数值实验(word2003版)教材

实验2.3 迭代的加速方法

实验目的：

对线性方法（或不收敛的方法）进行加速，考察Steffensen 迭代法、Aitken 迭代法的加速效果。

实验内容：

求解方程

,适当选取初值，采用如下迭代格式：

（1） 8.03

1-=+k k x x .

（2） .

（3） 由格式（2）得到的Steffensen 迭代法。 （4） 牛顿迭代法。

实验要求：

（1） 对4种迭代格式编程计算，并比较计算的结果（包括收敛速度）。 （2） 对前两种迭代格式产生的迭代数列，分别用Aitken 迭代法进行

加速，并与原来的结果进行比较。

算法：

（一） 功能：用迭代公式

求方程

的根;

形参：迭代函数g ，初值，精度e; 条件：对初值迭代收敛.

结果：返回方程的根，相邻两次近似值相差不超过e. 说明：①函数abs表示，即

②若迭代对某范围内任一初值都收敛，则可取消形参，而由程序选取。若对初值迭代格式未必收敛，则有下面算法。

迭代结果：

x=fun1(inline('sqrt(x.^2-0.8)'),0.5,1e-5)

Warning: 已达迭代次数上限

In fun1 at 15

k=500

x = 0 +19.9937i

（二）功能：用迭代公式求方程的根;

形参：迭代函数g，初值，精度e，最大迭代次数m;

说明：①用逻辑变量L表示迭代成功或失败，若迭代成功，则x为根的近似值，否则x没有意义。

②迭代的最大次数可为形参，也可由算法选定。

③迭代失败并不说明迭代发散，只表示迭代制定次数未达到精

度要求。

④若迭代格式收敛较慢，精度要求高，则因适当取较大的m。

迭代结果：

x=fun1(inline('(x.^2-0.8).^(1/3.0)'),0.5,1e-5)

k=22

x =0.8442 + 0.6705i

（三）S teffensen迭代

功能：用Steffensen迭代法求方程的根;

条件：迭代每一步，公式中的分母非零，迭代收敛；

形参：迭代函数g，初值，精度e；

结果：返回方程的根，相邻两次近似值相差不超过e. 说明：①x^2表示;

②迭代初值可由程序确定或由形参传入；

③若迭代可能发散，则可对此算法做适当修改。

迭代结果：

(2)x=XCSteffensen(inline('(x.^2-0.8).^(1/3.0)'),0.

5,1e-5,500)

k=3

Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored.

> In XCaitken at 22

x = 0.8442 + 0.6705i

(四)Newton迭代

功能：用Newton迭代求解方程的根；

形参：函数，倒数，初值，根x，精度e,最大迭代次数m 结果：返回迭代是否成功，若迭代成功，则x返回方程的一个根。

说明：①形参f和f1可和为一个形g,；

形参可合并为一个形参。

format long

fun=inline('x.^3-x.^2-0.8');

dfun=inline('3*x.^2-2*x');

x=XCnewton(fun,dfun,1.0,1e-5,500)

k=5

x = 1.40516702210213

（五）Aitken迭代

功能：用Aitken迭代法求方程的根;

条件：迭代每一步，公式中的分母非零，迭代收敛；

形参：迭代函数g，初值，精度e；

结果：返回方程的根，相邻两次近似值相差不超过e.

(1)x=XCaitken(inline('sqrt(x.^2-0.8)'),0.5,1e-5,500) Warning: Divide by zero.

> In XCAitken at 14

Warning: 已达迭代次数上限

> In XCAitken at 20

k=500

Warning: Imaginary parts of complex X and/or Y arguments ignored.

> In XCAitken at 22

x = NaN + NaNi

(2)

x=XCaitken(inline('(x.^2-0.8).^(1/3.0)'),0.5,1e-15,500) k=20

x=1.40516702210234

1.3

1.32

1.34

1.36

1.38

1.4

1.42

实验3.2 方程组的性态和条件数实验

实验目的;

理解条件数的意义和方程组的性态对解向量的影响。

实验内容：

已知两个方程组和,其中

, ,

实验要求：

对，取下面均用Matlab函数“”计算方程组的解。

（1）取n=4,6,8,分别求出的条件数，判别它们是否是病态

阵？岁n的增大，矩阵的性态变化如何？

（2）取n=5，分别求出两个方程组的解向量.

（3）取n=5，b不变，对的元素分别加一个扰动，分别求出第一个方程组的解向量；若不变，对b的元

素加一个扰动，求出

（4）取n=6，b不变，对的元素分别加一个扰动，分