第1节 统计的基本概念与频率、频数

【例4】(2010·潼南)根据市教委提出的学 生每天体育锻炼不少于1小时的要求，为确 保每天体育运动时间得到落实，某校对九 年级学生每天参加体育锻炼的时间作了一 次抽样调查，频数分布表其中部分结果记 录如下：
时间分组(小时) 0≤t＜0.5 0.5≤t＜1 1≤t＜1.5 1.5≤t＜2 2≤t＜2.5 合计 5 1 10 频数(人数) 10 频率 0.2 0.4 0.2 0.1


6．小颖统计了某冷饮店五种冷饮产品的销 售量，制作了频数分布直方图，如图8－1 －2所示，则A冷饮销售量的频数与频率分 131 131/518 别是________ ，________.
[解析] A具有破坏性，不适合普查；B涉 及人数较多，不适合普查；C涉及鱼较多， 不适合普查；D适合普查．
2．众数和中位数：一组数据中出现 ________ 的那个数据叫做这组数据的众数； 次数最多 n个数据按大小顺序排列，处于________位 中间 置的一个数据 (或最中间两个数据的 ________) 叫做这组数据的中位数． 平均数 友情提示：平均数的计算用到所有的数据， 在现实生活中较为常用，但它受极端值的 影响；中位数是唯一的，仅与数据的排列 位置有关，它不能充分利用所有数据；众 数可能一个，也可能多个，它一定是这组 数据中的数．
2

本部分包括根据频数、频率的概念，由已 知频数、总数计算相应频率，由频率和总 数计算频数，由频数和频率计算总数；根 据频数，频率分布表制作或补全频数分布 直方图以及频率分布直方图；把一组数据 适当分组后作频数(或频率)分布直方 图．该考点是必考内容之一，题型选择、 填空、解答都有，掌握好频数、频率的概 念，明确样本估计总体的方法是解题的基 础．

解：(1)得9分的人数最多，共8人，故该组 数据的众数为9分，将20名同学成绩按大小 排列后第10、11名同学的成绩都是9分，故 中位数为9分．

所以这20名同学实验操作得分的平均分是 8.75分．
本考点主要考查计算一组数据的极差、方差或标准 差，利用极差、方差以及标准差反映数据的波动大小从 而确定哪组数据更稳定；由已知数据的平均数计算数据 的方差，此类问题的解答，一要熟记方差公式，二是明 确公式中各字母表示的意义.
五、频数与频率 次数 1．频数表示每个对象出现的________ ． 2．频率表示每个对象出现的次数与 ________ 总数 的比值．(或百分比) 友情提示： 所有频数总和等于这组数据 的总数；所有小组的频率之和等于1.
2 ． (2010· 益阳 ) 某班体育委员记录了第一小 组七位同学定点投篮 ( 每人投 10 个 ) 的情况， 投进篮筐的个数为6,10,5,3,4,8,4，这组数据 的中位数和极差分别是 ( C ) A．4,7 B．7,5 C．5,7 D．3,7
一、数理统计的基本思想
用样本估计总体. 用样本的平均数、中位数和众数去估 计相应总体的平均水平特性. 用样本的频数、频率、频数分布表、 频数分布直方图和频数分布折线图去 估计相应总体数据的分布情况. 用样本的极差、方差或标准差去估计 相应总体数据的波动情况.
一、数据的收集 1．调查方式： (1) 普查：为了一定目的而对考察对象进行的 ________ 全面 调查，称为普查． 一部分个体 (2) 抽样调查：人们从总体中抽取 __________ 进行调查，这种调查称为抽样调查．

第37讲 │ 归类示例
(1)利用样本估计总体时，常用样本的平均数、方差、频率作 为总体的平均数、方差、频率的估计值． (2)中位数是一个位置代表值，利用中位数分析数据可以获得 一些信息．如果已知一组数据的中位数，那么可以知道小于或大于 这个中位数的数各占一半．众数是一个代表大多数的数据，当一组 数据有较多重复数据时，众数往往是人们所关心的数．一组数据的 极差、方差越小，这组数据越稳定．
所有个体进行普查时，如考查某市中学生的视力．②当调查具有破
坏性，不允许普查时，如考查某批灯泡的使用寿命是抽样调查．③ 当总体的容量较大，个体分布较广时考察多受客观条件限制，宜用 抽样调查．
(2)抽样调查的要求：①抽查的样本要有代表性；②抽查样本的 数目不能太少．
2．总体、个体和样本： 全体叫做总 (1)总体：所要考察的对象的________ 对象 叫 做 个 体 ， 组 成 总 体 的 每 一 个 ________ 体． (2) 从 总 体 中 抽 取 的 一 部 分 用 于 调 查 的 对象 叫做总体的一个样本． ________ (3) 样 本 容 量 ： 样 本 中 所 包 括 的 个 体 的 数目 叫做样本容量． ________
类型之二 与统计有关的概念
命题角度： 1．总体、个体、样本 2．频数、频率 [2011·泰州] 为了了解某市八年级学生的肺活量， 从中抽 样调查了 500 名学生的肺活量，这项调查中的样本是 ( B ) A．某市八年级学生的肺活量 B．从中抽取的 500 名学生的肺活量 C．从中抽取的 500 名学生 D．500
第5讲 统计与概率
第 1节 统计的基本概念与频率、频数
双柏县妥甸中学 张正华
了 ①总体、个体、样本、样本容量等概念；②频 数、频率的概念． 解 理 ①中位数、众数的概念；②极差、方差、标准 差的意义． 解
掌 ①调查的两种方式：抽样调查和普查；②平均 数、中位数、众数的计算方法，区别联系． 握
熟练 ①选择数据代表的方法；②计算数据的方差、 掌 标准差的方法；③计算平均数、加权平均数 的公式；④调查方式的选择应用. 握

答案：直方图如图8－1－5所示.
时间分组(小时)
0≤t＜0.5 0.5≤t＜1 1≤t＜1.5 1.5≤t＜2 2≤t＜2.5
合计
频数(人数) 10 20 10
频率 0.2 0.4 0.2
5 5 50
0.1 0.1 1
1．下列调查，适合用普查方式的是( D ) A．了解贵阳市居民的年人均消费 B．了解某一天离开贵阳市的人口流量 C ．了解贵州电视台《百姓关注》栏目的收视 率 D ．了解贵阳市某学生对“创建全国卫生城市” 的知晓率 解析：D项调查范围小，数目少适合用普查．
类型之一 统计的方法
命题角度： 根据考察对象选取统计方法 [2011·扬州] 下列调查中，适合用普查方式的是( D ) A．了解一批炮弹的杀伤半径 B．了解扬州电视台《关注》栏目的收视率 C．了解长江中鱼的种类 D．了解某班学生对“扬州精神”的知晓率

平均数、中位数和众数作为数据的代表， 是历年中考必考内容，重点是计算一组数 据的平均数或加权平均数，找出一组数据 的中位数或众数．难点是根据实际问题判 断这三种数哪一个最能反映一组数据的平 均水平．解答时，一定熟记平均数的计算 公式，平均数、众数、中位数各自的意义， 它们的优缺点．
四、数据的波动
1 ． 极 差 ： 一 组 数 据 中 ________ 最大 数 据 与 ________ 最小 数据的差叫极差． 2 ．方差：方差是各个数据与平均数之差的 平 方 的 ________ ， 即 s2 ＝ 平均数 ________________________________.( 其 中， 代表x1，x2，…，xn的平均数，s2表 示方差)

【例2】物理兴趣小组20位同学在实验操作中的得分 情况如下表：
得分(分) 人数(人)

10 5
9 8
8 4
7 3
问：(1)求这20位同学实验操作得分的众数、中位数； (2)这20位同学实验操作得分的平均分是多少？
思路分析：(1)由众数的定义知，该组数据的众数是
出现次数最多的数，8 人得 9 分，9 分出现次数最多；中 位数将这 20 名同学的成绩按大小顺序排列后，第 10、11 1 名同学的平均成绩． (2) 代入加权平均数计算公式 x ＝ n (x1f1＋x2f2＋„＋xkfk)(f1＋f2＋„＋fk＝n)．

2．(2010·芜湖)下列数据：16,20,22,25,24,25 的平均数和中位数分别为 ( B ) A．21和22 B．22和23 C．22和24 D．21和23

3．某市统计局发布的统计公报显示，2004 年到 2008年，该市GDP增长率分别为 9.6%、 10.2% 、 10.4% 、 10.6% 、 10.3%. 经济学家 评论这 5 年的年度 GDP 增长率相当平稳， 从统计学的角度看，“增长率相当平稳” D 说明这组数据的( )比较小 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
5．某市移动公司为了调查手机发送短信息 的情况，在本区域的1000位用户中抽取了 10位用户来统计他们某月份发送信息的条 数，结果如下表所示：
手机用户序号 发送短信息条数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 85 78 83 79 84 85 86 88 80 85
85 则本次调查中抽取的样本容量是________ ， 84.5 10 中位数是________ ，众数是________ ．

请你将频数分布表和频数分布直方图(图8－ 1－4所示)补充完整．

思路分析：观察频数分布表知，频数为10 时的频率等于0.2，根据“ ＝频率” 可计算出总数(样本容量)，再由计算出的 总数代入公式分别计算出各组的频数或频 率，再填入表格．在频数分布直方图中找 出第二、四组对应的频数，补全直方图．
[解析] 从中抽样调查了500名学生的肺 活量是一个样本．

【例1】下列调查方式中适合的是 ( ) A ．要了解一批节能灯的使用寿命，采用 普查方式 B ．调查你所在班级同学的身高，采用抽 样调查方式 C ．环保部门调查沱江某段水域的水质情 况，采用抽样调查方式 D ．调查全市中学生每天的就寝时间，采
3．某校九年级学生总人数为500，其男女 生所占比例如图 8－1－1所示，则该校九 年级男生人数为 ( D ) A．48 B．52 C．240 D．260

4．某鞋店销售一新款女鞋，试销期间对不 同颜色的销售情况统计如下表： 颜色 黑色 棕色 白色 红色 50 10 15 销售量(双) 60
鞋店经理最关心的是哪种颜色鞋最畅销， 则对鞋店经理最有意义的统计量是 ( B ) A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差




友情提示：(1)当总体中数目较少时，调查范 围小时可用普查方式调查；当总体数目过 于庞大不需要太过准确或调查具有破坏性 时，可用抽样调查方式调查． (2)总体是“物”的全体而非“数”的全体， 样本中个体的数目叫 “ 样本容量 ”，它是 一个正整数．
三、数据的代表 1．平均数：一组数据的平均值．平均数能够反映一 组数据的平均水平，n 个数据 x1，x2，„，xn 的平均数为： x ＝________________________________；加权平均数： 当所给的 n 个数据中，x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次，„，xk 出现 fk 次， 则 x ＝_____________________________.(其中 f1＋f2＋f3＋„＋fk＝n)
3 ． 标 准 差 ： 标 准 差 s 是 方 差 s2 的 算术平方根 ． ____________

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友情提示：极差、方差、标准差是刻画数 据离散程度的三个量．极差反映数据的波 动范围，计算方便；方差、标准差反映事 物的稳定性，方差、标准差越大，说明其 稳定性越差；方差、标准差越小，说明其 数据在平均水平上下波动不大，稳定性就 越强．

【例3】(2010·浙江)如图8－1－3所示是甲、 乙两射击运动员的10次射击训练成绩(环数) 的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射 击成绩的方差s，s之间的大小关系是 ________．
1 思路分析： 求方差需利用公式 s ＝n[(x1－ x )2 ＋(x2 － x )2＋„＋(xn－ x )2]计算，这样根据图中反映的甲、乙 两运动员的成绩求出平均成绩 x 甲、x 乙，代入公式便算出 2 s2 甲和 s乙.

收集数据的方式，即获得数据采取的方法一 般为普查和抽样调查．很多考题结合生活中 的实际问题，依据两种调查方式的特点，判 断采用哪种方式进行调查．此类型问题近年 出现频率较高，解题时一要彻底掌握两种方 式的优缺点，二要考虑实际情况以选择既准 确又快捷的调查方式．
(1)下面的情形常采用抽样调查：①当受客观条件限制，无法对