结构力学(第六章)-矩阵位移法-7

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结构力学-矩阵位移法-PPT

a11 AB a21
当p=l时才能相乘
a12 b11 a22 b21
a12 a22
共形
b11 a11 BA b21 a21
非共形
（2）不具有交换律，即 AB BA
6、转置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：
任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即 AI =A IA =A
10、逆矩阵
在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，
除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB = C
则
B=A 1 C
-
此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。
一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A 1 = A 1 A =I
矩阵求逆时必须满足两个条件：（1）矩阵是一个方阵。（2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。
矩阵位移法（刚度法）：
结点力
P
F
（物理条件）

结点位移
（几何条件）
（平衡条件）
杆端力
杆端位移
r11 z1 r12 z 2 L r1i zi R1p 0 r21 z1 r22 z 2 L r2i zi R2p 0 r31 z1 r32 z 2 L r3i zi R3p 0
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
第十章
矩阵位移法
知识点：
• • • • 矩阵位移法的基本要点常见单元单元刚度矩阵的建立单元刚度矩阵的坐标变换矩阵位移法计算连续梁和刚架
教学基本要求:
掌握矩阵位移法的基本要点；
理解各种常见单元杆端位移和杆端力的对应关系，理解单刚矩阵的建立方法及过程，能正确写出常见单元的单刚方程；理解坐标变化的意义及方法。掌握前处理法计算连续梁和不考虑轴线变形的刚架，结合刚架理解后处理法的基本思想。

结构力学矩阵位移法

k的单位转角引起的j端弯矩用
k jk 表示，k端弯矩用 k kk 表示，放在劲度矩阵第二列；
k(1)k(2)k(3) k kk jjj
k kk jk k 2 4ii
2i 4i
21
K1是 1 1自由度发生单1自位由转度角引在起的刚
位移法用结点的平衡
K1
1.位移法作结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力）图矩阵位移法将结点位移引起的杆端力放在单元劲度矩阵中。
2.位移法从结点位移引起的单位内力（弯矩、剪力）图中取出结点作为脱离体，由脱离体的力平衡条件求得附加约束反力，即整体劲度系数。
矩阵位移法由单元劲度矩阵集合成整体劲度矩阵。
10
位移法和矩阵位移法求自由项系数的方法有何不同？
11
背：位移法矩阵位移法整体结点位移正负号规定？
整体结点位移，矩阵位移法中与整体坐标方向一致为正。位移法中角位移顺钟向为正，线位移无规定。
12
第二专题：只有转角未知量的连续梁的矩阵位移法
13
用位移法和矩阵位移法求图示连续梁的杆端弯矩
FP1 FP FP2 2FP ql FP
14
背：位移法和矩阵位移法的基本系-结点转角处附加刚臂
K21kk(2j) 2i
23
K12是2自由度发生单1自位由转度角引在起的刚
位移法用结点的平衡
K12的形成
矩阵位移法：与1和2自由度都有关的单元单元只有(2)单元，1自由度对应(2)单元的 j端，2自由度对应(2)单元的k端，故：
K12k(j2k) 2i
24
K22是2自由度发生单2自位由转度角引在起的刚
5
背：为什么矩阵位移法比位移法可能有更多的独立的结点线位移作为基本未知量?

结构力学十三讲(矩阵位移法)

2
1 i1 2i23
2 i2 2i22
2 i2
4i23 3
F1
4i1 2i1 0 1
F2 = 2i1 4i1+4i2 2i2 2
传统位移法根据每个结点位移对附加约束上的约束
F3
0 2i2 4i2 3
{F}=[K]{}
力{F}的贡献大小进行叠加而计算所得。
7
一、单元集成法的力学模型和基本概念
一、矩阵位移法的基本思路
矩阵位移法的两个基本步骤是（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，
单元分析
整体分析
任务
建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵
由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵
意义用矩阵形式表示杆件的转角位移方程
单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量”进行“换码重排位”。
单元
(1) (2)
1 (1)
[k] = (2)
4i1 2i1
2i1 4i1

1
=
1 2
12 3
1 40i1 20i1 0
1
[K] = 2
20i1
40 i1
0
30 0 0
单元
(1) (2)
2 (1)
[k] = (2)
2i1
0
2
[k] =
4i2 2i2 2i2 4i2
12 [K] =
00 0
0 4i2 2i2 0 2i2 4i2
2i1 44i1i+1 4i2 20i2 0 20i2 40i2
4i1 2i1 0
整体刚度矩阵: [K]= 2i1 4(i1+i2) 2i2

结构力学：矩阵位移法

2 i2 i
3
k21 k31
=1 k22
k32
若 1 1,2 3 0
P1 P2 p3
k11 k21 k31
kij ---发生 j 1, 其它结点位
移为零位移时在 i结点所需
加的结点力.
k13
k23 k33
=1
结构刚度矩阵性质:对称矩阵
总刚的形成方法 ---“对号入座”
P3
k22112
k222
2 2
结构刚度矩阵中元素的物理意义
k11 k12 k13
k k21
k22
k23
k31 k32 k33
P1 k11 k12 k13 1
P2
k21
k22
k23
2
p3 k31 k32 k33 3
1 P1 1
1 i1 i
k11
=1
k12
P2
2
2
P3
3
k31 0 k32 k221 k33 k222
四.计算杆端力
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
1 P1 1
1 i1 i
P2
2
2
P3
3
2 i2 i
3
四.计算杆端力
6kN.m 3kN.m 3kN.m
P k 计算结点位移 Fe ke e 计算杆端力
i1 1
i2 2
1
2
1/ 2
3
7/2
3.解方程,求位移 17 /12
变形条件
P1
①
P2
②
P3
F11
F21
F12
F22
单元刚度方程
F1e
k1e11e

结构力学矩阵位移法课件

3
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社科技分社出版社科技分社
矩阵位移法基本原理同位移法一样，仍旧以结点位移为基本未知量，通过平衡方程求解这些基本未知量，然后计算结构的内力。用矩阵位移法进行结构分析的基本要点是： 1）结构离散化
将结构划分为有限个单元，各单元只在有限个结点处相互连接。对于杆件结构，单元常取为等截面直杆，各单元通过刚结点、铰结点等各类结点相连组成结构，这相当于位移法中获取基本结构的这一步骤.
6
土木工程专业系列教材—结构力学
出版社科技分社出版社科技分社
确定结点时，常常采用顺序编号的方法，这些编号称为结点码。在确定完结点码后，对结点间的单元也依次编号，从而获得单元码。如图所示分别是两个结构离散化后的结点和单元编码情况。
E1 I E2 I 3 1 2 2 5 EI1 3 4 EI2 4 5 6 6 7 8 1 2 3 6 7 8 1 9 2 3 4 5 4 7 5
土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社14出版社科技分社土木工程专业系列教材结构力学出版社科技分社jvjiejnfujjfqmjjiuifnqfiviiimxiejyjixjjmjufxjyjfvjivfyixifuimiioyef11f55f33f66f22yxf44xoyij1f12f233f44f55ff66a单单单单单单单单单单单c整整单单单单单单单单单eb单单单单单单单单单d整整单单单单单单单15出版社科技分社约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号约定单元所有杆端力和杆端位移分量分别用广义符号f和和表示当参照系为单元坐标系时还需在表示当参照系为单元坐标系时还需在f和和上添加上划线即用和以示区别
x y (2) x
(1)
(2)

结构力学应用-矩阵位移法

3、集成总刚
（6）定位向量法：对号入座，同号相加定位向量法：对号入座，
4．综合结点荷载
综合结点荷载 {F}={FD}+{FE} }――直接结点荷载 ①{FD}――直接结点荷载 }――等效结点荷载 ②{FE}――等效结点荷载（7-1）局部坐标系单元固端力（7-2）整体坐标系单元固端力（7-3）单元等效结点荷载。单元等效结点荷载。
等效原则：等效原则： ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。两种荷载对基本体系产生相同的结点位移 ——两种荷载对基本体系产生相同的结点位移。
矩阵位移法的计算步骤及示例
矩阵位移法计算平面刚架计算机计算――程序化）程序化）（计算机计算程序化
1. 编码、整理原始数据编码、
（1）整体与局部坐标系）（2）结点位移编码）单元编码（3）原始数据：）原始数据： E 、A i、I i、l i 定位向量{λ} 定位向量 e， αi（[ T ]） ]）
几点补充说明
1、结点位移分量编号，定位向量、结点位移分量编号，
——引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。引入支承条件：已知位移约束的方向，编码为零。引入支承条件
2、铰结点处理：铰结点处理：铰结点处理
铰结的各杆杆端的转角均为基本未知量 ——分别编码（统一单元，程序简单）分别编码（统一单元，程序简单）分别编码
矩阵位移法
矩阵位移法——基本原理与位移法相同基本原理与位移法相同矩阵位移法 *数学工具 —— 矩阵运算
1、矩阵知识矩阵：（1）矩阵：A 方阵：方阵：阶方阵A相应的行列式（2）行列式：n阶方阵相应的行列式）行列式：阶方阵相应的行列式D 若D＝0，A为奇异矩阵（3）矩阵运算相等：加减：数乘：相等：加减：数乘： l aik 乘法：乘法：Cmn=Aml*Bln，则 cij =

矩阵位移法

- 30 0 50 30 0 100
§9.4 连续梁的整体刚度矩阵
4i11 1 i 2i11 按传统的位移法 1 1
2i 0
2
每个结点位移对{F}的单
2i12
1 i (4i1+4i2)2 2 i
2
1
2
2i22
独贡献
0
1 i 2i23
2 i 4i23
3
1
F1
4i1
2i1
2
0 1
{F}=[K]{} F2 = 2i1 4i1+4i2 2i2 2
十一正交矩阵
若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则
A =-csoisnaa
sina cosa
正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即
A -1 = AT
§9.1 概述
矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。
-
6E l2
I
0
6EI l2 2EI l
u1
v1
1
0
-
6EI l2
u2
v2
4EI
l
2
上面的式子可以用矩阵符号记为 Fe = k ee 可由单
局部座标系的单元刚度矩阵
元杆端位移求
这就是局部座标系中的单元刚度方程。
杆端力
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
座标转换矩阵
cosa sina 0 0
0 0
- sina cosa 0 0
0 0

《结构力学课件》矩阵位移法

将（17—21）及（17—25） T F 式代入上式得： e
K
T
e
T e
e
F
T
K
T e
e 另 [T]T[ K ] [I]=[K]e 则用结分点块式表示为：
{F}e=[K]e{}e
e Fi e F j e Kii e K ji e e Kij i e Ke jj j
• 注：1） F , 为结构坐标的杆端力和杆端位移。 • 2） Kij e 表示单元e 的j端三个位移分别产生单位位移时在i 端各力 • 分量分别产生的力。 • 3） Kii , Kij , K ji , K jj 分别为单元在结构整体坐标中刚度。
e e

返回下一张上一张小结图17-4来自返回下一张上一张小结
• 17.1.6 引入支承条件，求结点位移
• 已知上例支承条件 1 =0，连同已获得的[K]，以及各结点荷载值（M1、M2、及M3=0）一起代入基本方程（7—6）式中，得：
4i1 2i 1 0 2i1 4i1 4i 2 2i 2 0 0 2i 2 2 4i 2 3 M1 M 2 0
｛
矩阵位移法是以位移法为力学原理，应用矩阵理论，以电子计算机为工具的结构分析方法。有限单元法包含两个基本环节：一是单元分析；一是整体分析。
在矩阵位移法中：单元分析的任务是建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵——讨论任意坐标系中单元刚度方程的通用形式；整体分析的任务是将单元及合成整体，由单元刚度矩阵按照刚度集成规则形成整体刚度矩阵，建立整体结构的位移法基本方程，从而求解。直接由单元刚度矩阵导出整体刚度矩阵的集成规则，是矩阵位移法的核心内容。

《矩阵位移法》课件

实际工程案例分析
总结词
为了验证矩阵位移法的有效性，可以通过实际工程案例进行分析。通过与实验结果的对比，可以评估方法的精度和可靠性。
详细描述
选取具有代表性的实际工程案例，如高层建筑、大跨度桥梁等，利用矩阵位移法进行计算，并将结果与实验数据进行对比。通过对比分析，可以评估矩阵位移法的精度和可靠性，为该方法在实际工程中的应用提供依据。同时，也可以针对不同工程案例的特点，对矩阵位移法进行优化和改进，提高其适用性和计算效率。
05
矩阵位移法的优缺点
优点
精确度高
矩阵位移法基于严格的数学推导，能够精确地计算出结构的位移和内力，尤其适用于复杂结构的分析。
适用性强
矩阵位移法可以处理多种类型的载荷，包括静载、动载以及温度载荷等，适用范围广泛。
便于计算机化
矩阵位移法的计算过程可以通过计算机程序实现，便于进行大规模的结构分析。
多尺度方法
将矩阵位移法应用于多尺度问题，考虑不同尺度之间的相互作用和影响，为复杂系统提供更准确的模拟结果。
THANKS
感谢观看ts
目录
• 引言 • 矩阵位移法的基本概念 • 矩阵位移法的实施步骤 • 矩阵位移法的应用实例 • 矩阵位移法的优缺点 • 未来展望与研究方向
01
引言
什么是矩阵位移法
矩阵位移法是一种数值分析方法，用于求解线性方程组和解决各种数值计算问题。
它通过将原问题转化为矩阵形式，利用矩阵运算来求解未知数，具有高效、精确和灵活的特点。
并行计算
利用并行计算技术，将计算任务分解为多个子任务，同时运行在多个处理器上，加快计算速度。
智能优化
结合人工智能和机器学习技术，自动调整算法参数，实现自适应优化，提高算法的效率和稳定性。

结构力学(I)-结构静力分析篇6 矩阵位移法

用数字描述体系的位置，单元的属性。

10 / 105
第六章
例如
单元 FP
矩阵位移法
3(5,6)FP
2
1
2
2
结点
1
1(1,2) 单元方向 1
1
2(3,4)
2
1,2,3 ----结构结点编码（总码） (1,2,3) ----结点位移编码
1 2 ----杆端结点编码（局码）
1 2 ----单元编码

11 / 105

9 / 105
第六章
矩阵位移法
六、结构的离散化工作
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立的单元，单元之间是由结点连接，用此计算模型模拟原结构的受力和变形特性。模型和原结构是有差别的，这个差别可以通过单元的适当选取给予降低。主要工作：单元的划分；体系的数字化。
直杆体系按自然选取杆件的汇交点、截面的变化点、支撑点或荷载作用点作为结点，将结构划分成一系列只在结点相连的单元集合。
EA l e
矩阵位移法
0
6 EI l2 4 EI l
0
12 EI l3 6 EI l2

EA l
0 12l EI 3 6lEI 2 0
12 EI l3 6 EI l2
0 0
EA l
0 12l EI 3
6 EI l2
0 6lEI 2
2 EI l
0 0
0 1 6 EI l2 2 2 EI 3 l 0 4 6lEI 5 2 4 EI 6 l
单元刚度方程
F k
e e
e

相关主题

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4i 7ql 2 / 552 i
F
1
7 / 92 1 / 2 7 / 276 1 / 8 7 / 92 1 / 2 7 / 138 1 / 8
ql 2
3.已知:图示结构(不计轴变,EI=常数)的结点位移为
0
9.试求图示结构的荷载列阵(先处理法).
20kN 3 1
10kN
6m
4 30kN
8m
2 40kN
10 20 P 30 40
Y
X
三. 整体分析
10.试求图示结构的荷载列阵(先处理法). q P l
ql 2 / 12
l
q
l/2 l/2
4.图示结构2单元的整体单刚元素 k 23 应放在总刚的什么位置?
3(7,8,9)
2 1
1(1,2,3)
3
4(10,11,12)
三. 整体分析
5.试求总刚元素 k65 EA=常数 l
3(5,6)
4(7,8)
2(3,4) 1(1,2)
2 EA k65 4 l
6.先处理法求图示结构总刚 (不计轴变)
l
Y
X
k65
5 1
k65
EI1
EI
l
EI
EI
EA 2 2l 2
l
l
三. 整体分析
4(1,0,0) 5(1,0,0) 6(1,0,0)
6i l
1(0,0,0)
6i l
2(0,0,0)
1 1
3(0,0,0)
k11
k 36 EI / l
3

6.先处理法求图示结构总刚 (不计轴变)
矩阵位移法习题讨论
一.离散化
1.不计轴变时先处理法的结点位移编码
1 (0,0,1) 3 (0,2,4)
Y
4 (0,0,0) 2 (0,2,3)

X
3 (5,6,7) 4 (0,8,0)
2. 计轴变时先处理法的结点位移编码
2 (2,3,4) 1 (0,0,1)
5 (9,0,10)
二. 单元分析
1.单元刚度方程表示什么量之间的关系方程? 2.单元刚度矩阵(自由式单元)是什么样的矩阵? 3.单刚元素
4(0,0,0)
2 PD 5 0 2 P 5 64
ql 2 / 12 64
12kN / m
0 PE 0 64
11.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).
7.先处理法求图示结构总刚 (不计轴变)
2(1,0,2) 3(1,0,3)
EI1
EI
EI l EI EI
l
EI
1(0,0,0)
EI
4(0,0,0)
l
l
l
三. 整体分析
k 21
k31
k11
6i l 12i l2 k11 24i / l 2
1 1
24i / l 2 k 6i / l 6i / l
e e

F2e
x
F1e
y
F
e 1
F
e
e 4
F3e
F
e 3

F2e
F2e
F4e
x
0 0 F1 cos sin 0 0 0 0 F2 0 0 cos sin F3 0 0 0 F4 0
e
F1e
三. 整体分析
F
1
k
F
q
4(0,0,2)
1
1(0,0,0)
3 2 4
q
l
ql
7ql 2 / 552 i
l/2 l/22(0,0,0)l
2i 7ql 2 / 552 i 7ql 2 / 552 i
5(0,0,0)
ql 2 8
6i 7ql 2 / 552 i l ql ql 2
F
e
k

e
e
Fq
e
2.已知:图示结构(不计轴变,EI=常数)的结点位移为
7ql 2 / 552 i
5ql 2 / 368 i
ql
3(0,0,1)

T
求:1单元的杆端力 1
4(0,0,2)
3 2 4
q
1(0,0,0)
l
四. 求杆端力
l/2 l/22(0,0,0)l
5(0,0,0)
1.连续梁在一般荷载作用下,单元杆端力由下式计算. 是否正确?
F
e
k

e

Fq
e
2.已知:图示结构(不计轴变,EI=常数)的结点位移为
7ql 2 / 552 i
1 1 1
5ql 2 / 368 i
ql
3(0,0,1)

T
求:1单元的杆端力
k 23
的物理意义是什么?
4.坐标转换矩阵是一个什么样的矩阵? 5.局部坐标系下的杆端位移与整体坐标下的有何关系?
0 0 0 cos sin 0 sin cos 0 0 0 0 6.单元刚度矩阵均是奇异矩阵吗? 0 0 1 0 0 0 e T 7.试写出自由式单元坐标转换矩阵. 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 1 0
二. 单元分析
9.试写出桁架单元坐标转换矩阵中的第二行元素.
y
F
e 1
F
e
e 4
F
F3e
e 2
F1e F1e cos F2e sin
F2e F3e cos F4e sin
F1 e 0 0 F2 F1 cos sin 0 0 cos sin F3 F2 F4 F1 F 2 F3 F4
0
0
0 17 Pl / 112 i
0
P
5Pl / 112 i
Pl
P
T
求:1单元的杆端力 1 l/2
2 l/2 l/2 l/2
4.已知:图示结构(不计轴变,EI=常数)的结点位移为
ql 3 / 12 EI
q
ql 4 / 8EI

T
求:2单元的杆端力
ql
1 l
2 l
Pl / 8
ql 2 / 12 Pl / 8
P
ql 2 / 12 2 P ql / 12 Pl / 8 Pl / 8
11.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).
2kN
5kN m
4kN 12kN / m
8m
8m
8m
三. 整体分析
1(0,0,0) 2(0,1,2) 3(0,0,3)
e e e
T
二. 单元分析
8.求图示结构2单元的坐标转换矩阵中的元素 1 a
T11,T12
2 a
T11 cos(45 ) 2 / 2 a T12 sin(45 ) 2 / 2
0 0 0 cos sin 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 e T 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 1 0
X
5 6 7 0 3 4
3(7,8,9)
2(4,5,6)
2 1
1(1,2,3)
3
4(10,11,12)
三. 整体分析
4 5 6 7 8 9
第5行第6列
2(4,5,6)
1.结构刚度方程 k P是整体结构所应满足的变形协调条件吗?
2.总刚元素 k 23 的物理意义是什么?
3.试写出图示刚架2单元的单元定位向量.
1(1,0,2)
1
3(5,6,7)
3 2
2(0,3,4)
4(0,0,0)
Y

4.图示结构2单元的整体单刚元素 k 23 应放在总刚的什么位置?
2kN
5kN m
4kN 12kN / m
8m
8m
8m
三. 整体分析
12.试求图示结构(不计轴变)的荷载列阵(先处理法).
1(1,0,2) 2(1,0,3) 3(1,0,3)
X1
4(0,0,0)
X2
X1 X 2 P 0 0
四. 求杆端力
1.连续梁在一般荷载作用下,单元杆端力由下式计算. 是否正确?
6i / l 6i / l 8i 2i 2i 8i
7.先处理法求图示结构总刚 (不计轴变)
k11
2(1,0,2) 3(1,0,3)
EI
k 21 6i / l
k31 6i / l
l
EI
1(0,0,0)
EI
4(0,0,0)
l
三. 整体分析
8.等效结点荷载的数值等于汇交于该结点的所有单元固端力之和. 此结论对否?