学习间断的时间较长，平行班的部分学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节课利用代数方法研究“直线与抛物线的位置关系”，在知识的衔接上起到了“承上启下”的作用.二、教学目标1、知识与技能：掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；2、过程与方法：联立方程组的解析法与坐标法；3、情感态度价值观：让学生体验研究解析几何的基本思想，感受数学发展史的源远流长.三、教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法.四、教学难点：直线与抛物线的位置关系的判断方法.五、教学方法：多媒体教学、学案式教学.教学过程一、课题引入师：之前我们学习了直线与圆的位置关系，根据直线与圆公共点个数进行分类分别为：没有公共点、一个公共点、两个公共点，对应的位置关系我们分别叫做：相离、相切、相交.类比直线与圆的位置关系，你能说出直线与抛物线的位置关系吗？注：利用PPT 演示几种位置关系二、新课讲解生：观察图像，得出结论.师：结合PPT ，此时直线与抛物线没有公共点，称直线与抛物线相离；此时有两个公共点，称直线与抛物线相交；当直线与抛物线有一个公共点时，是否一定是相切呢？演示相切的情形，这时是相切，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，对于这种位置关系我们也叫做直线与抛物线相交.因此我们要特别注意：若直线与抛物线有一个公共点，此时位置关系有两种可能，即直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行.下面简单地总结一下.（板书：直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交）师：现在我们清楚了直线与抛物线的位置关系，那么利用什么方法判断直线与抛物线的位置关系呢？请大家做一下这个题目，第一组做（1）（2），第二组做（3）（4）判断下列直线与抛物线的公共点个数.（1）1-=y 与2x y =；（2）1=y 与x y =2；（3）12-=x y 与2x y =；（4）x y =与2x y =.注：课前先分好组，第一组做（1）（2），第二组做（3）（4）.在学生做题的过程中，教师到学生中观察，找到自己想要的两种方法.鉴于学生的基础，可能会出现的判断方法有图像观察法，解方程组的方法，个别基础好的同学会用判别式法.师：甲同学，说说你的判断结果，并和大家分享一下你所使用的方法.学生甲：作出图像，通过观察图像直接判断公共点的个数，（1）直线与抛物线没有公共点，（2）直线与抛物线只有一个公共点.师：几何法，一种很直观的方法，很不错.展示图像师：乙同学，我发现你用的方法和甲的不一样，说一下你的判断结果和判断方法.学生乙：解方程组，求出交点坐标，（3）公共点坐标为)1,1(，（4）公共点坐标为)1,1(),0,0( 师：非常好,利用解方程组的方法进行判断.展示方法师：对于判断直线与抛物线的位置关系，几何法与代数法都可以使用.但由于手工作图会有一定的误差，这对于我们判断结果是不利的.因此本节课我们重点来学习利用代数法判断直线与抛物线的公共点个数.大家一起来看这样一个例题.三、例题解析例6 已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点)1,2(-P ，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？师：仿照上述的解方程组的方法，我们来分析一下这道题目.抛物线方程已知，直线方程未知，自然我们要先把直线l 的方程表示出来.提问学生，那这条直线的方程应该怎么表示呢？ 生：由于直线l 经过点)1,2(-P ，且斜率为k ，由直线的点斜式方程可得l ：)2(1+=-x k y 师：非常好！把直线方程与抛物线方程联立，接下来我们要做的事情就是消元，那我们应该怎么消元呢？生丙：由直线方程)2(1+=-x k y 得1)2(++=x k y ，代入抛物线方程x y 42=，得x x k 42]1)2([=++，整理......师：这是一种非常实用的方法，但是计算的过程略显麻烦.还有其它的方法吗？生丁：由直线方程)2(1+=-x k y 得21--=ky x ，代入抛物线方程x y 42=，得)21(42--=ky y ，整理得0)12(442=++-k y ky 师：这种消元方法有一点瑕疵，哪位同学发现了？生：此时意识到0≠k ，才可以这么做.师：为了避免上述问题，我们可以怎么消元呢？生：也可以由抛物线方程x y 42=得42y x =，代入直线方程)242(1+=-y k y ，整理得0)12(442=++-k y ky ①师：这位同学可谓是一语中的啊.在消元这个环节，大家要特别消元方法的选择.原则上，这几位同学的消元方法都可以，但我们还是以简单为主.并且我们是整理成02=++c by ay的形式.师：那么这个方程0)12(442=++-k y ky 如何求解呢？生：思考，由于含有参数k ，确实不容易求解.师：那我们有没有必要求出具体的解呢？题目要求我们判断公共点的个数，那么公共点个数的问题与对应的方程组有什么关系呢？生：凭感觉能够说出公共点个数就是方程组的解的个数.师：对学生的感觉在理论上给予肯定，借助几何画板简单分析.根据曲线与方程的关系，点既在直线上又在抛物线上，那么点的坐标就是方程组的解.直线与抛物线有几个公共点，对应的直线方程与抛物线方程组成的方程组就有几个解，这样我们就把公共点个数的问题转化为方程组解的个数的问题.而方程组的解的个数又和消元后的方程解的个数相同，因此我们只需判断方程0)12(442=++-k y ky 的解的个数.师：方程0)12(442=++-k y ky 有几个解呢？它的解的个数什么条件有关呢？ 生：和方程的判别式有关.师：我们知道判别式是针对一元二次方程而言的，这个方程一定是关于y 的二次方程吗？ 生：意识到问题所在，该方程不一定是二次方程，方程类型与二次项系数k 有关. 师：这个时候我们要怎么办呢？生：要对系数k 分类讨论，当0=k 时，方程①变成了关于y 的一次方程，此时①只有一个解；当0≠k 时，方程①是关于y 的二次方程，此时我们再讨论判别式∆.师：补充当0>∆时，方程①有两个解，对应的方程组有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当0=∆时，方程①有一个解，对应的方程组有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0<∆时，方程①有没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点.有了上述分析过程，我们来看一下具体的书写格式.PPT 展示过程师：边展示过程，边板书重要的步骤.下面我们来做一个变式训练，请两位同学到前面共同完成，其他同学在学案上完成，注意书写的步骤.四、变式训练已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点)1,0(P ，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？生：仿照例题的步骤，完成变式训练.师：叫同学进行点评，教师再做点评，并把这种方法推广到判断直线与圆锥曲线的位置关系中，进行方法的升华.师：这里给大家留一个思考题.PPT 展示五、课堂总结1、直线与抛物线的位置关系，并注意直线与抛物线有一个公共点时不一定是相切.2、利用代数法判断直线与抛物线的位置关系.3、对于“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”，我们也可以利用代数方法来研究.4、关于利用代数方法来解决问题早在17世纪就由法国数学家笛卡尔提出，他提出了一种大胆地计划，即：任何问题 数学问题 代数问题 方程求解.。
直线和抛物线的位置关系学案
高二数学选修2--1学案 姓名 班级直线和抛物线的位置关系2.4.3【学习目标】1.掌握抛物线定义及其标准方程和抛物线的几何性质.，2.掌握直线和抛物线的位置关系的判断方法.3.熟练掌握直线和抛物线的位置关系的应用【预习达标】1.直线与抛物线的位置关系：（1）位置关系的判定：联立直线:l y kx m =+和抛物线22(0)y px p =>消y 整理得：2222()0k x km p x m +-+=当0a ≠时0∆>⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点0∆=⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点0∆<⇔直线与抛物线相离，没有公共交点当0a =时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切（2）若直线与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长AB =AB =，特别注意解题是结合韦达定理来处理问题 2.焦点弦问题： 设过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点(,0)2p F 的直线与抛物线交于),(),,(1111y x B y x A ， 直线与的斜率分别为21,k k ，直线的倾斜角为，则有 ①221p y y -=；②4221p x x =；③421-=k k ；④α221sin 2p p x x AB =++=， ⑤αcos 1-=p FA ，αcos 1+=p FB ；⑥112AF BF p+=， ⑦过,A B 两点做准线的垂线，垂足分别为,M N ,则090MFN ∠=, ⑧通径P AB 2=；⑨以弦AB 长为直径的圆总与准线相切【例题讲解】题型一：直线和抛物线位置关系例1.设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，求直线l 的斜率的取值范围 （ []1,1- ）例2.已知直线l ：1y kx =+和抛物线28y x =（1）若直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围（2）若直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的取值范围（3）若直线l 与抛物线没有公共点，求k 的取值范围变式练习：1.已知直线y kx k =-及抛物线22(0)y px p =>，请判断直线和抛物线的位置关系2.已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值. （40,1,5a =--） 3. 求过定点)1,0(P 且与抛物线x y 22=只有一个公共点的直线的方程。
直线与抛物线的位置关系学案
直线与抛物线的位置关系学案学习目标：1、通过问题探究、动画演示，理解并掌握抛物线过焦点的弦的相关问题，如焦点弦长的计算、焦点弦与准线的关系、与焦点弦相关的定点、定值问题。
2、理解直线与抛物线的位置关系，并思考该问题的研究与前面椭圆、双曲线问题研究的异同。
掌握研究直线与圆锥曲线问题的研究方法：坐标法、数形结合法等。
学法指导：在理解抛物线定义的基础上，理解并掌握抛物线中过焦点的弦长公式；类比直线与椭圆、双曲线问题的研究方法，能通过直线方程与抛物线方程来研究直线与抛物线位置关系问题。
在学习过程中注意结合直线与抛物线的图形解决问题，体会数形结合法的益处。
并思考直线与抛物线问题的研究和椭圆、双曲线中的研究有何联系与区别。
学习内容：问题一：抛物线的过焦点的弦问题研究例1、过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于),(),(2211y x B y x A 、两点。
（1）求弦长|AB|； （2）若直线l 的倾斜角为α，求证：α2sin 2||p AB =； （3）求证：||1||1BF AF +为定值，并求出这个定值；（4）求弦AB 的中点M 到准线的距离；（5）求证：以AB 为直径的圆与准线相切；（6）若A 、B 在准线上的射影分别为E 、D ，判断以DE 为直径的圆与直线l 的位置关系，以及该圆与焦点F 的位置关系；（7）B 在准线上的射影分别为D ，求证：A 、O 、D 三点共线；（8）命题（7）的逆命题是否成立？xyx y思考：请继续探索焦点在其他位置时，这些结论会有些什么变化？二、直线与抛物线位置关系研究例2 已知抛物线x y 42=，直线l 过点P(-2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=：（1）只有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点。
思考：1、请结合图形理解上述各种位置关系，反思与椭圆、双曲线的异同；2、进一步思考方程组的解与公共点之间的关系。
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2.4.2直线与抛物线的位置关系
教学目标
1、知识与技能 掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；
2、过程与方法 联立方程组的解析法与坐标法
3、情感态度价值观 让学生体验研究解析几何的基本思想，培养学生主动探索的精神 教学重点：直线与抛物线的位置关系及其判断方法
教学难点： 直线与抛物线的位置关系的判断方法的应用
教学方法：多媒体教学、学案式教学
教学过程
一、课题引入
师：之前我们学习了直线与椭圆和双曲线的位置关系，请位同学说说如何判断直线与椭圆和双曲线的位置关系.
提问的目的：
1、类比直线与椭圆及双曲线的位置关系得出直线与抛物线的三种位置关系；
2、“直线与双曲线有一个交点不一定是切点”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”类似，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.）
师：在学案给出的抛物线图中，画直线，观察直线与抛物线的位置关系，从交点个数入手，有几种情况？（培养学生动手和归纳总结的能力）
在研究直线与椭圆和双曲线位置关系时，除了从几何图形入手研究位置关系外，我们还可以用什么方法来研究直线与圆锥曲线的位置关系？（引出代数法）
二、新课讲授
例1：已知抛物线的方程为2
4y x =动直线l 过定点P(-2,1),斜率为k.。
当k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =。
（1）只有一个公共点。
（2）有两个公共点；（3）没有公共点
例题设计思路及目的：在本例中，学生会用几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k 的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k 的具体取值范围无法确定。
另一方面在学完直线与椭圆及双曲线位置关系后，几何法行不通学生自然会想到利用方程联立得到新的一元二次方程，通过判断∆及判断交点的个数，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想.
那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x 或y ）得到关于y 或x 的方程，同时注意消元方法的选择（板书过程中，引导学生消元，消去哪一个未知数在下一步计算当中更方便一些，通过比较得出最好的一种消元方法）.消元后的方程0)12(442=++-k y ky ①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数.提问学生，该方程一定是关于y 的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同.若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点.若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号.当判别式0>∆时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式0=∆时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当0<∆时，方程没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点.该环节体现了转化的思想与分类讨论的思想.
根据上述分析过程，教师在黑板上示范整个书写过程，同时让学生总结出“直线与抛物线的
位置关系”及“相应的判断方法”：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切.后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等（根的判别式0=∆）,所利用的方法叫代数方法.教师在学生总结的基础上归纳出整个解题的基本步骤.
课堂练习
1 变式训练
已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点)1,0(P ，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
在例题的基础上做相应的变式训练，强化解题的过程及解题要点，叫一名同学到板前解题，解题结束后做相应的点评.
要点一：求直线的方程
要点二：消元的基本方法（简单）
要点三：对系数进行分类讨论
要点四：解一元二次不等式，注意取“交集”
2、（1）过点（3,1）与抛物线24y x = 只有一个公共点的直线有 ____条
（2）过点（1,2）与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有 ____条
（3）过点（0,2）与抛物线24y x = 只有一个公共点的直线 有____条
（4）已知直线k kx y -=及抛物线22(0)y px p =>，则（ ）
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
3、思维拓展
在抛物线24y x =上是否存在一点，使它到直线l :3y x =+的距离最短，并求此距离.
课堂总结
本节课我们学习了
1、直线与抛物线的位置关系，以及用代数的方法来判断其位置关系要注意直线与抛物线位置关系的特殊性.
2、数学思想：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想.
作业：。