解析几何第三章习题及解答
第三章_第一节 空间解析几何,李养成(新版),
它们的图像都是一条直线，z轴！
x y z a , 例3.1.4 讨论方程组 a 的图像. x y ax
x y z a 解：方程组的图像是球面 a a 与母线平行于z轴的圆柱面 x y 的交线
F x, y, z , G x, y, z
称为空间曲线的一般方程 注： (1)表示同一条曲线的方程不唯一。 (2)曲线上点的坐标都满足方程，
z
S1 S2
o
C
y
满足方程的点都在曲线上， x试考察方程
第3章 常见的曲面
本章在初步介绍空间图形与方程之间的一般关系 后，对柱面、锥面、旋转曲面以及二次曲面(包括椭球 面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛 物面)进行讨论.
对于前三种曲面具有明显的几何特征,我们着重从 这些曲面的几何特性来建立它们的方程.
对于五种二次曲面，我们则从曲面的标准方程出 发来讨论它们的几何性质, 描述它们的几何形状.
z
点P 在该圆锥面上
L
cos OP, k cos
OP k OP k
cos
y
x
x y tan z , 整理得二次齐次方程
圆锥面的坐标式方程
习题8（1） 已知圆锥面的顶点为P0 (1, 2,3)，轴垂直于 平面 x y z ，半顶角为 ,求这圆锥面的 方程. 解 圆锥面的轴过点 P0 , 方向向量 v 2,2, 1.
特别地,当 C0 是原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
C0
解析几何第三章
不妨设 A 0，则
A x
D A
By 0 Cz 0
0
，为一平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n {A, B,C}.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
平面一般式方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x轴；
d
7
.
32 62 ( 3 )2
36
例2：求点 M(2,4,3) 和平面间的离差和距离 : 2x y 2z 3 0
将 的方程法式化，得：
2 x 1 y 2 z1 0 333
故离差为：
(M ) ( 2) (2) 1 4 2 3 1 1
3
33
3
M到 的距离
d (M) 1 .
平面 x y z 1 0 求其方程
解
设所求平面的法向量为
n
A,
B,
C
M1M2 1,4 2 在所求平面上
n M1M2 A 4B 2C 0
又所求平面与已知平面垂直
ABC 0 解得 C 3B, A 2B
代入点法式方程并整理得 2x 3 y 3z 0
例2 已知四点A(5,1,3)， B(1,6,2) ，C(5,0,4) D(4,0,6)
Ax1 By1 Cz1 D 0 ( P1 )
Pr jnP1P0
Ax0 By0 Cz0 D , A2 B2 C 2
d | Ax0 By0 Cz0 D |. A2 B2 C 2 点到平面距离公式
另解
定义：如果自点 M 0 向平面 引垂线，其垂足为 Q ，
则
向
量
d A2 B2 C 2
例 求两平面 z x 2 y 1, 3x 6 y 3z 4间的距离.
解析几何-吕林根-课后习题解答一到五
第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ （1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5= 解：§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ． 解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明 证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解（2）设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。
中医谈方论药第三章答案 解析几何第四版课后答案第三章
中医谈方论药第三章答案解析几何第四版课后答案第三章中医谈方论药第三章答案第三章单元测试 1以下哪一部书是李克绍先生的学术代表作 ( ) A. 《胃肠病漫话》 B. 《伤寒论串讲》C. 《伤寒解惑论》 D. 《伤寒论语释》 2以下哪一项不属于《伤寒解惑论》中提出九种治学方法。
( ) A. 关于“要理解当时医学上的名词术语” B. 关于“读于无字处和语法上的一些问题” C. 关于“内容不同的条文要有不同的阅读法” D. 关于“要理解寒温之争” 3丁元庆教授认为，《伤寒解惑论》中提出的哪一项既是标准也是方向？( ) A. 关于“要和《内经》《本草经》《金匮要略》结合起来” B. 关于“要与临床相结合” C. 关于“对传统的错误看法要敢破敢立” D. 关于“对原文要一分为二” 4以下哪段话是李克绍先生所说：( ) A. “胸中有万卷书，笔底无半点尘，始可著书;胸中无半点尘，目中无半点尘者，才许作古文疏注。
” B. “能否理论联系实际，在临床医疗中能否灵活运用，这是检验学习《伤寒论》成功与否的重要标志。
” C. “《伤寒论》言证候不谈病机，述病理而少及生理，出方剂而不言药理” D. “医者书不熟则理不明，理不明则识不清，临证游移，漫无定见，药证不合，难以奏效。
”5以下哪段话，是湖北叶发正研究员在《伤寒学术史》中对李克绍先生的评价：( ) A. “他的论著享誉海内外，称得起现代的伤寒著名学家。
” B. “高山仰止，景行行止” C. “他对《伤寒论》的研究创当代《伤寒论》注疏之新风，其见解独特、基于临床、前后呼应、逻辑严密；他活泼泼地注疏通解了活泼泼的《伤寒论》。
” D. “先生最反对学术上人云亦云，不求甚解，认为这是自欺欺人的不良学风。
先生读书也看前人注解，但决不盲从。
” 6以下哪一项，不是丁元庆教授对急性口僻的辨治分析：( ) A. 口僻发生在面部，表现为口眼歪斜。
面部是足阳明胃经循行之地。
B. 阳明火热内盛，炙灼足阳明人迎脉，形成人迎脉积。
高考数学分类练习 H单元 解析几何(理科)含答案3
数 学H 单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．19．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有kc k 2＋12＋c 22＝b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，所以M 的坐标为c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，则t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x2－23. ①当x ∈－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离15．B12、H2 设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．15．(1，1) 对y ＝e x求导得y ′＝e x，令x ＝0，得曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－1x2＝－1，得x ＝1，则y＝1，所以P 的坐标为(1，1)．H3 圆的方程14．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准．．方程为________； (2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 14．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)①②③(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由(1)知，A (0，2－1)，B (0，2＋1)． 设M (a ，b )，则|MA ||MB |＝a 2＋[b －（2－1）]2a 2＋[b －（2＋1）]2＝1－b 2＋[b －（2－1）]21－b 2＋[b －（2＋1）]2＝（2－1）b －（2－2）（2＋1）b －（2＋2）＝（2－1）（b －2）（2＋1）（b －2）＝（2－1）2（2＋1）（2－1）＝2－1；同理|NA ||NB |＝2－1.所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，①正确；|NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，②正确；|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝12－1＋2－1＝22，③正确．综上，正确结论的序号是①②③.7．H3 过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．107．C 方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的坐标代入得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x＋4y －20＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，所以||MN ＝225－1＝4 6.方法二：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB k BC ＝－1，所以AB ⊥BC ，所以△ABC 为直角三角形，所以△ABC 的外接圆圆心为AC 的中点(1，－2)，半径r ＝12||AC ＝5，所以||MN ＝225－1＝4 6.方法三：由AB →·BC →＝0得AB ⊥BC ，下同方法二．14．H3 一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．14.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 设圆心为(t ，0)(t >0)，则半径为4－t ，所以4＋t 2＝(4－t )2，解得t ＝32，所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.8．H3、H4 已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2108．C 由题设，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，故圆C 的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心(2，1)在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝－4＝36，所以|AB |＝6.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系5．H4 平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝05．A 设所求直线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则圆心到该直线的距离为|m |22＋1＝5，∴|m |＝5，即m ＝±5.14．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准．．方程为________； (2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号) 14．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)①②③(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由(1)知，A (0，2－1)，B (0，2＋1)． 设M (a ，b )，则|MA ||MB |＝a 2＋[b －（2－1）]2a 2＋[b －（2＋1）]2＝1－b 2＋[b －（2－1）]21－b 2＋[b －（2＋1）]2＝（2－1）b －（2－2）（2＋1）b －（2＋2）＝（2－1）（b －2）（2＋1）（b －2）＝（2－1）2（2＋1）（2－1）＝2－1；同理|NA ||NB |＝2－1.所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |，①正确；|NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，②正确；|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝12－1＋2－1＝22，③正确．综上，正确结论的序号是①②③.10．H4 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．10．(x －1)2＋y 2＝2 由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.9．H4 一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－349．D 设反射光线所在直线的斜率为k ，反射光线过点(－2，－3)关于y 轴的对称点(2，－3)，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)．又∵其与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|1＋k 2＝1，解得k ＝－43或k ＝－34. 10．H4，H7 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)10．D 当直线l 与x 轴垂直，且0<r <5时，满足条件的直线有且仅有2条． 当直线l 与x 轴不垂直时，不妨设切点M (5＋r cos θ，r sin θ)(0＜θ＜π)，则切线斜率k ＝－cos θsin θ.另一方面，由于M 是AB 的中点，故由点差法得k ＝2r sin θ，则r ＝－2cos θ，所以r ＞2. 因为M (5＋r cos θ，r sin θ)在抛物线内， 所以r 2sin 2θ<4(5＋r cos θ)， 又r cos θ＝－2，所以化简得r ＜4， 故2＜r ＜4.当2＜r ＜4时，由r ＝－2cos θ知满足条件且在x 轴上方的切点M 只有1个，从而总的切线有4条．故选D.8．H3、H4 已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2108．C 由题设，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，故圆C 的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心(2，1)在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝－4＝36，所以|AB |＝6.H5 椭圆及其几何性质20．H5、H8 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．20．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b .又k OM ＝510，所以b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3，所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.21．H9、H5、H8、H10 一种作图工具如图16所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图17所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C 的方程．(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图16图1721．解：(1)设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意， MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y2，代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫k ≠±12， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ； 同理可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k . 由原点O 到直线PQ 的距离d ＝|m |1＋k 2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |·2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m21－4k2.② 将①代入②得，S △OPQ ＝2m 21－4k 2＝84k 2＋14k 2－1. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋11－4k 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.18．H5、H10 如图14，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．图1418．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k2，C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝ 22（1＋k 2）1＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意， 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k2|k |（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1， 此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.20．H5、H8 已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．20．解：(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，所以l 不过原点且与椭圆C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得直线OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入(1)中l 的方程得b ＝m （3－k ）3，因此x M ＝k （k －3）m3（k 2＋9）. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M ，于是±km 3k 2＋9＝2×k （k －3）m 3（k 2＋9）， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k >0，k ≠3，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．19．H5，H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ，问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．19．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1， 设M (x M ，0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线PA 的方程为y －1＝n －1mx ， 所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称， 所以B (m ，－n )， 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．13．H5 设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．13. 5 由已知，令F (－c ，0)，虚轴的一个端点B (0，b )，B 恰为线段PF 的中点，故P (c ，2b )．又P 在双曲线上，代人双曲线方程得c 2a 2－4b 2b 2＝1，即e ＝ca＝ 5.20．F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．H5、H8 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(i)求|OQ ||OP |的值；(ii)求△ABQ 面积的最大值．20．解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2， 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，(i)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，且（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2，所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t . 故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时，S 取得最大值23， 由(i)知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.20．H5、H8 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图17，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图1720．解：(1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝ 52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.方法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝ 52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.20．H5、H8、H9 如图15所示，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.图15(1)求椭圆E 的方程．(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20．解：(1)由已知得，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点． 如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点， 则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)． 由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，得|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1， 解得y 0＝1或y 0＝2，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0，2)． 下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|PA ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1， 因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .易知点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)． 又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1， k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线，所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|PA ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0，2)，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立．19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．19．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有kc k 2＋12＋c 22＝b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，所以M 的坐标为c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，则t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)．与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x2－23. ①当x ∈－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是－∞，－233∪23，233.19．H5、H8 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．图1619．解：(1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1mx ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0.①将AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2的坐标代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得，m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 21．H5、H8 如图16所示，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2， 求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .图1621．解：(1)由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝ |F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：如图，设点P (x 0，y 0)，由点P 在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，得x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由 |PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，得|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此 (2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12×1＋42＋2－12＝6－ 3.方法二：如图，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，得|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝ （2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3.H6 双曲线及其几何性质4．H6 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 4．C 选项A ，B 中的双曲线的焦点在x 轴上，不正确；C 中的双曲线的焦点在y 轴上，且渐近线方程为y ＝±2x ，符合题意；D 中的双曲线的焦点在y 轴上，但渐近线方程为y ＝±12x ，不符合题意．故选C. 7．H6 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 7．C 由题知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝54，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，故b 2＝c 2－a 2＝9.8．H6 将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2 8．D e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋m a ＋m(m >0)，得bm <am ，即b <a .同理可得，当b >a 时，有e 1>e 2.故选D.12．H6、H10 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．12.22不妨设点P (x 0，x 20－1)(x 0≥1)，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝||x 0－x 20－1＋12.令u (x )＝x －x 2－1＝1x ＋x 2－1，则u (x )是单调递减函数，且u (x )>0.当x →＋∞时，u (x )→0，所以d >22，故c max ＝22. 11．H6 已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 211．D 由题意，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，设M 在第一象限，由题意知|AB |＝|BM |＝2a ，∠ABM ＝120°，所以在△ABM 中，|AM |＝23a ，所以M (2a ，3a )，代入双曲线方程得（2a ）2a 2－（3a ）2b2＝1，解得a 2＝b 2，所以e ＝ 2.故选D.5．H6 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2335．A 由题意不妨取F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 2＋y 20－3<0.又点M 在曲线C 上，所以有x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，代入上式得y 20<13，所以－33<y 0<33，故选A.10．H6 已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________．10.33 双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程是y ＝±1a x ，又知一条渐近线为3x ＋y＝0，所以1a ＝3，解得a ＝33.3．H6 若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33．B 由题知||PF 1－||PF 2＝±6，所以||PF 2＝||PF 1±6＝－3或9(负值舍去)，故||PF 2＝9.15．H6、H7 平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．15.32 设OA 所在的直线方程为y ＝b a x ，OB 所在的直线方程为y ＝－bax ，抛物线C 2的焦点为F ，则可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.又∵F 为△OAB 的垂心，∴AF ⊥OB ，即AF →·OB →＝0.又∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，p 2－2pb 2a 2，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，∴4p 2b2a 2＋2pb 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－2pb 2a 2＝0，整理得5a 2＝4b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝1＋54＝32. 14．H6、H7 若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．14．2 2 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p2＝－2，故p ＝2 2.5．H6，H8 过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.4 33B ．2 3C ．6D ．4 3 5．D 易知双曲线的右焦点为F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x .将x ＝2代入渐近线方程，得y ＝±2 3，故|AB |＝4 3.6．H6、H7 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 6．D 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) 的渐近线是y ＝±b ax .因为一条渐近线过点(2，3)，所以2b a＝ 3.抛物线y 2＝47x 的准线是x ＝－7，因为双曲线的一个焦点在直线x ＝－7上，所以a 2＋b 2＝7，解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.9．H6 双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．9．2 3 y ＝±22x c 2＝a 2＋b 2＝3⇒c ＝3，则焦距为2 3，渐近线方程为y ＝±22x .10．H6、E1 设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)10．A 由题意得A (a ，0)，不妨取Bc ，b 2a ，Cc ，－b 2a ，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D (x 0，0)，由BD ⊥AC 得b 2a －0c －x 0·b 2a a －c ＝－1，解得c －x 0＝b 4a 2（c －a ），由题可知c －x 0＝b 4a 2（c －a ）<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，所以b 4a 2<c 2－a 2＝b 2⇒b 2a 2<1⇒0<b a<1.因为双曲线渐近线的斜率为±ba，所以渐近线斜率的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．H7 抛物线及其几何性质20．F1、H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程．(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． (i)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图所示，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.(ii)证明：由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M x 12，0，所以FM →＝x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．15．H6、H7 平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．15.32 设OA 所在的直线方程为y ＝b a x ，OB 所在的直线方程为y ＝－bax ，抛物线C 2的焦点为F ，则可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.又∵F 为△OAB 的垂心，∴AF ⊥OB ，即AF →·OB →＝0.又∵AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，p 2－2pb 2a 2，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，∴4p 2b2a 2＋2pb 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－2pb 2a 2＝0，整理得5a 2＝4b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝1＋54＝32. 14．H6、H7 若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．14．2 2 双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p2＝－2，故p ＝2 2.10．H4，H7 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)10．D 当直线l 与x 轴垂直，且0<r <5时，满足条件的直线有且仅有2条． 当直线l 与x 轴不垂直时，不妨设切点M (5＋r cos θ，r sin θ)(0＜θ＜π)，则切线斜率k ＝－cos θsin θ.另一方面，由于M 是AB 的中点，故由点差法得k ＝2r sin θ，则r ＝－2cos θ，所以r ＞2. 因为M (5＋r cos θ，r sin θ)在抛物线内， 所以r 2sin 2θ<4(5＋r cos θ)，。
高中数学解析几何训练题精选(带答案)
高中数学解析几何训练题精选〔带答案〕高中数学习题精选第三部分解析几何一、选择题：1、直线的倾斜角是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．2、直线m、l关于直线x = y对称，假设l的方程为，那么m的方程为＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．3、平面内有一长为4的定线段AB，动点P满足|PA||PB|=3，O为AB中点，那么|OP|的最小值为＿＿＿＿＿＿。
A．1 B． C．2 D．34、点P分有向线段成定比，假设，那么所对应的点P的集合是＿＿＿。
A．线段 B．线段的延长线 C．射线 D．线段的反向延长线5 、直线L经过点A 与点B ，那么该直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿。
A．150 B．135 C．75 D．456、经过点A 且与直线垂直的直线为＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．7、经过点且与直线所成角为30的直线方程为＿＿＿＿＿＿。
A． B．或C． D．或8、点A 和点B ，直线m过点P 且与线段AB相交，那么直线m的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．9、两不重合直线和互相平行的条件是＿＿＿＿＿＿。
A． B．或 C． D．10、过且倾斜角为15的直线方程为＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．11、a = 1是直线和互相垂直的＿＿＿。
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也非必要条件12、与曲线关于直线对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．13、曲线关于点对称的曲线的方程是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．14、实数a = 0是和平行的＿＿＿＿＿＿A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也非必要条件15、m和n的斜率分别是方程的两根，那么m和n所成角为＿＿＿＿＿＿。
A．15 B．30 C．45 D．6016、直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．17、a为非负实数，直线不通过的象限是＿＿＿＿＿＿。
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限18、点到直线的间隔为＿＿＿＿＿＿。
解析几何第三章知识点
第三章 平面与空间直线版权所有，侵权必究§3.1 平面的方程1．平面的点位式方程在空间给定了一点M 0与两个不共线的向量a ，b 后，通过点M 0且与a ，b 平行的平面π 就惟一被确定. 向量a ，b 叫平面π 的方位向量. 任意两个与π 平行的不共线的向量都可作为平面π 的方位向量.取标架{}321,,;e e e O ，设点M 0的向径0r =0OM ={}000,,z y x ，平面π 上任意一点M 的向径为r =OM = {x ，y ，z }（如图）. 点M 在平面π上的充要条件为向量M M 0与向量a ，b 共面. 由于a ，b 不共线，这个共面的条件可以写成M M 0= u a ＋v b而M M 0= r －r 0，所以上式可写成r = r 0＋u a ＋v b(3.1－1)此方程叫做平面π 的点位式向量参数方程，其中u ，v 为参数.若令a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }，则由(3.1－1)可得⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=vZ u Z z z v Y u Y y y vX u X x x 210210210 (3.1－2)此方程叫做平面π 的点位式坐标参数方程，其中u ，v 为参数.(3.1－1)式两边与a ×b 作内积，消去参数u ，v 得(r －r 0，a ，b ) = 0(3.1－3)此即222111000Z Y X Z Y X z z y y x x ---=0 (3.1－4)这是π 的点位式普通方程.已知平面π上三非共线点i M （i = 1，2，3）. 建立坐标系{O ；e 1, e 2, e 3}，设r i = i OM ={i x ，i y ，i z }，i = 1，2，3. 对动点M ，设r =OM ={x ，y ，z }，取21M M 和31M M 为方位向量，M 1为定点，则平面π的向量参数方程，坐标参数方程和一般方程依次为r = 1r ＋u(2r －1r )＋v(3r －r 1)(3.1－5) ⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+=-+-+=)()()()()()(131211312113121z z v z z u z z y y v y y u y y x x v x x u x x(3.1－6)131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------= 0(3.1－7)(3.1－5)，(3.1－6)和(3.1－7)统称为平面的三点式方程.特别地，若i M 是π 与三坐标轴的交点，即1M (a ，0，0)，2M (0，b ，0)，3M (0，0，c )，其中abc ≠0，则平面π 的方程就是caba z y a x 00---=0 (3.1－8)即1=++czb y a x (3.1－9)此方程叫平面π的截距式方程，其中a ，b ，c 称为π 在三坐标轴上的截距.2．平面的一般方程在空间任一平面都可用其上一点M 0(x 0，y 0，z 0)和两个方位向量a = {1X ，1Y ，1Z }，b = {2X ，2Y ，2Z }确定，因而任一平面都可用方程将其方程(3.1－4)表示. 将(3.1－4)展开就可写成Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0(3.1－10)其中A =2211Z Y Z Y ，B =2211X Z X Z ，C =2211Y X Y X由于a = {1X ，1Y ，1Z }与b = {2X ，2Y ，2Z }不共线，所以A ，B ，C 不全为零，这说明空间任一平面都可用关于a ，b ，c 的一三元一次方程来表示.反之，任给一三元一次方程(3.1－10)，不妨设A ≠0，则(3.1－10)可改写成02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ACz ABy A D x A即000=--+ACA B zy AD x 它显然表示由点M 0 (－D / A ，0，0)和两个不共线的向量{B ，－A ，0}和{C ，0，－A }所决定的平面. 于是有定理3.1.1 空间中任一平面的方程都可表为一个关于变数x ，y ，z 的三元一次方程；反过来，任一关于变数x ，y ，z 的三元一次方程都表示一个平面.方程(3.1－10) 称为平面π 的一般方程. 3．平面的法式方程若给定一点M 0和一个非零向量n ，则过M 0且与n 垂直的平面π也被惟一地确定. 称n 为π的法向量. 在空间坐标系{O ；i ，j ，k }下，设0r = 0OM ={x 0，y 0，z 0}，n = {A ，B ，C }，且平面上任一点M 的向径r =OM ={x ，y ，z }，则因总有M M 0⊥n ，有n (r －r 0) = 0(3.1－11) 也就是A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0) = 0(3.1－12)方程(3.1－11)和(3.1－12)叫平面π 的点法式方程. (3.1－12)中的系数A ，B ，C 有简明的几何意义，它们就是平面π 的一个法向量的分量.特别地，取M 0为自O 向π 所作垂线的垂足，而n 为单位向量. 当平面不过原点时，取n 为与OP 同向的单位向量n 0，当平面过原点时取n 0的正向为垂直与平面的两个方向中的任一个.设|OP | = p ，则OP = p n 0，由点P 和n 0确定的平面的方程为 n 0(r －p n 0) = 0式中r 是平面的动向径. 由于1)(20=n ，上式可写成n 0r －p = 0(3.1－13)此方程叫平面的向量式法式方程.若设r = {x ，y ，z }，n 0 = {cos α，cos β，cos γ}，则由(3.1－13)得x cos α＋y cos β＋z cos γ－p = 0(3.1－14)此为平面的坐标法式方程，简称法式方程.平面的坐标法式方程有如下特征：1°一次项系数是单位向量的分量，其平方和等于1； 2°常数项－p ≤0（意味着p ≥ 0）. 3°p 是原点到平面的距离. 4．化一般方程为法式方程在直角坐标系下，若已知π的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0，则n = {A ，B ，C }是π的法向量，Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0可写为nr ＋D = 0(3.1－15)与(3.1－13)比较可知，只要以2221||1CB A ++±=±=n λ 去乘(3.1－15)就可得法式方程λAx ＋λBy ＋λCz ＋λD = 0 (3.1－16)其中正负号的选取，当D ≠0时应使(3.1－16)的常数项为负，D ＝0时可任意选.以上过程称为平面方程的法式化，而将2221CB A ++±=λ叫做法化因子.§3.2 平面与点的相关位置平面与点的位置关系，有两种情形，就是点在平面上和点不在平面上. 前者的条件是点的坐标满足平面方程. 点不在平面上时，一般要求点到平面的距离，并用离差反映点在曲面的哪一侧.1．点与平面间的距离定义3.2.1 自点M 0向平面π 引垂线，垂足为Q . 向量0QM 在平面π的单位法向量n 0上的射影叫做M 0与平面π之间的离差，记作δ = 射影n 00QM(3.2－1)显然δ = 射影n 00QM = 0QM ·n 0 =∣0QM ∣cos ∠(0QM ，n 0) =±∣0QM ∣当0QM 与n 0同向时，离差δ > 0；当0QM 与n 0反向时，离差δ < 0. 当且仅当M 0在平面上时，离差δ = 0.显然，离差的绝对值|δ |就是点M 0到平面π 的距离. 定理3.2.1 点M 0与平面（3.1－13）之间的离差为δ = n 0r 0－p (3.2－2)推论1 若平面π 的法式方程为 0cos cos cos =-++p z y x γβα，则),,(0000z y x M 与π间的离差=δp z y x -++γβαcos cos cos 000(3.2－3)推论2 点),,(0000z y x M 与平面Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0间的距离为()2220000,CB A DCz By Ax M d +++++=π (3.2－4)2．平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义 设平面π的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0那么，空间任何一点M （x ，y ，z ）与平面间的离差为=δp z y x -++γβαcos cos cos = λ (Ax ＋By ＋Cz ＋D )式中λ为平面π的法化因子，由此有Ax ＋By ＋Cz ＋D =δλ1(3.2－5)对于平面π同侧的点，δ 的符号相同；对于在平面π的异侧的点，δ 有不同的符号，而λ一经取定，符号就是固定的. 因此，平面π：Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0把空间划分为两部分，对于某一部分的点M (x ，y ，z ) Ax ＋By ＋Cz ＋D > 0；而对于另一部分的点，则有Ax ＋By ＋Cz ＋D < 0，在平面π上的点有Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0.§3.3 两平面的相关位置空间两平面的相关位置有3种情形，即相交、平行和重合. 设两平面π1与π2的方程分别是π1： 11110A x B y C z D +++=(1)π2： 22220A x B y C z D +++=(2)则两平面π1与π2相交、平行或是重合，就决定于由方程（1）与（2）构成的方程组是有解还是无解，或无数个解，从而我们可得下面的定理.定理3.3.1 两平面（1）与（2）相交的充要条件是111222::::A B C A B C ≠(3.3－1)平行的充要条件是11112222A B C D A B C D ==≠(3.3－2)重合的充要条件是11112222A B C D A B C D ===(3.3－3)由于两平面π1与π2的法向量分别为11112222{,,},{,,}n A B C n A B C ==，当且仅当n 1不平行于n 2时π1与π2相交，当且仅当n 1∥n 2时π1与π2平行或重合，由此我们同样能得到上面3个条件.下面定义两平面间的夹角.设两平面的法向量间的夹角为θ，称π1与π2的二面角∠(π1，π2) =θ 或π－θ为两平面间的夹角.显然有12cos (,)ππ∠=±cos θ =(3.3－4)定理3.3.2 两平面（1）与（2）垂直的充要条件是0212121=++C C B B A A(3.3－5)例 一平面过两点 1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面x ＋y ＋z = 0，求它的方程.解 设所求平面的法向量为n = {A ，B ，C }，由于12{01,11,11}{1,0,2}M M =----=--在所求平面上，有12M M n ⊥， 120M M n ⋅=，即20A C --= .又n 垂直于平面x ＋y ＋z = 0的法线向量{1，1，1}，故有 A ＋B ＋C = 0 解方程组20,0,A C A B C --=⎧⎨++=⎩得2,,A CBC =-⎧⎨=⎩ 所求平面的方程为2(1)(1)(1)0C x C y C z --+-+-=，约去非零因子C 得2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=，即2x －y －z =0§3.4 空间直线的方程1．由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程在空间给定了一点0000(,,)M x y z 与一个非零向量v = {X ，Y ，Z }，则过点M 0且平行于向量v 的直线l 就惟一地被确定. 向量v 叫直线l 的方向向量. 显然，任一与直线l 上平行的飞零向量均可作为直线l 的方向向量.下面建立直线l 的方程.如图，设M (x ，y ，z ) 是直线l 上任意一点，其对应的向径是r = { x ，y ，z }，而0000(,,)M x y z 对应的向径是r 0，则因M M 0//v ，有t ∈R ，M M 0= t v . 即有r －r 0= t v所以得直线l 的点向式向量参数方程r = r 0＋t v (3.4－1)以诸相关向量的分量代入上式，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Y X t z y x z y x 000根据向量加法的性质就得直线l 的点向式坐标参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Ztz z Yt y y Xtx x 000 (3.4－2)消去参数t ，就得直线l 的点向式对称方程为Zz z Y y y X x x 000-=-=- (3.4－3)此方程也叫直线l 的标准方程.今后如无特别说明，在作业和考试时所求得的直线方程的结果都应写成对称式.例1 设直线L 通过空间两点M 1(x 1，y 1，z 1)和M 2(x 2，y 2，z 2)，则取M 1为定点，21M M 为方位向量，就得到直线的两点式方程为121121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- (3.4－4)根据前面的分析和直线的方程(3.4－1)，可得到||||||||||00v M M v t =-=r r 这个式子清楚地给出了直线的参数方程(3.4－1)或(3.4－2)中参数的几何意义：参数t 的绝对值等于定点M 0到动点M 之间的距离与方向向量的模的比值，表明线段M 0M 的长度是方向向量v 的长度的 |t | 倍.特别地，若取方向向量为单位向量v 0 = {cos α，cos β，cos γ}则(3.4－1)、(3.4－2)和(3.4－3)就依次变为r = r 0＋t v 0(3.4－5)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=γβαcos cos cos 000t z z t y y t x x (3.4－6)和γβαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- (3.4－7)此时因 |v | = 1，t 的绝对值恰好等于l 上两点M 0与M 之间的距离.直线l 的方向向量的方向角α，β，γ cos α，cos β，cos γ 分别叫做直线l 的方向角和方向余弦.由于任意一个与v 平行的非零向量v'都可作为直线l 的方向向量，而二者的分量是成比例的，我们一般称X ：Y ：Z 为直线l 的方向数，用来表示直线l 的方向.2．直线的一般方程空间直线l 可看成两平面π1和π2的交线. 事实上，若两个相交的平面π1和π2的方程分别为π1： 11110A x B y C z D +++= π2： 22220A x B y C z D +++=那么空间直线l 上的任何一点的坐标同时满足这两个平面方程，即应满足方程组111122220,0.A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ (3.4－8)反过来，如果点不在直线l 上，那么它不可能同时在平面π1和π2上，所以它的坐标不满足方程组(3.4－8).因此，l 可用方程组(3.4－8)表示，方程组(3.4－8)叫做空间直线的一般方程.一般说来，过空间一直线的平面有无限多个，所以只要在无限多个平面中任选其中的两个，将它们的方程联立起来，就可得到空间直线的方程.直线的标准方程(3.4－3)是一般方程的特殊形式. 将标准方程化为一般式，得到的是直线的射影式方程.将直线的一般方程化为标准式，只需在直线上任取一点，然后取构成直线的两个平面的两个法向量的向量积为直线的方向向量即可.例1将直线的一般方程10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩ 化为对称式和参数方程.解 令y = 0，得这直线上的一点（1，0，－2）.两平面的法向量为a = {1，1，1}，b = {2，－1，3}因a ×b = {4，－1，－3}，取为直线的法向量，即得直线的对称式方程为12413x y z -+==--令t z y x =-+=-=-32141，则得所求的参数方程为 14,,23.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩§3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置有直线与平面相交，直线与平面平行和直线在平面上3种情形. 设直线l 与平面π 的方程分别为L ：000x x y y z z X Y Z ---== (1) π ：Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0(2)将直线l 的方程改写为参数式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tZz z tY y y tX x x 000. (3)将（3）代入（2），整理可得(AX ＋BY ＋CZ )t = －(Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D )(4)当且仅当AX ＋BY ＋CZ ≠0时，（4）有惟一解CZBY AX DCz By t +++++-=000Ax这时直线l 与平面π 有惟一公共点；当且仅当AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D ≠0时，方程（4）无解，直线l 与平面π 没有公共点；当且仅当AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D = 0时，（4）有无数多解，直线l 在平面π 上. 于是有定理3.5.1 关于直线（1）与平面（2）的相互位置，有下面的充要条件： 1）相交： AX ＋BY ＋CZ ≠02）平行：AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D ≠03）直线在平面上： AX ＋BY ＋CZ = 0，Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D = 0以上条件的几何解释：就是直线l 的方向向量v 与平面π 的法向量n 之间关系. 1）表示v 与n 不垂直；2）表示v 与n 垂直且直线l 上的点（x 0，y 0，z 0）不在平面π 上； 3）表示v 与n 垂直且直线l 上的点（x 0，y 0，z 0）在平面π 上. 当直线l 与平面π 相交时，可求它们的交角. 当直线不与平面垂直时，直线与平面的交角ϕ 是指直线和它在平面上的射影所构成的锐角；垂直时规定是直角.设v = {X ，Y ，Z }是直线l 的方向向量，n = {A ，B ，C }是平面π 的法向量，则令∠(l ，π ) =ϕ，∠(v ，n ) = θ ，就有ϕ=-2πθ 或 ϕ= θ－2π（θ 为锐角） 因而sin ϕ =∣cos θ∣=vn v n ⋅⋅=222222ZY X CB A CZ BY AX ++++++ (3.5－1)§3.6 空间直线与点的相关位置任给一条直线l 的方程和一点M 0，则l 和M 0的位置关系只有两种：点在直线上和点不在直线上。
解析几何教程习题答案
第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立()().a b c a b c ++=++证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于ABCabcABCDabca b +b c +0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。
3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。
4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,AB a FA b ==，则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以1111()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且A BabcE FD C111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
解析几何第三章习题及解答
第三章 常见曲面习题3.11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。
证明：将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。
解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到930,420,10a d b d c d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩球面方程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=，其中d 任意。
过该三点的平面方程是132x yz ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。
3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上，并此球面方程。
证明：因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在一个球面上。
4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹； （2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹； （3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。
解析几何尤承业前四章部分习题答案
解析几何(尤承业)前四章部分习题答案第一章：平面几何基础1.证明：若两条直线的斜率相等，则它们平行。
证明：设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2。
若k1=k2，则有k1x+b1=k2x+b2，即(k1-k2)x=b2-b1。
由于k1-k2=0，所以方程化简为0x=b2-b1。
由于任何实数乘以0都等于0，所以此方程有解，即二者平行。
2.已知直线l1的斜率为k1，直线l2经过点A(a,b)且与l1垂直，求直线l2的方程。
解：由直线l1的斜率为k1，可知l1的斜率为k1的直线上任意一点(x1,y1)与原点(0,0)的斜率为k1，即有y1/x1=k1，即y1=k1x1。
由于直线l2经过点A(a,b)且与l1垂直，所以直线l2的斜率为-1/k1。
设直线l2的方程为y=-1/k1 x + c，代入点A(a,b)可得b=-1/k1*a+c，即c=b+a/k1。
所以直线l2的方程为y=-1/k1 x + b+a/k1。
3.已知直线l1过点A(a,b)和点B(c,d)，求直线l1的方程。
解：由于直线l1过点A(a,b)和点B(c,d)，所以直线l1的斜率为直线AB的斜率。
设直线l1的方程为y=kx+m，代入点A(a,b)和点B(c,d)可得方程组： b=ka+m d=kc+m将第一个方程乘以k，得到bk=ka^2+km，再用第二个方程减去这个等式，可得d-b = kc-ka^2+km-km，即d-b=k(c-a)。
所以直线l1的方程为y=(d-b)/(c-a)x + (ad-bc)/(c-a)。
第二章：直线与圆1.已知直线l的方程为y=ax+b，圆C的圆心为O(h,k)，半径为r，求直线l与圆C的交点坐标。
解：设直线l与圆C的交点为点P(x,y)，代入直线l的方程可得y=ax+b。
将这个方程代入圆C的方程(x-h)^2+(y-k)^2=r^2中，得到(x-h)^2+(ax+b-k)^2=r^2。
展开后整理得到一个二次方程，即x^2+(a^2+1)x-2ah+(b-k)^2-r^2=0。
解析几何第四版吕林根课后习题答案
第三章 平面与空间直线§ 平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：1通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面2通过点)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；3已知四点)3,1,5(A ,)2,6,1(B ,)4,0,5(C )6,0,4(D ;求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面,并求通过直线AB 且与ABC ∆平面垂直的平面; 解： 1 }1,2,2{21--=M M ,又矢量}2,0,1{-平行于所求平面, 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x2由于平面垂直于xoy 面,所以它平行于z 轴,即}1,0,0{与所求的平面平行,又}3,7,2{21-=M M ,平行于所求的平面,所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ,即01727=--y x ; 3ⅰ设平面π通过直线AB,且平行于直线CD ： }1,5,4{--=AB ,}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为：一般方程为：0745910=-++z y x ;ⅱ设平面π'通过直线AB,且垂直于ABC ∆所在的平面∴ }1,5,4{--=AB , }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-⨯--=⨯AC AB均与π'平行,所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：042:=+-+z y x π.解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--, 所以,它的截距式方程为：1424=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-,∴ 所求平面的参数式方程为：3.证明矢量},,{Z Y X v =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX .证明： 不妨设0≠A ,则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{AC A B --,从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：v ,}1,0,{},0,1,{ACA B --共面⇔ ⇔0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ,求B 点的z 坐标.解： }5,2,3{z AB +-= 而AB 平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-⨯+⨯-z 从而18=z .5. 求下列平面的一般方程.⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;⑶与平面0325=+-+z y x 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点()()1,2,4,2,1,321--M -M ,求通过1M 且垂直于21,M M 的平面; ⑸原点O 在所求平面上的正射影为()6,9,2-P ;⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面.解:平行于x 轴的平面方程为001011112=--+-z y x .即01=-z .同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z . ⑵设该平面的截距式方程为132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得1924-=c 故一般方程为02419812=+++z y x .⑶若所求平面经过x 轴,则()0,0,0为平面内一个点,{}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量,∴点法式方程为001215000=----z y x ∴一般方程为02=+z y .同理经过y 轴,z 轴的平面的一般方程分别为05,052=-=+y x z x . ⑷{}2121.3,1,1M M --=M M →垂直于平面π,∴该平面的法向量{}3,1,1--=→n ,平面∂通过点()2,1,31-M , 因此平面π的点位式方程为()()()02313=--+--z y x . 化简得023=+--z y x . 5 {}.6,9,2-=→op∴ .116cos ,119cos ,112cos -===∂γβ 则该平面的法式方程为:.011116119112=--+z y x既 .0121692=--+z y x6平面0138=-+-z y x 的法向量为{}3,8,1-=→n ,{}1,6,121=M M ,点从()2,1,4写出平面的点位式方程为0161381214=----z y x ,则,261638-=-=A74282426,141131,21113-=++⨯-=====D C B ,则一般方程,0=+++D Cz By Ax 即：.037713=---z y x 6．将下列平面的一般方程化为法式方程; 解：.3-=D∴将已知的一般方程乘上.301=λ得法式方程.030330530230=-+-z y x()∴-=∴=.21.12λD 将已知的一般方程乘上.21-=λ得法式方程.0212121=-+-y x()∴-=∴=.1.2.3λD 将已知的一般方程乘上.1-=λ得法式方程.02=--x().91.0.4±=∴=λD 即91=λ或91-=λ将已知的一般方程乘上91=λ或.91-=λ得法式方程为0979494=+-z y x 或.0979494=-+-z y x 7．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦;解：().71.35.1=-=λD 化为法式方程为05767372=-++z y x 原点指向平面π的单位法矢量为,76,73,72⎭⎬⎫⎩⎨⎧=u 它的方向余弦为.76cos ,73cos ,72cos ===γβα原点o 到平面π的距离为.5=-=D P λ().31.21.2-==λD 化为法式方程为-07323231=--+-z y x 原点指向平面π的单位法矢量为,32,32,310⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=n 它的方向余弦为122cos ,cos ,cos .333αβγ=-==-原点o到平面π的距离7.p D λ=-= 第20页8．已知三角形顶点()()()0,7,0,2,1,1,2,2,2.A B C --求平行于ABC 所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程;解：设,.AB a AC b ==点()0,7,0.A -则{}{}2,6,1,2,9,2a b ==写出平面的点位式方程72610292x y z += 设一般方程0. 3.2,6,140.Ax By Cz D A B C D +++=∴====-< 则1. 2.7p D λλ==-=相距为2个单位;则当4p =时28.D =-当0p =时0.D =∴所求平面为326280.x y z -+-=和3260.x y z -+=9．求与原点距离为6个单位,且在三坐标轴,ox oy 与oz 上的截距之比为::1:3:2a b c =-的平面;解：设,3,2.0.a x b x c x abc =-==≠∴设平面的截距方程为 1.x y z a b c++= 即.bcx acy abz abc ++= 又原点到此平面的距离 6.d =6.=∴所求方程为7.32y zx -++= 10．平面1x y z a b c++=分别与三个坐标轴交于点,,.A B C 求ABC 的面积;解 (,0,0)A a , (0,,0)B b ,(0,0,)C c {},,0AB a b =-,{},0,AC a c =-.{},,AB AC bc ca ab ⨯=;2AB AC b ⨯=.∴S ABC11．设从坐标原点到平面的距离为;求证1.p p =∴= 从而有22221111.p a b c =++ § 平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离： 1)3,4,2(-M , :π 0322=++-z y x ； 2)3,2,1(-M , :π 0435=++-z y x . 解： 将π的方程法式化,得：01323132=--+-z y x ,故离差为：311332431)2()32()(-=-⨯-⨯+-⨯-=M δ,M 到π的距离.31)(==M d δ2类似1,可求得0354353356355)(=-++-=M δ,M 到π的距离.0)(==M d δ2.求下列各点的坐标：1在y 轴上且到平面02222=--+z y 的距离等于4个单位的点； 2在z 轴上且到点)0,2,1(-M 与到平面09623=-+-z y x 距离相等的点； 3在x 轴上且到平面01151612=++-z y x 和0122=--+z y x 距离相等的点;解：1设要求的点为)0,,0(0y M 则由题意∴ 610=-y ⇒50-=y 或7.即所求的点为0,-5,0及0,7,0; 2设所求的点为),0,0(0z 则由题意知： 由此,20-=z 或-82/13; 故,要求的点为)2,0,0(-及)1382,0,0(-; 3设所求的点为)0,0,(0x ,由题意知： 由此解得：20=x 或11/43; 所求点即2,0,0及11/43,0,0;3.已知四面体的四个顶点为)4,1,1(),5,11,2(),3,5,3(),4,6,0(---C B A S ,计算从顶点S 向底面ABC 所引的高; 解：地面ABC 的方程为： 所以,高335426=+⨯--=h ;4.求中心在)2,5,3(-C 且与平面01132=+--z y x 相切的球面方程; 解：球面的半径为C 到平面π：01132=+--z y x 的距离,它为：142142814116532==+++⨯=R ,所以,要求的球面的方程为：56)2()5()3(222=++++-z y x .即：0184106222=-++-++z y x z y x .5．求通过x 轴其与点()5,4,13M 相距8个单位的平面方程;解：设通过x 轴的平面为0.By Cz +=它与点()5,4,13M 相距8个单位,从而228.481041050.B BC C =∴--=因此()()1235430.B C B C -+=从而得12350B C -=或430.B C +=于是有:35:12B C =或():3:4.B C =-∴所求平面为35120y z +=或340.y z -=6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹. ⑴053407263=--=--+y x z y x 和; ⑵062901429=++-=-+-z y x z y x 和. 解: ⑴ ()0726371:1=--+z y x π 令()()53451726371--=--+y x z y x化简整理可得:0105113=+-z y x 与07010943=--+z y x . ⑵对应项系数相同,可求42614221'-=+-=+=D D D ,从而直接写出所求的方程:0429=-+-z y x .9 判别点M2 -1 1和N 1 2 -3在由下列相交平面所构成的同一个二面角内,还是在相邻二面角内,或是在对顶的二面角内 11:3230x y z π-+-=与2:240x y z π--+= 21:2510x y z -+-=与2:32610x y z π-+-= 解：1将M2 -1 1,N1 2 -3代入1π,得： 6123032630++-〉⎧⎨---〈⎩则M,N 在1π的异侧 再代入2π,得：221470143440+-+=〉⎧⎨-++=〉⎩∴MN 在2π的同侧 ∴MN 在相邻二面角内2将M2 -1 1N1 2 -3代入1π,得：4151902215180++-=〉⎧⎨---=-〈⎩则MN 在1π的异侧; 再代入2π,得：662113034181200++-=>⎧⎨---=-<⎩则MN 在2π的异侧∴ MN 在对顶的二面角内10 试求由平面1π：2230x y z -+-=与2π：32610x y z +--=所成的二面角的角平分方程,在此二面角内有点1, 2, -3解：设px y z 为二面角的角平分面上的点,点p 到12ππ的距离相等=5332190(1)234240(2)x y z x y z +--=⎧⎨---=⎩把点p 代入到12ππ上,10δ< 20δ> 在1上取点1850 0代入12ππ,''1200δδ>>; 在2上取点0 0 -6代入12ππ,""1200δδ<>∴2为所求,∴解平面的方程为：34240x y z ---=两平面的相关位置1.判别下列各对直线的相关位置： 10142=+-+z y x 与0324=--+z y x ； 20522=---z y x 与013=--+z y x ； 305426=--+z y x 与029639=--+z y x ;解：1 )1(:21:41)4(:2:1-=-, ∴ 1中的两平面平行不重合； 2 )1(:3:1)2(:)1(:2-≠--, ∴ 2中两平面相交； 3 )6(:3:9)4(:2:6-=-, ∴ 3中两平面平行不重合;2.分别在下列条件下确定n m l ,,的值：1使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面；2使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面； 3使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面; 解：1欲使所给的二方程表示同一平面,则： 即：从而：97=l ,913=m ,937=n ; 2欲使所给的二方程表示二平行平面,则： 所以：4-=l ,3=m ;3欲使所给的二方程表示二垂直平面,则： 所以： 71-=l ;3.求下列两平行平面间的距离： 10218419=++-z y x ,0428419=++-z y x ； 207263=--+z y x ,014263=+-+z y x ; 解：1将所给的方程化为： 所以两平面间的距离为：2-1=1;2同1可求得两平行平面间的距离为1+2=3; 4.求下列各组平面所成的角： 1011=-+y x ,083=+x ；2012632=-+-z y x ,0722=-++z y x ; 解：1设1π：011=-+y x ,2π：083=+x∴ 4),(21πππ=∠或43π; 2设1π：012632=-+-z y x ,2π：0722=-++z y x218cos ),(121-=∠ππ或218cos ),(121--=∠πππ; 5. 求下列平面的方程:1 通过点()1,0,01M 和()0,0,32M 且与坐标面xOy 成060角的平面;2 过z 轴且与平面0752=--+z y x 成060角的平面. 解 ⑴ 设所求平面的方程为.113=++z b y x 又xoy 面的方程为z=0,所以21113110103160cos 222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅=b b ο 解得203±=b ,∴所求平面的方程为12633=+±+z yx , 即03326=-+±z y x⑵设所求平面的方程为0=+By Ax ;则21514260cos 22=+++±+=B A BA ο 3,038322BA B AB A =∴=-+或B A 3-= ∴所求平面的方程为03=+y x 或03=-y x .§ 空间直线的方程1.求下列各直线的方程：1通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； 2通过点),,(0000z y x M 且平行于两相交平面i π：)2,1(=i 的直线；3通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线；4通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线； 5通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线; 解：1由本节—6式,得所求的直线方程为： 即：01553-=-=+z y x ,亦即01113-=-=+z y x ; 2欲求直线的方向矢量为： 所以,直线方程为：221102211022110B A B A z z A C A C y y C B C B x x -=-=-; 3欲求的直线的方向矢量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ,故直线方程为：132511--=+=-z y x ; ４欲求直线的方向矢量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-, 所以,直线方程为：22111+==-z y x ; ５欲求的直线的方向矢量为：{}5,3,6--, 所以直线方程为：553362-+=--=-z y x ; ２.求以下各点的坐标： １在直线381821-=-=-z y x 上与原点相距２５个单位的点； ２关于直线⎩⎨⎧=+-+=+--03220124z y x z y x 与点)1,0,2(-P 对称的点;解：１设所求的点为),,(z y x M ,则： 又222225=++z y x即：222225)38()8()21(=+++++t t t ,解得：4=t 或762-所以要求的点的坐标为：)7130,76,7117(),20,12,9(---; ２已知直线的方向矢量为：{}{}{}3,6,62,1,24,1,1-=-⨯--,或为{}1,2,2-, ∴过P 垂直与已知直线的平面为：0)1(2)2(2=++--z y x ,即0322=-+-z y x ,该平面与已知直线的交点为)3,1,1(,所以若令),,(z y x P '为P 的对称点,则：221x +=,201y +=,213z+-= ∴7,2,0===z y x ,即)7,2,0(P ';３.求下列各平面的方程： １通过点)1,0,2(-p ,且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面； ２通过直线115312-+=-+=-z y x 且与直线 平行的平面； ３通过直线223221-=-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面； ４通过直线⎩⎨⎧=-+-=+-+014209385z y x z y x 向三坐标面所引的三个射影平面;解：１因为所求的平面过点)1,0,2(-p 和)2,0,1(-'p ,且它平行于矢量{}3,1,2-,所以要求的平面方程为： 即015=-++z y x ;２已知直线的方向矢量为{}{}{}5,3,11,2,11,1,2-=-⨯-, ∴平面方程为：即015211=-++z y x３要求平面的法矢量为{}{}{}13,8,11,2,32,3,2-=-⨯-,∴平面的方程为：0)2(13)2(8)1(=--+--z y x ,即09138=+--z y x ; 4由已知方程⎩⎨⎧=-+-=+-+014209385z y x z y x分别消去x ,y ,z 得到：0231136=+-z y ,079=+-z x ,06411=+-y x此即为三个射影平面的方程;4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程,并求出直线的方向余弦： 1⎩⎨⎧=---=+-+0323012z y x z y x 2⎩⎨⎧=+--=-+064206z y x z x3⎩⎨⎧==-+20x z y x解：1直线的方向数为：)5(:1:)3(1312:3221:2111--=------∴射影式方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--+--=59515253z y z x , 即⎪⎩⎪⎨⎧--=+=59515253z y z x ,标准方程为：z y x =-+=-51595352, 方向余弦为：35353553cos ±=±=α,35153551cos =-±=β,3555351cos ±=±=γ;2已知直线的方向数为：)4(:3:44201:2111:1410-=----,射影式方程为：⎪⎩⎪⎨⎧--+-=--+-=4184342444z y z x , 即⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=29436z y z x 标准方程为：z y x =--=--432916, 方向余弦为：4144411cos =-±=α,41344143cos =-±=β, 4144411cos ±=±=γ;3已知直线的方向数为：1:1:0)1(:)1(:00111:1011:0011=--=--, ∴射影式方程为： ⎩⎨⎧-==22z y x ,标准式方程为：z y x =+=-1202, 方向余弦为：0cos =α,21cos ±=β,21cos ±=γ;5. 一线与三坐标轴间的角分别为,,αβγ.证明222sin sin sin 2.αβγ++= 证 ∵222cos cos cos 1αβγ++=, ∴2221sin 1sin 1sin 1αβγ-+-+-=,即222sin sin sin 2.αβγ++=§ 直线与平面的相关位置1.判别下列直线与平面的相关位置：137423zy x =-+=--与3224=--z y x ； 2723z y x =-=与8723=+-z y x ； 3⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ； 4⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x ; 解：1 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-, 而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯,, 所以,直线与平面平行; 2 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯ 所以,直线与平面相交,且因为772233=--=, ∴ 直线与平面垂直;3直线的方向矢量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-,0179354=⨯+⨯-⨯,而点)0,5,2(--M 在直线上,又07)5(3)2(4=--⨯--⨯, 所以,直线在平面上; 4直线的方向矢量为{}9,2,1-,∴直线与平面相交;2.试验证直线l ：21111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 相交,并求出它的交点和交角;解： 032111)1(2≠-=⨯-⨯+-⨯∴ 直线与平面相交;又直线的坐标式参数方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t x 211设交点处对应的参数为0t ,∴10-=t ,从而交点为1,0,-1;又设直线l 与平面π的交角为θ,则：21662111)1(2sin =⨯⨯-⨯+-⨯=θ, ∴ 6πθ=;3.确定m l ,的值,使： 1直线13241zy x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行； 2直线⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=135422t z t y t x 与平面076=-++z my lx 垂直;解：1欲使所给直线与平面平行,则须： 即1=l ;2欲使所给直线与平面垂直,则须： 所以：8,4-==m l ;4.决定直线⎩⎨⎧=++=++00222111z C y B x A z C y B x A 和平面0)()()(212121=+++++z C C y B B x A A 的相互位置;解：在直线上任取),,(1111z y x M ,有：这表明1M 在平面上,所以已给的直线处在已给的平面上;5.设直线与三坐标平面的交角分别为.,,υμλ证明.2cos cos cos 222=++υμλ 证明 设直线与X,Y,Z 轴的交角分别为.,,γβα而直线与yoz,zox,xoy 面的交角依次为.,,γμλ那么,υπγμπβλπα-=-=-=2,2,2.而.1cos cos cos 222=++γβα∴.12cos 2cos 2cos 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-υπμπλπ从而有.2cos cos cos 222=++υμλ 6.求下列球面的方程1与平面x+2y+3=0相切于点()3,1,1-M 且半径r=3的球面;2 与两平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于点()1,1,5--M 的球面.解: ⑴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+=+=t z t y t x 323321311为过切点M 且垂直与已知平面的直线,显见32,32,31是这条直线的方向余弦. 取3=t ,则得3,2==y x ; 取3-=t ,则得5,1,0-=-==z y x .故所求球面有两个:()()()9132222=++-+-z y x ,与()()951222=++++z y x . ⑵t z t y t x 21,31,65--=--=+=为过点M 且垂直于两平面的直线,将其代入第二个平面方程,得2-=t ,反代回参数方程,得3,5,7==-=z y x .设球之中心为C ,半径为r ,则()()()()49112115,1,2,12222=--+--++=-r C .故所求球面方程为()()()49121222=-+-++z y x .空间直线的相关位置1.直线方程⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 的系数满足什么条件才能使：1直线与x 轴相交； 2直线与x 轴平行； 3直线与x 轴重合; 解：1所给直线与x 轴相交⇔ ∃ 0x 使0101=+D x A 且0202=+D x A⇔02211=D A D A 且 1A ,2A 不全为零;2 x 轴与平面01111=+++D z C y B x A 平行 又x 轴与平面02222=+++D z C y B x A 平行,所以 即021==A A ,但直线不与x 轴重合,∴ 21,D D 不全为零;3参照2有021==A A ,且021==D D ; 2.确定λ值使下列两直线相交： 1⎩⎨⎧=-++=-+-01540623z y x z y x λ与z 轴；2λ12111-=+=-z y x 与z y x ===+11; 解：1若所给直线相交,则有类似题1： 从而 5=λ;2若所给二直线相交,则 从而：45=λ;3.判别下列各对直线的相互位置,如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线,求出它们之间的距离;1⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；2131833-=--=-z y x 与462733-=+=-+z y x ； 3⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y tx 与5217441-+=-=-z y x ; 解：1将所给的直线方程化为标准式,为：-2：3：4=2：-3：-4 ∴二直线平行;又点)0,43,23(与点7,2,0在二直线上,∴矢量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面,该平面的法矢量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-,从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x , 即 0919225=++-z y x ;2因为0270423113637833≠-=---++=∆,∴二直线是异面的;二直线的距离：{}{}30327031562704,2,31,1,34231133156222==++=-⨯----=d ;3因为0574121031=--=∆,但是：1：2：-1≠4：7：-5所以,两直线相交,二直线所决定的平面的法矢量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-,∴平面的方程为：33++-z y x ;4.给定两异面直线：01123-==-z y x 与10211zy x =-=+,试求它们的公垂线方程;解：因为{}{}{}1,2,11,0,10,1,2--=⨯, ∴公垂线方程为：即⎩⎨⎧=--+=-+-022220852z y x z y x ,亦即⎩⎨⎧=--+=-+-010852z y x z y x ;5.求下列各对直线间的角 1 .61932256231+=-=-=+=-z y x z y x 与 2.02302640220243⎩⎨⎧=+-=--+⎩⎨⎧=-+=--z y z y x z y x z y x 与解 1 777236814436912546cos 222222212121212121±=++++++±=++++++±=z y x z y x z z y y x x θ ∴ .7772arccos 7772arccos -=πθ或(2) 直线43412630230264,11210:0220243+=+=⎩⎨⎧=+-=--+=⎩⎨⎧==-+=--z y x z y z y x zy x z y x z y x 的对称式方程为：的对称式方程为 ∴ .19598arccos 19598arccos-=πθ或 6. 设d 和d '分别是坐标原点到点(,,)M a b c 和(,,)M a b c ''''的距离,证明当aa bb cc dd ''''+++时,直线MM '通过原点.证 {},,OM a b c =,{},,OM a b c ''''=,OM OM aa bb cc ''''⋅=++,而当OM OM OM OM ''⋅=⋅,cos(,)OM OM dd ''=时,必有cos(,)1OM OM '=,∴//OM OM ',∴当aa bb cc dd ''''+++时, 直线MM '通过原点.7.求通过点()2,0,1-P 且与平面0123=-+-z y x 平行,又与直线12341zy x =--=-相交的直线方程.解 设过点()2,0,1-P 的所求直线为∵ 它与已知平面0123=-+-z y x 平行,所以有023=+-z y x 1 又∵ 直线与已知直线相交,那么必共面. ∴ 又有 即 7x+|8y-12z=02由1,2得 31:50:48713:71232:12821::-=----=Z Y X而 ()1:2:431:50:4-≠- ∴ 所求直线的方程为.3125041+==--z y x 8. 求通过点()1,0,4-P 且与两直线⎩⎨⎧=-+=--⎩⎨⎧=--=++4423,221z y x z y x z y x z y x 与都相交的直线方程.解 设所求直线的方向矢量为{}z y x v ,,=→, 则所求直线可写为.14Zz Y y X x +==- ∵ 直线1l 平行于矢量{}{}{}3,3,01,1,21,1,121-=--⨯=⨯→→n n ∴矢量{}3,3,0-=→v 为直线1l 的方向矢量. 由于02111≠-因此令y=o 解方程组得x=1,z=o∴ 点1,o,o 为直线1l 上的一点. ∴ 直线1l 的标准方程为62155+=-=-z y x . ∵ (){}.3,3,01.0,0,1,1121-=→v M l l l l 方向矢量为过点都相交且与∴ 有0330103,,11=--=⎪⎭⎫⎝⎛→→→ZYXv v p m即 X+3Y+3Z=0. 即 X-13Y-3Z=0. 得 X:Y:Z=30:6:-16 又∵ ,3:3:016:6:30-≠- 即 .1→→v v 不平行6:1:516:6:30≠-, 即 .2→→v v 不平行 ∴ 所求直线方程为: 9. 求与直线137182-=-=+z y x 平行且和下列两直线相交的直线. ⑴⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧+=-=5342,3465y z x z x z x z ⑵⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=t z t y t x t z t y t x 74105,5332 解 ⑴ 在两直线上分别取两点()(),4,3,0,39,0,921--M M 第一条直线的方向矢量为{}0,1,01→v , 第二条直线的方向矢量为{}6,2,32→v , 作两平面：即 ,03198;03038=---=+-z y x z x将其联立即为所求直线的方程⑵021532,017813253=++-=-+z y x z y x 即1017,0178145710=---=+-z y x z y x 即212联立: .017021532⎩⎨⎧=---=++-z y x z y x这就是所要求的直线方程. 10. .求过点()0,1,2P 且与直线垂直225235:-+==-z y x l 相交的直线方程. 解 设所求直线的方向矢量为{}Z Y X v ,,0=→则所求直线0l 可写为.012Zz Y y X x -=-=- ∴ 3X+2Y-2Z=0 1 即 50X-69Y+6Z=0 2 由1,2得 311:131:120::=Z Y X ∴所求直线0l 为:§ 空间直线与点的相关位置1.直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 通过原点的条件是什么解：已知直线通过原点⇔ 故条件为021==D D ; 2.求点)1,3,2(-p 到直线⎩⎨⎧=++-=++-0172230322z y x z y x 的距离;解：直线的标准方程为：所以,p 到直线的距离为：1534532025)2(1212392292421243222222===-++-+--+-=d ; § 平面束1.求通过平面0134=-+-z y x 和025=+-+z y x 的交线且满足下列条件之一的平面：1通过原点； 2与y 轴平行； 3与平面0352=-+-z y x 垂直;解：1设所求的平面为：0)25()134(=+-++-+-z y x z y x λ 欲使平面通过原点,则须：021=+-λ,即21=λ, 故所求的平面方程为： 即：0539=++z y x ; 2同1中所设,可求出51=λ;故所求的平面方程为：0)25()134(5=+-++-+-z y x z y x 即：031421=-+z x ;3如1所设,欲使所求平面与平面0352=-+-z y x 垂直,则须： 从而：3=λ,所以所求平面方程为：05147=++y x ;2.求平面束0)42()53(=+--+-+z y x y x λ,在y x ,两轴上截距相等的平面; 解：所给的方程截距式为： 据要求：λλλλ--=+-345145 ⇒ 1=λ; 所以,所求的平面为：01222=--+z y x ;3.求通过直线⎩⎨⎧=+-=++0405z x zy x 且与平面01284=+--z y x 成4π角的平面;解：设所求的平面为：0)4()5(=+-+++z x z y x λμ 则：22)8()4(1)()5()()8()()4(5)(222222=-+-+-+++-⨯-+-⨯++±λμμλμλμμλμ 从而 ,1:0:=λμ或3:4- 所以所求平面为：04=+-z x或012720=-++z y x ;4.求通过直线32201-=+=+zy x 且与点)2,1,4(p 的距离等于3的平面; 解：直线的一般方程为：设所求的平面的方程为0)223()1(=++++z y x μλ, 据要求,有：∴有λμμλμλ908125)13(92222++=+∴ 1:6:-=μλ或8:3即所求平面为：0)223()1(6=++++-z y x或 0)223(8)1(3=++++z y x即：04236=+--z y x 或01916243=+++z y x ;5. 求与平面0432=-+-z y x 平行且满足下列条件之一的平面. ⑴通过点()3,2,1-; ⑵y 轴上截距为3-; ⑶与原点距离为1.解: ⑴设所求的平面为032=-+-λz y x ,将点()3,2,1-的坐标代入方程得14=λ,则所求平面方程为01432=-+-z y x .⑵设所求的平面为λ=+-z y x 32.6,32,132=-=-=-=-=λλλλλ得令zyx.故所求平面为0632=-+-z y x .⑶设所求的平面为032=++-λz y x ,将其法化为()032141=++-±λz y x ,将原点的坐标代入得141±=λ,故所求平面为014132=±+-z y x .6.设一平面与平面x+3y+2z=0平行,且与三坐标平面围成的四面体体积为6,求这平面的方程;解 设所求平面方程为:x+3y+2z+0=λ 原点到该平面的距离为.14222λ=++=CB A D d∴ λλλ21,31,---分别叫做平面在三坐标轴上的截距. 四面体体积.31Sh V = ∴ )21)(31)((21316λλλ---=∴ .6±=λ∴ 这个平面的方程为0623=±++z y x8.直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 的系数满足什么条件才能使直线在坐标平面XOZ 内解 坐标平面XOZ 属于平面束化简为()()()()021212121=+++++++mD lD z mC lC y mB lB x mA lA 设平面XOZ 面.0,0,0≠≠=z x y有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000212121mD lD mC lC mA lA ∴.212121D D C C A A ==。
解析几何答案-第三章
解析几何答案-第三章§ 3.1平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（1）通过点
和点
且平行于矢量
的平面（2）通过点
和
且垂直于
坐标面的平面；
（3）已知四点
，
，。
求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与
平面垂直的平面。
解：（1）
，又矢量
平行于所求平面，
故所求的平面方程为：
一般方程为：
（2）由于平面垂直于
面，所以它平行于
轴，即
与所求的平面平行，又
，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：
一般方程为：
，即。
（3）（ⅰ）设平面
通过直线AB，且平行于直线CD：
，。
解析几何第三章答案
解析几何第三章答案第3章平面与空间直线§ 3.1平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。
求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。
解：（1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面，故所求的平面方程为：++-=-=--=v u z u y vu x 212123一般方程为：07234=-+-z y x（2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：+-=+-=+=v u z u y u x 317521 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。
（3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为：+-=+=--=v u z uy vu x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。
（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面∴}1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?均与π'平行，所以π'的参数式方程为：+-=++=+-=v u z v u y v u x 35145 一般方程为：0232=--+z y x .2.化一般方程为截距式与参数式： 042:=+-+z y x π. 解：π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--，所以，它的截距式方程为：1424=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-，∴所求平面的参数式方程为：=-=++-=v z uy v u x 24 3.证明矢量},,{Z Y X v =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：0=++CZ BY AX . 证明：不妨设0≠A ，则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为：==---=v z uy v A C u A B A D x 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{ACA B --，从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为：v ，}1,0,{},0,1,{ACA B --共面?01001=--AC A B Z Y X ? 0=++CZ BY AX .4.已知：连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 里的坐标z .解：}5,2,3{z +-= 而AB 平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z .§ 3.2 平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离：（1）)3,4,2(-M ，:π0322=++-z y x ；（2）)3,2,1(-M ，:π 0435=++-z y x .解：将π的方程法式化，得：01323132=--+-z y x ，故离差为：311332431)2()32()(-=-?-?+-?-=M δ，M 到π的距离.31)(==M d δ（2）类似（1），可求得0354353356355)(=-++-=M δ，M 到π的距离.0)(==M d δ2.求下列各点的坐标：（1）在y 轴上且到平面02222=--+z y 的距离等于4个单位的点；（2）在z 轴上且到点)0,2,1(-M 与到平面09623=-+-z y x 距离相等的点；（3）在x 轴上且到平面01151612=++-z y x 和0122=--+z y x 距离相等的点。
空间解析几何第三章
大 学 数 学（一）
—— 空间解析几何
第十讲 平面曲线的方程 空间曲面的方程 空间曲线的方程
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第一节
一、平面曲线与方程：
平面曲线的方程
定义：当平面上取定了标架之后， 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一 条曲线有着关系： 条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； ）满足方程的 必是曲线上某一点的坐标； 必是曲线上某一点的坐标 （2）曲线上任何一点的坐标 满足这个方程； ）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 满足这个方程 则这个方程称为这条曲线的方程， 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 方程的图形。 y 曲线的方程常表示为： 曲线的方程常表示为： xy=2 F(x,y)=0 或 y=f(x) o x
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 + c
的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 半径随c 的增大而增大 图形上不封顶，下封底．
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 两个基本问题 （1）求曲面方程． 求曲面方程．
（2）已知曲面方程，研究曲面形状． 已知曲面方程，研究曲面形状． 曲面方程
xoz 面上的投影曲线: 面上的投影曲线 投影曲线:
R( y , z ) = 0 x = 0
T ( x , z ) = 0 y = 0
x2 + y2 + z2 = 1 在坐标面上的投影. 例4 求曲线 1 在坐标面上的投影. z = 2
）消去变量z后得 解 （1）消去变量 后得 3 2 2 x +y = , 4 在xOy面上的投影为 面上的投影为
解析几何第四版课后答案第三章中医谈方论药第三章答案
解析几何第四版课后答案第三章中医谈方论药第三章答案中医谈方论药第三章答案第三章单元测试 1以下哪一部书是李克绍先生的学术代表作 ( ) A.《胃肠病漫话》 B.《伤寒论串讲》 C.《伤寒解惑论》 D.《伤寒论语释》 2以下哪一项不属于《伤寒解惑论》中提出九种治学方法。
( ) A.关于“要理解当时医学上的名词术语” B.关于“读于无字处和语法上的一些问题” C.关于“内容不同的条文要有不同的阅读法” D.关于“要理解寒温之争” 3丁元庆教授认为，《伤寒解惑论》中提出的哪一项既是标准也是方向？( ) A.关于“要和《内经》《本草经》《金匮要略》结合起来”B.关于“要与临床相结合” C.关于“对传统的错误看法要敢破敢立” D.关于“对原文要一分为二” 4以下哪段话是李克绍先生所说：( ) A.“胸中有万卷书，笔底无半点尘，始可著书;胸中无半点尘，目中无半点尘者，才许作古文疏注。
” B.“能否理论联络实际，在临床医疗中能否灵敏运用，这是检验学习《伤寒论》成功与否的重要标志。
” C.“《伤寒论》言证候不谈病机，述病理而少及生理，出方剂而不言药理” D.“医者书不熟那么理不明，理不明那么识不清，临证游移，漫无定见，药证不合，难以奏效。
”5以下哪段话，是湖北叶发正研究员在《伤寒学术史》中对李克绍先生的评价：( ) A.“他的论著享誉海内外，称得起现代的伤寒著名学家。
”B.“高山仰止，景行行止” C.“他对《伤寒论》的研究创当代《伤寒论》注疏之新风，其见解独特、基于临床、前后照应、逻辑严密；他活泼泼地注疏通解了活泼泼的《伤寒论》。
” D.“先生最反对学术上人云亦云，不求甚解，认为这是自欺欺人的不良学风。
先生读书也看前人注解，但决不盲从。
”6以下哪一项，不是丁元庆教授对急性口僻的辨治分析^p ：( ) A.口僻发生在面部，表现为口眼歪斜。
面部是足阳明胃经循行之地。
B.阳明炽热内盛，炙灼足阳明人迎脉，形成人迎脉积。
线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第三章书后习题
A 不可逆。
将 AB=O 转置，得 B A O 。同理可证，B 不可逆
T T
(4)证：由 A AB B O ，得 ( A B) B A2 , A B B A2 .由 A 可逆，
2 2
得 A 0, A ( 1) A 0, 所以 A B 0, B 0 ，因而 A B 和 B 都可逆.
1
1
A, ( A1 ) A1 ( A1 )1 A
1
A, 结论正确。
（10）证： ( AB) AB ( AB)
A B B1 A1 ( B B1 )( A A1 ) B A .
（11）注：在本题中，没告诉 A 可逆。 证：记 B kA,
ka11
因为 Bij ( 1)
i j
ka1, j 1
ka1, j 1
ka1n kai 1,n kai 1,n kann
kai 1,1 kai 1,1 kan1
kai 1, j 1 kai 1, j 1 kai 1, j 1 kai 1, j 1 kan , j 1 kan , j 1
0 2 1 ( E B) ( E A ) 2 2 2 0 2
1
1
0 . 0 3
1
（2）解：由已知，得 ( A E ) BA 4 E , B 4( A E ) A ，
6 0 0 B 4 6 0 . 4 2 5
B 将 A 分块为 A T 0
a1n C , 其中 B 为 A 的左上角 n 1 阶子矩阵，C . ann an 1,n
由 A 可逆知， B 也可逆， ann 0. 由归纳法假设可知，B 为上三角形矩阵.因为 A 为上三角形矩阵，结论正确.
高等代数与解析几何复习题
高等代数与解析几何复习题(总18页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数与解析几何复习题第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。
2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又()ij m n AB c ⨯=，问ij c = 。
3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= ,()()A B A B +-= 。
4.设矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。
（注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)TY =-,201013122A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY = 。
6.设向量()1,2,3,(1,1,1)T αβ==，则αβ= ，βα= 。
7.设矩阵2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则100A = 。
8.设矩阵200012035A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。
9.设准对角矩阵1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()f x 是多项式，则()f A = 。
10.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩()R A = 。
11.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。
12.设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**_____________.AA A A ==13.矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为__________，A 的伴随矩阵*A = 。
14.设A 是3阶可逆方阵，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
15.设102040203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
16.试写出n 阶方阵A 可逆的几个充分必要条件（越多越好）。
17.设矩阵123235471A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，试写出行列式A 中(2,1)-元的代数余子式 ，A 中第三行元素的代数余子式之和= 。
第三章高等数学基础知识-空间解析几何题库1-1-8
第三章高等数学基础知识-空间解析几何题
库1-1-8
问题：
[单选]方程表示（）。
A.锥面
B.单叶双曲面
C.双叶双曲面
D.椭圆抛物线
问题：
[单选]曲面x2-y2=z在xOz平面上的截痕是（）。
A.A
B.B
C.C
D.D
xOz平面y=0。
问题：
[单选]方程表示（）。
A.椭球面
B.平面上椭圆
C.椭圆柱面
D.椭圆柱面在平面上的投影曲线
题干中的方程表示平面y=1上的椭圆. (安徽11选5 https://)
问题：
[单选]设空间直线的对称式方程为，则该直线必（）。
A.过原点且垂直于x轴
B.过原点且垂直于y轴
C.过原点且垂直于z轴
D.过原点且平行于x轴
问题：
[单选]在空间直角坐标系中表示（）。
A.一个点
B.两条直线
C.两个平面的交线，即直线
D.两个点
问题：
[问答题]设，且a≠b，记｜a-b｜=m，求a-b与x轴正方向的夹角的余弦值。
问题：
[问答题]已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）。
（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
（2）若向量a分别与向量垂直，且，求向量a的坐标。
高考数学 第三章解析几何一
线段 MN 的中垂线与 x 轴相交于点 P(m,0) ，求实数 m 的取值范围．
Ay
B
F1 O F2
x
56
数学解答题分类
【练 9】已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆 C 过 P(2， 2 )，直线 l ：y=kx+m(k≠0)
交椭圆 C 于不同的两点 A，B。 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）是否存在实数 k，使线段 AB 的垂直平分线经过点 Q（0,3）？若存在求出 k 的取值 范围；若不存在，请说明理由。
57
数学解答题分类
【练
10】已知椭圆 C
：
x2 a2
y2 b2
1（a
b
0 ）的离心率 e
3 ，原点到过点 Aa ，0 ，
2
B 0 ， b 的直线的距离是 4 5 ．
5
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若椭圆 C 上一动点 P x0 ，y0 关于直线 y 2x 的对称点为 P1 x1 ，y1 ，求 x12 y12 的取
（Ⅰ）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积. （Ⅱ）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由.
【点差法】
53
数学解答题分类
练习
【练
x2 6】已知椭圆 G : a2
y2 b2
1a b 0
过点
A1 ,
6
3 和点 B0 , 1 ．
1（a
b 0 ）的
2 右顶点为圆 M 的圆心，离心率为 .
2
（I）求椭圆 C 的方程； （II）若存在直线 l ： y kx ，使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A ， B 两点，与圆 M 分别交于
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第三章 常见曲面习题3.11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。
证明：将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。
解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到930,420,10a d b d c d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩球面方程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=，其中d 任意。
过该三点的平面方程是132x yz ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。
3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上，并此球面方程。
证明：因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在一个球面上。
4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹； （2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹； （3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。
解（1）选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,),(0,0,)a a -。
设定比常数为0k >。
所以动点(,,)x y z 满足2222222()(())x y z a k x y z a ++-=+++，化简有222222222(1)(1)(1)2(1)(1)0k x k y k z a k z k a -+-+--++-=，当1k =时，轨迹为平面0z =。
当01k <≠时，轨迹为球面2222221201k x y z a z a k+++-+=-。
（2）选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,),(0,0,)a a -。
设常数为0k >。
所以动点(,,)x y zk =，化简有222222222444(416)40.k x k y k a z k a k ++-+-=（3）选直角坐标系使得定点坐标为(0,0,),a 定平面为z a =-。
所以动点(,,)x y z满足z a =+，化简有224.x y az +=5.曲面S 在柱面坐标系(,,)R u v 下的方程为2cos 2v R u =，求S 的直角坐标方程。
解：将柱面坐标与直角坐标的关系cos ,sin ,x R u y R u z v ===代入方程得到22.x y z -=6.曲面S 的直角坐标方程为22225x y z +-=，试求其球面坐标方程。
解：将球面坐标与直角坐标的关系cos cos ,cos sin ,sin x R y R z R θϕθϕθ===代入方程得到2222222cos sin 25,x y z R R θθ+-=-=即2cos 225.R θ=习题3.21.求半径为1，对称轴为23y zx ==的圆柱面方程。
解：圆柱面上的点(,,)x y z 到对称轴23y zx ==的距离是常数1，所以1=，即有222(32)(3)(2)14.y z z x x y -+-+-=2.已知与圆柱面的三条母线为,11,11,x y z x y z x y z ==+==--=+=求这个圆柱面的方程。
解：先求对称轴，对称轴上的点(,,)x y z 到三母线的距离相等，所以(,,)(1,1,1)(1,,1)(1,1,1)(1,1,)(1,1,1)x y z x y z x y z ⨯=+-⨯=-+⨯，化简整理得对称轴的方程：11x y z =+=-。
圆柱面上的点到对称轴的距离等于对称轴上的点(0,1,1)-到母线x y z ==的距离，所以(,1,1)(1,1,1)(0,1,1)(1,1,1)x y z +-⨯=-⨯，即222(2)(1)(1)6,y z x z x y -++-++--=展开得到圆柱面方程222330.x y z xy xz yz y z ++---+-=3.求母线方向为(2,3,4)-，准线为229,1x y z ⎧+=⎨=⎩的柱面方程。
解：柱面上的点(,,)x y z 一定在经过准线上一点000(,,)x y z 的母线上，所以022000009,1,2,3,4x y z x x t y y t z z t ⎧+=⎪=⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎪=+⎩消去000,,,x y z t 得到柱面方程：22216161324161624261310.x y z yz xz x y z +++-+---=4.已知圆柱面的对称轴为211x y z =-=-+，点(1,2,1)-在此圆柱面上，求此圆柱面的方程。
解：圆柱面上的点(,,)x y z 与点(1,2,1)-到对称轴的距离相等，所以(,1,1)(1,2,2)(1,3,0)(1,2,2)41x y z --⨯-=-⨯-=，展开整理得222855484822390.x y z xy yz xz x y z +++-+----=5.求准线为221,40x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩的圆柱面方程。
解：因为准线是椭圆，所以圆柱面的对称轴一定过椭圆的中心(0,0,0)，母线方向不可能平行于坐标面xOy ，可设为(,,1)l m。
在准线上取三点1,0),2它们到对称轴的距离都等于圆柱面的半径r ，于是1(2,0,0)(,,1)(0,1,0)(,,1),0)(,,1)2l m l m l m ⨯=⨯=⨯，得222114413),42m l l +=+=++-化简有 2234,0,m l ml ⎧+=⎨=⎩显然0,l ≠所以0,m l ==1r =。
因而圆柱面有两个2(,,)(4x y z ⨯=，即22()4 4.x y ±+=6.求以z 轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为6π的圆锥面方程。
解：因为圆锥面以z 轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为6π，所以圆锥面非常为2222tan 0,6x y z π+-=即222330.x y z +-=7.求顶点在原点，准线为(,)0,,(0)f x y z h h =⎧⎨=≠⎩的锥面方程。
解：锥面上的点(,,)x y z 一定在经过准线上某点000(,,)x y z 的母线上，所以000000(,)0,,,,f x y z h x tx y ty z tz=⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩因此得到锥面方程(,)0.hx hy f z z = 8.求以原点为顶点，包含三条坐标轴的圆锥面方程。
解：设圆锥面的对称轴的方向向量为(,,)l m n ，依照题意对称轴的方向向量与三坐标轴的坐标向量的夹角的余弦的绝对值相等，所以有(1,0,0)(,,)(0,1,0)(,,)(0,0,1)(,,)l m n l m n l m n ==即l m n ==，对称轴的方向向量为(1,1,1)±±。
因此圆锥面上的点(,,)x y z 满足22)(1,1,1)±±=，化简得0.xy yz xz ±±=即有四个圆锥面。
9.求顶点为(0,1,0)，准线为221,45y x z ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩的锥面方程。
解：锥面上的点(,,)x y z 一定在经过准线上某点000(,,)x y z 的母线上，所以220000001,45,,1(1),y x z x tx y t y z tz ⎧-=⎪⎪=-⎪⎪=⎨⎪=+-⎪⎪=⎪⎩因此得到锥面方程222205210250.x y z yz y z --++--= 10.证明：母线方向为(,,)l m n ，与球面2221x y z ++=外切的柱面方程为2222222()()(1)0lx my nz l m n x y z ++-++++-=。
证明：依照题意知柱面是半径为1的圆柱面，对称轴为.xy z l m n==所以柱面上的点(,,)x y z 满足1=，由公式2222()a b a b a b ⨯=-得到2222222222()()()l m n x y z lx my nz l m n ++++-++=++，故柱面方程为2222222()()(1)0lx my nz l m n x y z ++-++++-=。
11.过x 轴和y 轴分别作动平面，交角θ为常数，求交线的轨迹方程，并且证明它是一个锥面。
解：过x 轴和y 轴的动平面方程可设为11220,0.B y C z A x C z +=+=它们的交线是11220,0.B y C z A x C z +=⎧⎨+=⎩由于两平面的交角θ是常数，所以cos θ=，交线方程中的系数按此关系消去得到轨迹方程：2222222cos ()()0x y y z x z θ-++=，该方程明显是4次齐次方程，所以是锥面。
12.证明：以0000(,,)M x y z 为顶点的锥面方程是关于000(),(),()x x y y z z ---的齐次方程。
证明：我们知道顶点在原点的锥面方程是关于,,x y z 的齐次方程 ，所以将坐标系的原点平移到0000(,,)M x y z ，新坐标系的坐标用,,x y z '''，则000,,x x x y y y z z z '''=-=-=-，故锥面方程是关于,,x y z '''的齐次方程，即关于000(),(),()x x y y z z ---的齐次方程。
13.求下列曲线向各坐标面投影的投影柱面方程，和在各坐标面上的投影曲线，并作出曲线的简图：（1）22222224,25;x y a x y z a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩（2）2222224,(3)4;x y z x y z ⎧++=⎪⎨+-+=⎪⎩（3）2222224,20.x y z a x y ax ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩解：（1）向xOy 面投影的投影柱面方程是2224x y a +=，在xOy 面上的投影曲线是2224,0.x y a z ⎧+=⎨=⎩ 在方程组中消去x 得到向yOz 面投影的投影柱面方程是222y z a +=，在yOz 面上的投影曲线是222,0.y z a x ⎧+=⎨=⎩ 在方程组中消去y 得到向xOz 面投影的投影柱面方程是222x z a -=-，在xOz 面上的投影曲线是222,0.x z a y ⎧-=-⎨=⎩ （2）在方程组中分别消去,,x y z 得到向,,yOz xOz xOy 面投影的投影柱面方程分别是227230(2,2),,230(2,2).4y x z x z y x z -=≤≤+=-=≤≤ 在,,yOz xOz xOy 面上的投影曲线方程分别是227230,230,,(2),(2).40,0,0,y y x z z x x z y ⎧-=-=+=⎧⎧⎪≤≤⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎩ （3）在方程组中分别消去,,x y z 得到向,,yOz xOz xOy 面投影的投影柱面方程分别是422222222440,240,20z a z a y z ax a x y ax -+=+-=+-=。